Relatividade restrita para Física HSC: um guia claro com exemplos resolvidos
Compreenda a relatividade restrita sem mistérios. Este guia de Física HSC explica os referenciais, a relatividade da simultaneidade, a dilatação temporal, a contração do comprimento e a equivalência massa-energia através de explicações claras e exemplos resolvidos.
Uma nave espacial passa pela Terra a \(0.80c\). A Terra atribui um intervalo mais longo entre dois tiques do relógio da nave do que o astronauta. O astronauta, por sua vez, afirma que os relógios da Terra funcionam mais devagar. Antes de continuares a leitura, prevê: estará simplesmente um dos observadores errado? Não. Cada um utiliza um referencial inercial diferente, e a discordância resulta da forma como o tempo e o espaço são medidos a altas velocidades.
Os mesmos dois tiques, tempos decorridos diferentes
| Referencial de repouso do astronauta | Δτ = 3.0 s Ambos os tiques ocorrem no mesmo local da cabine. O relógio da cabine mede o tempo próprio. |
|---|---|
| Referencial da Terra | Δt = γΔτ = 5.0 s Os relógios sincronizados da Terra atribuem o intervalo. Os mesmos dois acontecimentos; nenhum dos relógios está avariado. |
01Referenciais: o que está cada observador realmente a medir?
Um referencial é um sistema de coordenadas utilizado para atribuir posições e tempos aos acontecimentos. Pode ser representado por réguas e uma rede de relógios sincronizados.
Um referencial inercial é aquele que não está a acelerar nem a rodar. Para este guia, admite-se que a gravidade é desprezável e que a nave espacial e a Terra se movem com velocidade relativa constante sempre que são comparadas.
Na vida quotidiana, geralmente podemos tratar o tempo como se fosse universal. Se dois acontecimentos ocorrerem ao mesmo tempo para ti, esperas que ocorram ao mesmo tempo para todas as outras pessoas.
A relatividade restrita põe essa suposição em causa. Parte de duas regras:
- As leis da Física são iguais em todos os referenciais inerciais.
- Todos os observadores inerciais medem a mesma velocidade da luz no vácuo, independentemente do movimento da fonte luminosa ou do observador.
A velocidade da luz é
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Imagina que te moves em direção a um feixe de luz. Poderias esperar medir a sua velocidade como \(c+v\), em que \(v\) é a tua velocidade em direção ao feixe. Mas não é isso que acontece. Continuas a medir \(c\).
Para que isto seja possível, observadores que se movem uns em relação aos outros nem sempre podem concordar quanto aos intervalos de tempo, aos comprimentos ou a quais acontecimentos distantes ocorreram simultaneamente.
Isto não depende simplesmente daquilo que os olhos de cada observador conseguem ver. As medições relativistas utilizam relógios sincronizados e têm em conta o tempo que a luz demora a viajar. A discordância mantém-se mesmo depois dessa correção.
Os mesmos acontecimentos, coordenadas diferentes
| Referencial da plataforma S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Rede própria de relógios sincronizados e escala de posições. Os acontecimentos A e B são simultâneos. |
|---|---|
| Referencial do foguetão S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Rede própria de relógios sincronizados e escala de posições. O acontecimento B ocorre antes de A. |
02Simultaneidade: dois acontecimentos podem ocorrer em momentos diferentes em referenciais diferentes
Imagina duas lâmpadas, A e B, nas extremidades opostas de uma plataforma comprida. Os relógios em repouso relativamente à plataforma estão sincronizados, e ambas as lâmpadas emitem um clarão no instante \(t=0\), segundo o tempo da plataforma.
Antes de continuares, prevê: será que um foguetão que passa pela plataforma tem de concordar que os clarões ocorreram simultaneamente?
Não. O foguetão pode atribuir tempos diferentes aos dois clarões.
Simultâneo significa que dois acontecimentos têm a mesma coordenada temporal num referencial especificado. Isso não significa automaticamente que todos os referenciais inerciais lhes atribuam o mesmo tempo.
Para tornar a situação precisa, supõe que:
- A lâmpada A está em \(x=0\).
