النسبية الخاصة في فيزياء HSC: دليل واضح مع أمثلة محلولة

تمر مركبة فضائية بمحاذاة الأرض بسرعة \(0.80c\). يقيس مراقب على الأرض فترة زمنية أطول بين دقّتين لساعة المركبة الفضائية مما يقيسه رائد الفضاء. وفي المقابل، يقول رائد الفضاء إن ساعات الأرض تعمل ببطء. قبل متابعة القراءة، توقّع: هل أحد المراقبين مخطئ ببساطة؟ لا. يستخدم كل منهما إطارًا عطاليًا مختلفًا، وينشأ الاختلاف من الطريقة التي يُقاس بها الزمن والمكان عند السرعات العالية.

01الأطر المرجعية: ما الذي يقيسه كل مراقب فعليًا؟

الإطار المرجعي هو نظام إحداثيات يُستخدم لتحديد مواضع الأحداث وأوقاتها. ويمكن تمثيله باستخدام مساطر وشبكة من الساعات المتزامنة.

الإطار العطالي هو إطار لا يتسارع ولا يدور. في هذا الدليل، افترض أن تأثير الجاذبية مهمل، وأن المركبة الفضائية والأرض تتحركان بسرعة نسبية ثابتة كلما قارنا بينهما.

في الحياة اليومية، يمكننا عادةً التعامل مع الزمن كما لو كان موحدًا للجميع. فإذا وقع حدثان في الوقت نفسه بالنسبة إليك، فإنك تتوقع أن يقعا في الوقت نفسه بالنسبة إلى أي شخص آخر أيضًا.

تتحدى النسبية الخاصة هذا الافتراض. وهي تنطلق من قاعدتين:

• قوانين الفيزياء واحدة في جميع الأطر العطالية.
• يقيس كل مراقب عطالي السرعة نفسها للضوء في الفراغ، بصرف النظر عن حركة مصدر الضوء أو المراقب.

سرعة الضوء هي

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

لنفترض أنك تتحرك باتجاه حزمة ضوئية. قد تتوقع أن تقيس سرعتها على أنها \(c+v\)، حيث \(v\) هي سرعتك باتجاه الحزمة. لكنك لن تفعل ذلك؛ إذ ستظل تقيس السرعة \(c\).

ولكي يتحقق ذلك، لا يمكن للمراقبين الذين يتحرك بعضهم بالنسبة إلى بعض أن يتفقوا دائمًا على الفترات الزمنية أو الأطوال أو الأحداث البعيدة التي وقعت في الوقت نفسه.

لا يتعلق الأمر بما تراه أعينهم فحسب. فالقياسات النسبية تستخدم ساعات متزامنة، وتأخذ في الحسبان الزمن الذي يستغرقه الضوء في الانتقال. ويظل الاختلاف قائمًا حتى بعد إجراء هذا التصحيح.

02التزامن: قد يقع حدثان في وقتين مختلفين ضمن إطارين مرجعيين مختلفين

تخيّل مصباحين، A وB، عند طرفي منصة طويلة. الساعات الساكنة بالنسبة إلى المنصة متزامنة، ويومض المصباحان عند الزمن \(t=0\) وفقًا لساعة المنصة.

قبل متابعة القراءة، توقّع: هل يجب أن تتفق مركبة صاروخية تمر بمحاذاة المنصة على أن الومضتين حدثتا في الوقت نفسه؟

لا. يمكن للمركبة الصاروخية أن تُسنِد وقتين مختلفين إلى الومضتين.

يعني مصطلح متزامن أن إحداثيي الزمن لحدثين متساويان ضمن إطار مرجعي محدد. ولا يعني ذلك تلقائيًا أن جميع الأطر العطالية ستُسنِد إليهما الوقت نفسه.

