Thuyết tương đối hẹp trong Vật lý HSC: Hướng dẫn rõ ràng kèm ví dụ giải chi tiết
Tìm hiểu thuyết tương đối hẹp một cách dễ hiểu, không cần thần bí hóa. Hướng dẫn Vật lý HSC này giải thích hệ quy chiếu, tính tương đối của sự đồng thời, sự giãn nở thời gian, sự co độ dài và mối quan hệ khối lượng-năng lượng thông qua các giải thích rõ ràng và ví dụ có lời giải chi tiết.
Một tàu vũ trụ bay ngang qua Trái Đất với tốc độ \(0.80c\). Trái Đất xác định khoảng thời gian giữa hai nhịp đồng hồ của tàu vũ trụ dài hơn khoảng thời gian mà phi hành gia đo được. Trong khi đó, phi hành gia lại cho rằng các đồng hồ trên Trái Đất chạy chậm. Trước khi đọc tiếp, hãy dự đoán: liệu có phải một trong hai người quan sát đơn giản là sai? Không. Mỗi người sử dụng một hệ quy chiếu quán tính khác nhau, và sự bất đồng xuất phát từ cách đo thời gian và không gian ở tốc độ cao.
Cùng hai nhịp đồng hồ, khoảng thời gian khác nhau
| Hệ quy chiếu đứng yên của phi hành gia | Δτ = 3.0 s Cả hai nhịp xảy ra tại cùng một vị trí trong khoang. Đồng hồ trong khoang đo thời gian riêng. |
|---|---|
| Hệ quy chiếu của Trái Đất | Δt = γΔτ = 5.0 s Các đồng hồ đồng bộ trên Trái Đất xác định khoảng thời gian này. Cùng hai sự kiện; không đồng hồ nào bị lỗi. |
01Hệ quy chiếu: mỗi người quan sát thực sự đang đo điều gì?
Hệ quy chiếu là một hệ tọa độ dùng để xác định vị trí và thời gian của các sự kiện. Hệ quy chiếu có thể được biểu diễn bằng các thước đo và một mạng lưới đồng hồ đã được đồng bộ hóa.
Một hệ quy chiếu quán tính là hệ không có gia tốc hoặc chuyển động quay. Trong hướng dẫn này, hãy giả sử rằng ảnh hưởng của trọng lực không đáng kể và tàu vũ trụ cùng Trái Đất chuyển động với vận tốc tương đối không đổi mỗi khi ta so sánh chúng.
Trong đời sống hằng ngày, chúng ta thường có thể xem thời gian như một đại lượng phổ quát. Nếu hai sự kiện xảy ra đồng thời đối với bạn, bạn sẽ cho rằng chúng cũng xảy ra đồng thời đối với tất cả mọi người khác.
Thuyết tương đối hẹp thách thức giả định đó. Lý thuyết này bắt đầu từ hai nguyên lý:
- Các định luật vật lý giống nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
- Mọi người quan sát quán tính đều đo được cùng một tốc độ ánh sáng trong chân không, bất kể nguồn sáng hoặc người quan sát chuyển động như thế nào.
Tốc độ ánh sáng là
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Giả sử bạn chuyển động về phía một chùm ánh sáng. Bạn có thể nghĩ rằng mình sẽ đo được tốc độ của nó là \(c+v\), trong đó \(v\) là tốc độ của bạn theo hướng tiến về chùm sáng. Nhưng không phải vậy. Bạn vẫn đo được tốc độ \(c\).
Để điều này có thể xảy ra, những người quan sát chuyển động tương đối với nhau không thể luôn thống nhất về các khoảng thời gian, độ dài hoặc việc những sự kiện ở xa nào đã xảy ra đồng thời.
Điều này không liên quan đến những gì mắt họ tình cờ nhìn thấy. Các phép đo tương đối tính sử dụng những đồng hồ đã được đồng bộ hóa và tính đến thời gian ánh sáng cần để truyền đi. Sự bất đồng vẫn tồn tại ngay cả sau khi đã hiệu chỉnh yếu tố đó.
Cùng sự kiện, tọa độ khác nhau
| Hệ quy chiếu sân ga S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Có đồng hồ đồng bộ và thước đo vị trí riêng. Hai sự kiện A và B xảy ra đồng thời. |
|---|---|
| Hệ quy chiếu tên lửa S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Có đồng hồ đồng bộ và thước đo vị trí riêng. Sự kiện B xảy ra sớm hơn A. |
02Tính tương đối của sự đồng thời: hai sự kiện có thể xảy ra vào những thời điểm khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau
Hãy tưởng tượng hai chiếc đèn A và B nằm ở hai đầu đối diện của một sân ga dài. Các đồng hồ đứng yên so với sân ga đã được đồng bộ hóa, và cả hai đèn đều nháy sáng tại thời điểm \(t=0\) theo thời gian của sân ga.
