HSC 物理逃逸速度：推导与计算

把球向上抛，重力会把它拉回来。抛得更快，它会飞得更高，但仍然会回来。所以，有一个很有用的问题：是否存在一个足够高的速度，使物体永远不会返回，即使重力其实从未消失？

继续阅读之前，先做一个预测。正在逃逸的太空船是否需要到达某个重力变成零的距离？

不需要。重力会随距离增加而减弱，但在任何有限距离上都不会等于零。逃逸速度来自另一个概念：一开始就给物体足够的动能，使它能爬出重力场，而不会在途中耗尽能量。

01什么叫做逃逸？

把重力想像成一座延伸得极其遥远的山坡。靠近行星时，山坡很陡；离得越远，坡度就越来越平，但并不存在一个突然出现、让山坡终止的边缘。

如果物体发射得太慢，它只会爬上一部分高度，逐渐减速，最后可能返回。最低逃逸速率是一种特殊情况：物体可以持续移动到越来越远的地方，而它的速率只有在距离趋近无限远时才趋近于零。

这个类比很有用，但也有限制。太空船并不是真的沿著某个表面往上滚。重力「山坡」的「高度」是由重力位能来表示的。

对于一个质量为 \(m\) 的物体，若它距离质量为 \(M\) 的球对称天体中心 \(r\)，则

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力位能，单位为焦耳 J，
• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是万有引力常数，
• \(M\) 是行星或其他中心天体的质量，单位为公斤，
• \(m\) 是太空船或抛射物的质量，单位为公斤，而
• \(r\) 是物体到中心天体中心的距离，单位为公尺。

负号很重要。我们把无限远处的重力位能定义为零，因此靠近行星的物体具有负的重力位能。

如果这个概念让你觉得陌生，可以先复习径向重力场中的重力位能，再继续往下读。

02推导逃逸速度方程式

假设一个物体从距离行星中心 \(r\) 的位置开始，以速率 \(v\) 运动。

它的初始机械能为

\[ E_i=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \]

现在考虑刚好足以逃逸的最低速率。

在距离行星极其遥远的地方：

• \(r\rightarrow\infty\)，因此重力位能趋近于零，而
• 物体恰好完成逃逸，因此它的速率也趋近于零。

所以，在最低速率的情况下，最终机械能为

\[ E_f=0 \]

由机械能守恒可得

\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0 \]

重新整理：

\[ \frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{r} \]

逃逸物体的质量 \(m\) 可以消去：

\[ \frac{1}{2}v^2=\frac{GM}{r} \]

因此

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

这就是逃逸速度方程式。

更准确地说，\(v_{\text{esc}}\) 常被称为逃逸速率，因为这个方程式给出的是大小，而不是方向。

03这个方程式真正表示什么

方程式

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

包含三个重要概念。

第一，中心天体的质量越大，逃逸速率就越大。较大的 \(M\) 代表更深的重力位能井。

第二，起始距离 \(r\) 越大，逃逸速率就越小。如果你本来就已经离行星很远，那么要离开它所需的能量就较少。

第三，逃逸物体本身的质量完全没有出现在方程式中。

如果从同一位置出发，一个 1 kg 的探测器和一艘 10 000 kg 的太空船需要相同的逃逸速率，前提是忽略空气阻力、推进效率等因素。较重的太空船需要更多动能，但它的重力位能变化也会按比例增加。这两个质量因子会互相消去。

范例：从地球表面逃逸

利用 \(M=5.97\times10^{24}\ \text{kg}\) 和 \(r=6.37\times10^6\ \text{m}\) 计算地球的逃逸速率。

步骤 1：选用逃逸速度方程式。

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

步骤 2：代入数值。

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{ \frac{ 2(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24}) }{ 6.37\times10^6 } } \]

步骤 3：计算。

\[ v_{\text{esc}}\approx1.12\times10^4\ \text{m s}^{-1} \]

因此，

\[ v_{\text{esc}}\approx11.2\ \text{km s}^{-1} \]

在理想模型中，一个以 11.2 km/s 从地球表面离开的物体，刚好具有足够的机械能逃离地球的重力场。

这并不代表真实火箭只要在地面直接加速到 11.2 km/s 就可以了。在实际发射中，地球大气、地球自转、火箭随时间持续产生的推力，以及火箭质量的变化，都会产生影响。