لنجعل الموقف أكثر تحديدًا، وافترض أن:

• المصباح A يقع عند \(x=0\).
• المصباح B يقع عند \(x=600\text{ m}\).
• المنصة ساكنة في الإطار \(S\).
• إطار المركبة الصاروخية \(S'\) يتحرك في اتجاه \(x\) الموجب بسرعة \(v\) بالنسبة إلى \(S\).

في إطار المنصة، تكون الومضتان متزامنتين. أما في إطار المركبة الصاروخية، فتحدث ومضة المصباح B قبل ومضة المصباح A.

لماذا يكون الترتيب بهذا الاتجاه؟ تُعطى علاقة تحويل الإحداثي الزمني لهذين الحدثين بالعلاقة

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

حيث

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

هنا، \(\Delta t=t_B-t_A\) و\(\Delta x=x_B-x_A\) هما فرق الزمن وفرق الموضع المقاسان في الإطار \(S\). أما فرق الزمن ذي الشرطة العليا، فيُقاس في الإطار \(S'\)، الذي يتحرك في اتجاه \(x\) الموجب بالنسبة إلى \(S\).

بالنسبة إلى ومضتي المنصة المتزامنتين،

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

إذًا،

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

تشير الإشارة السالبة إلى أن ومضة B تحدث في وقت أبكر ضمن إطار المركبة الصاروخية.

هناك قيد مهم يجب الانتباه إليه: إن الترتيب الذي يستقبل به المراقب ومضتين ليس، بحد ذاته، دليلًا على وقت وقوع الحدثين. فالضوء يحتاج إلى وقت للوصول إلى المراقب، وقد تختلف المسافتان. تتعلق نسبية التزامن بالأوقات التي تُسنِدها الساعات المتزامنة إلى الحدثين بعد أخذ زمن انتقال الضوء في الحسبان.

يصبح هذا التمييز مفيدًا بصورة خاصة عندما يتضمن السؤال حدثين متباعدين، بدلًا من دقّتين لساعة واحدة.

03تمدد الزمن: تكون الفترة المقاسة بين دقّات الساعة المتحركة أطول

لنتناول الآن دقّتين لساعة واحدة مثبتة في مركبة فضائية.

تحدث الدقّتان في الموضع نفسه ضمن إطار السكون الخاص بالمركبة الفضائية. ويُسمّى الزمن المنقضي الذي تقيسه هذه الساعة الزمن الخاص، ويُرمز إليه بـ \(\Delta\tau\).

أما المراقب الموجود في إطار عطالي آخر، حيث تتحرك المركبة الفضائية بسرعة \(v\)، فيُسنِد فترة زمنية أطول إلى الحدثين نفسيهما. وتُسمّى هذه الظاهرة تمدد الزمن.

المعادلة هي

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

حيث:

• \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية المقاسة في الإطار الذي تتحرك فيه الساعة.
• \(\Delta\tau\) هو الزمن الخاص الذي تقيسه الساعة في إطار سكونها.
• \(\gamma\) هو عامل لورنتز.
• \(v\) هي السرعة النسبية بين الإطارين.
• \(c\) هي سرعة الضوء.

بما أن \(\gamma\geq1\)، فإن الفترة المقاسة بين دقّات الساعة المتحركة لا تكون أبدًا أقصر من فترة الزمن الخاص بها.

على سبيل المثال، عندما تكون \(v=0.80c\)،

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

يقيس الإطار الآخر فترة زمنية تساوي \(1.67\) مرة من الفترة التي تقيسها الساعة نفسها.

لماذا يستطيع كل من المراقبين القول إن ساعة الآخر تعمل ببطء؟

يبدو هذا متناقضًا، لكن المراقبين لا يجريان مقارنة مباشرة بين الزوج نفسه من الدقّات على كلتا الساعتين.

تستخدم الأرض شبكة ساعاتها المتزامنة لإسناد أوقات إلى دقّات ساعة المركبة الفضائية. ويستخدم رائد الفضاء شبكة ساعات متزامنة مختلفة لإسناد أوقات إلى دقّات الساعات البعيدة على الأرض. ولأن التزامن يعتمد على الإطار المرجعي، فإن المقارنتين لا تستخدمان الإسنادات نفسها للأحداث البعيدة.