Trước khi đọc tiếp, hãy dự đoán: liệu một tên lửa bay ngang qua sân ga có nhất thiết phải đồng ý rằng hai tia sáng lóe lên đồng thời hay không?
Không. Tên lửa có thể xác định hai tia sáng lóe lên vào những thời điểm khác nhau.
Đồng thời có nghĩa là hai sự kiện có cùng tọa độ thời gian trong một hệ quy chiếu được chỉ định. Điều đó không tự động có nghĩa là mọi hệ quy chiếu quán tính đều xác định chúng có cùng thời điểm.
Để mô tả tình huống một cách chính xác, hãy giả sử:
- Đèn A ở vị trí \(x=0\).
- Đèn B ở vị trí \(x=600\text{ m}\).
- Sân ga đứng yên trong hệ quy chiếu \(S\).
- Hệ quy chiếu \(S'\) của tên lửa chuyển động theo chiều \(x\) dương với tốc độ \(v\) so với \(S\).
Trong hệ quy chiếu của sân ga, hai tia sáng lóe lên đồng thời. Trong hệ quy chiếu của tên lửa, đèn B lóe sáng sớm hơn đèn A.
Tại sao thứ tự lại như vậy? Phép biến đổi tọa độ thời gian cho hai sự kiện này là
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
trong đó
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Ở đây, \(\Delta t=t_B-t_A\) và \(\Delta x=x_B-x_A\) là độ chênh lệch thời gian và vị trí được đo trong hệ quy chiếu \(S\). Độ chênh lệch thời gian có dấu phẩy được đo trong hệ quy chiếu \(S'\), chuyển động theo chiều \(x\) dương so với \(S\).
Đối với hai tia sáng lóe lên đồng thời trên sân ga,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Do đó,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
Dấu âm cho biết tia sáng từ đèn B xuất hiện sớm hơn trong hệ quy chiếu của tên lửa.
Tính tương đối của sự đồng thời: cấu trúc dòng thời gian cần có
| Hệ quy chiếu sân ga S | Δt = 0 Hai sự kiện A và B có cùng tọa độ thời gian. |
|---|---|
| Hệ quy chiếu tên lửa S′ | Δt′ < 0 Sự kiện B xảy ra sớm hơn sự kiện A. |
Một điểm cần lưu ý: thứ tự mà người quan sát nhận được hai tia sáng không tự nó chứng minh thời điểm xảy ra các sự kiện. Ánh sáng cần thời gian để truyền đến người quan sát, và khoảng cách truyền có thể khác nhau. Tính tương đối của sự đồng thời liên quan đến thời điểm được xác định bằng các đồng hồ đã đồng bộ hóa, sau khi đã tính đến thời gian truyền ánh sáng.
Sự phân biệt này đặc biệt hữu ích khi câu hỏi liên quan đến hai sự kiện ở xa nhau, thay vì hai nhịp của cùng một chiếc đồng hồ.
03Sự giãn nở thời gian: đồng hồ chuyển động có khoảng thời gian giữa hai nhịp dài hơn
Bây giờ, hãy xét hai nhịp của một chiếc đồng hồ duy nhất gắn trên tàu vũ trụ.
Hai nhịp xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ quy chiếu đứng yên so với tàu vũ trụ. Khoảng thời gian trôi qua được chính chiếc đồng hồ đó đo gọi là thời gian riêng, ký hiệu \(\Delta\tau\).
Một người quan sát trong hệ quy chiếu quán tính khác, nơi tàu vũ trụ chuyển động với tốc độ \(v\), xác định khoảng thời gian giữa chính hai sự kiện đó dài hơn. Đây là hiện tượng giãn nở thời gian.
Phương trình là
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
trong đó:
- \(\Delta t\) là khoảng thời gian được đo trong hệ quy chiếu mà đồng hồ đang chuyển động.
- \(\Delta\tau\) là thời gian riêng được đo bởi đồng hồ trong hệ quy chiếu đứng yên của nó.
- \(\gamma\) là hệ số Lorentz.
- \(v\) là tốc độ tương đối giữa hai hệ quy chiếu.
- \(c\) là tốc độ ánh sáng.
Vì \(\gamma\geq1\), khoảng thời gian giữa hai nhịp của đồng hồ chuyển động không bao giờ ngắn hơn khoảng thời gian riêng của nó.