04逃逸速率与轨道速率的比较

逃逸速度和圆形轨道速度之间有一个很有用的关系。

对半径为 \(r\) 的圆形轨道而言，

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

而

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

因此，在相同半径下，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}} \]

所以，已经位于圆形轨道上的太空船并不是从静止开始。它本来就已经具有相当大的动能。要逃逸，只需要把速率从 \(v_{\text{orb}}\) 提高到 \(\sqrt{2}v_{\text{orb}}\)。

这个关系直接来自轨道速度中的物理原理。

范例：从既有的圆形轨道逃逸

一艘太空船绕地球作圆形轨道运动，距离地球中心 \(7.00\times10^6\ \text{m}\)。取地球质量为 \(5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。

求：

1. 它的圆形轨道速率，
2. 在该半径的逃逸速率，以及
3. 如果太空船瞬间获得沿前进方向的速度增量，逃逸所需的最小速度增加量。

步骤 1：计算圆形轨道速率。

\[ v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{ \frac{ (6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24}) }{ 7.00\times10^6 } } \]

\[ v_{\text{orb}}\approx7.54\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

所以

\[ v_{\text{orb}}\approx7.54\ \text{km s}^{-1} \]

步骤 2：计算相同半径下的逃逸速率。

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}} \]

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{2}(7.54) \approx10.7\ \text{km s}^{-1} \]

步骤 3：求所需的速度增加量。

\[ \Delta v = v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}} \]

\[ \Delta v=10.7-7.54=3.12\ \text{km s}^{-1} \]

太空船需要一个理想化的瞬间速度增加量，约为

\[ \boxed{3.12\ \text{km s}^{-1}} \]

方向与运动方向相同。

重要的是，它不需要额外再增加 10.7 km/s。它本来就已经具有 7.54 km/s 的轨道速率。

05逃逸速度不是必须一直维持的速率

一个常见的预测是：正在逃逸的太空船在整段旅程中都必须维持高于 \(v_{\text{esc}}\) 的速率。

方程式并不是这样运作的。

逃逸速度是指物体在某个特定半径上所需的最低速率，而在此之后物体只受重力作用。发射之后，随著动能转化为重力位能，太空船会逐渐减速。

如果一开始恰好是逃逸速率，那么

\[ v\rightarrow0 \]

当

\[ r\rightarrow\infty \]

因此，太空船之后即使以低于原本逃逸速率的速度运动，仍然可以处于逃逸状态。

还有另一个细节。随著 \(r\) 增加，逃逸速率本身也会变小：

\[ v_{\text{esc}}\propto\frac{1}{\sqrt r} \]

因此，你应该始终把物体目前的速率与它在目前半径上的逃逸速率比较，而不是与起始位置的逃逸速率比较。

06如果物体的发射速率高于逃逸速度呢？

在恰好等于逃逸速度时，物体的总机械能为零。

如果

\[ v>v_{\text{esc}} \]

那么

\[ E>0 \]

物体会逃逸，而且即使到了极其遥远的地方，仍然保有动能。

如果它在无限远处的速率为 \(v_\infty\)，由能量守恒可得

\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv_\infty^2 \]

利用 \(v_{\text{esc}}^2=2GM/r\)，

\[ v^2=v_{\text{esc}}^2+v_\infty^2 \]

这个关系反过来使用也很有用。从很远处接近的陨石，在抵达行星表面之前，会受到行星重力作用而加速。

注意，你不能这样做：

\[ v=v_{\text{esc}}+v_\infty \]

这里的速率不能直接相加，因为控制这个过程的是能量关系，而能量取决于 \(v^2\)。

07方向重要吗？

假设两个探测器从相同半径开始，速率也完全相同，而且等于当地的逃逸速率。其中一个直接向外发射，另一个则沿侧向发射。

如果忽略碰撞、大气、其他天体，以及发射后的推进力，那么两者具有相同的总机械能：

\[ E=0 \]

