Relativitas Khusus untuk Fisika HSC: Panduan Jelas dengan Contoh Soal

Sebuah wahana antariksa melintasi Bumi dengan kecepatan \(0.80c\). Bumi menetapkan interval waktu antara dua detak jam wahana antariksa yang lebih panjang daripada interval yang diukur oleh astronaut. Sementara itu, astronaut mengatakan bahwa jam-jam di Bumi berjalan lambat. Sebelum melanjutkan membaca, cobalah memprediksi: apakah salah satu pengamat sekadar keliru? Tidak. Masing-masing menggunakan kerangka inersial yang berbeda, dan perbedaan pendapat ini muncul karena waktu dan ruang diukur secara berbeda pada kecepatan tinggi.

01Kerangka acuan: apa yang sebenarnya diukur oleh setiap pengamat?

Kerangka acuan adalah sistem koordinat untuk menetapkan posisi dan waktu suatu peristiwa. Kerangka ini dapat direpresentasikan menggunakan penggaris dan jaringan jam yang disinkronkan.

Kerangka inersial adalah kerangka yang tidak mengalami percepatan atau rotasi. Dalam panduan ini, anggaplah pengaruh gravitasi dapat diabaikan dan wahana antariksa serta Bumi bergerak dengan kecepatan relatif konstan ketika keduanya dibandingkan.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita biasanya dapat menganggap waktu seolah-olah berlaku secara universal. Jika dua peristiwa terjadi pada waktu yang sama menurutmu, kamu akan mengharapkan keduanya terjadi pada waktu yang sama menurut semua orang.

Relativitas khusus menantang anggapan tersebut. Teori ini berawal dari dua aturan:

• Hukum-hukum fisika sama dalam setiap kerangka inersial.
• Setiap pengamat inersial mengukur kecepatan cahaya yang sama dalam ruang hampa, terlepas dari gerakan sumber cahaya atau pengamat.

Kecepatan cahaya adalah

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Misalkan kamu bergerak mendekati seberkas cahaya. Kamu mungkin memperkirakan bahwa kecepatan cahaya yang kamu ukur adalah \(c+v\), dengan \(v\) sebagai kecepatanmu menuju berkas tersebut. Namun, bukan itu yang terjadi. Kamu tetap mengukur \(c\).

Agar hal ini dapat berlaku, pengamat yang bergerak relatif satu sama lain tidak selalu dapat menyepakati interval waktu, panjang, atau peristiwa-peristiwa jauh mana yang terjadi secara bersamaan.

Hal ini bukan tentang apa yang kebetulan dilihat oleh mata mereka. Pengukuran relativistik menggunakan jam yang disinkronkan dan memperhitungkan waktu yang dibutuhkan cahaya untuk merambat. Perbedaan tersebut tetap ada bahkan setelah koreksi itu dilakukan.

02Keserentakan: dua peristiwa dapat terjadi pada waktu berbeda dalam kerangka yang berbeda

Bayangkan dua lampu, A dan B, berada di kedua ujung sebuah peron panjang. Jam-jam yang diam terhadap peron disinkronkan, dan kedua lampu menyala pada waktu peron \(t=0\).

Sebelum melanjutkan membaca, cobalah memprediksi: apakah roket yang melintasi peron harus setuju bahwa kedua kilatan terjadi secara bersamaan?

Tidak. Roket dapat menetapkan waktu yang berbeda untuk kedua kilatan tersebut.

Serentak berarti dua peristiwa memiliki koordinat waktu yang sama dalam suatu kerangka tertentu. Hal ini tidak secara otomatis berarti bahwa setiap kerangka inersial menetapkan waktu yang sama untuk kedua peristiwa tersebut.

Agar situasinya lebih jelas, misalkan:

• Lampu A berada di \(x=0\).
• Lampu B berada di \(x=600\text{ m}\).
• Peron diam dalam kerangka \(S\).
• Kerangka roket \(S'\) bergerak ke arah \(x\) positif dengan kecepatan \(v\) relatif terhadap \(S\).

Dalam kerangka peron, kedua kilatan terjadi secara bersamaan. Dalam kerangka roket, kilatan di B terjadi lebih dahulu daripada kilatan di A.