Ví dụ, tại \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
Hệ quy chiếu còn lại đo được khoảng thời gian dài gấp \(1.67\) lần khoảng thời gian của chính đồng hồ.
Một đồng hồ, hai khoảng thời gian đo được
| Hệ quy chiếu tàu vũ trụ | Δτ = 10.0 min Cả hai nhịp xảy ra tại cùng một vị trí trong khoang. Đồng hồ trong khoang đo thời gian riêng. |
|---|---|
| Hệ quy chiếu phòng thí nghiệm | Δt = γΔτ = 16.7 min Đồng hồ trong khoang chuyển động với tốc độ 0.80c. Các đồng hồ đồng bộ trong phòng thí nghiệm xác định khoảng thời gian dài hơn. |
Ví dụ có lời giải: Đồng hồ trên một tàu vũ trụ tốc độ cao
Một tàu vũ trụ chuyển động với tốc độ \(0.80c\) so với Trái Đất. Đồng hồ trên tàu đo được \(10.0\text{ min}\) giữa hai nhịp. Trái Đất xác định khoảng thời gian giữa chính hai nhịp đó bằng bao nhiêu?
Bước 1
Hai nhịp xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ quy chiếu đứng yên của tàu vũ trụ, vì vậy số chỉ của đồng hồ trên tàu chính là thời gian riêng:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Bước 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Bước 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
Trái Đất xác định khoảng thời gian là \(16.7\text{ min}\), trong khi đồng hồ trên tàu vũ trụ chỉ \(10.0\text{ min}\). Đồng hồ của phi hành gia hoạt động bình thường trong hệ quy chiếu đứng yên của chính nó; sự khác biệt nằm ở khoảng thời gian mà hai hệ quy chiếu xác định.
Tại sao cả hai người quan sát đều có thể cho rằng đồng hồ của người kia chạy chậm?
Điều này nghe có vẻ mâu thuẫn, nhưng hai người quan sát không trực tiếp so sánh cùng một cặp nhịp trên cả hai đồng hồ.
Trái Đất sử dụng mạng lưới đồng hồ đã đồng bộ hóa của mình để xác định thời điểm các nhịp của đồng hồ trên tàu vũ trụ xảy ra. Phi hành gia sử dụng một mạng lưới đồng hồ đã đồng bộ hóa khác để xác định thời điểm các nhịp của những đồng hồ ở xa trên Trái Đất xảy ra. Vì tính đồng thời phụ thuộc vào hệ quy chiếu, hai phép so sánh này không sử dụng cùng cách xác định thời điểm của các sự kiện ở xa.
Nếu phi hành gia quay đầu và sau đó đoàn tụ với Trái Đất, tình huống lại thay đổi. Hành trình bao gồm sự thay đổi hệ quy chiếu quán tính, nên toàn bộ hành trình của hai người không còn tương đương nhau. Họ có thể tích lũy những khoảng thời gian riêng khác nhau.
Quy tắc cốt lõi rất đơn giản: sự giãn nở thời gian áp dụng cho cùng hai sự kiện, trong đó khoảng thời gian riêng được đo trong hệ quy chiếu mà hai sự kiện xảy ra tại cùng một vị trí.
04Sự co độ dài: độ dài đo được của một vật chuyển động thay đổi
Sự giãn nở thời gian liên quan đến khoảng thời gian giữa các sự kiện. Sự co độ dài liên quan đến khoảng cách giữa hai đầu của một vật.
Hãy tưởng tượng một tàu vũ trụ đang đứng yên. Bạn dùng thước đo chiều dài của nó và nhận được \(150\text{ m}\). Đây là chiều dài riêng của tàu, \(L_0\), vì phép đo được thực hiện trong hệ quy chiếu đứng yên so với tàu vũ trụ.
Bây giờ, giả sử tàu vũ trụ bay ngang qua Trái Đất với tốc độ cao. Trái Đất đo chiều dài của tàu bằng cách ghi lại vị trí đầu trước và đầu sau của nó tại cùng một thời điểm theo hệ quy chiếu của Trái Đất.
Điều kiện cuối cùng này rất quan trọng. Để đo chiều dài trong một hệ quy chiếu cụ thể, bạn phải ghi lại đồng thời vị trí của cả hai đầu trong hệ quy chiếu đó.
Chiều dài đo được của tàu vũ trụ đang chuyển động là
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
hoặc tương đương,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
trong đó:
- \(L\) là chiều dài được đo trong hệ quy chiếu mà vật đang chuyển động.
- \(L_0\) là chiều dài riêng của vật, được đo trong hệ quy chiếu đứng yên của nó.
- \(v\) là tốc độ của vật so với hệ quy chiếu đo.
