HSC পদার্থবিজ্ঞানে বিশেষ আপেক্ষিকতা: সহজ ব্যাখ্যা ও সমাধানসহ নির্দেশিকা

একটি মহাকাশযান পৃথিবীর পাশ দিয়ে \(0.80c\) বেগে অতিক্রম করে। মহাকাশযানের ঘড়ির পরপর দুটি টিকের মধ্যবর্তী সময়কে পৃথিবী বেশি বলে নির্ধারণ করে, astronaut বা মহাকাশচারী যতটা সময় মাপেন তার তুলনায়। অন্যদিকে, মহাকাশচারী বলেন যে পৃথিবীর ঘড়িগুলো ধীরে চলে। সামনে পড়ার আগে অনুমান করুন: তাহলে কি একজন পর্যবেক্ষক নিছকই ভুল? না। প্রত্যেকে আলাদা জড় প্রসঙ্গ কাঠামো ব্যবহার করেন, আর উচ্চ বেগে সময় ও স্থান কীভাবে পরিমাপ করা হয়, তার পার্থক্য থেকেই এই মতভেদ তৈরি হয়।

01প্রসঙ্গ কাঠামো: প্রত্যেক পর্যবেক্ষক আসলে কী পরিমাপ করছেন?

প্রসঙ্গ কাঠামো (frame of reference) হলো এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, যার সাহায্যে কোনো ঘটনার অবস্থান ও সময় নির্ধারণ করা হয়। একে স্কেল এবং পরস্পরের সঙ্গে সুসমন্বিত ঘড়ির একটি নেটওয়ার্কের সাহায্যে উপস্থাপন করা যায়।

জড় প্রসঙ্গ কাঠামো (inertial frame) হলো এমন একটি কাঠামো, যা ত্বরণপ্রাপ্ত বা ঘূর্ণায়মান নয়। এই নির্দেশিকায় ধরে নিন, মহাকর্ষের প্রভাব নগণ্য এবং পৃথিবী ও মহাকাশযানের মধ্যে তুলনা করার সময় তারা পরস্পরের সাপেক্ষে ধ্রুব বেগে চলছে।

দৈনন্দিন জীবনে আমরা সাধারণত সময়কে সর্বজনীন বলে ধরে নিতে পারি। আপনার কাছে যদি দুটি ঘটনা একই সময়ে ঘটে, তাহলে আপনি আশা করেন যে অন্য সবার কাছেও সেগুলো একই সময়ে ঘটবে।

বিশেষ আপেক্ষিকতা এই ধারণাকে চ্যালেঞ্জ করে। এটি দুটি নিয়মের ওপর ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে:

• পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো প্রতিটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতেই একই থাকে।
• প্রতিটি জড় পর্যবেক্ষক শূন্যস্থানে আলোর একই বেগ পরিমাপ করেন, আলোর উৎস বা পর্যবেক্ষক যে বেগেই চলুক না কেন।

আলোর বেগ হলো

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

ধরা যাক, আপনি আলোর একটি রশ্মির দিকে এগিয়ে যাচ্ছেন। আপনার মনে হতে পারে, আপনি এর বেগ \(c+v\) মাপবেন, যেখানে \(v\) হলো রশ্মিটির দিকে আপনার অগ্রসর হওয়ার বেগ। কিন্তু তা হবে না। আপনি তবুও \(c\) বেগই পরিমাপ করবেন।

এটি সম্ভব হওয়ার জন্য পরস্পরের সাপেক্ষে গতিশীল পর্যবেক্ষকেরা সব সময় সময়ের ব্যবধান, দৈর্ঘ্য অথবা দূরবর্তী ঘটনাগুলো একই সঙ্গে ঘটেছে কি না-এসব বিষয়ে একমত হতে পারেন না।

এটি পর্যবেক্ষকের চোখে কী দেখা যায়, সেই বিষয় নয়। আপেক্ষিকতাভিত্তিক পরিমাপে সুসমন্বিত ঘড়ি ব্যবহার করা হয় এবং আলো চলাচল করতে যে সময় নেয়, তা হিসাবের মধ্যে ধরা হয়। এই সংশোধন করার পরও মতভেদ থেকে যায়।

02সমকালীনতা: দুটি ঘটনা ভিন্ন প্রসঙ্গ কাঠামোতে ভিন্ন সময়ে ঘটতে পারে

একটি দীর্ঘ প্ল্যাটফর্মের দুই প্রান্তে A ও B নামের দুটি বাতি কল্পনা করুন। প্ল্যাটফর্মের সাপেক্ষে স্থির ঘড়িগুলো পরস্পরের সঙ্গে সুসমন্বিত, এবং উভয় বাতি প্ল্যাটফর্মের \(t=0\) সময়ে জ্বলে ওঠে।

আরও পড়ার আগে অনুমান করুন: প্ল্যাটফর্মের পাশ দিয়ে যাওয়া একটি রকেট কি অবশ্যই একমত হবে যে বাতি দুটির আলো একই সময়ে জ্বলে উঠেছে?

