HSC Physics के लिए मोटर-प्रभाव की दिशा के नियम समझें
जानें कि मोटर-प्रभाव के प्रश्नों में परंपरागत धारा, चुंबकीय क्षेत्र और बल की दिशाओं को कैसे जोड़ा जाता है। हल किए गए उदाहरणों और चुनौतीपूर्ण अभ्यास प्रश्नों से अपनी समझ मजबूत करें।
एक सीधा तार दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच रखा है। धारा दाईं ओर बह रही है, और चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर है। तार अचानक या तो आपकी ओर उछलता है या आपसे दूर।
आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए: वह किस दिशा में चलेगा?
यदि आपने “दायाँ” और “ऊपर” को मिलाकर कोई तिरछी दिशा निकाली, तो यही पहला जाल है। मोटर प्रभाव कुछ कम सहज तरीके से काम करता है। बल, धारा और चुंबकीय क्षेत्र-दोनों के लंबवत होता है। इस स्थिति में बल पृष्ठ से बाहर, आपकी ओर है।
यही पार्श्व संबंध विद्युत मोटरों को संभव बनाता है। जब आप धारा, चुंबकीय क्षेत्र और बल की दिशाओं को भरोसेमंद तरीके से जोड़ना सीख लेते हैं, तो मोटर-प्रभाव के प्रश्न केवल याददाश्त की परीक्षा नहीं रह जाते, बल्कि ज्यामिति के प्रश्न बन जाते हैं।
01वे तीन दिशाएँ जिन्हें आपको ध्यान में रखना है
चुंबकीय क्षेत्र में रखे एक सीधे धारा-वहन करने वाले चालक के लिए तीन दिशाएँ होती हैं:
| राशि | दिशा का अर्थ |
|---|---|
| धारा, \(I\) | परंपरागत धारा की दिशा |
| चुंबकीय क्षेत्र, \(\vec B\) | वह दिशा जिसमें एक उत्तर चुंबकीय ध्रुव को धकेला जाएगा |
| बल, \(\vec F\) | वह दिशा जिसमें चालक को धकेला जाता है |
महत्वपूर्ण संबंध है:
\[ \vec F = I\vec L \times \vec B \]
यहाँ, \(\vec L\) एक सदिश है जो परंपरागत धारा की दिशा में इंगित करता है, और जिसका परिमाण चुंबकीय क्षेत्र के भीतर स्थित चालक की लंबाई के बराबर होता है।
\(\times\) चिह्न सदिश क्रॉस गुणन को दर्शाता है। HSC Physics में इसका उपयोग करने के लिए आपको उन्नत सदिश बीजगणित की आवश्यकता नहीं है। इसका मुख्य संदेश है:
- बल धारा के लंबवत होता है,
- बल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है, और
- धारा या चुंबकीय क्षेत्र में से किसी एक की दिशा उलटने पर बल की दिशा भी उलट जाती है।
कोई नियम लगाने से पहले तीनों दिशाओं की कल्पना करें
कल्पना कीजिए कि पृष्ठ फर्श है।
धारा पूर्व दिशा में बहती है। चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा में है। बल उत्तर-पूर्व दिशा में नहीं हो सकता, क्योंकि उसे फर्श पर पहले से मौजूद दोनों दिशाओं के लंबवत होना चाहिए। इसलिए केवल दो संभावनाएँ बचती हैं: फर्श से सीधे ऊपर या उसके आर-पार सीधे नीचे।
दिशा-नियम बताता है कि इनमें से कौन-सी दिशा सही है।
यह मानसिक चित्र महत्वपूर्ण है। हाथ का नियम केवल दो संभावित लंबवत दिशाओं में से सही दिशा चुनने के लिए होना चाहिए, न कि जादुई ढंग से ऐसा उत्तर देने के लिए जिसकी आप कल्पना ही न कर सकें।
02पृष्ठ के भीतर और पृष्ठ से बाहर की दिशा पढ़ना
मोटर-प्रभाव के बहुत से प्रश्नों में ऐसी दिशा होती है जिसे पृष्ठ पर सामान्य तीर के रूप में नहीं बनाया जा सकता।
दो प्रतीक इस समस्या को हल करते हैं:
- \(\odot\) का अर्थ है पृष्ठ से बाहर, आपकी ओर।
- \(\otimes\) का अर्थ है पृष्ठ के भीतर, आपसे दूर।
कल्पना कीजिए कि कोई वास्तविक तीर पृष्ठ के आर-पार उड़ रहा है।
यदि तीर आपकी ओर आ रहा है, तो आपको उसकी नुकीली नोक दिखाई देती है: एक बिंदु।