Mengapa urutannya demikian? Transformasi koordinat waktu untuk kedua peristiwa ini adalah

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

dengan

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Di sini, \(\Delta t=t_B-t_A\) dan \(\Delta x=x_B-x_A\) adalah selisih waktu dan posisi yang diukur dalam kerangka \(S\). Selisih waktu beraksen prima diukur dalam kerangka \(S'\), yang bergerak ke arah \(x\) positif relatif terhadap \(S\).

Untuk kilatan yang serentak dalam kerangka peron,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Oleh karena itu,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Tanda negatif menunjukkan bahwa kilatan B terjadi lebih dahulu dalam kerangka roket.

Satu hal penting yang perlu diperhatikan: urutan ketika seorang pengamat menerima dua kilatan bukanlah bukti, dengan sendirinya, mengenai waktu terjadinya kedua peristiwa tersebut. Cahaya membutuhkan waktu untuk mencapai pengamat, dan jarak yang ditempuhnya mungkin berbeda. Relativitas keserentakan berkaitan dengan waktu yang ditetapkan oleh jam-jam yang disinkronkan setelah memperhitungkan waktu tempuh cahaya.

Perbedaan ini sangat berguna ketika sebuah soal melibatkan dua peristiwa yang berjauhan, bukan dua detak dari satu jam.

03Dilatasi waktu: interval detak jam yang bergerak terukur lebih panjang

Sekarang, pertimbangkan dua detak dari satu jam yang terpasang pada wahana antariksa.

Kedua detak terjadi di lokasi yang sama dalam kerangka diam wahana antariksa. Selang waktu yang diukur oleh jam tersebut disebut waktu proper, ditulis sebagai \(\Delta\tau\).

Seorang pengamat dalam kerangka inersial lain, tempat wahana antariksa bergerak dengan kecepatan \(v\), menetapkan interval waktu yang lebih panjang untuk dua peristiwa yang sama. Inilah yang disebut dilatasi waktu.

Persamaannya adalah

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

dengan:

• \(\Delta t\) adalah interval waktu yang diukur dalam kerangka tempat jam bergerak.
• \(\Delta\tau\) adalah waktu proper yang diukur oleh jam dalam kerangka diamnya.
• \(\gamma\) adalah faktor Lorentz.
• \(v\) adalah kecepatan relatif antara kedua kerangka.
• \(c\) adalah kecepatan cahaya.

Karena \(\gamma\geq1\), interval detak jam yang bergerak tidak pernah lebih pendek daripada interval waktu propernya.

Sebagai contoh, pada \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Kerangka lain mengukur interval yang \(1.67\) kali lebih panjang daripada interval yang diukur oleh jam itu sendiri.

Mengapa kedua pengamat dapat mengatakan bahwa jam milik pengamat lain berjalan lambat?

Hal ini terdengar bertentangan, tetapi kedua pengamat tidak sedang membandingkan secara langsung pasangan detak yang sama pada kedua jam.

Bumi menggunakan jaringan jamnya sendiri yang disinkronkan untuk menetapkan waktu detak jam wahana antariksa. Astronaut menggunakan jaringan jam tersinkronisasi yang berbeda untuk menetapkan waktu detak jam-jam Bumi yang berjauhan. Karena keserentakan bergantung pada kerangka acuan, kedua perbandingan tersebut tidak menggunakan penetapan waktu yang sama untuk peristiwa-peristiwa yang berjauhan.

Jika astronaut berbalik arah dan kemudian bertemu kembali dengan Bumi, situasinya berubah lagi. Perjalanan tersebut mencakup perubahan kerangka inersial, sehingga keseluruhan perjalanan kedua pengamat tidak lagi setara. Keduanya dapat mengumpulkan jumlah waktu proper yang berbeda.

Aturan utamanya sederhana: dilatasi waktu berlaku untuk dua peristiwa yang sama, dengan interval waktu proper diukur dalam kerangka tempat kedua peristiwa itu terjadi di satu lokasi.

04Kontraksi panjang: panjang terukur suatu benda berubah ketika benda itu bergerak

Dilatasi waktu berkaitan dengan interval antara peristiwa. Kontraksi panjang berkaitan dengan jarak antara kedua ujung suatu benda.

Bayangkan sebuah wahana antariksa dalam keadaan diam. Kamu mengukur panjangnya menggunakan penggaris dan mendapatkan hasil \(150\text{ m}\). Ini adalah panjang proper, \(L_0\), karena pengukuran dilakukan dalam kerangka diam wahana antariksa.