না। রকেট দুটি আলোক-ঝলকের জন্য ভিন্ন সময় নির্ধারণ করতে পারে।

সমকালীন (simultaneous) বলতে বোঝায়, কোনো নির্দিষ্ট প্রসঙ্গ কাঠামোতে দুটি ঘটনার সময়-স্থানাঙ্ক একই। এর অর্থ এই নয় যে প্রতিটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতেই ঘটনাগুলোর সময় একই হবে।

পরিস্থিতিটি নির্দিষ্টভাবে বোঝার জন্য ধরে নিন:

• বাতি A-এর অবস্থান \(x=0\)।
• বাতি B-এর অবস্থান \(x=600\text{ m}\)।
• প্ল্যাটফর্মটি \(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে স্থির।
• রকেটের \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোটি \(S\)-এর সাপেক্ষে ধনাত্মক \(x\)-দিক বরাবর \(v\) বেগে চলছে।

প্ল্যাটফর্মের প্রসঙ্গ কাঠামোতে আলোক-ঝলক দুটি সমকালীন। কিন্তু রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে B-এর আলোক-ঝলকটি A-এর আলোক-ঝলকের আগে ঘটে।

এই ক্রমটি কেন? এই দুটি ঘটনার সময়-স্থানাঙ্কের রূপান্তর সমীকরণটি হলো

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

যেখানে

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

এখানে, \(\Delta t=t_B-t_A\) এবং \(\Delta x=x_B-x_A\) হলো \(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা সময় ও অবস্থানের পার্থক্য। প্রাইম চিহ্নযুক্ত সময়ের পার্থক্যটি \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা হয়, যা \(S\)-এর সাপেক্ষে ধনাত্মক \(x\)-দিক বরাবর চলছে।

প্ল্যাটফর্মের প্রসঙ্গ কাঠামোতে সমকালীন আলোক-ঝলক দুটির জন্য,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

অতএব,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

ঋণাত্মক চিহ্নটি বোঝায় যে রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে B-এর আলোক-ঝলকটি আগে ঘটে।

একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত মনে রাখা দরকার: কোনো পর্যবেক্ষক দুটি আলোক-ঝলক কখন গ্রহণ করছেন, শুধু সেই ক্রম থেকে ঘটনাগুলোর সময় নির্ধারণ করা যায় না। আলোকে পর্যবেক্ষকের কাছে পৌঁছাতে সময় লাগে, এবং দুটি আলোক-ঝলকের দূরত্বও ভিন্ন হতে পারে। সমকালীনতার আপেক্ষিকতা বলতে বোঝায়, আলোর চলাচলের সময়ের হিসাব সমন্বয় করার পর সুসমন্বিত ঘড়ির সাহায্যে নির্ধারিত সময়ের পার্থক্য।

একটি ঘড়ির দুটি টিকের পরিবর্তে দুটি দূরবর্তী ঘটনা নিয়ে প্রশ্ন করা হলে এই পার্থক্যটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।

03সময় প্রসারণ: গতিশীল ঘড়ির টিকের মধ্যবর্তী পরিমাপিত সময় বেশি হয়

এবার একটি মহাকাশযানের সঙ্গে সংযুক্ত একটিমাত্র ঘড়ির পরপর দুটি টিক বিবেচনা করুন।

দুটি টিকই মহাকাশযানের স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে একই স্থানে ঘটে। ওই ঘড়ি দ্বারা পরিমাপ করা অতিবাহিত সময়কে নিজস্ব সময় (proper time) বলা হয় এবং একে \(\Delta\tau\) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

অন্য একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে, যেখানে মহাকাশযানটি \(v\) বেগে চলছে, একজন পর্যবেক্ষক ওই একই দুটি ঘটনার জন্য আরও দীর্ঘ সময়ের ব্যবধান নির্ধারণ করেন। একেই সময় প্রসারণ (time dilation) বলে।

সমীকরণটি হলো

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

যেখানে:

• \(\Delta t\) হলো যে প্রসঙ্গ কাঠামোতে ঘড়িটি গতিশীল, সেই কাঠামোতে পরিমাপ করা সময়ের ব্যবধান।
• \(\Delta\tau\) হলো ঘড়িটির স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে ঘড়িটি দ্বারা পরিমাপ করা নিজস্ব সময়।
• \(\gamma\) হলো লরেঞ্জ গুণক।
• \(v\) হলো প্রসঙ্গ কাঠামো দুটির মধ্যকার আপেক্ষিক বেগ।
• \(c\) হলো আলোর বেগ।

যেহেতু \(\gamma\geq1\), তাই গতিশীল ঘড়ির টিকের মধ্যবর্তী সময় কখনোই তার নিজস্ব সময়ের ব্যবধানের চেয়ে কম হয় না।

উদাহরণস্বরূপ, \(v=0.80c\) হলে,

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

অন্য প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা সময়ের ব্যবধানটি ঘড়িটির নিজস্ব সময়ের ব্যবধানের \(1.67\) গুণ।

দুজন পর্যবেক্ষকই কীভাবে বলতে পারেন যে অন্যজনের ঘড়ি ধীরে চলছে?