यदि तीर आपसे दूर जा रहा है, तो आपको उसके पीछे के क्रॉस-जैसे पंख दिखाई देते हैं: एक क्रॉस।
यह उपमा केवल प्रतीकों को याद रखने के लिए है। वास्तव में कोई तीर तार के आर-पार नहीं चल रहा होता।
03दिशा निर्धारित करने की एक भरोसेमंद विधि
आपको Fleming का बाएँ हाथ का नियम पढ़ाया गया हो सकता है। वह काम करता है। दाएँ हाथ का क्रॉस-प्रोडक्ट नियम भी काम करता है। महत्वपूर्ण बात यह है कि आप किसी एक प्रणाली का लगातार सही उपयोग करें।
क्रॉस-प्रोडक्ट वाले तरीके के लिए:
- अपने दाएँ हाथ की तर्जनी को परंपरागत धारा की दिशा में रखें।
- अपनी मध्यमा को चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में रखें।
- आपका अंगूठा बल की दिशा बताता है।
क्रम महत्वपूर्ण है। यह धारा क्रॉस क्षेत्र है:
\[ \vec F \propto \vec I \times \vec B \]
क्रम बदलने पर विपरीत दिशा मिलती है।
Fleming के बाएँ हाथ के नियम में सामान्य संबंध है:
| उंगली | राशि |
|---|---|
| पहली उंगली | चुंबकीय क्षेत्र |
| दूसरी उंगली | धारा |
| अंगूठा | गति या बल |
किसी गणना में आपको इनमें से केवल एक नियम की आवश्यकता है। एक नियम का आधा हिस्सा और दूसरे नियम का आधा हिस्सा मिलाकर उपयोग करना लगभग हर दिशा को उल्टा पाने का आश्चर्यजनक रूप से प्रभावी तरीका है।
दिशा उलटने की एक उपयोगी जाँच
मान लीजिए कि आपको मूल बल की दिशा पहले से पता है।
तब अक्सर आपको हाथ का नियम दोबारा लगाने की आवश्यकता नहीं होती।
| परिवर्तन | बल पर क्या प्रभाव पड़ता है? |
|---|---|
| केवल धारा की दिशा उलटें | बल की दिशा उलट जाती है |
| केवल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उलटें | बल की दिशा उलट जाती है |
| दोनों की दिशा उलटें | बल की दिशा वही रहती है |
| धारा को क्षेत्र के समानांतर कर दें | बल शून्य हो जाता है |
तीसरी पंक्ति विशेष रूप से उपयोगी है। दो बार दिशा उलटने का प्रभाव आपस में रद्द हो जाता है।
04तार पर बल लगता ही क्यों है?
धारा का अर्थ है कि विद्युत आवेश चालक के भीतर गति कर रहा है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल लगता है:
\[ \vec F = q\vec v \times \vec B \]
जहाँ \(q\) आवेश है, \(\vec v\) उसका वेग है, और \(\vec B\) चुंबकीय क्षेत्र है।
धारा-वहन करने वाले तार में यह सूक्ष्म चुंबकीय अंतःक्रिया पूरे चालक पर बल उत्पन्न करती है। जब हम व्यक्तिगत गतिमान आवेशों से बढ़कर तार के एक सीधे हिस्से पर विचार करते हैं, तो बल का परिमाण हो जाता है
\[ F = BIL\sin\theta \]
जहाँ:
- \(F\) न्यूटन, N, में चुंबकीय बल है,
- \(B\) टेस्ला, T, में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
- \(I\) एम्पियर, A, में परंपरागत धारा है,
- \(L\) मीटर, m, में चुंबकीय क्षेत्र के भीतर स्थित चालक की लंबाई है, और
- \(\theta\) धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
ध्यान दें कि इस समीकरण में क्या नहीं है: यह सीधे नहीं बताता कि बल बाएँ, दाएँ, पृष्ठ के भीतर या पृष्ठ से बाहर है। समीकरण परिमाण देता है। दिशा-नियम दिशा देता है।
आमतौर पर आपको दोनों की आवश्यकता होती है।
05कोण बताता है कि धारा की दिशा का कितना भाग प्रभावी है
मान लीजिए कि किसी तार में धारा ठीक चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में बह रही है।
समीकरण लगाने से पहले बल का अनुमान लगाइए।
तार पर कोई चुंबकीय बल नहीं होगा।
शुरुआत में यह अजीब लग सकता है क्योंकि \(B\) और \(I\), दोनों बड़े हो सकते हैं। लेकिन