- A lâmpada B está em \(x=600\text{ m}\).
- A plataforma está em repouso no referencial \(S\).
- O referencial \(S'\) do foguetão move-se no sentido positivo do eixo \(x\), com velocidade \(v\) relativamente a \(S\).
No referencial da plataforma, os clarões são simultâneos. No referencial do foguetão, o clarão em B ocorre antes do clarão em A.
Por que razão acontece nesta ordem? A transformação da coordenada temporal para estes dois acontecimentos é
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
em que
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Aqui, \(\Delta t=t_B-t_A\) e \(\Delta x=x_B-x_A\) são as diferenças de tempo e de posição medidas no referencial \(S\). A diferença de tempo com plicas é medida no referencial \(S'\), que se move no sentido positivo do eixo \(x\) relativamente a \(S\).
Para os clarões simultâneos na plataforma,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Portanto,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
O sinal negativo indica que o clarão em B ocorre primeiro no referencial do foguetão.
Relatividade da simultaneidade: estrutura necessária das linhas temporais
| Referencial da plataforma S | Δt = 0 Os acontecimentos A e B têm a mesma coordenada temporal. |
|---|---|
| Referencial do foguetão S′ | Δt′ < 0 O acontecimento B ocorre antes do acontecimento A. |
Há uma ressalva importante: a ordem pela qual um observador recebe dois clarões não prova, por si só, em que momentos ocorreram os acontecimentos. A luz tem de viajar até ao observador, e as distâncias podem ser diferentes. A relatividade da simultaneidade diz respeito aos tempos atribuídos por relógios sincronizados, depois de se ter em conta o tempo de propagação da luz.
Esta distinção torna-se especialmente útil quando uma questão envolve dois acontecimentos distantes, em vez de dois tiques de um único relógio.
03Dilatação temporal: um relógio em movimento tem um intervalo medido entre tiques mais longo
Considera agora dois tiques de um único relógio instalado numa nave espacial.
Os dois tiques ocorrem no mesmo local do referencial de repouso da nave. O tempo decorrido medido por esse relógio chama-se tempo próprio, representado por \(\Delta\tau\).
Um observador noutro referencial inercial, no qual a nave se move com velocidade \(v\), atribui um intervalo de tempo mais longo aos mesmos dois acontecimentos. Este fenómeno chama-se dilatação temporal.
A equação é
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
em que:
- \(\Delta t\) é o intervalo de tempo medido no referencial em que o relógio está em movimento.
- \(\Delta\tau\) é o tempo próprio medido pelo relógio no seu referencial de repouso.
- \(\gamma\) é o fator de Lorentz.
- \(v\) é a velocidade relativa entre os referenciais.
- \(c\) é a velocidade da luz.
Como \(\gamma\geq1\), o intervalo entre tiques do relógio em movimento nunca é menor do que o seu intervalo de tempo próprio.
Por exemplo, para \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
O outro referencial mede um intervalo \(1.67\) vezes maior do que o intervalo indicado pelo próprio relógio.
Um relógio, dois intervalos de tempo medidos
| Referencial da nave espacial | Δτ = 10.0 min Ambos os tiques ocorrem no mesmo local da cabine. O relógio da cabine mede o tempo próprio. |
|---|---|
| Referencial do laboratório | Δt = γΔτ = 16.7 min O relógio da cabine move-se a 0.80c. Os relógios sincronizados do laboratório atribuem um intervalo mais longo. |
Exemplo resolvido: Um relógio numa nave espacial veloz
Uma nave espacial move-se a \(0.80c\) relativamente à Terra. O relógio a bordo mede \(10.0\text{ min}\) entre dois tiques. Que intervalo de tempo atribui a Terra aos mesmos dois tiques?
Passo 1
Os dois tiques ocorrem no mesmo local do referencial de repouso da nave, pelo que a leitura do relógio a bordo corresponde ao tempo próprio:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Passo 2
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Passo 3
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
A Terra atribui um intervalo de \(16.7\text{ min}\), em comparação com os \(10.0\text{ min}\) indicados pelo relógio da nave. O relógio do astronauta funciona normalmente no seu próprio referencial de repouso; a diferença está nos intervalos de tempo atribuídos pelos dois referenciais.