শুনতে এটি পরস্পরবিরোধী মনে হলেও, পর্যবেক্ষকেরা উভয় ঘড়ির একই দুটি টিকের সরাসরি তুলনা করছেন না।

পৃথিবী তার নিজস্ব সুসমন্বিত ঘড়ির নেটওয়ার্ক ব্যবহার করে মহাকাশযানের টিকগুলোর সময় নির্ধারণ করে। মহাকাশচারী একটি ভিন্ন সুসমন্বিত ঘড়ির নেটওয়ার্ক ব্যবহার করে পৃথিবীর দূরবর্তী ঘড়িগুলোর টিকের সময় নির্ধারণ করেন। সমকালীনতা প্রসঙ্গ কাঠামোনির্ভর হওয়ায়, এই দুটি তুলনায় দূরবর্তী ঘটনাগুলোর একই সময়-নির্ধারণ ব্যবহার করা হয় না।

মহাকাশচারী যদি ঘুরে আবার পৃথিবীতে ফিরে আসেন, তাহলে পরিস্থিতি আবার বদলে যায়। যাত্রাপথে জড় প্রসঙ্গ কাঠামোর পরিবর্তন ঘটে, তাই দুই পর্যবেক্ষকের সম্পূর্ণ যাত্রা আর সমতুল্য থাকে না। তাঁদের নিজস্ব সময়ের মোট পরিমাণও ভিন্ন হতে পারে।

মূল নিয়মটি সহজ: সময় প্রসারণ প্রযোজ্য হয় একই দুটি ঘটনার ক্ষেত্রে, যেখানে নিজস্ব সময়ের ব্যবধানটি সেই প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা হয়, যাতে ঘটনাদুটি একই স্থানে ঘটে।

04দৈর্ঘ্য সংকোচন: গতিশীল বস্তুর পরিমাপিত দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়

সময় প্রসারণ ঘটনার মধ্যবর্তী সময়ের ব্যবধান নিয়ে কাজ করে। দৈর্ঘ্য সংকোচন কোনো বস্তুর দুই প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব নিয়ে কাজ করে।

একটি স্থির মহাকাশযান কল্পনা করুন। স্কেল দিয়ে এর দৈর্ঘ্য মেপে আপনি \(150\text{ m}\) পেলেন। এটি এর নিজস্ব দৈর্ঘ্য, \(L_0\), কারণ পরিমাপটি মহাকাশযানের স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে করা হয়েছে।

এবার ধরুন, মহাকাশযানটি উচ্চ বেগে পৃথিবীর পাশ দিয়ে যাচ্ছে। পৃথিবী তার দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে একই পৃথিবী-ফ্রেম সময়ে মহাকাশযানের সামনের ও পেছনের অবস্থান নথিবদ্ধ করে।

শেষের শর্তটি গুরুত্বপূর্ণ। কোনো নির্দিষ্ট প্রসঙ্গ কাঠামোতে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে হলে, সেই কাঠামোতে একই সময়ে বস্তুর দুই প্রান্তের অবস্থান নথিবদ্ধ করতে হবে।

গতিশীল মহাকাশযানের পরিমাপিত দৈর্ঘ্য হলো

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

অথবা, সমতুল্যভাবে,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

যেখানে:

• \(L\) হলো যে প্রসঙ্গ কাঠামোতে বস্তুটি গতিশীল, সেই কাঠামোতে পরিমাপ করা দৈর্ঘ্য।
• \(L_0\) হলো বস্তুর নিজস্ব দৈর্ঘ্য, যা তার স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা হয়।
• \(v\) হলো পরিমাপক প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে বস্তুর বেগ।
• \(\gamma\) হলো লরেঞ্জ গুণক।

শুধু গতির সমান্তরাল মাত্রাটিই সংকুচিত হয়। দৈর্ঘ্য সংকোচনের এই সম্পর্ক অনুযায়ী বস্তুর গতির লম্ব মাত্রাগুলো অপরিবর্তিত থাকে।

একটি সাধারণ ভুল ধারণা হলো, মহাকাশযানটি যেন নিজেই অনুভব করে যে তাকে শারীরিকভাবে চেপে ছোট করা হচ্ছে। বাস্তবে তা নয়। মহাকাশযান তার নিজস্ব স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে কখনোই কম দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে না। পার্থক্যটি তৈরি হয় কারণ ভিন্ন প্রসঙ্গ কাঠামোতে দৈর্ঘ্য মাপার সময় একই সঙ্গে অবস্থান নির্ধারণের জন্য ভিন্ন ভিন্ন প্রান্ত-অবস্থান ব্যবহার করা হয়।

05ভর-শক্তি: \(E=mc^2\) সমীকরণটির প্রকৃত অর্থ কী?