因此，两者都正好处于束缚运动与非束缚运动的边界。

由于它们的方向不同，因此角动量也不同，所以它们的路径会不同。但是否能逃逸，是由总能量决定的。

因此可以得到一个很有用的判断规则：

「受束缚」不一定表示「直接掉回去」。在稳定椭圆轨道或圆形轨道上运行的卫星，其总机械能同样为负值。

08逃逸速度公式背后的假设

方程式

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

之所以很有用，是因为这个模型很简单。这也表示你需要知道它采用了哪些假设。

我们假设：

• 中心天体可以视为球对称，
• 它的质量 \(M\) 不会改变，
• 逃逸物体的质量远小于 \(M\)，
• 忽略其他天体的重力，
• 没有空气阻力，
• 给予初始速度之后，不再有任何推进力作用，而
• 机械能守恒。

在 HSC 计算题中，这些假设通常会隐含在题目叙述里，而不是明确写出来。

09问题与解答

问题 1

月球的质量为 \(7.35\times10^{22}\ \text{kg}\)，半径为 \(1.74\times10^6\ \text{m}\)。

计算从月球表面逃逸所需的速率。

解答 1

逃逸速率约为 \(2.38\ \text{km s}^{-1}\)。

使用

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

代入：

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{ \frac{ 2(6.67\times10^{-11})(7.35\times10^{22}) }{ 1.74\times10^6 } } \]

\[ v_{\text{esc}} \approx2.38\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

因此，

\[ v_{\text{esc}}\approx2.38\ \text{km s}^{-1} \]

月球的逃逸速率远低于地球，因为月球的质量小得多。

一个很容易犯的错误，是把月球表面以上的高度当成 \(r\)。在这个方程式中，\(r\) 必须从月球中心开始量度。

问题 2

一颗卫星绕质量为 \(M\) 的行星，在半径为 \(2R\) 的圆形轨道上运行。

推导下列各项的表示式：

a. 它的圆形轨道速率，

b. 该半径下的逃逸速率，以及

c. 如果速度增量沿运动方向施加，逃逸所需的最小瞬间速度增加量。

解答 2

所需的速度增加量为

\[ \Delta v=(\sqrt2-1)\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

对 a 部分，圆形轨道速率为

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

当 \(r=2R\) 时，

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

对 b 部分，

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

所以当 \(r=2R\) 时，

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

或者，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v_{\text{orb}} \]

对 c 部分，

\[ \Delta v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}} \]

所以

\[ \Delta v = \sqrt2\sqrt{\frac{GM}{2R}} - \sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

因此，

\[ \Delta v = (\sqrt2-1)\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

一个很诱人的错误做法，是认为太空船必须额外获得完整的逃逸速率。其实不需要。它原有的轨道动能已经是逃逸所需能量的一部分。

问题 3

一颗小行星从非常遥远的地方接近地球，速率为 \(4.00\ \text{km s}^{-1}\)。

忽略地球大气与其他天体的重力影响，计算小行星抵达地球表面时的速率。取地球表面的逃逸速率为 \(11.2\ \text{km s}^{-1}\)。

解释为什么直接把 \(4.00\ \text{km s}^{-1}\) 和 \(11.2\ \text{km s}^{-1}\) 相加是不正确的。

解答 3

小行星抵达地球表面时的速率约为 \(11.9\ \text{km s}^{-1}\)。

在非常遥远的地方，地球造成的重力位能近似为零。因此，小行星的比机械能，也就是每公斤所具有的能量，为

\[ \frac{1}{2}v_\infty^2 \]

在地球表面，

\[ \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R} = \frac{1}{2}v_\infty^2 \]

由于

\[ v_{\text{esc}}^2=\frac{2GM}{R} \]

可得

\[ v^2=v_\infty^2+v_{\text{esc}}^2 \]

以 \(\text{km s}^{-1}\) 为单位代入速率：

\[ v = \sqrt{(4.00)^2+(11.2)^2} \]

\[ v = \sqrt{16.0+125.44} = \sqrt{141.44} \]

\[ v\approx11.9\ \text{km s}^{-1} \]

这些速率不能直接相加，因为地球重力改变的是小行星的动能。动能取决于 \(v^2\)，因此由能量守恒得到的是速率平方的和。

一个很诱人的答案是

\[ 4.00+11.2=15.2\ \text{km s}^{-1}, \]

