Spezielle Relativitätstheorie für HSC-Physik: Ein verständlicher Leitfaden mit durchgerechneten Beispielen

Ein Raumschiff fliegt mit \(0.80c\) an der Erde vorbei. Die Erde weist dem Zeitintervall zwischen zwei Ticks der Raumschiffuhr einen längeren Wert zu als der Astronaut. Der Astronaut wiederum sagt, dass die Erduhren langsamer laufen. Bevor du weiterliest, überlege: Liegt einer der beiden Beobachter einfach falsch? Nein. Jeder verwendet ein anderes Inertialsystem, und die Abweichung entsteht dadurch, wie Zeit und Raum bei hohen Geschwindigkeiten gemessen werden.

01Bezugssysteme: Was misst jeder Beobachter tatsächlich?

Ein Bezugssystem ist ein Koordinatensystem, mit dem Positionen und Zeiten von Ereignissen festgelegt werden. Es kann durch Maßstäbe und ein Netzwerk synchronisierter Uhren dargestellt werden.

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, das weder beschleunigt noch rotiert. Für diesen Leitfaden nehmen wir an, dass die Gravitation vernachlässigbar ist und sich das Raumschiff und die Erde mit konstanter Relativgeschwindigkeit bewegen, wenn wir sie miteinander vergleichen.

Im Alltag können wir die Zeit normalerweise so behandeln, als wäre sie universell. Wenn zwei Ereignisse für dich gleichzeitig stattfinden, erwartest du, dass sie auch für alle anderen gleichzeitig stattfinden.

Die spezielle Relativitätstheorie stellt diese Annahme infrage. Sie beruht auf zwei Regeln:

• Die Gesetze der Physik sind in jedem Inertialsystem gleich.
• Jeder Inertialbeobachter misst dieselbe Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle oder des Beobachters.

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Angenommen, du bewegst dich auf einen Lichtstrahl zu. Du könntest erwarten, seine Geschwindigkeit als \(c+v\) zu messen, wobei \(v\) deine Geschwindigkeit auf den Lichtstrahl zu ist. Das ist jedoch nicht der Fall. Du misst weiterhin \(c\).

Damit dies möglich ist, können sich Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, nicht immer über Zeitintervalle, Längen oder darüber einig sein, welche räumlich getrennten Ereignisse gleichzeitig stattgefunden haben.

Dabei geht es nicht darum, was ihre Augen gerade sehen. Relativistische Messungen verwenden synchronisierte Uhren und berücksichtigen die Zeit, die das Licht für die Ausbreitung benötigt. Die Abweichung bleibt auch nach dieser Korrektur bestehen.

02Gleichzeitigkeit: Zwei Ereignisse können in verschiedenen Bezugssystemen zu unterschiedlichen Zeiten stattfinden

Stell dir zwei Lampen, A und B, an den gegenüberliegenden Enden einer langen Plattform vor. Die relativ zur Plattform ruhenden Uhren sind synchronisiert, und beide Lampen blitzen zum Plattformzeitpunkt \(t=0\) auf.

Bevor du weiterliest, überlege: Muss eine Rakete, die an der Plattform vorbeifliegt, damit einverstanden sein, dass die Lichtblitze gleichzeitig aufgetreten sind?

Nein. Die Rakete kann den beiden Lichtblitzen unterschiedliche Zeitpunkte zuordnen.

Gleichzeitig bedeutet, dass zwei Ereignisse in einem festgelegten Bezugssystem dieselbe Zeitkoordinate haben. Das bedeutet nicht automatisch, dass jedes Inertialsystem ihnen dieselbe Zeit zuordnet.

Um die Situation genau zu beschreiben, nehmen wir Folgendes an:

• Lampe A befindet sich bei \(x=0\).
• Lampe B befindet sich bei \(x=600\text{ m}\).
• Die Plattform ruht im Bezugssystem \(S\).
• Das Bezugssystem \(S'\) der Rakete bewegt sich relativ zu \(S\) mit der Geschwindigkeit \(v\) in positiver \(x\)-Richtung.

Im Bezugssystem der Plattform sind die Lichtblitze gleichzeitig. Im Bezugssystem der Rakete findet der Lichtblitz bei B früher statt als der Lichtblitz bei A.