ধরা যাক, পৃথক প্রোটন ও নিউট্রন যুক্ত হয়ে একটি নিউক্লিয়াস তৈরি করে। নিউক্লিয়াসটি গঠিত হওয়ার পর এর স্থিতি-ভর পৃথক কণাগুলোর সম্মিলিত স্থিতি-ভরের চেয়ে সামান্য কম হয়।

তাহলে কি কিছু পদার্থ নিছকই অদৃশ্য হয়ে গেছে?

না। সিস্টেমটি শক্তি নির্গত করেছে, এবং নির্গত শক্তিকে হিসাবের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। ভর ও শক্তি পরস্পরের সঙ্গে সম্পর্কিত।

কোনো বস্তুর স্থিতি-শক্তি হলো

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

যেখানে:

• \(E_0\) হলো স্থিতি-শক্তি।
• \(m\) হলো অপরিবর্তনীয় ভর, বা স্থিতি-ভর।
• \(c\) হলো আলোর বেগ।

স্থিতি-ভরের পরিবর্তনের জন্য সংশ্লিষ্ট স্থিতি-শক্তির পরিবর্তন হলো

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

\(c^2\)-এর মান অত্যন্ত বড়। মাত্র \(1.0\text{ g}\) ভরের পার্থক্যের সঙ্গে সংশ্লিষ্ট স্থিতি-শক্তির পার্থক্য হলো

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

অতি সামান্য ভরের পার্থক্যের জন্যও এটি বিপুল পরিমাণ শক্তি।

কোনো সিস্টেমে শক্তি প্রবেশ করলে বা সেখান থেকে বেরিয়ে গেলে কী পরিবর্তন হয়?

কোনো সিস্টেম থেকে শক্তি বেরিয়ে গেলে অবশিষ্ট সিস্টেমটির স্থিতি-ভর কম হতে পারে। কোনো সিস্টেমে শক্তি যোগ করে তা অভ্যন্তরীণভাবে ধরে রাখা হলে তার স্থিতি-ভর বেড়ে যায়, যদি সিস্টেমটিকে যোগ করার আগে ও পরে স্থির অবস্থায় তুলনা করা হয়।

এর অর্থ এই নয় যে ভর কমে গেলে শক্তি ধ্বংস হয়ে যায়। একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে। শক্তি বিকিরণ বা গতিশক্তি হিসেবে অবশিষ্ট বস্তুটি ছেড়ে চলে যেতে পারে, কিন্তু শক্তিটি তখনও বিদ্যমান থাকে।

বন্ধনযুক্ত নিউক্লিয়াস এ বিষয়ে একটি উপযোগী উদাহরণ। পৃথক নিউক্লিয়নগুলোর সম্মিলিত স্থিতি-ভর এবং বন্ধনযুক্ত নিউক্লিয়াসের স্থিতি-ভরের পার্থক্যকে ভর ঘাটতি (mass defect) বলে। এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট শক্তির পার্থক্য হলো বন্ধন শক্তি।

একটি প্রয়োজনীয় শর্ত: স্থিতি-ভর ও মোট শক্তি এক নয়

\(E_0=mc^2\) সমীকরণটি স্থিতি-শক্তি দেয়। কোনো বস্তু \(v\) বেগে চললে তার মোট শক্তি

\[ E=\gamma mc^2, \]

এবং তার গতিশক্তি

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

এখানে, \(m\) বস্তুর অপরিবর্তনীয় স্থিতি-ভরই থাকে। \(\gamma\) গুণকটি বস্তুর মোট শক্তি পরিবর্তন করে, তার অপরিবর্তনীয় ভর নয়।

কিছু পুরোনো পাঠ্যবিবরণে \(\gamma m\)-এর জন্য আপেক্ষিকতাবাদী ভর (relativistic mass) পরিভাষাটি ব্যবহৃত হয়। আধুনিক রীতিতে সাধারণত ভরকে অপরিবর্তনীয় রাখা হয় এবং শক্তি ও ভরবেগের মাধ্যমে বৃদ্ধিটি বর্ণনা করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ফোটনের স্থিতি-ভর শূন্য হলেও তারা শক্তি ও ভরবেগ বহন করে। তাই \(E=mc^2\)-এর অর্থ এমনভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত নয় যে প্রতিটি ধরনের শক্তি অবশ্যই শূন্য নয় এমন স্থিতি-ভরবিশিষ্ট কোনো কণার সঙ্গে যুক্ত থাকবে।

06সঠিক সম্পর্কটি নির্বাচন করা

বিশেষ আপেক্ষিকতার কোনো সমস্যা সমাধানের সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য উপায় হলো সূত্র নির্বাচন করার আগে কী পরিমাপ করা হচ্ছে তা শনাক্ত করা।