Porque podem ambos os observadores afirmar que o relógio do outro funciona mais devagar?
Isto parece contraditório, mas os observadores não estão a fazer uma comparação direta do mesmo par de tiques nos dois relógios.
A Terra utiliza a sua própria rede de relógios sincronizados para atribuir tempos aos tiques da nave espacial. O astronauta utiliza uma rede de relógios sincronizados diferente para atribuir tempos aos tiques dos relógios distantes da Terra. Como a simultaneidade depende do referencial, as duas comparações não utilizam as mesmas atribuições temporais para os acontecimentos distantes.
Se o astronauta inverter o sentido do movimento e se reencontrar mais tarde com a Terra, a situação volta a mudar. A viagem inclui uma mudança de referencial inercial, pelo que as viagens completas dos dois observadores deixam de ser equivalentes. Podem acumular quantidades diferentes de tempo próprio.
A regra fundamental é simples: a dilatação temporal aplica-se aos mesmos dois acontecimentos, sendo o intervalo de tempo próprio medido no referencial em que esses acontecimentos ocorrem num único local.
04Contração do comprimento: o comprimento medido de um objeto em movimento muda
A dilatação temporal diz respeito ao intervalo entre acontecimentos. A contração do comprimento diz respeito à distância entre as extremidades de um objeto.
Imagina uma nave espacial em repouso. Mede o seu comprimento com uma régua e obténs \(150\text{ m}\). Este é o seu comprimento próprio, \(L_0\), porque a medição é feita no referencial de repouso da nave.
Agora supõe que a nave passa pela Terra a uma velocidade elevada. A Terra mede o seu comprimento registando as posições da parte dianteira e da parte traseira no mesmo instante, segundo o tempo do referencial terrestre.
Esta última condição é importante. Para medir um comprimento num determinado referencial, tens de registar simultaneamente, nesse referencial, as posições das duas extremidades.
O comprimento medido da nave em movimento é
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
ou, de forma equivalente,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
em que:
- \(L\) é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em movimento.
- \(L_0\) é o comprimento próprio do objeto, medido no seu referencial de repouso.
- \(v\) é a velocidade do objeto relativamente ao referencial de medição.
- \(\gamma\) é o fator de Lorentz.
Apenas a dimensão paralela ao movimento sofre contração. As dimensões perpendiculares do objeto não se alteram devido a esta relação de contração do comprimento.
A contração do comprimento afeta apenas a direção do movimento
| Nave espacial em repouso | L = L₀ L₀ é o comprimento próprio. Dimensão perpendicular: h₀. |
|---|---|
| Nave espacial em movimento à velocidade v | L = L₀/γ O comprimento contrai-se paralelamente ao movimento. A dimensão perpendicular mantém-se h₀. |
Um erro comum é imaginar que a nave espacial sente que está a ser fisicamente comprimida. Isso não acontece. No seu próprio referencial de repouso, não mede um comprimento menor. A diferença surge porque as medições de comprimento em referenciais diferentes utilizam conjuntos diferentes de posições simultâneas das extremidades.
Exemplo resolvido: Uma nave espacial a passar por um detetor
Uma sonda tem um comprimento próprio de \(150\text{ m}\) e passa por um detetor estacionário a \(0.80c\).
Calcula:
- o comprimento medido pela Terra;
- o tempo entre a passagem da parte dianteira e da parte traseira da sonda pelo detetor, no referencial da Terra;
- o tempo entre esses mesmos acontecimentos no referencial da sonda.
Passo 1
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Passo 2
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
A Terra mede o comprimento da sonda em movimento como \(90.0\text{ m}\).
