HSC Physics 圆形轨道中的总能量

卫星在较高的圆形轨道上运行时，速度会比靠近地球的卫星更慢。所以问题来了：如果你想把卫星提升到更高的轨道，既然它最后的速度较低，是否应该移除能量？

不是。你必须加入能量。

只要同时考虑卫星机械能的两个部分，这看似矛盾的情况就能理解。随著轨道变大，卫星的动能会减少，但它的重力位能增加得更多。因此得到圆形轨道的能量方程

\[ E=-\frac{GMm}{2r}. \]

负号、系数 \(2\)，以及对 \(r\) 的依赖，全都来自同一套物理原理。

01从两种能量开始

对于一颗质量为 \(m\) 的卫星，绕著质量大得多的天体 \(M\) 运行，其总机械能为

\[ E=K+U, \]

其中 \(K\) 是动能，而 \(U\) 是重力位能。

动能的公式很熟悉：

\[ K=\frac{1}{2}mv^2, \]

其中 \(v\) 是卫星的速率。

对于重力，我们选择在两个物体相距无限远时，把重力位能定义为零。当两者相距 \(r\) 时，

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

其中：

• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是万有引力常数
• \(M\) 是中心天体的质量，单位为公斤
• \(m\) 是卫星的质量，单位为公斤
• \(r\) 是两个天体中心之间的距离，单位为米。

负号并不表示卫星内部储存了某种不可能存在的负能量。它来自我们把无限远处定义为 \(U=0\) 的选择。靠近行星的卫星，其重力位能低于它在无限远处时的重力位能，因此 \(U<0\)。

如果你需要复习这个概念，请参阅 HSC Physics 径向场中的重力位能。

02为什么圆周运动会决定动能

想像一颗卫星已经在完美的圆形轨道上运行。重力是作用在它身上的唯一力。

在继续之前先预测一下：如果轨道半径固定，卫星的速率可以任意选择吗？

不可以。对于某一个半径，只有一个速率能形成圆形轨道。

重力必须恰好提供让卫星沿圆周运动所需的向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

约去 \(m\)，再乘以 \(r\)：

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

因此

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

这就是为什么较高的圆形轨道具有较低的轨道速率。当 \(r\) 增加时，\(GM/r\) 会变小。

完整推导可参阅 HSC Physics 轨道速度：推导与计算。

现在把圆形轨道条件 \(v^2=GM/r\) 代入动能：

\[ K=\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r}\right) =\frac{GMm}{2r}. \]

这个结果是关键。

对于圆形轨道，

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

而

\[ U=-\frac{GMm}{r}. \]

位能为负，而且其大小是动能的两倍：

\[ U=-2K. \]

因此，

\[ E=K+U =\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r} =-\frac{GMm}{2r}. \]

所以，圆形轨道的总机械能为

\[ \boxed{E=-\frac{GMm}{2r}}. \]

方框本身并不重要。真正重要的是它背后的各种关系。

请注意，对负数而言，「增加」表示变得没那么负。例如，\(-2\ \text{J}\) 大于 \(-10\ \text{J}\)。

03为什么较高的轨道具有更多总能量

假设一颗卫星从半径为 \(r\) 的圆形轨道移到另一条半径为 \(2r\) 的圆形轨道。

起初，

\[ E_1=-\frac{GMm}{2r}. \]

最后，

\[ E_2=-\frac{GMm}{2(2r)} =-\frac{GMm}{4r}. \]

哪一个较大？

\[ -\frac{GMm}{4r}>-\frac{GMm}{2r}. \]

较高的轨道具有更多总机械能，即使卫星在那里运行得更慢。

最容易理解的方法，是把零能量想像成海平面。数值 \(-100\ \text{m}\) 和 \(-20\ \text{m}\) 都低于海平面，但 \(-20\ \text{m}\) 比较高。不过这个类比不能推得太远：能量并不是真的高度。它只是帮助我们理解负值。

更深层的原因在于 \(K\) 和 \(U\) 的相对变化。对于圆形轨道，

\[ U=-2K. \]

当卫星向外移动时，\(K\) 下降，但 \(U\) 上升的幅度在大小上是前者的两倍。因此，\(U\) 的增加占了上风。

04负的总能量实际上告诉你什么

受到束缚的卫星没有足够的机械能，可以到达无限远处后仍保有任何动能。

在无限远处，

\[ U\rightarrow0. \]