চারটি বিষয় যাচাই করলে অনেক সাধারণ ভুল এড়ানো যায়:

• লরেঞ্জ গুণক যাচাই করুন। \(0\leq v<c\) হলে, \(\gamma\geq1\)।
• ঘটনাগুলো যাচাই করুন। সময় প্রসারণ প্রতিটি জোড়া ঘটনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কোনো নিয়ম নয়। নিজস্ব সময়ের শর্তটি গুরুত্বপূর্ণ।
• পরিমাপটি যাচাই করুন। দৈর্ঘ্য সংকোচন গতির দিক বরাবর প্রযোজ্য, এবং দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য পরিমাপক প্রসঙ্গ কাঠামোতে দুই প্রান্তের অবস্থান একই সময়ে নির্ধারণ করতে হয়।
• শক্তির হিসাব যাচাই করুন। কোনো একটি বস্তুর স্থিতি-ভর কমে যাওয়ার অর্থ এই নয় যে বিচ্ছিন্ন সিস্টেমটির মোট শক্তি অদৃশ্য হয়ে গেছে।

07প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন ১

একটি অনুসন্ধানী মহাকাশযানের সঙ্গে স্থিরভাবে যুক্ত ঘড়িতে পরপর দুটি টিকের মধ্যবর্তী সময় \(3.0\text{ s}\)। মহাকাশযানটি একটি পরীক্ষাগারের সাপেক্ষে \(0.60c\) বেগে চলছে।

একই দুটি টিকের জন্য পরীক্ষাগার যে সময়ের ব্যবধান নির্ধারণ করবে, তা গণনা করুন।

সমাধান ১

পরীক্ষাগার \(3.75\text{ s}\), অর্থাৎ দুই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে \(3.8\text{ s}\) সময়ের ব্যবধান নির্ধারণ করবে।

মহাকাশযানের ভেতরের ঘড়িটি নিজস্ব সময় পরিমাপ করে, কারণ দুটি টিকই মহাকাশযানের স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে একই স্থানে ঘটে।

ধাপ ১: লরেঞ্জ গুণক নির্ণয় করুন।

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

ধাপ ২: সময় প্রসারণ প্রয়োগ করুন।

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

পরীক্ষাগারে পরিমাপ করা সময়ের ব্যবধান মহাকাশযানের ঘড়িতে পরিমাপ করা সময়ের ব্যবধানের চেয়ে বেশি। ফলাফলটি সময় প্রসারণের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

প্রশ্ন ২

একটি অনুসন্ধানী মহাকাশযানের নিজস্ব দৈর্ঘ্য \(80\text{ m}\)। একটি হ্যাঙ্গারের নিজস্ব স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে দৈর্ঘ্য \(60\text{ m}\)। মহাকাশযানটি \(0.80c\) বেগে হ্যাঙ্গারটির পাশ দিয়ে যায়।

একজন প্রকৌশলী যুক্তি দেন যে একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে মহাকাশযানটি সম্পূর্ণভাবে হ্যাঙ্গারের ভেতরে থাকতে পারে, কারণ সংকোচনের পর এর দৈর্ঘ্য হ্যাঙ্গারের দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম। পাইলট যুক্তি দেন যে এটি অসম্ভব, কারণ পাইলটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে হ্যাঙ্গারটি মহাকাশযানের চেয়ে ছোট।

তাৎক্ষণিকভাবে খোলা ও বন্ধ হতে পারে এমন আদর্শ দরজা ধরে নিন এবং বস্তুর কোনো ক্ষতি উপেক্ষা করুন।

উভয় পর্যবেক্ষকের দৈর্ঘ্য-সংক্রান্ত গণনাই কি সঠিক? মহাকাশযানটি কি একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে সম্পূর্ণভাবে হ্যাঙ্গারের ভেতরে থাকতে পারে? দুটি বর্ণনা কীভাবে পরস্পরের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তা ব্যাখ্যা করুন।

সমাধান ২

উভয় পর্যবেক্ষকের দৈর্ঘ্য-সংক্রান্ত গণনাই সঠিক। মতভেদটি হলো মহাকাশযানটি একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে সম্পূর্ণভাবে হ্যাঙ্গারের ভেতরে আছে কি না, কারণ সমকালীনতা প্রসঙ্গ কাঠামোনির্ভর।

ধাপ ১: লরেঞ্জ গুণক নির্ণয় করুন।

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

ধাপ ২: হ্যাঙ্গারের প্রসঙ্গ কাঠামোতে মহাকাশযানের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

মহাকাশযানটির নিজস্ব দৈর্ঘ্য \(L_0=80\text{ m}\)।

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

যেহেতু \(48\text{ m}<60\text{ m}\), তাই প্রকৌশলীর বক্তব্য সঠিক: উপযুক্ত অবস্থানে থাকলে মহাকাশযানটি হ্যাঙ্গারের প্রসঙ্গ কাঠামোতে একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে সম্পূর্ণভাবে হ্যাঙ্গারের ভেতরে থাকতে পারে।