Warum ist das so? Die Transformation der Zeitkoordinate für diese beiden Ereignisse lautet

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

wobei

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Hier sind \(\Delta t=t_B-t_A\) und \(\Delta x=x_B-x_A\) die Zeit- und Ortsdifferenzen, gemessen im Bezugssystem \(S\). Die Zeitdifferenz mit Strich wird im Bezugssystem \(S'\) gemessen, das sich relativ zu \(S\) in positiver \(x\)-Richtung bewegt.

Für die gleichzeitig auftretenden Lichtblitze auf der Plattform gilt

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Daraus folgt

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der Lichtblitz bei B im Bezugssystem der Rakete früher stattfindet.

Eine wichtige Einschränkung: Die Reihenfolge, in der ein Beobachter zwei Lichtblitze empfängt, beweist für sich genommen nicht, wann die Ereignisse stattgefunden haben. Das Licht muss den Beobachter erst erreichen, und die Entfernungen können unterschiedlich sein. Die Relativität der Gleichzeitigkeit betrifft die Zeitpunkte, die synchronisierte Uhren zuweisen, nachdem die Laufzeit des Lichts berücksichtigt wurde.

Diese Unterscheidung ist besonders hilfreich, wenn eine Aufgabe zwei räumlich getrennte Ereignisse betrifft und nicht zwei Ticks derselben Uhr.

03Zeitdilatation: Bei einer bewegten Uhr ist das gemessene Tickintervall länger

Betrachten wir nun zwei Ticks einer einzigen Uhr, die an einem Raumschiff befestigt ist.

Die beiden Ticks finden am selben Ort im Ruhesystem des Raumschiffs statt. Die von dieser Uhr gemessene verstrichene Zeit wird als Eigenzeit bezeichnet und mit \(\Delta\tau\) angegeben.

Ein Beobachter in einem anderen Inertialsystem, in dem sich das Raumschiff mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, ordnet denselben beiden Ereignissen ein längeres Zeitintervall zu. Das ist die Zeitdilatation.

Die Gleichung lautet

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

Dabei gilt:

• \(\Delta t\) ist das Zeitintervall, das im Bezugssystem gemessen wird, in dem sich die Uhr bewegt.
• \(\Delta\tau\) ist die Eigenzeit, die von der Uhr in ihrem Ruhesystem gemessen wird.
• \(\gamma\) ist der Lorentzfaktor.
• \(v\) ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen.
• \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit.

Da \(\gamma\geq1\) gilt, ist das Tickintervall der bewegten Uhr niemals kürzer als ihr Eigenzeitintervall.

Für \(v=0.80c\) gilt beispielsweise

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Das andere Bezugssystem misst ein Zeitintervall, das 1.67-mal so lang ist wie das von der Uhr selbst gemessene Intervall.

Warum können beide Beobachter sagen, dass die Uhr des jeweils anderen langsamer läuft?

Das klingt widersprüchlich, aber die Beobachter vergleichen nicht direkt dasselbe Paar von Ticks auf beiden Uhren.

Die Erde verwendet ihr eigenes Netzwerk synchronisierter Uhren, um den Ticks des Raumschiffs Zeitpunkte zuzuordnen. Der Astronaut verwendet ein anderes Netzwerk synchronisierter Uhren, um den weit entfernten Uhrenticks auf der Erde Zeitpunkte zuzuordnen. Da die Gleichzeitigkeit vom Bezugssystem abhängt, beruhen die beiden Vergleiche nicht auf denselben Zeitzuordnungen für räumlich getrennte Ereignisse.

Wenn der Astronaut umkehrt und später wieder zur Erde zurückkehrt, ändert sich die Situation erneut. Die Reise umfasst einen Wechsel des Inertialsystems, sodass die vollständigen Reisen der beiden Beobachter nicht mehr gleichwertig sind. Sie können unterschiedlich viel Eigenzeit ansammeln.

Die entscheidende Regel ist einfach: Die Zeitdilatation gilt für dieselben beiden Ereignisse, wobei das Eigenzeitintervall in dem Bezugssystem gemessen wird, in dem diese Ereignisse an einem einzigen Ort stattfinden.