但这会让小行星具有远多于重力实际提供的能量。

问题 4

行星 A 和 B 的表面重力场强度 \(g\) 相同。行星 B 的半径是行星 A 的四倍。

a. 求比值 \(M_B/M_A\)。

b. 求它们表面逃逸速率的比值 \(v_{\text{esc},B}/v_{\text{esc},A}\)。

c. 一个抛射物从行星 B 表面垂直向上发射，其速率恰好等于行星 A 表面的逃逸速率。忽略大气与自转。求该抛射物距离行星 B 中心的最大距离，并以 \(R_B\) 的倍数表示。

解答 4

行星 B 的质量是行星 A 的 16 倍，逃逸速率是两倍，而抛射物能到达的最大距离为

\[ \frac{4}{3}R_B \]

即距离 B 的中心 \(\frac{4}{3}R_B\)。

对 a 部分，表面重力场强度为

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

两颗行星的 \(g\) 相同，所以

\[ \frac{GM_A}{R_A^2} = \frac{GM_B}{R_B^2} \]

已知

\[ R_B=4R_A, \]

因此

\[ \frac{M_B}{M_A} = \frac{R_B^2}{R_A^2} = 16 \]

对 b 部分，逃逸速率为

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

利用 \(GM=gR^2\)，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2gR} \]

由于两颗行星的 \(g\) 相同，

\[ \frac{v_{\text{esc},B}}{v_{\text{esc},A}} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt4 = 2 \]

所以，即使两颗行星的表面重力场强度相同，B 所需的表面逃逸速率仍然是 A 的两倍。

这是第一个陷阱：表面 \(g\) 相同并不表示逃逸速率相同。逃逸取决于整个重力位能井，而不只是某一个位置上每公斤所受的力。

对 c 部分，令从 B 发射时的速率为 \(v_A\)，其中

\[ v_A^2=2gR_A \]

抛射物每公斤的初始动能为

\[ \frac{1}{2}v_A^2=gR_A \]

行星 B 有

\[ R_B=4R_A \]

以及

\[ GM_B=gR_B^2 \]

抛射物在 B 表面的初始比机械能为

\[ \varepsilon = gR_A-\frac{GM_B}{R_B} \]

由于

\[ \frac{GM_B}{R_B}=gR_B=4gR_A, \]

所以

\[ \varepsilon=-3gR_A \]

在最大距离 \(r_{\max}\) 处，抛射物瞬间速率为零，因此

\[ \varepsilon=-\frac{GM_B}{r_{\max}} \]

所以

\[ -3gR_A = -\frac{gR_B^2}{r_{\max}} \]

利用 \(R_B=4R_A\)，

\[ 3gR_A = \frac{g(4R_A)^2}{r_{\max}} \]

\[ 3R_A=\frac{16R_A^2}{r_{\max}} \]

因此，

\[ r_{\max}=\frac{16}{3}R_A \]

由于 \(R_B=4R_A\)，

\[ r_{\max} = \frac{4}{3}R_B \]

所以抛射物只上升到比 B 表面高

\[ \frac{1}{3}R_B \]

的位置。

更深层的限制在于，表面重力场强度只描述当地的加速度。行星 B 的表面 \(g\) 虽然相同，但它的重力场延伸于一个大得多的长度尺度上。

问题 5

一艘太空船从行星表面沿径向向外发射。该行星的表面逃逸速率为 \(10.0\ \text{km s}^{-1}\)，而太空船的初始发射速率为 \(9.00\ \text{km s}^{-1}\)。

它的引擎之后可以提供一次大小恰好为 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 的瞬间速度增量，方向与其运动方向相同。

一名学生认为，太空船应该等到离行星很远之后才启动引擎，因为那时当地的逃逸速率会比较低。

a. 判断如果在行星表面立即启动引擎，太空船能否逃逸。

b. 在不使用引擎的情况下，求太空船能到达的最大半径，并以行星半径 \(R\) 的倍数表示。

c. 求仍可施加 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 引擎速度增量并使太空船成功逃逸的最大半径。

d. 评估这名学生的论点。

解答 5

只要足够早使用速度增量，太空船就能逃逸；但如果等得太久，同样的 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 速度增量就不足以逃逸。最迟可以使用速度增量的位置约为

\[ 1.99R \]