- \(\gamma\) là hệ số Lorentz.
Chỉ kích thước song song với hướng chuyển động mới co lại. Các kích thước vuông góc với hướng chuyển động của vật không thay đổi theo mối quan hệ co độ dài này.
Sự co độ dài chỉ xảy ra theo hướng chuyển động
| Tàu vũ trụ đứng yên | L = L₀ L₀ là chiều dài riêng. Kích thước vuông góc: h₀. |
|---|---|
| Tàu vũ trụ chuyển động với tốc độ v | L = L₀/γ Chiều dài co lại song song với hướng chuyển động. Kích thước vuông góc vẫn là h₀. |
Một sai lầm thường gặp là tưởng tượng rằng tàu vũ trụ cảm nhận được việc nó bị ép lại về mặt vật lý. Thực tế không phải vậy. Trong hệ quy chiếu đứng yên của chính mình, tàu không đo được chiều dài ngắn hơn. Sự khác biệt xuất hiện vì các phép đo chiều dài trong những hệ quy chiếu khác nhau sử dụng những tập hợp vị trí hai đầu được xác định đồng thời khác nhau.
Ví dụ có lời giải: Một tàu thăm dò bay ngang qua máy dò
Một tàu thăm dò có chiều dài riêng \(150\text{ m}\) bay ngang qua một máy dò đứng yên với tốc độ \(0.80c\).
Hãy tính:
- chiều dài mà Trái Đất đo được,
- khoảng thời gian giữa lúc mũi và đuôi tàu thăm dò đi qua máy dò trong hệ quy chiếu của Trái Đất, và
- khoảng thời gian giữa chính hai sự kiện đó trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò.
Bước 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Bước 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
Trái Đất đo được chiều dài của tàu thăm dò đang chuyển động là \(90.0\text{ m}\).
Bước 3
Tàu thăm dò chuyển động với tốc độ
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Trong hệ quy chiếu của Trái Đất, khoảng cách giữa mũi và đuôi tàu là \(90.0\text{ m}\). Vì vậy, khoảng thời gian giữa lúc chúng lần lượt đi qua máy dò đứng yên là
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Bước 4
Trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò, máy dò chuyển động đi qua toàn bộ chiều dài riêng \(150\text{ m}\) của tàu với cùng tốc độ tương đối. Do đó,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Hai sự kiện tàu đi qua máy dò xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ quy chiếu của Trái Đất, nên khoảng thời gian \(0.375\,\mu\text{s}\) của máy dò là một khoảng thời gian riêng. Trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò, máy dò đang chuyển động và khoảng thời gian dài hơn:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Các phép tính nhất quán với nhau. Cùng một cặp sự kiện có khoảng thời gian khác nhau trong hai hệ quy chiếu, trong khi chiều dài đo được của tàu thăm dò phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà cả hai đầu được ghi nhận đồng thời.
Cùng sự kiện đi qua, khoảng thời gian khác nhau
| Hệ quy chiếu Trái Đất | A → B: 0.375 μs Chiều dài tàu thăm dò: 90 m; máy dò đứng yên. |
|---|---|
| Hệ quy chiếu tàu thăm dò | A → B: 0.625 μs Chiều dài tàu thăm dò: 150 m; máy dò chuyển động đi qua tàu. |
05Khối lượng và năng lượng: \(E=mc^2\) thực sự có nghĩa là gì?
Hãy xét trường hợp một hạt nhân hình thành từ các proton và neutron riêng rẽ. Sau khi hạt nhân hình thành, khối lượng nghỉ của nó nhỏ hơn một chút so với tổng khối lượng nghỉ của các hạt riêng biệt ban đầu.
Có phải một phần vật chất đơn giản là đã biến mất không?
Không. Hệ đã giải phóng năng lượng, và năng lượng mang đi phải được tính đến trong phép cân bằng. Khối lượng và năng lượng có mối liên hệ với nhau.
Năng lượng nghỉ của một vật là
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
trong đó:
- \(E_0\) là năng lượng nghỉ.
- \(m\) là khối lượng bất biến, hay khối lượng nghỉ.
- \(c\) là tốc độ ánh sáng.
Đối với sự thay đổi khối lượng nghỉ, độ biến thiên năng lượng nghỉ tương ứng là
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
Hệ số \(c^2\) có giá trị cực lớn. Chênh lệch khối lượng chỉ \(1.0\text{ g}\) tương ứng với chênh lệch năng lượng nghỉ là
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Đó là một lượng năng lượng khổng lồ so với chênh lệch khối lượng rất nhỏ.