\[ F = BIL\sin 0^\circ = 0 \]
चुंबकीय क्षेत्र यह मोटर-प्रभाव बल केवल चालक के उस घटक के कारण उत्पन्न करता है जो क्षेत्र के लंबवत है।
\(90^\circ\) पर,
\[ \sin 90^\circ = 1 \]
इसलिए बल अधिकतम होता है:
\[ F_{\text{max}} = BIL \]
किसी मध्यवर्ती कोण पर ज्यामिति का केवल एक भाग योगदान देता है।
इससे आपको गणना से पहले एक उपयोगी जाँच मिलती है। यदि आपका तार क्षेत्र के लगभग समानांतर है, तो बल छोटा होना चाहिए। यदि वह लंबवत है, तो \(B\), \(I\), और \(L\) के दिए गए मानों के लिए बल जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण: एक लंबवत तार
तार का \(0.40\text{ m}\) लंबा भाग दाईं ओर \(3.0\text{ A}\) की परंपरागत धारा वहन करता है और \(0.25\text{ T}\) के समान चुंबकीय क्षेत्र से होकर गुजरता है, जिसकी दिशा ऊपर की ओर है। चुंबकीय बल का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।
चरण 1
धारा दाईं ओर है और चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर है, इसलिए
\[ \theta = 90^\circ \]
चरण 2
\[ \begin{aligned} F &= BIL\sin\theta\\ &=(0.25)(3.0)(0.40)\sin 90^\circ\\ &=0.30\text{ N} \end{aligned} \]
चरण 3
धारा दाईं ओर है। क्षेत्र ऊपर की ओर है।
\(\vec I\times\vec B\) का उपयोग करने पर बल पृष्ठ से बाहर की ओर है।
इसलिए चालक पर \(0.30\text{ N}\) का बल पृष्ठ से बाहर की ओर लगता है।
संख्या हमें बताती है कि तार को कितने जोर से धकेला जाता है। दिशा-नियम हमें बताता है कि वह किस ओर जाता है।
06सबसे लुभावनी गलती: इलेक्ट्रॉन प्रवाह को धारा की दिशा मान लेना
धातु के तार में इलेक्ट्रॉन परंपरागत धारा की विपरीत दिशा में ड्रिफ्ट करते हैं।
इसलिए मान लीजिए कि परंपरागत धारा दाईं ओर है। इलेक्ट्रॉन बाईं ओर ड्रिफ्ट करते हैं।
कोई विद्यार्थी तर्क दे सकता है:
“आवेश वास्तव में बाईं ओर चलते हैं, इसलिए हाथ के नियम में मुझे बाईं दिशा लेनी चाहिए।”
यदि नियम परंपरागत धारा के आधार पर परिभाषित है, तो इससे गलत उत्तर मिलेगा।
परंपरागत-धारा वाला तरीका फिर भी सही क्यों काम करता है, इसका एक साफ कारण है।
किसी व्यक्तिगत आवेश के लिए,
\[ \vec F=q\vec v\times\vec B \]
एक इलेक्ट्रॉन में किसी धनात्मक परंपरागत आवेश की तुलना में दो अंतर होते हैं:
- उसका वेग परंपरागत धारा की विपरीत दिशा में होता है, और
- उसका आवेश \(q\) ऋणात्मक होता है।
ये दो दिशा-उलटाव हैं। वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि परंपरागत धारा दाईं ओर है और चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर है। धारा-नियम बल को पृष्ठ से बाहर बताता है।
इसके बजाय एक इलेक्ट्रॉन बाईं ओर चलता है। इसलिए सदिश \(\vec v\times\vec B\) पृष्ठ के भीतर की ओर इंगित करता है। लेकिन \(q\) ऋणात्मक है, इसलिए बल की दिशा फिर उलट जाती है और पृष्ठ से बाहर की ओर हो जाती है।
भौतिक उत्तर वही रहता है।
इसलिए तार से जुड़े मोटर-प्रभाव के प्रश्नों में परंपरागत धारा का उपयोग करें, जब तक कि प्रश्न आपसे विशेष रूप से व्यक्तिगत आवेश वाहकों का विश्लेषण करने के लिए न कहे।
07चुंबकीय क्षेत्र की दिशा भी गलतियों का एक आम स्रोत है
चुंबक के ध्रुवों के बीच बाहरी चुंबकीय क्षेत्र उत्तर से दक्षिण की ओर होता है।