Sekarang, misalkan wahana antariksa tersebut melintas Bumi dengan kecepatan tinggi. Bumi mengukur panjangnya dengan mencatat posisi bagian depan dan belakang wahana pada waktu kerangka Bumi yang sama.

Syarat terakhir itu penting. Untuk mengukur panjang dalam suatu kerangka, kamu harus mencatat posisi kedua ujung benda secara bersamaan dalam kerangka tersebut.

Panjang terukur wahana antariksa yang bergerak adalah

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

atau, secara ekuivalen,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

dengan:

• \(L\) adalah panjang yang diukur dalam kerangka tempat benda bergerak.
• \(L_0\) adalah panjang proper benda, yang diukur dalam kerangka diamnya.
• \(v\) adalah kecepatan benda relatif terhadap kerangka pengukuran.
• \(\gamma\) adalah faktor Lorentz.

Hanya dimensi yang sejajar dengan arah gerak yang mengalami kontraksi. Dimensi benda yang tegak lurus terhadap arah gerak tidak berubah menurut hubungan kontraksi panjang ini.

Kesalahan yang umum terjadi adalah membayangkan bahwa wahana antariksa merasakan dirinya tertekan secara fisik. Bukan demikian. Dalam kerangka diamnya sendiri, wahana tersebut tidak mengukur panjang yang lebih pendek. Perbedaan muncul karena pengukuran panjang dalam kerangka yang berbeda menggunakan kumpulan posisi kedua ujung yang berbeda, tetapi tetap serentak dalam masing-masing kerangka.

05Massa-energi: apa sebenarnya arti \(E=mc^2\)?

Pertimbangkan sebuah inti atom yang terbentuk dari proton dan neutron yang terpisah. Setelah inti terbentuk, massa diamnya sedikit lebih kecil daripada jumlah massa diam partikel-partikel yang sebelumnya terpisah.

Apakah sebagian materi begitu saja menghilang?

Tidak. Sistem tersebut telah melepaskan energi, dan energi yang terbawa keluar harus tetap diperhitungkan. Massa dan energi saling berkaitan.

Energi diam suatu benda adalah

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

dengan:

• \(E_0\) adalah energi diam.
• \(m\) adalah massa invarian, atau massa diam.
• \(c\) adalah kecepatan cahaya.

Untuk perubahan massa diam, perubahan energi diam yang bersesuaian adalah

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Faktor \(c^2\) sangat besar. Selisih massa hanya sebesar \(1.0\text{ g}\) setara dengan selisih energi diam sebesar

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Itu merupakan jumlah energi yang sangat besar untuk selisih massa yang sangat kecil.

Apa yang berubah ketika energi masuk ke dalam atau keluar dari suatu sistem?

Jika energi keluar dari suatu sistem, massa diam sistem yang tersisa dapat menjadi lebih kecil. Jika energi ditambahkan ke suatu sistem dan tetap tersimpan di dalamnya, massa diam sistem meningkat, asalkan sistem dibandingkan dalam keadaan diam sebelum dan sesudahnya.

Hal ini tidak berarti bahwa energi musnah ketika massa berkurang. Untuk sistem terisolasi, energi total tetap kekal. Energi mungkin telah meninggalkan benda yang tersisa dalam bentuk radiasi atau energi kinetik, tetapi energi tersebut tetap ada.

Inti atom terikat memberikan contoh yang berguna. Selisih antara jumlah massa diam nukleon-nukleonnya ketika terpisah dan massa diam inti atom yang terikat disebut defek massa. Selisih energi yang bersesuaian disebut energi ikat.

Kualifikasi penting: massa diam tidak sama dengan energi total

Persamaan \(E_0=mc^2\) menyatakan energi diam. Untuk benda yang bergerak dengan kecepatan \(v\), energi totalnya adalah

\[ E=\gamma mc^2, \]

dan energi kinetiknya adalah

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Di sini, \(m\) tetap merupakan massa diam invarian benda tersebut. Faktor \(\gamma\) mengubah energi total benda, bukan massa invarianya.

Beberapa pembahasan yang lebih lama menggunakan istilah massa relativistik untuk \(\gamma m\). Konvensi modern umumnya mempertahankan massa sebagai besaran invarian dan menjelaskan peningkatan tersebut dalam kaitannya dengan energi dan momentum.