Khối lượng giảm; tổng năng lượng được bảo toàn
| Trước khi năng lượng thoát ra | Rest mass = m Năng lượng nghỉ ban đầu: E₀ = mc². |
|---|---|
| Sau khi bức xạ thoát ra | Remaining mass = m − Δm Bức xạ mang năng lượng ΔE = Δmc². Năng lượng nghỉ còn lại + năng lượng bức xạ = năng lượng ban đầu. |
Điều gì thay đổi khi năng lượng đi vào hoặc thoát ra khỏi một hệ?
Nếu năng lượng thoát ra khỏi một hệ, khối lượng nghỉ của phần hệ còn lại có thể giảm. Nếu năng lượng được đưa vào một hệ và được giữ lại bên trong, khối lượng nghỉ của hệ sẽ tăng, với điều kiện hệ được so sánh khi ở trạng thái nghỉ trước và sau.
Điều này không có nghĩa là năng lượng bị hủy diệt khi khối lượng giảm. Đối với một hệ cô lập, tổng năng lượng được bảo toàn. Năng lượng có thể đã rời khỏi vật còn lại dưới dạng bức xạ hoặc động năng, nhưng nó vẫn tồn tại.
Một hạt nhân liên kết là ví dụ hữu ích. Hiệu giữa tổng khối lượng nghỉ của các nucleon riêng biệt và khối lượng nghỉ của hạt nhân liên kết được gọi là độ hụt khối. Chênh lệch năng lượng tương ứng được gọi là năng lượng liên kết.
Một điểm cần lưu ý: khối lượng nghỉ không giống tổng năng lượng
Phương trình \(E_0=mc^2\) cho biết năng lượng nghỉ. Đối với một vật chuyển động với tốc độ \(v\), tổng năng lượng của nó là
\[ E=\gamma mc^2, \]
và động năng của nó là
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Ở đây, \(m\) vẫn là khối lượng nghỉ bất biến của vật. Hệ số \(\gamma\) làm thay đổi tổng năng lượng của vật, chứ không làm thay đổi khối lượng bất biến của nó.
Một số tài liệu cũ sử dụng thuật ngữ khối lượng tương đối tính để chỉ \(\gamma m\). Quy ước hiện đại thường giữ khối lượng ở giá trị bất biến và mô tả sự gia tăng này thông qua năng lượng và động lượng.
Ví dụ, photon mang năng lượng và động lượng dù có khối lượng nghỉ bằng không. Vì vậy, không nên hiểu \(E=mc^2\) theo nghĩa mọi dạng năng lượng đều phải thuộc về một hạt có khối lượng nghỉ khác không.
Ví dụ có lời giải: Tính năng lượng từ độ chênh lệch khối lượng
Một nguồn đứng yên phát ra bức xạ, và khối lượng nghỉ còn lại của nó giảm \(0.50\text{ mg}\). Giả sử toàn bộ độ chênh lệch khối lượng tương ứng với năng lượng do bức xạ mang đi, hãy ước tính năng lượng được giải phóng.
Bước 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Bước 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Bước 3
Năng lượng được giải phóng là \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Độ chênh lệch khối lượng chỉ \(0.50\text{ mg}\) tương ứng với một lượng năng lượng khổng lồ.
Khối lượng nghỉ còn lại của nguồn đã giảm, nhưng năng lượng không biến mất. Khi tính cả bức xạ phát ra, phép cân bằng tổng năng lượng vẫn nhất quán.
06Chọn hệ thức phù hợp
Cách đáng tin cậy nhất để giải một bài toán thuyết tương đối hẹp là xác định đại lượng đang được đo trước khi chọn công thức.
| Mô tả trong câu hỏi | Hệ thức liên quan | Kiểm tra trước khi thay số |
|---|---|---|
| Thời gian giữa hai nhịp của một đồng hồ đang chuyển động | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | Hai sự kiện có xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ quy chiếu đứng yên của đồng hồ không? |
| Chiều dài của một vật chuyển động so với người quan sát | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) có phải chiều dài riêng không, và cả hai đầu có được đo đồng thời trong hệ quy chiếu của người quan sát không? |
| Hai sự kiện ở các vị trí khác nhau | Tính tương đối của sự đồng thời | Các sự kiện có xảy ra tại những vị trí khác nhau trong hệ quy chiếu đang được dùng để so sánh thời điểm của chúng không? |
| Sự thay đổi năng lượng nghỉ của một hệ | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Hệ nào đang được xét, và năng lượng đã đi đâu? |
Bốn bước kiểm tra sau giúp phát hiện nhiều lỗi thường gặp:
- Kiểm tra hệ số Lorentz. Với \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
- Kiểm tra các sự kiện. Giãn nở thời gian không phải quy tắc áp dụng cho mọi cặp sự kiện. Điều kiện về thời gian riêng rất quan trọng.