04Längenkontraktion: Die gemessene Länge eines bewegten Objekts verändert sich

Die Zeitdilatation betrifft das Zeitintervall zwischen Ereignissen. Die Längenkontraktion betrifft den Abstand zwischen den Enden eines Objekts.

Stell dir ein ruhendes Raumschiff vor. Du misst seine Länge mit einem Maßstab und erhältst \(150\text{ m}\). Das ist seine Eigenlänge \(L_0\), weil die Messung in seinem Ruhesystem durchgeführt wird.

Nehmen wir nun an, dass das Raumschiff mit hoher Geschwindigkeit an der Erde vorbeifliegt. Die Erde misst seine Länge, indem sie die Positionen von Bug und Heck zum selben Zeitpunkt im Erdbezugssystem erfasst.

Diese letzte Bedingung ist wichtig. Um eine Länge in einem bestimmten Bezugssystem zu messen, musst du die Positionen beider Endpunkte gleichzeitig in diesem Bezugssystem erfassen.

Die gemessene Länge des bewegten Raumschiffs beträgt

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

oder gleichwertig

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

wobei gilt:

• \(L\) ist die Länge, die im Bezugssystem gemessen wird, in dem sich das Objekt bewegt.
• \(L_0\) ist die Eigenlänge des Objekts, gemessen in seinem Ruhesystem.
• \(v\) ist die Geschwindigkeit des Objekts relativ zum messenden Bezugssystem.
• \(\gamma\) ist der Lorentzfaktor.

Nur die Dimension parallel zur Bewegungsrichtung wird verkürzt. Die senkrecht zur Bewegungsrichtung liegenden Dimensionen des Objekts bleiben bei dieser Längenkontraktionsbeziehung unverändert.

Ein häufiger Fehler ist die Vorstellung, dass sich das Raumschiff selbst physisch zusammengedrückt fühlt. Es misst in seinem eigenen Ruhesystem keine kürzere Länge. Der Unterschied entsteht, weil Längenmessungen in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedliche Mengen gleichzeitig erfasster Endpunktpositionen verwenden.

05Masse-Energie: Was bedeutet \(E=mc^2\) tatsächlich?

Betrachten wir die Bildung eines Atomkerns aus einzelnen Protonen und Neutronen. Nachdem sich der Kern gebildet hat, ist seine Ruhemasse geringfügig kleiner als die kombinierte Ruhemasse der getrennten Teilchen.

Ist einfach ein Teil der Materie verschwunden?

Nein. Das System hat Energie freigesetzt, und die mitgeführte Energie muss in der Energiebilanz berücksichtigt werden. Masse und Energie stehen miteinander in Beziehung.

Die Ruheenergie eines Objekts ist

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

wobei gilt:

• \(E_0\) ist die Ruheenergie.
• \(m\) ist die invariante Masse, also die Ruhemasse.
• \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit.

Für eine Änderung der Ruhemasse ist die entsprechende Änderung der Ruheenergie

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Der Faktor \(c^2\) ist enorm. Eine Massendifferenz von nur \(1.0\text{ g}\) entspricht einer Ruheenergiedifferenz von

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Das ist eine gewaltige Energiemenge für eine winzige Massendifferenz.

Was verändert sich, wenn Energie in ein System hinein- oder aus ihm herausgelangt?

Entweicht Energie aus einem System, kann das verbleibende System eine geringere Ruhemasse haben. Wird einem System Energie zugeführt und intern gespeichert, nimmt seine Ruhemasse zu, sofern das System vor und nach der Energiezufuhr im Ruhezustand verglichen wird.

Das bedeutet nicht, dass Energie vernichtet wird, wenn die Masse abnimmt. Bei einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten. Die Energie kann das verbleibende Objekt als Strahlung oder kinetische Energie verlassen haben, existiert aber weiterhin.

Ein gebundener Atomkern liefert ein nützliches Beispiel. Die Differenz zwischen der kombinierten Ruhemasse seiner getrennten Nukleonen und der Ruhemasse des gebundenen Kerns wird als Massendefekt bezeichnet. Die entsprechende Energiedifferenz ist die Bindungsenergie.