Sebagai contoh, foton membawa energi dan momentum meskipun massa diamnya nol. Jadi, \(E=mc^2\) tidak boleh ditafsirkan seolah-olah setiap bentuk energi harus dimiliki oleh partikel dengan massa diam yang tidak nol.

06Memilih hubungan yang tepat

Cara paling andal untuk menyelesaikan soal relativitas khusus adalah mengidentifikasi apa yang diukur sebelum memilih rumus.

Empat pemeriksaan berikut dapat membantu menghindari banyak kesalahan umum:

• Periksa faktor Lorentz. Untuk \(0\leq v<c\), berlaku \(\gamma\geq1\).
• Periksa peristiwanya. Dilatasi waktu bukan aturan untuk setiap pasangan peristiwa. Syarat waktu proper tetap penting.
• Periksa pengukurannya. Kontraksi panjang berlaku sepanjang arah gerak, dan pengukuran panjang memerlukan posisi kedua ujung yang serentak dalam kerangka pengukuran.
• Periksa perhitungan energinya. Penurunan massa diam suatu benda tidak berarti bahwa energi total sistem terisolasi telah menghilang.

07Pertanyaan dan penyelesaian

Pertanyaan 1

Sebuah jam yang terpasang pada wahana antariksa nirawak mengukur waktu \(3.0\text{ s}\) antara dua detak. Wahana tersebut bergerak dengan kecepatan \(0.60c\) relatif terhadap laboratorium.

Hitung interval waktu yang ditetapkan laboratorium untuk dua detak yang sama.

Penyelesaian 1

Laboratorium menetapkan interval sebesar \(3.75\text{ s}\), atau \(3.8\text{ s}\) jika dinyatakan dengan dua angka penting.

Jam di dalam wahana mengukur waktu proper karena kedua detak terjadi di lokasi yang sama dalam kerangka diam wahana tersebut.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Langkah 2: Terapkan dilatasi waktu.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Laboratorium mengukur interval yang lebih panjang daripada interval pada jam wahana. Hasil ini sesuai dengan dilatasi waktu.

Pertanyaan 2

Sebuah wahana antariksa nirawak memiliki panjang proper \(80\text{ m}\). Sebuah hanggar memiliki panjang \(60\text{ m}\) dalam kerangka diamnya sendiri. Wahana tersebut melintasi hanggar dengan kecepatan \(0.80c\).

Seorang insinyur berpendapat bahwa wahana tersebut dapat sepenuhnya berada di dalam hanggar pada satu saat karena panjang terkontraksinya lebih pendek daripada panjang hanggar. Pilot berpendapat bahwa hal ini mustahil karena hanggar lebih pendek daripada wahana dalam kerangka pilot.

Anggap pintu-pintu ideal yang dapat membuka dan menutup seketika, serta abaikan kerusakan material.

Apakah perhitungan panjang kedua pengamat benar? Dapatkah wahana sepenuhnya berada di dalam hanggar pada satu saat? Jelaskan bagaimana kedua deskripsi tersebut konsisten.

Penyelesaian 2

Kedua perhitungan panjang tersebut benar. Perbedaannya berkaitan dengan apakah wahana sepenuhnya berada di dalam hanggar pada satu saat, karena keserentakan bergantung pada kerangka acuan.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Langkah 2: Hitung panjang wahana dalam kerangka hanggar.

Panjang proper wahana adalah \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Karena \(48\text{ m}<60\text{ m}\), insinyur benar bahwa wahana dapat sepenuhnya berada di dalam hanggar pada satu saat dalam kerangka hanggar, asalkan posisinya sesuai.

Langkah 3: Hitung panjang hanggar dalam kerangka wahana.

Panjang proper hanggar adalah \(60\text{ m}\). Dalam kerangka wahana, hanggar bergerak sehingga panjang terukurnya adalah

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Pilot juga benar: panjang hanggar yang bergerak hanya \(36\text{ m}\) dalam kerangka wahana, sedangkan panjang proper wahana tetap \(80\text{ m}\).

Langkah 4: Selesaikan pertentangan yang tampak.

Ungkapan “sepenuhnya berada di dalam pada satu saat” berarti bahwa posisi kedua ujung wahana berada di dalam hanggar pada waktu yang sama dalam suatu kerangka tertentu.

Dalam kerangka hanggar, terdapat satu saat ketika kedua ujung wahana berada di dalam hanggar. Dalam kerangka wahana, tidak ada saat ketika seluruh wahana sepanjang \(80\text{ m}\) dapat masuk ke dalam hanggar sepanjang \(36\text{ m}\).