- Kiểm tra phép đo. Sự co độ dài áp dụng theo hướng chuyển động, và phép đo chiều dài đòi hỏi vị trí hai đầu phải được xác định đồng thời trong hệ quy chiếu đo.
- Kiểm tra cân bằng năng lượng. Khối lượng nghỉ của một vật giảm không có nghĩa là tổng năng lượng của một hệ cô lập đã biến mất.
07Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một chiếc đồng hồ gắn cố định trên tàu thăm dò đo được \(3.0\text{ s}\) giữa hai nhịp. Tàu thăm dò chuyển động với tốc độ \(0.60c\) so với một phòng thí nghiệm.
Hãy tính khoảng thời gian mà phòng thí nghiệm xác định cho chính hai nhịp đó.
Lời giải 1
Phòng thí nghiệm xác định khoảng thời gian là \(3.75\text{ s}\), hay \(3.8\text{ s}\) khi làm tròn đến hai chữ số có nghĩa.
Đồng hồ trên tàu đo thời gian riêng vì cả hai nhịp đều xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ quy chiếu đứng yên của tàu thăm dò.
Bước 1: Tính hệ số Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Bước 2: Áp dụng công thức giãn nở thời gian.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
Phòng thí nghiệm đo được khoảng thời gian dài hơn so với đồng hồ trên tàu thăm dò. Kết quả này phù hợp với hiện tượng giãn nở thời gian.
Câu hỏi 2
Một tàu thăm dò có chiều dài riêng \(80\text{ m}\). Một nhà chứa có chiều dài \(60\text{ m}\) trong hệ quy chiếu đứng yên của chính nó. Tàu thăm dò bay ngang qua nhà chứa với tốc độ \(0.80c\).
Một kỹ sư cho rằng tàu thăm dò có thể nằm hoàn toàn bên trong nhà chứa tại một thời điểm, vì chiều dài sau co của nó ngắn hơn chiều dài nhà chứa. Phi công cho rằng điều này là không thể, vì nhà chứa ngắn hơn tàu thăm dò trong hệ quy chiếu của phi công.
Giả sử các cửa lý tưởng có thể mở và đóng tức thời, đồng thời bỏ qua hư hại vật liệu.
Các phép tính chiều dài của cả hai người có đúng không? Tàu thăm dò có thể nằm hoàn toàn bên trong nhà chứa tại một thời điểm không? Hãy giải thích tại sao hai mô tả này nhất quán với nhau.
Lời giải 2
Cả hai phép tính chiều dài đều đúng. Sự bất đồng liên quan đến việc tàu thăm dò có nằm hoàn toàn bên trong nhà chứa tại một thời điểm hay không, vì tính đồng thời phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
Bước 1: Tính hệ số Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Bước 2: Tính chiều dài của tàu thăm dò trong hệ quy chiếu của nhà chứa.
Chiều dài riêng của tàu thăm dò là \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Vì \(48\text{ m}<60\text{ m}\), kỹ sư đúng khi cho rằng tàu thăm dò có thể nằm hoàn toàn bên trong nhà chứa tại một thời điểm theo hệ quy chiếu của nhà chứa, với điều kiện tàu được đặt ở vị trí thích hợp.
Bước 3: Tính chiều dài của nhà chứa trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò.
Chiều dài riêng của nhà chứa là \(60\text{ m}\). Trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò, nhà chứa đang chuyển động, nên chiều dài đo được là
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
Phi công cũng đúng: nhà chứa đang chuyển động chỉ dài \(36\text{ m}\) trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò, trong khi chiều dài riêng của tàu thăm dò vẫn là \(80\text{ m}\).
Bước 4: Giải quyết mâu thuẫn có vẻ xuất hiện.
Cụm từ “nằm hoàn toàn bên trong tại một thời điểm” có nghĩa là vị trí của cả hai đầu tàu thăm dò đều nằm bên trong nhà chứa tại cùng một thời điểm trong một hệ quy chiếu được chỉ định.
Trong hệ quy chiếu của nhà chứa, có một thời điểm mà cả hai đầu tàu đều nằm bên trong. Trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò, không có thời điểm nào mà toàn bộ con tàu dài \(80\text{ m}\) có thể nằm bên trong nhà chứa dài \(36\text{ m}\).