Passo 3
A sonda move-se a
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
No referencial da Terra, a parte dianteira e a parte traseira estão separadas por \(90.0\text{ m}\). Portanto, o tempo entre as respetivas passagens pelo detetor estacionário é
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Passo 4
No referencial da sonda, o detetor passa ao longo de todo o comprimento próprio da sonda, \(150\text{ m}\), com a mesma velocidade relativa. Assim,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Os dois acontecimentos de passagem ocorrem no mesmo local do referencial da Terra, pelo que o intervalo de \(0.375\,\mu\text{s}\) do detetor é um intervalo de tempo próprio. No referencial da sonda, o detetor está em movimento e o intervalo é mais longo:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
Os cálculos são consistentes. O mesmo par de acontecimentos tem intervalos de tempo diferentes nos dois referenciais, enquanto o comprimento medido da sonda depende do referencial em que as duas extremidades são registadas simultaneamente.
Os mesmos acontecimentos de passagem, intervalos de tempo diferentes
| Referencial da Terra | A → B: 0.375 μs Comprimento da sonda: 90 m; o detetor está em repouso. |
|---|---|
| Referencial da sonda | A → B: 0.625 μs Comprimento da sonda: 150 m; o detetor passa por ela. |
05Massa-energia: o que significa realmente \(E=mc^2\)?
Considera a formação de um núcleo a partir de protões e neutrões separados. Depois de o núcleo se formar, a sua massa de repouso é ligeiramente inferior à soma das massas de repouso das partículas separadas.
Terá simplesmente desaparecido alguma matéria?
Não. O sistema libertou energia, e a energia transportada para o exterior tem de ser incluída no balanço. A massa e a energia estão relacionadas.
A energia de repouso de um objeto é
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
em que:
- \(E_0\) é a energia de repouso.
- \(m\) é a massa invariante, ou massa de repouso.
- \(c\) é a velocidade da luz.
Para uma variação da massa de repouso, a variação correspondente da energia de repouso é
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
O fator \(c^2\) é enorme. Uma diferença de massa de apenas \(1.0\text{ g}\) corresponde a uma diferença de energia de repouso de
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Trata-se de uma quantidade enorme de energia para uma diferença de massa tão pequena.
A massa diminui; a energia total conserva-se
| Antes de a energia ser libertada | Rest mass = m Energia de repouso inicial: E₀ = mc². |
|---|---|
| Após a emissão da radiação | Remaining mass = m − Δm A radiação transporta ΔE = Δmc². Energia de repouso restante + energia da radiação = energia inicial. |
O que muda quando a energia entra ou sai de um sistema?
Se a energia sair de um sistema, o sistema restante pode ter uma massa de repouso menor. Se for adicionada energia a um sistema e esta ficar retida no seu interior, a sua massa de repouso aumenta, desde que o sistema seja comparado em repouso antes e depois.
Isto não significa que a energia seja destruída quando a massa diminui. Num sistema isolado, a energia total conserva-se. A energia pode ter saído do objeto restante sob a forma de radiação ou energia cinética, mas continua a existir.
Um núcleo ligado constitui um exemplo útil. A diferença entre a soma das massas de repouso dos nucleões separados e a massa de repouso do núcleo ligado chama-se defeito de massa. A diferença de energia correspondente é a energia de ligação.
Uma ressalva necessária: a massa de repouso não é o mesmo que a energia total
A equação \(E_0=mc^2\) fornece a energia de repouso. Para um objeto que se move com velocidade \(v\), a energia total é
\[ E=\gamma mc^2, \]
e a sua energia cinética é
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Aqui, \(m\) continua a ser a massa de repouso invariante do objeto. O fator \(\gamma\) altera a energia total do objeto, não a sua massa invariante.
Algumas abordagens mais antigas utilizam o termo massa relativista para \(\gamma m\). A convenção moderna mantém, em geral, a massa invariante e descreve o aumento em termos de energia e quantidade de movimento.
Os fotões, por exemplo, transportam energia e quantidade de movimento apesar de terem massa de repouso nula. Por isso, \(E=mc^2\) não deve ser interpretada como significando que todas as formas de energia têm necessariamente de pertencer a uma partícula com massa de repouso diferente de zero.
Exemplo resolvido: Calcular a energia a partir de uma diferença de massa
Uma fonte estacionária emite radiação, e a sua massa de repouso diminui \(0.50\text{ mg}\). Admitindo que toda a diferença de massa corresponde à energia transportada pela radiação emitida, estima a energia libertada.