Kuncinya adalah bahwa dua peristiwa penutupan pintu yang serentak dalam kerangka hanggar tidak serentak dalam kerangka wahana. Kedua pengamat tidak sedang mendeskripsikan pasangan peristiwa serentak yang sama. Tidak satu pun deskripsi tersebut mengharuskan wahana hancur atau tertekan secara fisik dalam kerangka diamnya sendiri.

Pertanyaan 3

Massa diam sebuah inti atom terikat adalah \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) lebih kecil daripada jumlah massa diam nukleon-nukleonnya ketika terpisah.

Anggap kedua keadaan dibandingkan dalam keadaan diam dan energi yang dilepaskan selama proses pengikatan keluar dari inti atom.

Hitung energi ikat yang dilepaskan dalam joule dan jelaskan mengapa massa diam inti akhir yang lebih rendah tidak melanggar hukum kekekalan energi.

Penyelesaian 3

Energi ikat yang setara dengan selisih massa tersebut adalah \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Massa diam yang lebih rendah konsisten dengan kekekalan energi karena energi yang dilepaskan meninggalkan sistem.

Langkah 1: Identifikasi selisih massa.

Besarnya defek massa adalah

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Langkah 2: Terapkan kesetaraan massa-energi.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 3: Jelaskan perhitungan energinya.

Energi diam inti atom terikat lebih rendah daripada energi diam nukleon-nukleon yang terpisah. Selisihnya muncul sebagai energi yang dilepaskan selama proses pengikatan, misalnya dalam bentuk radiasi atau energi kinetik yang dibawa oleh produk lain.

Massa diam inti akhir lebih rendah karena energi telah meninggalkan inti tersebut. Ketika energi yang dilepaskan ikut diperhitungkan, energi total tetap kekal.

Pertanyaan 4

Sebuah wahana antariksa memiliki massa diam invarian sebesar \(1.0\text{ kg}\) dan bergerak dengan kecepatan \(0.80c\) relatif terhadap Bumi.

Seorang siswa menghitung \(\gamma=1.67\) dan menyatakan bahwa massa wahana tersebut meningkat menjadi \(1.67\text{ kg}\).

Dengan menggunakan

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

hitung energi diam, energi total, dan energi kinetik wahana antariksa tersebut. Evaluasilah pernyataan siswa itu.

Penyelesaian 4

Energi diamnya adalah \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), energi totalnya adalah \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), dan energi kinetiknya adalah \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Menurut konvensi massa invarian, massa diam wahana tetap \(1.0\text{ kg}\).

Langkah 1: Hitung energi diam.

Massa diamnya adalah \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 2: Hitung energi total.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Langkah 3: Hitung energi kinetik.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hasil-hasil ini konsisten karena energi total merupakan jumlah energi diam dan energi kinetik:

\[ E=E_0+K. \]

Langkah 4: Evaluasi pernyataan siswa.

Siswa tersebut telah mengidentifikasi dengan benar bahwa \(\gamma\) mengalikan energi diam untuk menghasilkan energi total. Kesalahannya adalah menafsirkan faktor ini sebagai peningkatan massa diam invarian.

Energi kinetik wahana meningkat seiring bertambahnya kecepatan, tetapi massa diam invarianya tetap \(1.0\text{ kg}\). Perbedaan ini penting setiap kali soal menggabungkan kesetaraan massa-energi dengan energi benda yang bergerak.

Pertanyaan 5

Sebuah peron memiliki panjang \(600\text{ m}\) dalam kerangka diamnya \(S\). Dua lampu, A dan B, dipasang di kedua ujungnya, dengan A pada \(x=0\) dan B pada \(x=+600\text{ m}\). Kedua lampu menyala secara bersamaan pada \(t=0\) dalam \(S\).

Setiap kilatan menghasilkan pulsa cahaya yang bergerak menuju titik tengah peron. Dalam kerangka \(S\), kedua pulsa bertemu di titik tengah.

Kerangka diam roket \(S'\) bergerak ke arah \(x\) positif dengan kecepatan \(0.80c\) relatif terhadap \(S\).

Untuk soal ini, gunakan hubungan koordinat waktu

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

dengan \(\Delta t=t_B-t_A\) dan \(\Delta x=x_B-x_A\) diukur dalam \(S\).