Eine notwendige Einschränkung: Ruhemasse ist nicht dasselbe wie Gesamtenergie

Die Gleichung \(E_0=mc^2\) gibt die Ruheenergie an. Für ein Objekt, das sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, beträgt die Gesamtenergie

\[ E=\gamma mc^2, \]

und seine kinetische Energie ist

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Dabei bleibt \(m\) die invariante Ruhemasse des Objekts. Der Faktor \(\gamma\) verändert die Gesamtenergie des Objekts, nicht seine invariante Masse.

Einige ältere Darstellungen verwenden den Begriff relativistische Masse für \(\gamma m\). Nach der modernen Konvention bleibt die Masse im Allgemeinen invariant, und die Zunahme wird stattdessen anhand von Energie und Impuls beschrieben.

Photonen tragen beispielsweise Energie und Impuls, obwohl sie keine Ruhemasse haben. Daher sollte \(E=mc^2\) nicht so verstanden werden, als müsste jede Form von Energie zu einem Teilchen mit einer von null verschiedenen Ruhemasse gehören.

06Die richtige Beziehung auswählen

Am zuverlässigsten löst du eine Aufgabe zur speziellen Relativitätstheorie, indem du zunächst bestimmst, was gemessen wird, bevor du eine Formel auswählst.

Vier Überprüfungen helfen, viele häufige Fehler zu vermeiden:

• Den Lorentzfaktor überprüfen. Für \(0\leq v<c\) gilt \(\gamma\geq1\).
• Die Ereignisse überprüfen. Die Zeitdilatation ist keine Regel für jedes beliebige Ereignispaar. Die Bedingung für die Eigenzeit ist entscheidend.
• Die Messung überprüfen. Die Längenkontraktion gilt entlang der Bewegungsrichtung, und eine Längenmessung erfordert gleichzeitig erfasste Endpunktpositionen im messenden Bezugssystem.
• Die Energiebilanz überprüfen. Wenn die Ruhemasse eines Objekts abnimmt, bedeutet das nicht, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems verschwunden ist.

07Fragen und Lösungen

Frage 1

Eine an einer Sonde befestigte Uhr misst zwischen zwei Ticks \(3.0\text{ s}\). Die Sonde bewegt sich relativ zu einem Labor mit \(0.60c\).

Berechne das Zeitintervall, das das Labor denselben beiden Ticks zuordnet.

Lösung 1

Das Labor ordnet den beiden Ticks ein Zeitintervall von \(3.75\text{ s}\) zu, also \(3.8\text{ s}\) auf zwei signifikante Stellen gerundet.

Die Borduhr misst die Eigenzeit, weil beide Ticks am selben Ort im Ruhesystem der Sonde stattfinden.

Schritt 1: Den Lorentzfaktor berechnen.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Schritt 2: Die Zeitdilatation anwenden.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Das Labor misst ein längeres Zeitintervall als die Sondenuhr. Das Ergebnis stimmt mit der Zeitdilatation überein.

Frage 2

Eine Sonde hat eine Eigenlänge von \(80\text{ m}\). Eine Halle ist in ihrem eigenen Ruhesystem \(60\text{ m}\) lang. Die Sonde fliegt mit \(0.80c\) an der Halle vorbei.

Ein Ingenieur behauptet, dass die Sonde zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig in die Halle passen kann, weil ihre kontrahierte Länge kürzer als die Halle ist. Der Pilot behauptet, dass dies unmöglich ist, weil die Halle im Bezugssystem des Piloten kürzer als die Sonde ist.

Nimm ideale Türen an, die sich augenblicklich öffnen und schließen können, und vernachlässige materielle Schäden.

Sind die Längenberechnungen beider Beobachter korrekt? Kann sich die Sonde zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig innerhalb der Halle befinden? Erkläre, wie die beiden Beschreibungen miteinander vereinbar sind.

Lösung 2

Beide Längenberechnungen sind korrekt. Die Meinungsverschiedenheit betrifft die Frage, ob sich die Sonde zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig innerhalb der Halle befindet, denn die Gleichzeitigkeit hängt vom Bezugssystem ab.

Schritt 1: Den Lorentzfaktor berechnen.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Schritt 2: Die Länge der Sonde im Bezugssystem der Halle berechnen.