إذا استدار رائد الفضاء وعاد لاحقًا إلى الأرض، فسيتغير الوضع مرة أخرى. تتضمن الرحلة تغييرًا في الإطار العطالي، ولذلك لا تعود الرحلتان الكاملتان للمراقبين متماثلتين. ويمكن أن تتراكم لديهما فترتان مختلفتان من الزمن الخاص.

القاعدة الأساسية بسيطة: ينطبق تمدد الزمن على الحدثين نفسيهما، مع قياس فترة الزمن الخاص في الإطار الذي يقع فيه الحدثان في موضع واحد.

04انكماش الطول: يتغير الطول المقاس لجسم متحرك

يتعلق تمدد الزمن بالفترة بين الأحداث، بينما يتعلق انكماش الطول بالمسافة بين طرفي جسم.

تخيّل مركبة فضائية ساكنة. تقيس طولها باستخدام مسطرة، فتجد أنه \(150\text{ m}\). وهذا هو الطول الخاص للمركبة، \(L_0\)، لأن القياس أُجري في إطار سكونها.

لنفترض الآن أن المركبة الفضائية تمر بمحاذاة الأرض بسرعة عالية. تقيس الأرض طولها بتسجيل موضعي مقدمتها ومؤخرتها في الوقت نفسه وفقًا لزمن إطار الأرض.

هذا الشرط الأخير مهم. لقياس طول ضمن إطار معين، يجب تسجيل موضعي طرفي الجسم في الوقت نفسه ضمن ذلك الإطار.

يُعطى الطول المقاس للمركبة الفضائية المتحركة بالعلاقة

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

أو، بصورة مكافئة،

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

حيث:

• \(L\) هو الطول المقاس في الإطار الذي يتحرك فيه الجسم.
• \(L_0\) هو الطول الخاص للجسم، المقاس في إطار سكونه.
• \(v\) هي سرعة الجسم بالنسبة إلى إطار القياس.
• \(\gamma\) هو عامل لورنتز.

ينكمش البعد الموازي لاتجاه الحركة فقط. أما أبعاد الجسم العمودية على اتجاه الحركة، فلا تتغير وفقًا لعلاقة انكماش الطول هذه.

من الأخطاء الشائعة تخيّل أن المركبة الفضائية تشعر بأن جسمها يُضغط ماديًا. لكنها لا تقيس طولًا أقصر في إطار سكونها. وينشأ الاختلاف لأن قياسات الطول في الأطر المختلفة تستخدم مجموعات مختلفة من مواضع الطرفين المتزامنة.

05الكتلة والطاقة: ما المعنى الفعلي للمعادلة \(E=mc^2\)؟

تخيّل نواة تتكوّن من بروتونات ونيوترونات منفصلة. بعد تكوّن النواة، تكون كتلتها السكونية أقل قليلًا من مجموع الكتل السكونية للجسيمات المنفصلة.

هل اختفت بعض المادة ببساطة؟

لا. لقد أطلقت المنظومة طاقة، ويجب أخذ الطاقة المنقولة إلى الخارج في الحسبان. فالكتلة والطاقة مرتبطتان.

تُعطى طاقة السكون لجسم بالعلاقة

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

حيث:

• \(E_0\) هي طاقة السكون.
• \(m\) هي الكتلة الثابتة، أو الكتلة السكونية.
• \(c\) هي سرعة الضوء.

بالنسبة إلى تغير في الكتلة السكونية، يكون التغير المقابل في طاقة السكون

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

العامل \(c^2\) هائل. ففرق في الكتلة مقداره \(1.0\text{ g}\) يقابل فرقًا في طاقة السكون مقداره

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

هذه كمية هائلة من الطاقة مقابل فرق ضئيل في الكتلة.