如果一个物体刚好勉强能逃逸，那么当 \(r\rightarrow\infty\) 时，它的速率也会趋近于零，因此

\[ K\rightarrow0. \]

所以，束缚运动与非束缚运动之间的分界为

\[ E=0. \]

因此，一般来说：

• \(E<0\)：受到重力束缚
• \(E=0\)：恰好位于逃逸的临界状态
• \(E>0\)：不受束缚。

这里有一个重要限制。方程

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

中的 \(r\) 是圆形轨道的固定半径。你不能随便把一个沿非圆形路径运动的物体在某一瞬间与地球的距离代入，然后就把结果称为它的总能量。

对于一般的位置与速度，应从

\[ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}. \]

开始。

只有在圆周运动条件已经把 \(v\) 与 \(r\) 联系起来之后，圆形轨道的简化公式才适用。

这个区别很快就会变得非常重要。

05最容易犯的错误推论

学生可能会说：

较高的轨道具有较低的速率，所以卫星的动能较少。因此，提高它的轨道必定会降低它的总能量。

第一句是正确的。第二句并不能由第一句推出。

对于圆形轨道，

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

而

\[ U=-\frac{GMm}{r}. \]

假设 \(r\) 增加。动能按照 \(1/2\) 的系数减少，而位能则按照 \(1\) 的系数增加。

对于从 \(r_1\) 到 \(r_2\) 的变化，其中 \(r_2>r_1\)，

\[ \Delta K = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1} \right), \]

其值为负。

但是

\[ \Delta U = -GMm \left( \frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1} \right), \]

其值为正，而且大小是前者的两倍。

因此，

\[ \Delta E=\Delta K+\Delta U>0. \]

较高的圆形轨道速度较慢，但整体能量更多。

06一组值得掌握的简洁关系式

对于圆形重力轨道，

\[ v^2=\frac{GM}{r}, \]

\[ K=\frac{GMm}{2r}, \]

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

以及

\[ E=-\frac{GMm}{2r}. \]

由这些式子可立即得到

\[ U=-2K, \]

\[ E=-K, \]

以及

\[ E=\frac{U}{2}. \]

不要把这些当成四个彼此无关的事实来死背。只要你知道重力提供向心力，而且 \(U=-GMm/r\)，其余关系都可以重新推导出来。

07问题与解答

问题 1

一颗 \(750\ \text{kg}\) 的卫星绕著一颗质量为 \(6.00\times10^{24}\ \text{kg}\) 的行星，在半径为 \(8.00\times10^6\ \text{m}\) 的圆形轨道上运行。

计算卫星的总机械能。使用 \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\)。

解答 1

卫星的总机械能约为 \(-1.88\times10^{10}\ \text{J}\)。

对于圆形轨道，

\[ E=-\frac{GMm}{2r}. \]

代入已知数值：

\[ \begin{aligned} E &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(6.00\times10^{24})(750)} {2(8.00\times10^6)}\\ &=-1.88\times10^{10}\ \text{J}. \end{aligned} \]

结果为负，是因为卫星受到重力束缚。

一个很容易犯的错误是使用 \(U=-GMm/r\)，然后把它当成总能量。这个表达式只给出重力位能。在圆形轨道中，正的动能使总能量的负值大小只有 \(U\) 的一半。

问题 2

一颗 \(300\ \text{kg}\) 的卫星从半径为 \(8.00\times10^6\ \text{m}\) 的地球圆形轨道，移到半径为 \(1.60\times10^7\ \text{m}\) 的圆形轨道。

使用 \(GM_{\text{Earth}}=3.99\times10^{14}\ \text{m}^3\text{s}^{-2}\)：

a. 计算动能的变化
b. 计算重力位能的变化
c. 计算总机械能的变化
d. 解释这三个结果之间的关系。

解答 2

动能减少 \(3.74\times10^9\ \text{J}\)，位能增加 \(7.48\times10^9\ \text{J}\)，而总机械能增加 \(3.74\times10^9\ \text{J}\)。

对于圆形轨道，

\[ K=\frac{GMm}{2r}. \]

起初，

\[ K_1 = \frac{(3.99\times10^{14})(300)} {2(8.00\times10^6)} = 7.48\times10^9\ \text{J}. \]