Die Eigenlänge der Sonde beträgt \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Da \(48\text{ m}<60\text{ m}\) gilt, hat der Ingenieur recht: Die Sonde kann zu einem bestimmten Zeitpunkt im Bezugssystem der Halle vollständig in die Halle passen, sofern sie entsprechend positioniert ist.

Schritt 3: Die Länge der Halle im Bezugssystem der Sonde berechnen.

Die Eigenlänge der Halle beträgt \(60\text{ m}\). Im Bezugssystem der Sonde bewegt sich die Halle, sodass ihre gemessene Länge

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m} \end{aligned} \]

beträgt.

Auch der Pilot hat recht: Die bewegte Halle ist im Bezugssystem der Sonde nur \(36\text{ m}\) lang, während die Eigenlänge der Sonde weiterhin \(80\text{ m}\) beträgt.

Schritt 4: Den scheinbaren Widerspruch auflösen.

Der Ausdruck „zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig im Inneren“ bedeutet, dass sich die Positionen beider Enden der Sonde zur selben Zeit in einem festgelegten Bezugssystem innerhalb der Halle befinden.

Im Bezugssystem der Halle gibt es einen Zeitpunkt, zu dem sich beide Enden innerhalb der Halle befinden. Im Bezugssystem der Sonde gibt es keinen Zeitpunkt, zu dem die gesamte \(80\text{ m}\) lange Sonde in die \(36\text{ m}\) lange Halle passt.

Entscheidend ist, dass die beiden Ereignisse des Türschließens, die im Bezugssystem der Halle gleichzeitig stattfinden, im Bezugssystem der Sonde nicht gleichzeitig stattfinden. Die Beobachter beschreiben nicht dasselbe Paar gleichzeitig stattfindender Ereignisse. Keine der beiden Beschreibungen erfordert, dass die Sonde in ihrem eigenen Ruhesystem physisch zerstört oder zusammengedrückt wird.

Frage 3

Die Ruhemasse eines gebundenen Atomkerns ist um \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) geringer als die kombinierte Ruhemasse seiner getrennten Nukleonen.

Nimm an, dass beide Zustände im Ruhezustand verglichen werden und dass die bei der Bindung freigesetzte Energie den Kern verlässt.

Berechne die freigesetzte Bindungsenergie in Joule und erkläre, warum die geringere Ruhemasse des fertigen Kerns nicht gegen die Energieerhaltung verstößt.

Lösung 3

Das Energieäquivalent der Massendifferenz beträgt \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Die geringere Ruhemasse ist mit der Energieerhaltung vereinbar, weil die freigesetzte Energie das System verlässt.

Schritt 1: Die Massendifferenz bestimmen.

Der Betrag des Massendefekts ist

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Schritt 2: Die Masse-Energie-Äquivalenz anwenden.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Schritt 3: Die Energiebilanz erklären.

Der gebundene Atomkern hat weniger Ruheenergie als die getrennten Nukleonen. Die Differenz tritt als bei der Bindung freigesetzte Energie auf, beispielsweise als Strahlung oder als kinetische Energie, die von anderen Produkten fortgetragen wird.

Der fertige Kern hat eine geringere Ruhemasse, weil Energie den Kern verlassen hat. Wenn die freigesetzte Energie mitberücksichtigt wird, bleibt die Gesamtenergie erhalten.

Frage 4

Ein Raumschiff hat eine invariante Ruhemasse von \(1.0\text{ kg}\) und bewegt sich relativ zur Erde mit \(0.80c\).

Ein Schüler berechnet \(\gamma=1.67\) und behauptet, dass die Masse des Raumschiffs auf \(1.67\text{ kg}\) gestiegen ist.

Berechne mithilfe von

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

die Ruheenergie, die Gesamtenergie und die kinetische Energie des Raumschiffs. Beurteile die Behauptung des Schülers.

Lösung 4

Die Ruheenergie beträgt \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), die Gesamtenergie \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) und die kinetische Energie \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Nach der Konvention der invarianten Masse bleibt die Ruhemasse des Raumschiffs bei \(1.0\text{ kg}\).

Schritt 1: Die Ruheenergie berechnen.