इसलिए यदि उत्तर ध्रुव को दक्षिण ध्रुव के ऊपर बनाया गया है, तो उनके बीच चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर होगा।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा इस आधार पर तय न करें कि आपको लगता है तार को “किस ओर चलना चाहिए”। पहले क्षेत्र की दिशा ज्ञात करें, फिर उसका उपयोग बल की दिशा निर्धारित करने में करें।
एक साफ क्रम है:
- परंपरागत धारा को चिह्नित करें,
- चुंबकीय क्षेत्र को चिह्नित करें,
- बल निर्धारित करें।
यह क्रम किसी एक अनुमानित दिशा को अगली दिशा के निर्धारण को प्रभावित करने से रोकता है।
हल किया हुआ उदाहरण: चालक एक कोण पर है
एक \(0.55\text{ m}\) चालक में \(4.2\text{ A}\) की धारा बहती है। वह पृष्ठ के तल में ऐसे स्थित है कि दाईं ओर इंगित करने वाले चुंबकीय क्षेत्र से \(30^\circ\) ऊपर है। क्षेत्र की तीव्रता \(0.80\text{ T}\) है। चालक पर लगने वाला बल निर्धारित कीजिए।
चरण 1
चालक, और इसलिए परंपरागत धारा, क्षेत्र की दिशा से \(30^\circ\) ऊपर है।
अतः
\[ \theta=30^\circ \]
चरण 2
\[ \begin{aligned} F&=BIL\sin\theta\\ &=(0.80)(4.2)(0.55)\sin30^\circ\\ &=0.924\text{ N} \end{aligned} \]
दो सार्थक अंकों तक,
\[ F=0.92\text{ N} \]
चरण 3
धारा का एक घटक ऊपर की ओर है, जबकि चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर है।
\(\vec I\times\vec B\) का उपयोग करने पर ऊपर की ओर धारा को दाईं ओर के चुंबकीय क्षेत्र के साथ क्रॉस करने से बल पृष्ठ के भीतर की ओर मिलता है।
इसलिए बल \(0.92\text{ N}\) पृष्ठ के भीतर की ओर है।
महत्वपूर्ण बात यह है कि पूरी \(0.55\text{ m}\) लंबाई ने ऐसे योगदान नहीं दिया जैसे वह क्षेत्र के लंबवत हो। \(\sin30^\circ\) गुणक चालक के कोण को ध्यान में रखता है।
08दिशा वाले उत्तर की तेज़ जाँच कैसे करें
हाथ के नियम उपयोगी हैं, लेकिन फिर भी आपको अपने परिणाम की जाँच करनी चाहिए।
तीन जाँचें अधिकांश गलतियाँ पकड़ लेती हैं।
जाँचें कि बल लंबवत है या नहीं
शून्य से अलग मोटर-प्रभाव बल धारा या चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में नहीं हो सकता।
यदि धारा और क्षेत्र दोनों पृष्ठ के तल में बनाए गए हैं, तो बल या तो पृष्ठ के भीतर या पृष्ठ से बाहर होना चाहिए।
यदि आपका उत्तर “बाएँ” है, तो कहीं न कहीं गलती हुई है।
किसी एक राशि की दिशा मन में उलटें
यदि आप धारा की दिशा उलटते हैं, तो आपके बल की दिशा भी उलटनी चाहिए।
यदि ऐसा नहीं होता, तो दिशा-नियम गलत तरीके से लगाया गया है।
दोनों राशियों की दिशा मन में उलटें
यदि धारा और चुंबकीय क्षेत्र दोनों की दिशाएँ उलट दी जाएँ, तो बल को अपनी मूल दिशा में लौट आना चाहिए:
\[ (-\vec I)\times(-\vec B)=\vec I\times\vec B \]
कम्यूटेटर वाले मोटर प्रश्नों में यह बहुत उपयोगी जाँच है, क्योंकि धारा की दिशा बदल सकती है और साथ ही ज्यामिति भी बदल रही होती है।
09बल की दिशा आपको पूरी गति नहीं बताती
जब आप एकल तार से कुंडली पर जाते हैं, तो एक और अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है।
कुंडली की दो भुजाओं पर बराबर परिमाण के बल विपरीत दिशाओं में लग सकते हैं। इसका यह अर्थ जरूरी नहीं कि “कुछ नहीं होगा”।
यदि वे बल अलग-अलग स्थानों पर लगते हैं, तो वे घूर्णन प्रभाव, या टॉर्क, पैदा कर सकते हैं।
दरवाज़ा खोलने के बारे में सोचिए। विपरीत दिशाओं में दो बराबर धक्के यदि एक ही बिंदु पर लगें तो वे रद्द हो सकते हैं। लेकिन उन्हें किसी वस्तु के विपरीत किनारों पर लगाएँ, तो वे उसे घुमा सकते हैं।