ধাপ ৩: মহাকাশযানের প্রসঙ্গ কাঠামোতে হ্যাঙ্গারের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

হ্যাঙ্গারের নিজস্ব দৈর্ঘ্য \(60\text{ m}\)। মহাকাশযানের প্রসঙ্গ কাঠামোতে হ্যাঙ্গারটি গতিশীল, তাই এর পরিমাপিত দৈর্ঘ্য

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

পাইলটের বক্তব্যও সঠিক: গতিশীল হ্যাঙ্গারটির দৈর্ঘ্য মহাকাশযানের প্রসঙ্গ কাঠামোতে মাত্র \(36\text{ m}\), যেখানে মহাকাশযানটির নিজস্ব দৈর্ঘ্য \(80\text{ m}\) থাকে।

ধাপ ৪: আপাতবিরোধটি সমাধান করুন।

“একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে সম্পূর্ণভাবে ভেতরে” বলতে বোঝায়, নির্দিষ্ট কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোতে একই সময়ে মহাকাশযানের উভয় প্রান্তের অবস্থান হ্যাঙ্গারের ভেতরে রয়েছে।

হ্যাঙ্গারের প্রসঙ্গ কাঠামোতে এমন একটি মুহূর্ত আছে, যখন মহাকাশযানের উভয় প্রান্তই ভেতরে থাকে। মহাকাশযানের প্রসঙ্গ কাঠামোতে এমন কোনো মুহূর্ত নেই, যখন সম্পূর্ণ \(80\text{ m}\) দৈর্ঘ্যের মহাকাশযানটি \(36\text{ m}\) দৈর্ঘ্যের হ্যাঙ্গারের ভেতরে থাকতে পারে।

মূল বিষয় হলো, হ্যাঙ্গারের প্রসঙ্গ কাঠামোতে দরজা দুটি বন্ধ হওয়ার ঘটনা সমকালীন হলেও মহাকাশযানের প্রসঙ্গ কাঠামোতে তা সমকালীন নয়। পর্যবেক্ষকেরা একই সময়ে সংঘটিত ঘটনাগুলোর একই জোড়া বর্ণনা করছেন না। কোনো বর্ণনাতেই মহাকাশযানটি তার নিজস্ব স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোতে শারীরিকভাবে ধ্বংস হয়ে যায় বা সংকুচিত হয়, এমনটি বোঝায় না।

প্রশ্ন ৩

একটি বন্ধনযুক্ত নিউক্লিয়াসের স্থিতি-ভর তার পৃথক নিউক্লিয়নগুলোর সম্মিলিত স্থিতি-ভরের চেয়ে \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) কম।

ধরে নিন, উভয় অবস্থাকে স্থির অবস্থায় তুলনা করা হচ্ছে এবং বন্ধন তৈরির সময় নির্গত শক্তি নিউক্লিয়াসটি ছেড়ে বেরিয়ে যায়।

জুল এককে নির্গত বন্ধন শক্তি নির্ণয় করুন এবং ব্যাখ্যা করুন কেন চূড়ান্ত নিউক্লিয়াসের কম স্থিতি-ভর শক্তির সংরক্ষণ নীতির লঙ্ঘন করে না।

সমাধান ৩

ভরের পার্থক্যের সমতুল্য বন্ধন শক্তি হলো \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\)। চূড়ান্ত নিউক্লিয়াসের স্থিতি-ভর কম হওয়া শক্তির সংরক্ষণ নীতির সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কারণ নির্গত শক্তি সিস্টেমটি ছেড়ে চলে যায়।

ধাপ ১: ভরের পার্থক্য শনাক্ত করুন।

ভর ঘাটতির মান হলো

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

ধাপ ২: ভর-শক্তির সমতুল্যতা প্রয়োগ করুন।

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

ধাপ ৩: শক্তির হিসাব ব্যাখ্যা করুন।

বন্ধনযুক্ত নিউক্লিয়াসটির স্থিতি-শক্তি পৃথক নিউক্লিয়নগুলোর সম্মিলিত স্থিতি-শক্তির চেয়ে কম। এই পার্থক্যটি বন্ধন তৈরির সময় নির্গত শক্তি হিসেবে প্রকাশ পায়; যেমন বিকিরণ বা অন্যান্য উৎপন্ন কণার বহন করা গতিশক্তি।

শক্তি নিউক্লিয়াসটি ছেড়ে বেরিয়ে যাওয়ায় চূড়ান্ত নিউক্লিয়াসটির স্থিতি-ভর কম হয়। নির্গত শক্তিকে হিসাবের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করলে মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে।

প্রশ্ন ৪

একটি মহাকাশযানের অপরিবর্তনীয় স্থিতি-ভর \(1.0\text{ kg}\), এবং এটি পৃথিবীর সাপেক্ষে \(0.80c\) বেগে চলছে।