ما الذي يتغير عندما تدخل الطاقة إلى منظومة أو تغادرها؟

إذا غادرت الطاقة منظومة ما، فقد تصبح الكتلة السكونية للمنظومة المتبقية أقل. وإذا أُضيفت طاقة إلى منظومة واحتُفظ بها داخليًا، فإن كتلتها السكونية تزداد، بشرط مقارنة المنظومة وهي ساكنة قبل الإضافة وبعدها.

لا يعني هذا أن الطاقة تُدمَّر عندما تنخفض الكتلة. ففي منظومة معزولة، تُحفَظ الطاقة الكلية. قد تكون الطاقة قد غادرت الجسم المتبقي على هيئة إشعاع أو طاقة حركية، لكنها تظل موجودة.

توفر النواة المرتبطة مثالًا مفيدًا. يُسمّى الفرق بين مجموع الكتل السكونية للنيوكليونات المنفصلة والكتلة السكونية للنواة المرتبطة نقص الكتلة. ويُسمّى فرق الطاقة المقابل طاقة الترابط.

قيد ضروري: الكتلة السكونية ليست هي الطاقة الكلية

تعطي المعادلة \(E_0=mc^2\) طاقة السكون. أما بالنسبة إلى جسم يتحرك بسرعة \(v\)، فإن طاقته الكلية هي

\[ E=\gamma mc^2, \]

وتكون طاقته الحركية

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

هنا، تظل \(m\) هي الكتلة السكونية الثابتة للجسم. ويغيّر العامل \(\gamma\) الطاقة الكلية للجسم، لا كتلته الثابتة.

تستخدم بعض المعالجات الأقدم مصطلح الكتلة النسبية للإشارة إلى \(\gamma m\). أما الاصطلاح الحديث، فيُبقي الكتلة ثابتة، ويصف الزيادة باستخدام الطاقة والزخم بدلًا من ذلك.

تحمل الفوتونات، على سبيل المثال، طاقة وزخمًا رغم أن كتلتها السكونية تساوي صفرًا. لذا، لا ينبغي تفسير \(E=mc^2\) على أنه يعني أن كل شكل من أشكال الطاقة يجب أن يكون مرتبطًا بجسيم ذي كتلة سكونية غير صفرية.

06اختيار العلاقة المناسبة

الطريقة الأكثر موثوقية لحل سؤال في النسبية الخاصة هي تحديد الكمية التي يجري قياسها قبل اختيار المعادلة.

تساعد أربعة فحوصات على اكتشاف كثير من الأخطاء الشائعة:

• تحقّق من عامل لورنتز. عندما \(0\leq v<c\)، فإن \(\gamma\geq1\).
• تحقّق من الأحداث. تمدد الزمن ليس قاعدة تنطبق على أي زوج من الأحداث. فالشرط المتعلق بالزمن الخاص مهم.
• تحقّق من القياس. ينطبق انكماش الطول على البعد الموازي لاتجاه الحركة، ويتطلب قياس الطول أن تكون مواضع الطرفين متزامنة في إطار القياس.
• تحقّق من حساب الطاقة. لا يعني انخفاض الكتلة السكونية لجسم واحد أن الطاقة الكلية لمنظومة معزولة قد اختفت.

07الأسئلة والحلول

السؤال 1

تقيس ساعة مثبتة في مسبار \(3.0\text{ s}\) بين دقّتين. يتحرك المسبار بسرعة \(0.60c\) بالنسبة إلى مختبر.

احسب الفترة الزمنية التي يُسنِدها المختبر إلى الدقّتين نفسيهما.

الحل 1

يُسنِد المختبر فترة زمنية مقدارها \(3.75\text{ s}\)، أو \(3.8\text{ s}\) عند التقريب إلى رقمين معنويين.

تقيس الساعة الموجودة على متن المسبار الزمن الخاص، لأن الدقّتين تحدثان في الموضع نفسه ضمن إطار سكون المسبار.