यह उपमा एक सीमा पर टूट जाती है, क्योंकि धारा-लूप वास्तव में ऐसा दरवाज़ा नहीं है जिसे लोग धक्का दे रहे हों। उपयोगी विचार केवल इतना है कि यह तय करते समय कि कोई वस्तु घूमेगी या नहीं, बल और उसका स्थान दोनों महत्वपूर्ण हैं।
यही एक चालक पर मोटर प्रभाव से विद्युत मोटर के संचालन तक का सेतु है।
10प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक \(0.24\text{ m}\) तार \(2.5\text{ A}\) की परंपरागत धारा ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर वहन करता है और \(0.40\text{ T}\) के समान चुंबकीय क्षेत्र से होकर गुजरता है, जिसकी दिशा पृष्ठ के भीतर है।
तार पर लगने वाले चुंबकीय बल का परिमाण और दिशा निर्धारित कीजिए।
समाधान 1
बल \(0.24\text{ N}\) बाईं ओर है।
धारा चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए \(\theta=90^\circ\)।
\[ \begin{aligned} F&=BIL\sin\theta\\ &=(0.40)(2.5)(0.24)\sin90^\circ\\ &=0.24\text{ N} \end{aligned} \]
दिशा के लिए, परंपरागत धारा को ऊपर की ओर और चुंबकीय क्षेत्र को पृष्ठ के भीतर की ओर लें।
\(\vec I\times\vec B\) का उपयोग करने पर बल बाईं ओर इंगित करता है।
एक लुभावनी गलती यह मान लेना है कि “पृष्ठ के भीतर” जाने वाला क्षेत्र बल को भी और अधिक पृष्ठ के भीतर ही उत्पन्न करेगा। ऐसा नहीं हो सकता: चुंबकीय बल को क्षेत्र के लंबवत होना चाहिए।
प्रश्न 2
एक \(0.50\text{ m}\) चालक में \(3.0\text{ A}\) की धारा क्षैतिज से \(35^\circ\) ऊपर की दिशा में बहती है। \(1.2\text{ T}\) का समान चुंबकीय क्षेत्र क्षैतिज रूप से दाईं ओर है।
चालक पर लगने वाले चुंबकीय बल की गणना कीजिए। उसका परिमाण और दिशा दोनों बताइए।
फिर बाकी सब कुछ अपरिवर्तित रखते हुए धारा की दिशा उलट दी जाती है। नया बल बताइए।
समाधान 2
प्रारंभिक बल \(1.0\text{ N}\) पृष्ठ के भीतर की ओर है। धारा उलटने के बाद यह \(1.0\text{ N}\) पृष्ठ से बाहर की ओर हो जाता है।
धारा और क्षेत्र के बीच का कोण \(35^\circ\) है, इसलिए
\[ \begin{aligned} F&=BIL\sin\theta\\ &=(1.2)(3.0)(0.50)\sin35^\circ\\ &\approx1.03\text{ N} \end{aligned} \]
दो सार्थक अंकों तक,
\[ F=1.0\text{ N} \]
प्रारंभिक दिशा के लिए, धारा का एक ऊपर की ओर घटक है जबकि चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर है। इसलिए \(\vec I\times\vec B\) पृष्ठ के भीतर की ओर इंगित करता है।
धारा उलटने पर \(\vec I\), \(-\vec I\) हो जाता है:
\[ (-\vec I)\times\vec B=-(\vec I\times\vec B) \]
इसलिए बल की दिशा उलट जाती है, लेकिन उसका परिमाण वही रहता है।
लुभावना तरीका \(BIL\) का पूरा मान \(1.8\text{ N}\) इस्तेमाल करना है। यह केवल तभी सही होता जब चालक क्षेत्र के लंबवत होता। \(35^\circ\) का कोण बल को कम कर देता है।
प्रश्न 3
एक क्षैतिज ताँबे का तार दाईं ओर परंपरागत धारा वहन करता है और एक ऐसे चुंबकीय क्षेत्र से होकर गुजरता है जिसकी दिशा ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर है।
एक विद्यार्थी कहता है:
“ताँबे में इलेक्ट्रॉन बाईं ओर ड्रिफ्ट करते हैं, इसलिए चुंबकीय बल पृष्ठ के भीतर की ओर होना चाहिए, यानी परंपरागत-धारा के नियम से मिलने वाली दिशा के विपरीत।”
वास्तविक बल की दिशा निर्धारित कीजिए। फिर \(\vec F=q\vec v\times\vec B\) का उपयोग करके समझाइए कि इलेक्ट्रॉनों का सीधे विश्लेषण करने पर भी वही उत्तर क्यों मिलता है।
अंत में, मान लीजिए कि किसी काल्पनिक चालक में धनात्मक गतिशील आवेश वाहक हों लेकिन परंपरागत धारा वही हो। क्या बल की दिशा बदलेगी?