একজন শিক্ষার্থী \(\gamma=1.67\) হিসাব করে দাবি করেন যে মহাকাশযানটির ভর বেড়ে \(1.67\text{ kg}\) হয়েছে।

নিচের সমীকরণগুলো ব্যবহার করে

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

মহাকাশযানটির স্থিতি-শক্তি, মোট শক্তি ও গতিশক্তি নির্ণয় করুন। শিক্ষার্থীর দাবিটি মূল্যায়ন করুন।

সমাধান ৪

স্থিতি-শক্তি \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), মোট শক্তি \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), এবং গতিশক্তি \(6.0\times10^{16}\text{ J}\)। অপরিবর্তনীয় ভরের রীতি অনুযায়ী, মহাকাশযানটির স্থিতি-ভর \(1.0\text{ kg}\)-ই থাকে।

ধাপ ১: স্থিতি-শক্তি নির্ণয় করুন।

স্থিতি-ভর \(m=1.0\text{ kg}\)।

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

ধাপ ২: মোট শক্তি নির্ণয় করুন।

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

ধাপ ৩: গতিশক্তি নির্ণয় করুন।

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

ফলাফলগুলো পরস্পরের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কারণ মোট শক্তি হলো স্থিতি-শক্তি ও গতিশক্তির যোগফল:

\[ E=E_0+K. \]

ধাপ ৪: শিক্ষার্থীর দাবিটি মূল্যায়ন করুন।

শিক্ষার্থী সঠিকভাবে শনাক্ত করেছেন যে স্থিতি-শক্তিকে মোট শক্তিতে রূপান্তর করতে \(\gamma\) দিয়ে গুণ করতে হয়। ভুলটি হলো এই গুণককে অপরিবর্তনীয় স্থিতি-ভরের বৃদ্ধি হিসেবে ব্যাখ্যা করা।

বেগ বৃদ্ধির সঙ্গে মহাকাশযানটির গতিশক্তি বাড়ে, কিন্তু এর অপরিবর্তনীয় স্থিতি-ভর \(1.0\text{ kg}\)-ই থাকে। কোনো গতিশীল বস্তুর শক্তির সঙ্গে ভর-শক্তির সমতুল্যতা একত্রে বিবেচনা করা হলে এই পার্থক্যটি গুরুত্বপূর্ণ।

প্রশ্ন ৫

একটি প্ল্যাটফর্মের নিজস্ব প্রসঙ্গ কাঠামো \(S\)-তে দৈর্ঘ্য \(600\text{ m}\)। এর দুই প্রান্তে A ও B নামের দুটি বাতি বসানো আছে, যেখানে A-এর অবস্থান \(x=0\) এবং B-এর অবস্থান \(x=+600\text{ m}\)। \(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে \(t=0\) সময়ে বাতি দুটি একই সঙ্গে জ্বলে ওঠে।

প্রতিটি আলোক-ঝলক প্ল্যাটফর্মের মধ্যবিন্দুর দিকে একটি আলোক-স্পন্দন পাঠায়। \(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে দুটি স্পন্দন মধ্যবিন্দুতে মিলিত হয়।

একটি রকেটের নিজস্ব প্রসঙ্গ কাঠামো \(S'\), যা \(S\)-এর সাপেক্ষে ধনাত্মক \(x\)-দিক বরাবর \(0.80c\) বেগে চলছে।

এই প্রশ্নের জন্য সময়-স্থানাঙ্কের সম্পর্কটি ব্যবহার করুন:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

যেখানে \(\Delta t=t_B-t_A\) এবং \(\Delta x=x_B-x_A\), উভয়ই \(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা হয়।

(ক) \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে কোন আলোক-ঝলকটি আগে ঘটে এবং কত সময় আগে ঘটে?

(খ) \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য \(360\text{ m}\)। একজন শিক্ষার্থী দাবি করেন, তাই আলোক-ঝলক দুটির মধ্যবর্তী সময়ের ব্যবধান অবশ্যই \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) হবে। সুনির্দিষ্ট ভুলটি ব্যাখ্যা করুন।

(গ) দুটি আলোক-স্পন্দন কি \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতেও একই ঘটনায় মিলিত হবে? আলোক-ঝলক দুটি আর সমকালীন না হওয়া সত্ত্বেও এটি কীভাবে সম্ভব, তা ব্যাখ্যা করুন।

সমাধান ৫

\(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে B-এর আলোক-ঝলকটি \(2.67\,\mu\text{s}\) আগে ঘটে। স্পন্দন দুটি তবুও একই ঘটনায় মিলিত হয়, কারণ সব জড় প্রসঙ্গ কাঠামোই দুটি আলোক-স্পন্দনের ছেদবিন্দুর বিষয়ে একমত হয়, যদিও তারা আলোক-নির্গমনের ঘটনাগুলোর জন্য ভিন্ন সময় নির্ধারণ করে।