Điểm mấu chốt là hai sự kiện đóng cửa, đồng thời trong hệ quy chiếu của nhà chứa, không đồng thời trong hệ quy chiếu của tàu thăm dò. Hai người quan sát không mô tả cùng một cặp sự kiện đồng thời. Không mô tả nào đòi hỏi tàu thăm dò phải bị phá hủy hoặc nén lại về mặt vật lý trong hệ quy chiếu đứng yên của chính nó.
Câu hỏi 3
Khối lượng nghỉ của một hạt nhân liên kết nhỏ hơn tổng khối lượng nghỉ của các nucleon riêng biệt của nó một lượng \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\).
Giả sử cả hai trạng thái đều được so sánh khi đứng yên và năng lượng giải phóng trong quá trình liên kết thoát ra khỏi hạt nhân.
Hãy tính năng lượng liên kết được giải phóng, tính bằng jun, và giải thích tại sao khối lượng nghỉ thấp hơn của hạt nhân cuối cùng không vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
Lời giải 3
Năng lượng liên kết tương đương với độ chênh lệch khối lượng là \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Khối lượng nghỉ thấp hơn phù hợp với định luật bảo toàn năng lượng vì năng lượng được giải phóng đã rời khỏi hệ.
Bước 1: Xác định độ chênh lệch khối lượng.
Độ lớn của độ hụt khối là
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Bước 2: Áp dụng hệ thức tương đương khối lượng-năng lượng.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Bước 3: Giải thích sự cân bằng năng lượng.
Hạt nhân liên kết có năng lượng nghỉ thấp hơn các nucleon riêng biệt. Phần chênh lệch xuất hiện dưới dạng năng lượng được giải phóng trong quá trình liên kết, chẳng hạn như bức xạ hoặc động năng do các sản phẩm khác mang đi.
Khối lượng nghỉ của hạt nhân cuối cùng thấp hơn vì năng lượng đã rời khỏi hạt nhân. Khi tính cả năng lượng được giải phóng, tổng năng lượng vẫn được bảo toàn.
Câu hỏi 4
Một tàu vũ trụ có khối lượng nghỉ bất biến \(1.0\text{ kg}\) và chuyển động với tốc độ \(0.80c\) so với Trái Đất.
Một học sinh tính được \(\gamma=1.67\) và cho rằng khối lượng của tàu vũ trụ đã tăng lên \(1.67\text{ kg}\).
Sử dụng
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
hãy tính năng lượng nghỉ, tổng năng lượng và động năng của tàu vũ trụ. Đánh giá nhận định của học sinh.
Lời giải 4
Năng lượng nghỉ là \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), tổng năng lượng là \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), và động năng là \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Theo quy ước khối lượng bất biến, khối lượng nghỉ của tàu vũ trụ vẫn là \(1.0\text{ kg}\).
Bước 1: Tính năng lượng nghỉ.
Khối lượng nghỉ là \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Bước 2: Tính tổng năng lượng.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Bước 3: Tính động năng.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Các kết quả nhất quán vì tổng năng lượng bằng tổng năng lượng nghỉ và động năng:
\[ E=E_0+K. \]
Bước 4: Đánh giá nhận định của học sinh.
Học sinh đã xác định đúng rằng \(\gamma\) nhân với năng lượng nghỉ để cho ra tổng năng lượng. Sai lầm nằm ở việc diễn giải hệ số này như một sự gia tăng khối lượng nghỉ bất biến.
Động năng của tàu vũ trụ tăng theo tốc độ, nhưng khối lượng nghỉ bất biến của nó vẫn là \(1.0\text{ kg}\). Sự phân biệt này rất quan trọng khi một câu hỏi kết hợp hệ thức tương đương khối lượng-năng lượng với năng lượng của một vật đang chuyển động.
Câu hỏi 5
Một sân ga dài \(600\text{ m}\) trong hệ quy chiếu đứng yên \(S\). Hai chiếc đèn A và B được lắp ở hai đầu sân ga, trong đó A ở vị trí \(x=0\) và B ở vị trí \(x=+600\text{ m}\). Chúng nháy sáng đồng thời tại \(t=0\) trong hệ \(S\).
Mỗi tia sáng lóe lên tạo ra một xung ánh sáng truyền về điểm giữa của sân ga. Trong hệ \(S\), hai xung ánh sáng gặp nhau tại điểm giữa.
Hệ quy chiếu đứng yên \(S'\) của một tên lửa chuyển động theo chiều \(x\) dương với tốc độ \(0.80c\) so với \(S\).
Trong câu hỏi này, hãy sử dụng hệ thức tọa độ thời gian
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
trong đó \(\Delta t=t_B-t_A\) và \(\Delta x=x_B-x_A\) được đo trong hệ \(S\).