समाधान 3
तार पर बल पृष्ठ से बाहर की ओर लगता है, और इलेक्ट्रॉनों का सीधे विश्लेषण करने पर बिल्कुल वही दिशा मिलती है। समान परंपरागत धारा ले जाने वाले धनात्मक आवेश वाहक भी पृष्ठ से बाहर की ओर बल उत्पन्न करेंगे।
पहले परंपरागत धारा का उपयोग करें:
- धारा दाईं ओर है,
- चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर है,
- \(\vec I\times\vec B\) पृष्ठ से बाहर की ओर है।
अब एक इलेक्ट्रॉन पर विचार करें।
उसका ड्रिफ्ट वेग बाईं ओर है, यानी परंपरागत धारा की विपरीत दिशा में। इसलिए
\[ \vec v\times\vec B \]
पृष्ठ के भीतर की ओर इंगित करता है।
लेकिन इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक है, \(q=-e\)। ऋणात्मक \(q\) से गुणा करने पर वह दिशा उलट जाती है:
\[ \vec F=q\vec v\times\vec B \]
इसलिए इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल पृष्ठ से बाहर की ओर है।
दो दिशा-उलटाव हैं: विपरीत वेग और ऋणात्मक आवेश। वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
यदि गतिशील वाहक धनात्मक होते, तो वे परंपरागत धारा की दिशा में, यानी दाईं ओर, चलते। उनका धनात्मक \(q\) कोई अतिरिक्त दिशा-उलटाव नहीं करता, इसलिए उनका बल भी पृष्ठ से बाहर की ओर होता।
लुभावनी गलती यह है कि परंपरागत धारा को इलेक्ट्रॉन के वेग से बदल दिया जाए, लेकिन यह भूल जाएँ कि आवेश ऋणात्मक है। \(q\vec v\times\vec B\) के केवल एक भाग को बदलने से गलत परिणाम मिलता है।
प्रश्न 4
मनमाने ढंग से मुड़ा हुआ एक तार पूरी तरह पृष्ठ के तल में स्थित है। इसमें \(2.0\text{ A}\) की धारा बिंदु \(A\) से बिंदु \(B\) की ओर बहती है।
\(A\) के सापेक्ष, बिंदु \(B\), \(0.30\text{ m}\) दाईं ओर और \(0.40\text{ m}\) ऊपर है। पूरा तार \(0.50\text{ T}\) के समान चुंबकीय क्षेत्र में है जिसकी दिशा पृष्ठ के भीतर है।
एक विद्यार्थी तर्क देता है कि तार को अधिक टेढ़ा-मेढ़ा बनाने से कुल चुंबकीय बल बढ़ना चाहिए, क्योंकि तब चुंबकीय क्षेत्र के भीतर तार की अधिक लंबाई होगी।
तार पर कुल चुंबकीय बल, उसकी दिशा सहित, निर्धारित कीजिए और विद्यार्थी के दावे का आकलन कीजिए।
मान लें कि पूरा तार समान चुंबकीय क्षेत्र में है।
समाधान 4
कुल बल \(0.50\text{ N}\) है, जिसमें \(0.40\text{ N}\) बाईं ओर और \(0.30\text{ N}\) ऊपर की ओर है। जब तक सिरों के स्थान, धारा और समान चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं, पथ को अधिक टेढ़ा-मेढ़ा बनाने से कुल बल नहीं बदलता।
किसी छोटे सीधे खंड के लिए,
\[ \Delta\vec F=I\,\Delta\vec L\times\vec B \]
सभी खंडों पर लगने वाले बलों को जोड़ने पर मिलता है
\[ \vec F =I\left(\sum\Delta\vec L\right)\times\vec B \]
तार के हर छोटे विस्थापन का सदिश योग केवल \(A\) से \(B\) तक का विस्थापन है:
\[ \sum\Delta\vec L = (0.30\hat{\mathbf i}+0.40\hat{\mathbf j})\text{ m} \]
क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है। क्योंकि \(A\)-से-\(B\) तक का पूरा विस्थापन क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए उसका परिमाण है