ধাপ ১: লরেঞ্জ গুণক নির্ণয় করুন এবং ঘটনার পার্থক্যগুলো শনাক্ত করুন।

আপেক্ষিক বেগ \(v=0.80c\), তাই

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

\(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে আলোক-ঝলক দুটি সমকালীন, এবং B-এর অবস্থান-স্থানাঙ্ক বড়। অতএব,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

ধাপ ২: \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে সময়ের পার্থক্য নির্ণয় করুন।

প্রদত্ত সময়-স্থানাঙ্কের সম্পর্কটিতে মান বসালে,

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

ঋণাত্মক ফলাফলটির অর্থ \(t'_B<t'_A\)। রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে B-এর আলোক-ঝলকটি A-এর আলোক-ঝলকের \(2.67\,\mu\text{s}\) আগে ঘটে।

ধাপ ৩: কেন \(360\text{ m}/c\) গণনাটি ভুল, তা ব্যাখ্যা করুন।

শিক্ষার্থীর গণনায় পাওয়া যায়

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

গণনাটি গাণিতিকভাবে সঠিক, কিন্তু এটি ভুল প্রশ্নের উত্তর দেয়।

\(360\text{ m}\) হলো \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে পরিমাপ করা প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য। এই দৈর্ঘ্য নির্ধারণের সময় রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে একই সময়ে উভয় প্রান্তের অবস্থান মাপা হয়। কিন্তু \(S'\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে আলোক-ঝলক দুটি সমকালীন নয়। তাই তাদের ঘটনার অবস্থানকে একই সময়ে পরিমাপ করা দৈর্ঘ্যের দুই প্রান্ত হিসেবে বিবেচনা করা যায় না।

দুটি ঘটনার সময়ের পার্থক্য সাধারণভাবে পরিমাপিত দৈর্ঘ্যকে \(c\) দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় না। শিক্ষার্থী একই সময়ে দুই প্রান্তের অবস্থান মেপে পাওয়া দৈর্ঘ্যকে এমন দুটি ঘটনার সঙ্গে মিশিয়ে ফেলেছেন, যেগুলো একই প্রসঙ্গ কাঠামোতে ভিন্ন সময়ে ঘটে।

ধাপ ৪: স্পন্দন দুটি কেন তবুও মিলিত হয়, তা ব্যাখ্যা করুন।

\(S\) প্রসঙ্গ কাঠামোতে প্রতিটি স্পন্দন মধ্যবিন্দু পর্যন্ত \(300\text{ m}\) পথ অতিক্রম করে। তাই মিলিত হওয়ার ঘটনাটি ঘটে

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

এটি স্থান-কালের একটি নির্দিষ্ট ঘটনা। প্রতিটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোই একমত যে স্পন্দন দুটি এই ঘটনাতেই মিলিত হয়, যদিও প্রতিটি কাঠামো ঘটনাটির জন্য ভিন্ন স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে।

রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে সময়ের হিসাব যাচাই করা যায়। আলোক-ঝলক A ও মিলিত হওয়ার ঘটনার মধ্যকার সম্পর্কের ক্ষেত্রে প্রদত্ত সমীকরণ প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

আলোক-ঝলক A ঘটে \(t'_A=0\) সময়ে। তাই এর স্পন্দনটি মিলিত হওয়ার ঘটনা পর্যন্ত পৌঁছাতে রকেটের প্রসঙ্গ কাঠামোতে \(0.333\,\mu\text{s}\) স্থানাঙ্ক-সময় নেয়।

আলোক-ঝলক B ঘটে \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) সময়ে। তাই এর স্পন্দনটি একই ঘটনায় পৌঁছাতে সময় নেয়

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

।

নির্গমনের ভিন্ন সময় এবং আলোর চলাচলের ভিন্ন সময়ের ব্যবধান একই মিলন-ঘটনার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ভুলটি হবে এমন ধারণা করা যে একটি প্রসঙ্গ কাঠামোতে একই সময়ে আলো নির্গত হলে প্রতিটি প্রসঙ্গ কাঠামোতেই তা সমকালীন থাকতে হবে।

পরবর্তী কার্যকর পদক্ষেপ হলো স্থান-কাল চিত্রে ঘটনাগুলো কীভাবে উপস্থাপন করতে হয়, তা শেখা। HSC-র সমস্যার ক্ষেত্রে প্রথমে প্রসঙ্গ কাঠামো শনাক্ত করুন এবং প্রশ্ন করুন, সেই কাঠামোতে ঘটনাগুলো কি একই স্থানে ঘটে? গণনা শুরু করার আগেই এই সিদ্ধান্ত আপনাকে সময় প্রসারণ, দৈর্ঘ্য সংকোচন ও সমকালীনতার আপেক্ষিকতার মধ্যে সঠিক সম্পর্কটি বেছে নিতে সাহায্য করবে।