الخطوة 1: احسب عامل لورنتز.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

الخطوة 2: طبّق تمدد الزمن.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

يقيس المختبر فترة زمنية أطول مما تقيسه ساعة المسبار. وتتفق النتيجة مع تمدد الزمن.

السؤال 2

يبلغ الطول الخاص لمسبار \(80\text{ m}\). ويبلغ طول حظيرة طائرات \(60\text{ m}\) في إطار سكونها. يمر المسبار بمحاذاة الحظيرة بسرعة \(0.80c\).

يرى مهندس أن المسبار يمكن أن يكون داخل الحظيرة بالكامل في لحظة واحدة، لأن طوله المنكمش أقصر من طول الحظيرة. أما الطيار فيرى أن ذلك مستحيل، لأن الحظيرة أقصر من المسبار في إطار الطيار.

افترض وجود أبواب مثالية يمكن فتحها وإغلاقها لحظيًا، وأهمل الأضرار المادية.

هل حسابا الطول اللذان أجراهما المراقبان صحيحان؟ وهل يمكن أن يكون المسبار داخل الحظيرة بالكامل في لحظة واحدة؟ وضّح كيف يتوافق الوصفان.

الحل 2

حسابا الطول صحيحان. يتعلق الاختلاف بمسألة وجود المسبار بالكامل داخل الحظيرة في لحظة واحدة، لأن التزامن يعتمد على الإطار المرجعي.

الخطوة 1: احسب عامل لورنتز.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

الخطوة 2: احسب طول المسبار في إطار الحظيرة.

الطول الخاص للمسبار هو \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

بما أن \(48\text{ m}<60\text{ m}\)، فإن المهندس محق في أن المسبار يمكن أن يدخل الحظيرة بالكامل في لحظة واحدة ضمن إطار الحظيرة، بشرط أن يكون موضعه مناسبًا.

الخطوة 3: احسب طول الحظيرة في إطار المسبار.

الطول الخاص للحظيرة هو \(60\text{ m}\). وفي إطار المسبار، تتحرك الحظيرة، لذا يكون طولها المقاس

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

والطيار محق أيضًا: إذ يبلغ طول الحظيرة المتحركة \(36\text{ m}\) فقط في إطار المسبار، بينما يظل الطول الخاص للمسبار \(80\text{ m}\).

الخطوة 4: حل التناقض الظاهري.

تعني عبارة «داخل الحظيرة بالكامل في لحظة واحدة» أن موضعي طرفي المسبار كليهما يقعان داخل الحظيرة في الوقت نفسه ضمن إطار مرجعي محدد.

في إطار الحظيرة، توجد لحظة يكون فيها الطرفان داخلها. أما في إطار المسبار، فلا توجد لحظة يكون فيها المسبار الذي يبلغ طوله \(80\text{ m}\) داخل الحظيرة التي يبلغ طولها \(36\text{ m}\) بالكامل.

يكمن المفتاح في أن حدثَي إغلاق البابين، المتزامنين في إطار الحظيرة، ليسا متزامنين في إطار المسبار. فالمراقبان لا يصفان الزوج نفسه من الأحداث المتزامنة. ولا يتطلب أي من الوصفين أن يتدمر المسبار ماديًا أو أن ينضغط في إطار سكونه.

السؤال 3

كتلة نواة مرتبطة السكونية أقل بمقدار \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) من مجموع الكتل السكونية لنيوكليوناتِها المنفصلة.

افترض أن الحالتين تُقارنان وهما ساكنتان، وأن الطاقة المنطلقة أثناء الترابط تغادر النواة.

احسب طاقة الترابط المنطلقة بوحدة الجول، واشرح لماذا لا يتعارض انخفاض الكتلة السكونية للنواة النهائية مع مبدأ حفظ الطاقة.

الحل 3

تعادل طاقة الترابط المقابلة لفرق الكتلة \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). ويتفق انخفاض الكتلة السكونية مع حفظ الطاقة، لأن الطاقة المنطلقة تغادر المنظومة.