(a) Tia sáng từ đèn nào lóe lên trước trong hệ \(S'\), và sớm hơn bao lâu?
(b) Chiều dài của sân ga trong hệ \(S'\) là \(360\text{ m}\). Một học sinh cho rằng khoảng thời gian giữa hai lần lóe sáng do đó phải bằng \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Hãy giải thích chính xác sai lầm nằm ở đâu.
(c) Hai xung ánh sáng có nhất thiết vẫn gặp nhau tại cùng một sự kiện trong hệ \(S'\) không? Hãy giải thích làm thế nào điều đó có thể đúng dù hai tia sáng lóe lên không còn đồng thời.
Lời giải 5
Tia sáng từ đèn B lóe lên trước trong hệ \(S'\), sớm hơn \(2.67\,\mu\text{s}\). Hai xung ánh sáng vẫn gặp nhau tại cùng một sự kiện, vì mọi hệ quy chiếu quán tính đều thống nhất về giao điểm của hai xung ánh sáng, ngay cả khi chúng xác định các thời điểm phát sáng khác nhau.
Bước 1: Tính hệ số Lorentz và xác định độ chênh lệch giữa các sự kiện.
Tốc độ tương đối là \(v=0.80c\), vì vậy
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
Hai tia sáng lóe lên đồng thời trong hệ \(S\), và B có tọa độ vị trí lớn hơn. Do đó,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Bước 2: Tính độ chênh lệch thời gian trong hệ \(S'\).
Thay vào hệ thức tọa độ thời gian đã cho:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
Kết quả âm có nghĩa là \(t'_B<t'_A\). Trong hệ quy chiếu của tên lửa, tia sáng từ đèn B lóe lên sớm hơn tia sáng từ đèn A \(2.67\,\mu\text{s}\).
Bước 3: Giải thích tại sao phép tính \(360\text{ m}/c\) không đúng.
Phép tính của học sinh cho kết quả
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
Phép tính số học là đúng, nhưng nó trả lời sai câu hỏi.
Chiều dài \(360\text{ m}\) là chiều dài của sân ga được đo trong hệ \(S'\), bằng cách đo cả hai đầu tại cùng một thời điểm theo hệ quy chiếu của tên lửa. Hai sự kiện lóe sáng không đồng thời trong \(S'\), nên không thể xem vị trí của chúng như hai đầu của phép đo chiều dài đồng thời đó.
Khoảng thời gian giữa hai sự kiện nói chung không bằng chiều dài đo được chia cho \(c\). Học sinh đã kết hợp một chiều dài được đo bằng cách sử dụng các vị trí hai đầu đồng thời với hai sự kiện xảy ra vào những thời điểm khác nhau trong cùng một hệ quy chiếu.
Bước 4: Giải thích tại sao hai xung ánh sáng vẫn gặp nhau.
Trong hệ \(S\), mỗi xung truyền đi \(300\text{ m}\) đến điểm giữa. Vì vậy, sự kiện hai xung gặp nhau xảy ra tại
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Đây là một sự kiện trong không-thời gian. Mọi hệ quy chiếu quán tính đều thống nhất rằng cả hai xung gặp nhau tại sự kiện đó, dù tọa độ được gán cho nó có khác nhau.
Ta có thể kiểm tra thời gian trong hệ quy chiếu của tên lửa. Áp dụng hệ thức đã cho giữa tia sáng từ đèn A và sự kiện hai xung gặp nhau, ta được
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Tia sáng từ đèn A lóe lên tại \(t'_A=0\), nên xung ánh sáng của nó cần \(0.333\,\mu\text{s}\) theo thời gian tọa độ của hệ quy chiếu tên lửa để đến sự kiện gặp nhau.
Tia sáng từ đèn B lóe lên tại \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), nên xung ánh sáng của nó cần
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
để đến cùng sự kiện đó.
Các thời điểm phát sáng và khoảng thời gian truyền khác nhau vẫn phù hợp với cùng một sự kiện gặp nhau. Sai lầm nằm ở việc cho rằng hai tia sáng được phát ra đồng thời trong một hệ quy chiếu thì nhất thiết phải tiếp tục đồng thời trong mọi hệ quy chiếu.
Bước tiếp theo hữu ích là học cách biểu diễn các sự kiện trên giản đồ không-thời gian. Đối với các bài toán HSC, hãy bắt đầu bằng cách xác định hệ quy chiếu và tự hỏi liệu các sự kiện có xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ đó hay không. Quyết định này giúp bạn chọn giữa giãn nở thời gian, co độ dài và tính tương đối của sự đồng thời trước khi bắt đầu tính toán.