最后，

\[ K_2 = \frac{(3.99\times10^{14})(300)} {2(1.60\times10^7)} = 3.74\times10^9\ \text{J}. \]

因此，

\[ \Delta K=K_2-K_1=-3.74\times10^9\ \text{J}. \]

现在使用

\[ U=-\frac{GMm}{r}. \]

起初，

\[ U_1=-1.50\times10^{10}\ \text{J}, \]

而最后，

\[ U_2=-7.48\times10^9\ \text{J}. \]

所以

\[ \Delta U = U_2-U_1 = 7.48\times10^9\ \text{J}. \]

总能量的变化为

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\Delta K+\Delta U\\ &=(-3.74\times10^9)+(7.48\times10^9)\\ &=3.74\times10^9\ \text{J}. \end{aligned} \]

重要的关系是

\[ \Delta U=-2\Delta K. \]

位能的增加量大小，是动能减少量大小的两倍。因此剩下正的净能量变化。

容易误入的思路是只注意到 \(K\) 下降，便认为一定有能量被移除。缺少的条件是：重力位能也同时在改变。

问题 3

一艘太空船起初位于半径为 \(r\) 的圆形轨道，最后到达一条半径为 \(4r\) 的新圆形轨道。

一名学生主张：

「它最后的轨道速率是初始速率的一半，所以它的动能只有原来的四分之一。因此，太空船整体上必定失去了能量。」

不使用数值，评估这项主张。求出比值 \(K_2/K_1\)、\(U_2/U_1\) 和 \(E_2/E_1\)，并指出整体而言必须加入还是移除外部能量。

解答 3

太空船整体上必须增加总机械能，即使它的动能下降到原来的四分之一。

对于圆周运动，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

当半径从 \(r\) 变为 \(4r\) 时，

\[ \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r}{4r}} = \frac{1}{2}. \]

因此，

\[ \frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]

到目前为止，这名学生是正确的。

对于位能，

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

所以

\[ U_2 = -\frac{GMm}{4r} = \frac{1}{4}U_1. \]

因为两个值都是负的，所以 \(U_2=U_1/4\) 表示位能增加并趋近于零。

同样地，

\[ E=-\frac{GMm}{2r}, \]

所以

\[ E_2=\frac{1}{4}E_1. \]

同样地，两个总能量都是负的。例如，从一个与 \(-1\) 成正比的量，变成与 \(-1/4\) 成正比的量，代表数值增加。

净变化为

\[ \begin{aligned} \Delta E &=E_2-E_1\\ &=-\frac{GMm}{8r} -\left(-\frac{GMm}{2r}\right)\\ &=\frac{3GMm}{8r}>0. \end{aligned} \]

因此，整体而言必须加入外部能量。

容易误入的思路，是把较低的速率等同于较低的总能量。改变结果的关键条件是重力位能：太空船离中心天体远得多，而它的 \(U\) 增加量大于 \(K\) 的减少量。

问题 4

两颗相同的卫星，每颗质量都是 \(m\)，在一颗质量为 \(M\) 的行星周围沿相同的半径 \(r\) 圆形轨道运行，但方向相反。

它们正面碰撞并黏在一起。假设碰撞发生得足够快，因此碰撞期间由重力造成的冲量可以忽略。

a. 求碰撞前一瞬间两颗卫星系统的总机械能。
b. 求碰撞后一瞬间黏合物体的机械能。
c. 解释能量差到哪里去了。
d. 指出黏合后的物体是否仍维持圆形轨道。

解答 4

碰撞后一瞬间，黏合物体的速度为零，其机械能比碰撞前两颗卫星的机械能更负，而且它不会继续维持圆形轨道。

碰撞前，每颗卫星的圆形轨道能量为

\[ E_{\text{one}}=-\frac{GMm}{2r}. \]

对两颗卫星而言，

\[ E_{\text{before}} = 2\left(-\frac{GMm}{2r}\right) = -\frac{GMm}{r}. \]

由于两颗卫星的质量相等，而速度大小相等、方向相反，因此它们在碰撞前一瞬间的总动量为零。

它们碰撞后黏在一起，所以在短暂碰撞期间根据动量守恒，

\[ (2m)v_{\text{after}}=0, \]