即距离行星中心 \(1.99R\)。

对 a 部分，如果在行星表面立即启动引擎，太空船启动后的速率为

\[ v=9.00+1.50=10.50\ \text{km s}^{-1} \]

当地逃逸速率是 \(10.0\ \text{km s}^{-1}\)，因此

\[ 10.50>10.0 \]

所以太空船可以逃逸。

对 b 部分，令表面逃逸速率为 \(V=10.0\ \text{km s}^{-1}\)。

由于

\[ V^2=\frac{2GM}{R}, \]

所以

\[ \frac{GM}{R}=\frac{V^2}{2} = 50.0\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

太空船的初始比机械能为

\[ \varepsilon = \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R} \]

\[ \varepsilon = \frac{1}{2}(9.00)^2-50.0 \]

\[ \varepsilon = 40.5-50.0 = -9.50\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

在最大半径处，速率为零，因此

\[ \varepsilon=-\frac{GM}{r_{\max}} \]

所以

\[ -9.50 = -\frac{50.0R}{r_{\max}} \]

因此

\[ r_{\max} = \frac{50.0}{9.50}R \]

\[ r_{\max}\approx5.26R \]

所以，太空船即使没有逃逸，也可以在惯性滑行下到达离表面相当遥远的位置。

对 c 部分，相对于逃逸所需的能量，太空船一开始每公斤还缺少

\[ 9.50\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

的比机械能。

假设启动引擎前的速率为 \(v\)。把它的速率增加

\[ \Delta v=1.50\ \text{km s}^{-1} \]

会使每公斤的动能增加

\[ \Delta\varepsilon = \frac{1}{2}(v+\Delta v)^2-\frac{1}{2}v^2 \]

展开：

\[ \Delta\varepsilon = v\Delta v+\frac{1}{2}(\Delta v)^2 \]

若太空船要刚好逃逸，

\[ v(1.50)+\frac{1}{2}(1.50)^2=9.50 \]

\[ 1.50v+1.125=9.50 \]

\[ v=5.58\ \text{km s}^{-1} \]

接著需要找出太空船在惯性滑行期间减速到这个速率时的位置。

在半径 \(r\) 处，

\[ \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}=-9.50 \]

使用 \(GM=50.0R\)，单位采用 \(\text{km}^2\text{s}^{-2}\)，

\[ \frac{1}{2}(5.58)^2-\frac{50.0R}{r}=-9.50 \]

\[ 15.6-\frac{50.0R}{r}=-9.50 \]

\[ \frac{50.0R}{r}=25.1 \]

因此，

\[ r\approx1.99R \]

所以，引擎必须在距离行星中心约 \(1.99R\) 或更近的位置启动。

对 d 部分，这名学生的论点忽略了一个重要的相互作用。

的确，随著半径增加，当地逃逸速率会降低。这一部分是正确的。

但太空船在向上爬升时也会减速。更重要的是，固定的速度增加量 \(\Delta v\) 所带来的动能增加为

\[ \Delta K = m\left(v\Delta v+\frac{1}{2}\Delta v^2\right) \]

因此，当太空船原本的速率较高时，同样的 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 速度增量会增加更多动能。

在行星表面，太空船以 \(9.00\ \text{km s}^{-1}\) 运动，因此启动引擎后很容易达到逃逸条件。如果它一直等到最大半径 \(5.26R\)，它的速率已经降到零。这时同样的速度增量只会让它达到 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\)，远低于该位置的当地逃逸速率。

那个看似合理的想法，只比较了不断变化的逃逸速率。它漏掉的限制，是太空船本身的速率也在改变，因此固定 \(\Delta v\) 所提供的能量也会随之改变。

10逃逸速度接下来连结到什么

逃逸速度本质上其实是一个以速度方程式形式呈现的能量结果。当你能熟练地在

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

以及

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}, \]

之间转换时，各种轨道问题就不再像是一堆彼此无关的公式。

它们其实是在同一个重力场中的不同能量状态：束缚运动具有负的总能量；逃逸边界的总能量为零；非束缚运动则具有正的总能量。这正是你在进一步学习圆形轨道、椭圆轨迹，以及太空船能量变化时，应该带著一起使用的重要连结。