الخطوة 1: حدّد فرق الكتلة.

مقدار نقص الكتلة هو

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

الخطوة 2: طبّق تكافؤ الكتلة والطاقة.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

الخطوة 3: وضّح حساب الطاقة.

تمتلك النواة المرتبطة طاقة سكون أقل من طاقة سكون النيوكليونات المنفصلة. ويظهر الفرق على هيئة طاقة منطلقة أثناء الترابط، مثل الإشعاع أو الطاقة الحركية التي تحملها نواتج أخرى.

تكون الكتلة السكونية للنواة النهائية أقل لأن الطاقة غادرت النواة. وعند تضمين الطاقة المنطلقة، تظل الطاقة الكلية محفوظة.

السؤال 4

تبلغ الكتلة السكونية الثابتة لمركبة فضائية \(1.0\text{ kg}\)، وتتحرك بسرعة \(0.80c\) بالنسبة إلى الأرض.

يحسب أحد الطلاب \(\gamma=1.67\)، ويزعم أن كتلة المركبة الفضائية ازدادت إلى \(1.67\text{ kg}\).

باستخدام العلاقات

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

احسب طاقة سكون المركبة الفضائية، وطاقتها الكلية، وطاقتها الحركية. ثم قيّم ادعاء الطالب.

الحل 4

تبلغ طاقة السكون \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)، والطاقة الكلية \(1.5\times10^{17}\text{ J}\)، والطاقة الحركية \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). ووفقًا لاصطلاح الكتلة الثابتة، تظل الكتلة السكونية للمركبة الفضائية \(1.0\text{ kg}\).

الخطوة 1: احسب طاقة السكون.

الكتلة السكونية هي \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

الخطوة 2: احسب الطاقة الكلية.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

الخطوة 3: احسب الطاقة الحركية.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

تتفق النتائج لأن الطاقة الكلية تساوي مجموع طاقة السكون والطاقة الحركية:

\[ E=E_0+K. \]

الخطوة 4: قيّم ادعاء الطالب.

حدّد الطالب بصورة صحيحة أن \(\gamma\) يضرب طاقة السكون لإعطاء الطاقة الكلية. لكن الخطأ هو تفسير هذا العامل على أنه زيادة في الكتلة السكونية الثابتة.

تزداد الطاقة الحركية للمركبة الفضائية مع السرعة، لكن كتلتها السكونية الثابتة تظل \(1.0\text{ kg}\). ويكتسب هذا التمييز أهمية كلما جمع السؤال بين تكافؤ الكتلة والطاقة وطاقة جسم متحرك.

السؤال 5

يبلغ طول منصة \(600\text{ m}\) في إطار سكونها \(S\). ويُثبَّت مصباحان، A وB، عند طرفيها، بحيث يقع A عند \(x=0\)، ويقع B عند \(x=+600\text{ m}\). يومض المصباحان في الوقت نفسه عند \(t=0\) ضمن الإطار \(S\).

يطلق كل وميض نبضة ضوئية باتجاه منتصف المنصة. وفي الإطار \(S\)، تلتقي النبضتان عند المنتصف.

يتحرك إطار سكون مركبة صاروخية \(S'\) في اتجاه \(x\) الموجب بسرعة \(0.80c\) بالنسبة إلى \(S\).

استخدم في هذا السؤال علاقة الإحداثي الزمني

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

حيث يُقاس \(\Delta t=t_B-t_A\) و\(\Delta x=x_B-x_A\) في الإطار \(S\).

(أ) أي الومضتين تحدث أولًا في \(S'\)، وبأي فارق زمني؟

(ب) يبلغ طول المنصة في \(S'\) مقدار \(360\text{ m}\). ويزعم أحد الطلاب أن الفارق الزمني بين الومضتين يجب أن يكون \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). وضّح الخطأ الدقيق في هذا الاستنتاج.