Passo 1
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Passo 2
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passo 3
A energia libertada é \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Uma diferença de massa de apenas \(0.50\text{ mg}\) corresponde a uma quantidade enorme de energia.
A massa de repouso restante da fonte diminuiu, mas a energia não desapareceu. Quando se inclui a radiação emitida, o balanço energético total continua consistente.
06Escolher a relação adequada
A forma mais fiável de resolver uma questão de relatividade restrita consiste em identificar o que está a ser medido antes de escolher uma fórmula.
| O que a questão descreve | Relação relevante | O que verificar antes de substituir os valores |
|---|---|---|
| Tempo entre dois tiques de um relógio em movimento | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | Os dois acontecimentos ocorrem no mesmo local do referencial de repouso do relógio? |
| Comprimento de um objeto em movimento relativamente ao observador | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) é o comprimento próprio e as duas extremidades são medidas simultaneamente no referencial do observador? |
| Dois acontecimentos em posições diferentes | Relatividade da simultaneidade | Os acontecimentos ocorrem em locais diferentes no referencial em que os seus tempos estão a ser comparados? |
| Variação da energia de repouso de um sistema | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Que sistema está a ser considerado e para onde foi a energia? |
Quatro verificações permitem detetar muitos erros comuns:
- Verifica o fator de Lorentz. Para \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
- Verifica os acontecimentos. A dilatação temporal não é uma regra aplicável a qualquer par de acontecimentos. A condição relativa ao tempo próprio é importante.
- Verifica a medição. A contração do comprimento aplica-se na direção do movimento, e uma medição de comprimento exige posições simultâneas das extremidades no referencial de medição.
- Verifica o balanço energético. Uma diminuição da massa de repouso de um objeto não significa que a energia total de um sistema isolado tenha desaparecido.
07Perguntas e resoluções
Questão 1
Um relógio fixo numa sonda mede \(3.0\text{ s}\) entre dois tiques. A sonda move-se a \(0.60c\) relativamente a um laboratório.
Calcula o intervalo de tempo que o laboratório atribui aos mesmos dois tiques.
Resolução 1
O laboratório atribui um intervalo de \(3.75\text{ s}\), ou \(3.8\text{ s}\) com dois algarismos significativos.
O relógio a bordo mede o tempo próprio porque os dois tiques ocorrem no mesmo local do referencial de repouso da sonda.
Passo 1: Calcular o fator de Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Passo 2: Aplicar a dilatação temporal.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
O laboratório mede um intervalo mais longo do que o indicado pelo relógio da sonda. O resultado é consistente com a dilatação temporal.
Questão 2
Uma sonda tem um comprimento próprio de \(80\text{ m}\). Um hangar tem \(60\text{ m}\) de comprimento no seu próprio referencial de repouso. A sonda passa pelo hangar a \(0.80c\).
Um engenheiro argumenta que a sonda pode ficar inteiramente dentro do hangar num determinado instante, porque o seu comprimento contraído é menor do que o comprimento do hangar. O piloto argumenta que isso é impossível, porque o hangar é mais curto do que a sonda no referencial do piloto.
Admite portas ideais que podem abrir e fechar instantaneamente e ignora os danos materiais.
Estão corretos os cálculos dos comprimentos feitos por ambos os observadores? Pode a sonda ficar inteiramente dentro do hangar num determinado instante? Explica como as duas descrições são consistentes.
Resolução 2
Ambos os cálculos dos comprimentos estão corretos. A discordância diz respeito à possibilidade de a sonda ficar inteiramente dentro do hangar num determinado instante, porque a simultaneidade depende do referencial.
Passo 1: Calcular o fator de Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Passo 2: Calcular o comprimento da sonda no referencial do hangar.
O comprimento próprio da sonda é \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Como \(48\text{ m}<60\text{ m}\), o engenheiro tem razão: a sonda pode ficar inteiramente dentro do hangar num determinado instante do referencial do hangar, desde que esteja devidamente posicionada.