\[ L_{\text{effective}} = \sqrt{0.30^2+0.40^2} = 0.50\text{ m} \]
अतः
\[ \begin{aligned} F &=BIL_{\text{effective}}\\ &=(0.50)(2.0)(0.50)\\ &=0.50\text{ N} \end{aligned} \]
घटकों के लिए, कुल विस्थापन के दो भागों पर विचार करें।
\(0.30\text{ m}\) की दाईं ओर धारा-दिशा को पृष्ठ के भीतर वाले क्षेत्र के साथ क्रॉस करने पर ऊपर की ओर बल मिलता है:
\[ F_y=(2.0)(0.50)(0.30)=0.30\text{ N} \]
\(0.40\text{ m}\) की ऊपर की ओर धारा-दिशा को पृष्ठ के भीतर वाले क्षेत्र के साथ क्रॉस करने पर बाईं ओर बल मिलता है:
\[ F_x=(2.0)(0.50)(0.40)=0.40\text{ N} \]
इसलिए परिणामी बल का परिमाण है
\[ \sqrt{0.40^2+0.30^2}=0.50\text{ N} \]
और उसकी दिशा ऊपर तथा बाईं ओर है।
विद्यार्थी का तर्क लुभावना है क्योंकि हर छोटा खंड वास्तव में अपना चुंबकीय बल अनुभव करता है। लेकिन वे बल अलग-अलग दिशाओं में होते हैं। तार को मोड़कर बढ़ाई गई अतिरिक्त लंबाई केवल एक दिशा में अधिक बल के रूप में नहीं जुड़ती।
निर्णायक शर्त यह है कि क्षेत्र समान हो। इस शर्त के अंतर्गत, सदिश योगदान तार के पूरे पथ की दूरी के अनुसार नहीं, बल्कि उसके सिरों के बीच के कुल विस्थापन के अनुसार जुड़ते हैं।
प्रश्न 5
एक आयताकार धारा-लूप पृष्ठ के तल में स्थित है और एक समान चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर निर्देशित है।
आपकी ओर से देखने पर धारा दक्षिणावर्त है।
लूप की क्षैतिज भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई \(0.30\text{ m}\) है। ऊर्ध्वाधर भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई \(0.20\text{ m}\) है। धारा \(2.5\text{ A}\) है और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता \(0.60\text{ T}\) है।
लूप अपने केंद्र से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर धुरी के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है।
निर्धारित कीजिए:
(a) प्रारंभिक स्थिति में चारों भुजाओं में से प्रत्येक पर चुंबकीय बल,
(b) पूरे लूप पर कुल चुंबकीय बल,
(c) क्या कुल बल शून्य होने के बावजूद लूप घूमना शुरू कर सकता है, और
(d) क्या बिना कम्यूटेटर वाली स्थिर दिष्ट धारा लूप को बार-बार पूरे चक्कर लगाते हुए उसी घूर्णन दिशा में लगातार कोणीय त्वरण देती रहेगी।
भाग (d) का निर्णय करने वाली शर्त समझाइए।
समाधान 5
क्षैतिज भुजाओं पर शून्य बल लगता है, बाईं और दाईं ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर प्रत्येक \(0.30\text{ N}\) के बराबर लेकिन पृष्ठ के भीतर और पृष्ठ से बाहर की विपरीत दिशाओं में बल लगते हैं, लूप पर कुल बल शून्य है, लेकिन प्रारंभ में लूप पर घूर्णन प्रभाव होता है। यदि कम्यूटेटर या किसी अन्य स्विचिंग तंत्र द्वारा धारा की दिशा न उलटी जाए, तो बार-बार पूरे चक्कर के दौरान उसे उसी घूर्णन दिशा में लगातार टॉर्क नहीं मिलता रहेगा।
भाग (a) के लिए, ऊपरी भुजा में धारा दाईं ओर है क्योंकि धारा दक्षिणावर्त है। चुंबकीय क्षेत्र भी दाईं ओर है।