(a) Kilatan mana yang terjadi lebih dahulu dalam \(S'\), dan berapa selisih waktunya?

(b) Panjang peron dalam \(S'\) adalah \(360\text{ m}\). Seorang siswa menyatakan bahwa selang waktu antara kedua kilatan harus sebesar \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Jelaskan kesalahan yang sebenarnya.

(c) Apakah kedua pulsa cahaya harus tetap bertemu pada peristiwa yang sama dalam \(S'\)? Jelaskan bagaimana hal itu mungkin terjadi meskipun kedua kilatan tidak lagi serentak.

Penyelesaian 5

Kilatan B terjadi lebih dahulu dalam \(S'\), dengan selisih waktu \(2.67\,\mu\text{s}\). Kedua pulsa tetap bertemu pada peristiwa yang sama karena semua kerangka inersial sepakat mengenai titik pertemuan kedua pulsa cahaya, meskipun mereka menetapkan waktu emisi yang berbeda.

Langkah 1: Hitung faktor Lorentz dan identifikasi selisih antarperistiwa.

Kecepatan relatifnya adalah \(v=0.80c\), sehingga

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Kedua kilatan serentak dalam \(S\), dan B memiliki koordinat posisi yang lebih besar. Oleh karena itu,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Langkah 2: Hitung selisih waktu dalam \(S'\).

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam hubungan koordinat waktu yang diberikan:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Hasil negatif berarti \(t'_B<t'_A\). Kilatan B terjadi \(2.67\,\mu\text{s}\) sebelum kilatan A dalam kerangka roket.

Langkah 3: Jelaskan mengapa perhitungan \(360\text{ m}/c\) tidak tepat.

Perhitungan siswa menghasilkan

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Aritmetikanya benar, tetapi perhitungan tersebut menjawab pertanyaan yang salah.

Panjang \(360\text{ m}\) adalah panjang peron yang diukur dalam \(S'\), yang diperoleh dengan mengukur kedua ujungnya pada waktu kerangka roket yang sama. Kedua peristiwa kilatan tidak serentak dalam \(S'\), sehingga posisi kedua peristiwa itu tidak dapat diperlakukan sebagai posisi kedua ujung dalam pengukuran panjang serentak tersebut.

Selisih waktu antara dua peristiwa pada umumnya tidak sama dengan panjang terukur dibagi \(c\). Siswa tersebut telah mencampurkan panjang yang diukur menggunakan posisi kedua ujung yang serentak dengan dua peristiwa yang terjadi pada waktu berbeda dalam kerangka yang sama.

Langkah 4: Jelaskan mengapa kedua pulsa tetap bertemu.

Dalam \(S\), setiap pulsa menempuh jarak \(300\text{ m}\) menuju titik tengah. Dengan demikian, peristiwa pertemuan terjadi pada

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Ini merupakan satu peristiwa dalam ruang-waktu. Setiap kerangka inersial sepakat bahwa kedua pulsa bertemu pada peristiwa tersebut, meskipun koordinat yang ditetapkan untuk peristiwa itu berbeda.

Kita dapat memeriksa waktu dalam kerangka roket. Dengan menerapkan hubungan yang diberikan pada peristiwa kilatan A dan peristiwa pertemuan, diperoleh

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Kilatan A terjadi pada \(t'_A=0\), sehingga pulsanya memerlukan waktu koordinat \(0.333\,\mu\text{s}\) dalam kerangka roket untuk mencapai peristiwa pertemuan.

Kilatan B terjadi pada \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), sehingga pulsanya memerlukan waktu

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

untuk mencapai peristiwa yang sama.

Waktu emisi dan interval waktu tempuh yang berbeda konsisten dengan satu peristiwa pertemuan yang sama. Kesalahannya adalah menganggap bahwa emisi yang serentak dalam satu kerangka harus tetap serentak dalam setiap kerangka.

Langkah berguna berikutnya adalah mempelajari cara merepresentasikan peristiwa pada diagram ruang-waktu. Untuk soal HSC, mulailah dengan mengidentifikasi kerangkanya dan menanyakan apakah peristiwa-peristiwa tersebut terjadi di lokasi yang sama dalam kerangka itu. Keputusan tersebut membantu kamu memilih antara dilatasi waktu, kontraksi panjang, dan relativitas keserentakan sebelum mulai menghitung.