Passo 3: Calcular o comprimento do hangar no referencial da sonda.
O comprimento próprio do hangar é \(60\text{ m}\). No referencial da sonda, o hangar está em movimento, pelo que o comprimento medido é
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
O piloto também tem razão: o hangar em movimento tem apenas \(36\text{ m}\) de comprimento no referencial da sonda, enquanto o comprimento próprio da sonda permanece igual a \(80\text{ m}\).
Passo 4: Resolver a aparente contradição.
A expressão «inteiramente dentro num determinado instante» significa que as posições das duas extremidades da sonda se encontram dentro do hangar ao mesmo tempo, num referencial especificado.
No referencial do hangar, existe um instante em que ambas as extremidades estão no seu interior. No referencial da sonda, não existe nenhum instante em que a sonda inteira, com \(80\text{ m}\), caiba no hangar de \(36\text{ m}\).
O ponto essencial é que os dois acontecimentos de fecho das portas, simultâneos no referencial do hangar, não são simultâneos no referencial da sonda. Os observadores não estão a descrever o mesmo par de acontecimentos simultâneos. Nenhuma das descrições exige que a sonda seja fisicamente destruída ou comprimida no seu próprio referencial de repouso.
Questão 3
A massa de repouso de um núcleo ligado é \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) inferior à soma das massas de repouso dos seus nucleões separados.
Admite que ambos os estados são comparados em repouso e que a energia libertada durante a ligação sai do núcleo.
Calcula a energia de ligação libertada, em joules, e explica por que razão a menor massa de repouso do núcleo final não viola a conservação da energia.
Resolução 3
A energia de ligação equivalente à diferença de massa é \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). A menor massa de repouso é consistente com a conservação da energia porque a energia libertada sai do sistema.
Passo 1: Identificar a diferença de massa.
O valor absoluto do defeito de massa é
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Passo 2: Aplicar a equivalência massa-energia.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passo 3: Explicar o balanço energético.
O núcleo ligado tem menos energia de repouso do que os nucleões separados. A diferença manifesta-se sob a forma de energia libertada durante a ligação, como radiação ou energia cinética transportada por outros produtos.
A massa de repouso do núcleo final é menor porque saiu energia do núcleo. Quando se inclui a energia libertada, a energia total conserva-se.
Questão 4
Uma nave espacial tem uma massa de repouso invariante de \(1.0\text{ kg}\) e move-se a \(0.80c\) relativamente à Terra.
Um estudante calcula \(\gamma=1.67\) e afirma que a massa da nave aumentou para \(1.67\text{ kg}\).
Utilizando
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
calcula a energia de repouso, a energia total e a energia cinética da nave. Avalia a afirmação do estudante.
Resolução 4
A energia de repouso é \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), a energia total é \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) e a energia cinética é \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Segundo a convenção da massa invariante, a massa de repouso da nave continua a ser \(1.0\text{ kg}\).
Passo 1: Calcular a energia de repouso.
A massa de repouso é \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passo 2: Calcular a energia total.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passo 3: Calcular a energia cinética.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Os resultados são consistentes porque a energia total é a soma da energia de repouso com a energia cinética:
\[ E=E_0+K. \]
Passo 4: Avaliar a afirmação do estudante.
O estudante identificou corretamente que \(\gamma\) multiplica a energia de repouso para obter a energia total. O erro consiste em interpretar esse fator como um aumento da massa de repouso invariante.
A energia cinética da nave aumenta com a velocidade, mas a sua massa de repouso invariante permanece igual a \(1.0\text{ kg}\). Esta distinção é importante sempre que uma questão combina a equivalência massa-energia com a energia de um objeto em movimento.
Questão 5
Uma plataforma tem \(600\text{ m}\) de comprimento no seu referencial de repouso \(S\). Duas lâmpadas, A e B, estão montadas nas extremidades, com A em \(x=0\) e B em \(x=+600\text{ m}\). As lâmpadas emitem clarões simultaneamente em \(t=0\), no referencial \(S\).
Cada clarão origina um impulso luminoso em direção ao ponto médio da plataforma. No referencial \(S\), os dois impulsos encontram-se no ponto médio.