因此

\[ v_{\text{after}}=0. \]

所以，

\[ K_{\text{after}}=0. \]

黏合后的质量为 \(2m\)，因此它在半径 \(r\) 处的重力位能为

\[ U_{\text{after}} = -\frac{GM(2m)}{r} = -\frac{2GMm}{r}. \]

因此

\[ E_{\text{after}} = -\frac{2GMm}{r}. \]

机械能的变化为

\[ \begin{aligned} \Delta E &=E_{\text{after}}-E_{\text{before}}\\ &=-\frac{2GMm}{r} -\left(-\frac{GMm}{r}\right)\\ &=-\frac{GMm}{r}. \end{aligned} \]

这部分机械能在非弹性碰撞期间转化为内能，例如形变、加热及其他非机械形式的能量。

容易犯的错误推论是：因为重力是保守力，所以机械能必定保持不变。如果物体只在重力作用下运动，这确实成立。但碰撞引入了非弹性相互作用，因此系统的机械能在碰撞过程中并不守恒，即使总能量仍然守恒。

黏合后的物体也无法继续维持圆形轨道。在半径 \(r\) 处，圆形轨道要求

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

但它在碰撞后一瞬间的速率为零。它会开始朝行星方向加速。

问题 5

卫星 A 绕著一颗行星沿半径为 \(r\) 的圆形轨道运行。

在某一瞬间，卫星 B 与行星的距离也恰好是 \(r\)，而且它的速率与 A 完全相同。然而，A 的速度方向完全垂直于半径，而 B 的速度则同时具有切向分量和向内的径向分量。

两颗卫星的质量相同。

一名学生提出两项主张：

1. 「A 和 B 具有相同的总机械能，所以它们必定在同一条轨道上。」
2. 「因为 B 目前位于半径 \(r\) 处，所以它的能量由 \(E=-GMm/(2r)\) 给出，这证明它的轨道是圆形的。」

判断这些主张中哪些部分正确。解释从相同的能量中，可以推论出什么，又不能推论出什么。

解答 5

A 和 B 在该瞬间确实具有相同的总机械能，但 B 并不与 A 位于同一条轨道，而且不能只靠圆形轨道公式来证明它的轨道是圆形的。

在该瞬间，两颗卫星都位于相同的 \(r\)，所以它们具有相同的重力位能：

\[ U_A=U_B=-\frac{GMm}{r}. \]

它们的速率大小也相同，所以它们具有相同的动能：

\[ K_A=K_B=\frac{1}{2}mv^2. \]

因此，

\[ E_A=E_B. \]

因为 A 位于圆形轨道上，

\[ v^2=\frac{GM}{r}, \]

所以它的总能量为

\[ E_A=-\frac{GMm}{2r}. \]

由于 B 在该瞬间具有相同的 \(K\) 和 \(U\)，

\[ E_B=-\frac{GMm}{2r} \]

同样成立。

但这仍然不表示 B 的轨道是圆形的。

圆周运动所需的条件，不只是具有某个特定能量。速度方向还必须完全沿切线方向，才能使距离 \(r\) 保持不变。卫星 B 具有向内的径向速度分量，所以它与行星之间的距离已经在减少。

这个差异也可以用角动量来描述。A 的速度完全垂直于半径，因此在相同速率下，它具有最大的切向速度分量。B 的速率大小相同，但切向分量较小，所以它的角动量较小。

容易误入的思路，是假设某一个总能量值可以唯一决定轨道。事实并非如此。能量包含有关速率与位置组合的资讯，但它并不包含速度方向的资讯。

第二项主张也把圆形轨道公式的逻辑倒转了。我们推导

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

时，是先假设物体做圆周运动，并使用

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

因此，它不是一个一般性的判断标准，不能说：「如果一个物体位于半径 \(r\) 处时具有这个能量，那么它的路径一定是圆形的」。

B 之所以恰好具有与 A 相同的总能量数值，是因为它在该瞬间具有相同的速率与位置。它不同的速度方向会导致不同的后续运动。

这正是圆形轨道能量公式之后值得进一步理解的重点：能量可以告诉你某种运动在能量上是否可能，以及一个重力系统是否受到束缚；但要描述实际的运动路径，还需要速度方向的资讯，以及更一般地说，角动量的资讯。