(ج) هل يجب أن تظل النبضتان الضوئيتان تلتقيان عند الحدث نفسه في \(S'\)؟ وضّح كيف يمكن أن يحدث ذلك رغم أن الومضتين لم تعودا متزامنتين.

الحل 5

تحدث ومضة B أولًا في \(S'\)، بفارق \(2.67\,\mu\text{s}\). وتظل النبضتان تلتقيان عند الحدث نفسه، لأن جميع الأطر العطالية تتفق على نقطة تقاطع النبضتين الضوئيتين، حتى عندما تُسنِد أوقاتًا مختلفة إلى حدثي انبعاثهما.

الخطوة 1: احسب عامل لورنتز وحدّد فروق الأحداث.

السرعة النسبية هي \(v=0.80c\)، لذا

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

الومضتان متزامنتان في \(S\)، ويقع B عند إحداثي موضع أكبر. لذلك،

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

الخطوة 2: احسب فرق الزمن في \(S'\).

عوّض في علاقة الإحداثي الزمني المعطاة:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

تعني النتيجة السالبة أن \(t'_B<t'_A\). تحدث ومضة B قبل ومضة A بمقدار \(2.67\,\mu\text{s}\) في إطار المركبة الصاروخية.

الخطوة 3: وضّح لماذا يفشل حساب \(360\text{ m}/c\).

يعطي حساب الطالب

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

الحساب العددي صحيح، لكنه يجيب عن سؤال مختلف.

إن \(360\text{ m}\) هو طول المنصة المقاس في \(S'\)، ويُحصل عليه بقياس موضعي الطرفين في الوقت نفسه وفقًا لزمن إطار المركبة الصاروخية. أما حدثا الومضتين، فليسا متزامنين في \(S'\)، ولذلك لا يمكن التعامل مع موضعيهما على أنهما طرفا قياس متزامن للطول.

لا يساوي فرق الزمن بين حدثين عمومًا الطول المقاس مقسومًا على \(c\). فقد خلط الطالب بين طول قيس باستخدام موضعي طرفين متزامنين وحدثين يقعان في وقتين مختلفين ضمن الإطار نفسه.

الخطوة 4: وضّح لماذا تظل النبضتان تلتقيان.

في \(S\)، تقطع كل نبضة مسافة \(300\text{ m}\) للوصول إلى المنتصف. لذلك، يقع حدث الالتقاء عند

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

هذا حدث واحد في الزمكان. وتتفق جميع الأطر العطالية على أن النبضتين تلتقيان عند ذلك الحدث، رغم اختلاف الإحداثيات التي تُسنِدها إليه.

يمكننا التحقق من التوقيت في إطار المركبة الصاروخية. فتطبيق العلاقة المعطاة بين الومضة A وحدث الالتقاء يعطي

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

تقع الومضة A عند \(t'_A=0\)، لذا تستغرق نبضتها \(0.333\,\mu\text{s}\) من الزمن الإحداثي في إطار المركبة الصاروخية للوصول إلى حدث الالتقاء.

أما الومضة B، فتقع عند \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\)، ولذلك تستغرق نبضتها

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

للوصول إلى الحدث نفسه.

يتوافق اختلاف أوقات الانبعاث وفترات الانتقال مع وقوع الحدث نفسه الذي تلتقي عنده النبضتان. ويتمثل الخطأ في افتراض أن الانبعاث المتزامن في إطار واحد يجب أن يظل متزامنًا في كل إطار آخر.

الخطوة المفيدة التالية هي تعلم كيفية تمثيل الأحداث على مخطط للزمكان. عند حل مسائل HSC، ابدأ بتحديد الإطار المرجعي، واسأل ما إذا كانت الأحداث تقع في الموضع نفسه ضمن ذلك الإطار. يساعدك هذا القرار على الاختيار بين تمدد الزمن وانكماش الطول ونسبية التزامن قبل البدء بالحسابات.