O referencial de repouso \(S'\) de um foguetão move-se no sentido positivo do eixo \(x\), a \(0.80c\) relativamente a \(S\).
Para esta questão, utiliza a relação para a coordenada temporal
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
em que \(\Delta t=t_B-t_A\) e \(\Delta x=x_B-x_A\) são medidos em \(S\).
(a) Qual dos clarões ocorre primeiro em \(S'\) e com que diferença de tempo?
(b) O comprimento da plataforma em \(S'\) é \(360\text{ m}\). Um estudante afirma que a diferença de tempo entre os clarões tem, por isso, de ser \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Explica qual é exatamente o erro.
(c) Os dois impulsos luminosos têm necessariamente de continuar a encontrar-se no mesmo acontecimento em \(S'\)? Explica como isso é possível, apesar de os clarões já não serem simultâneos.
Resolução 5
O clarão B ocorre primeiro em \(S'\), com uma antecedência de \(2.67\,\mu\text{s}\). Os impulsos continuam a encontrar-se no mesmo acontecimento, porque todos os referenciais inerciais concordam quanto à interseção dos dois impulsos luminosos, mesmo quando atribuem tempos diferentes aos acontecimentos de emissão.
Passo 1: Calcular o fator de Lorentz e identificar as diferenças entre os acontecimentos.
A velocidade relativa é \(v=0.80c\), pelo que
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
Os clarões são simultâneos em \(S\), e B tem a coordenada de posição maior. Portanto,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Passo 2: Calcular a diferença de tempo em \(S'\).
Substitui os valores na relação fornecida para a coordenada temporal:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
O resultado negativo significa que \(t'_B<t'_A\). O clarão B ocorre \(2.67\,\mu\text{s}\) antes do clarão A no referencial do foguetão.
Passo 3: Explicar por que razão o cálculo \(360\text{ m}/c\) está errado.
O cálculo do estudante dá
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
A aritmética está correta, mas responde à pergunta errada.
Os \(360\text{ m}\) correspondem ao comprimento da plataforma medido em \(S'\), obtido através da medição simultânea das posições das duas extremidades no referencial do foguetão. Os dois acontecimentos dos clarões não são simultâneos em \(S'\), pelo que as suas posições não podem ser tratadas como as extremidades dessa medição simultânea de comprimento.
A diferença de tempo entre dois acontecimentos não é, em geral, igual ao comprimento medido dividido por \(c\). O estudante misturou um comprimento medido através de posições simultâneas das extremidades com dois acontecimentos que ocorrem em momentos diferentes no mesmo referencial.
Passo 4: Explicar por que razão os impulsos continuam a encontrar-se.
Em \(S\), cada impulso percorre \(300\text{ m}\) até ao ponto médio. O acontecimento de encontro ocorre, portanto, em
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Este é um único acontecimento no espaço-tempo. Todos os referenciais inerciais concordam que ambos os impulsos se encontram nesse acontecimento, embora as coordenadas que lhe atribuem sejam diferentes.
Podemos verificar os tempos no referencial do foguetão. Aplicando a relação fornecida entre o clarão A e o acontecimento de encontro, obtemos
\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
O clarão A ocorre em \(t'_A=0\), pelo que o seu impulso demora \(0.333\,\mu\text{s}\) de tempo coordenado no referencial do foguetão a chegar ao acontecimento de encontro.
O clarão B ocorre em \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), pelo que o seu impulso demora
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
a chegar ao mesmo acontecimento.
Os diferentes tempos de emissão e intervalos de propagação são consistentes com um único acontecimento de encontro. O erro seria supor que uma emissão simultânea num referencial tem de continuar a ser simultânea em todos os referenciais.
O passo seguinte mais útil é aprender a representar acontecimentos num diagrama do espaço-tempo. Para problemas do HSC, começa por identificar o referencial e perguntar se os acontecimentos ocorrem no mesmo local desse referencial. Essa decisão ajuda-te a escolher entre a dilatação temporal, a contração do comprimento e a relatividade da simultaneidade antes de começares os cálculos.