अतः
\[ \theta=0^\circ \]
और
\[ F=BIL\sin0^\circ=0 \]
निचली भुजा में धारा बाईं ओर है, यानी क्षेत्र की विपरीत दिशा में। यहाँ,
\[ \theta=180^\circ \]
इसलिए फिर,
\[ F=BIL\sin180^\circ=0 \]
अब ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर विचार करें।
दक्षिणावर्त धारा का अर्थ है कि दाईं भुजा में धारा नीचे की ओर बहती है। उसके बल का परिमाण है
\[ \begin{aligned} F&=BIL\\ &=(0.60)(2.5)(0.20)\\ &=0.30\text{ N} \end{aligned} \]
नीचे की ओर धारा को दाईं ओर के क्षेत्र के साथ क्रॉस करने पर बल पृष्ठ से बाहर की ओर मिलता है।
बाईं भुजा में धारा ऊपर की ओर बहती है, जिससे विपरीत बल दिशा मिलती है: पृष्ठ के भीतर।
अतः:
- ऊपरी भुजा: \(0\text{ N}\),
- निचली भुजा: \(0\text{ N}\),
- दाईं भुजा: \(0.30\text{ N}\) पृष्ठ से बाहर,
- बाईं भुजा: \(0.30\text{ N}\) पृष्ठ के भीतर।
भाग (b) के लिए, दोनों अशून्य बल बराबर और विपरीत हैं, इसलिए
\[ \vec F_{\text{net}}=0 \]
इसलिए द्रव्यमान केंद्र पर कोई कुल स्थानांतरणकारी चुंबकीय बल नहीं है।
भाग (c) के लिए, शून्य कुल बल का अर्थ शून्य घूर्णन प्रभाव नहीं है।
दोनों \(0.30\text{ N}\) बल लूप की विपरीत भुजाओं पर लगते हैं। क्योंकि उनकी क्रिया-रेखाएँ अलग-अलग हैं, वे एक बल-युग्म बनाते हैं। एक भुजा आपकी ओर धकेली जाती है जबकि दूसरी आपसे दूर, इसलिए लूप अपनी ऊर्ध्वाधर धुरी के चारों ओर घूमना शुरू करता है।
लुभावना तर्क है:
“बराबर और विपरीत बल रद्द हो जाते हैं, इसलिए कुछ नहीं चलेगा।”
स्थानांतरण के लिए वे वास्तव में रद्द हो जाते हैं। लेकिन केंद्र के चारों ओर उनके घूर्णन प्रभाव रद्द नहीं होते।
भाग (d) के लिए, यदि धारा की दिशा कभी नहीं बदली जाती, तो लूप को अनिश्चित काल तक उसी घूर्णन दिशा में टॉर्क मिलता नहीं रह सकता।
जैसे-जैसे लूप घूमता है, लूप और चुंबकीय क्षेत्र के बीच की ज्यामिति बदलती है। अंततः वह ऐसी अभिविन्यास पर पहुँचता है जहाँ चुंबकीय टॉर्क शून्य हो जाता है। यदि जड़त्व लूप को उस स्थिति से आगे ले जाता है, तो चुंबकीय टॉर्क की दिशा बदल जाती है और वह लूप को वापस घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
यही मुख्य शर्त है: मोटर-प्रभाव बल केवल इस बात पर निर्भर नहीं करता कि धारा किस दिशा में बह रही है, बल्कि इस बात पर भी निर्भर करता है कि चुंबकीय क्षेत्र के सापेक्ष प्रत्येक चालक की अभिविन्यास कैसे बदल रही है।
एक सरल DC मोटर उपयोगी टॉर्क की इस दिशा-उलटाव से बचने के लिए स्प्लिट-रिंग कम्यूटेटर की सहायता से हर आधे चक्कर पर कुंडली में धारा की दिशा उलट देती है। धारा को उलटने से उचित क्षण पर चुंबकीय बलों की दिशा उलट जाती है, जिससे घूर्णन प्रभाव उसी घूर्णन दिशा में जारी रह सकता है।
दिशा-नियमों के बाद अगला चरण यही है: जब आप कुंडली की प्रत्येक भुजा के लिए \(\vec I\times\vec B\) निर्धारित कर सकते हैं, तब आप कुंडली पर लगने वाला टॉर्क निकाल सकते हैं और फिर ठीक-ठीक समझ सकते हैं कि DC मोटर में कम्यूटेटर की आवश्यकता क्यों होती है।