Die Ruhemasse beträgt \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Schritt 2: Die Gesamtenergie berechnen.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Schritt 3: Die kinetische Energie berechnen.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Die Ergebnisse sind konsistent, weil die Gesamtenergie der Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie entspricht:

\[ E=E_0+K. \]

Schritt 4: Die Behauptung des Schülers beurteilen.

Der Schüler hat richtig erkannt, dass die Ruheenergie mit \(\gamma\) multipliziert wird, um die Gesamtenergie zu erhalten. Der Fehler besteht darin, diesen Faktor als Zunahme der invarianten Ruhemasse zu interpretieren.

Die kinetische Energie des Raumschiffs nimmt mit der Geschwindigkeit zu, seine invariante Ruhemasse bleibt jedoch \(1.0\text{ kg}\). Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn eine Aufgabe die Masse-Energie-Äquivalenz mit der Energie eines bewegten Objekts verbindet.

Frage 5

Eine Plattform ist in ihrem Ruhesystem \(S\) \(600\text{ m}\) lang. Zwei Lampen, A und B, sind an ihren Enden angebracht. A befindet sich bei \(x=0\), B bei \(x=+600\text{ m}\). Sie blitzen in \(S\) gleichzeitig zum Zeitpunkt \(t=0\) auf.

Jeder Lichtblitz sendet einen Lichtimpuls in Richtung der Mitte der Plattform. Im Bezugssystem \(S\) treffen sich die beiden Lichtimpulse in der Mitte.

Das Ruhesystem \(S'\) einer Rakete bewegt sich relativ zu \(S\) mit \(0.80c\) in positiver \(x\)-Richtung.

Verwende für diese Aufgabe die Zeitkoordinatenbeziehung

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

wobei \(\Delta t=t_B-t_A\) und \(\Delta x=x_B-x_A\) im Bezugssystem \(S\) gemessen werden.

(a) Welcher Lichtblitz findet in \(S'\) zuerst statt, und um wie viel früher?

(b) Die Länge der Plattform beträgt in \(S'\) \(360\text{ m}\). Ein Schüler behauptet, dass der Zeitabstand zwischen den Lichtblitzen deshalb \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\) betragen muss. Erkläre den genauen Fehler.

(c) Müssen sich die beiden Lichtimpulse in \(S'\) weiterhin am selben Ereignis treffen? Erkläre, wie das möglich ist, obwohl die Lichtblitze nicht mehr gleichzeitig stattfinden.

Lösung 5

Der Lichtblitz bei B findet in \(S'\) um \(2.67\,\mu\text{s}\) früher statt. Die Lichtimpulse treffen sich weiterhin am selben Ereignis, weil alle Inertialsysteme darin übereinstimmen, wo sich die beiden Lichtimpulse schneiden, selbst wenn sie den Emissionsereignissen unterschiedliche Zeitpunkte zuordnen.

Schritt 1: Den Lorentzfaktor berechnen und die Ereignisdifferenzen bestimmen.

Die Relativgeschwindigkeit beträgt \(v=0.80c\), also gilt

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Die Lichtblitze sind in \(S\) gleichzeitig, und B befindet sich an der größeren Ortskoordinate. Daher gilt

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Schritt 2: Die Zeitdifferenz in \(S'\) berechnen.

Setze die Werte in die vorgegebene Zeitkoordinatenbeziehung ein:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Das negative Ergebnis bedeutet \(t'_B<t'_A\). Der Lichtblitz bei B findet im Bezugssystem der Rakete \(2.67\,\mu\text{s}\) vor dem Lichtblitz bei A statt.

Schritt 3: Erklären, warum die Berechnung \(360\text{ m}/c\) nicht funktioniert.

Die Berechnung des Schülers ergibt

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Die Rechnung ist mathematisch korrekt, beantwortet aber die falsche Frage.

Die \(360\text{ m}\) sind die Länge der Plattform, gemessen in \(S'\), indem beide Endpunkte zum selben Zeitpunkt im Raketenbezugssystem erfasst werden. Die beiden Lichtblitzereignisse sind in \(S'\) nicht gleichzeitig. Deshalb können ihre Ortskoordinaten nicht als Endpunkte jener Längenmessung behandelt werden, bei der beide Endpunkte gleichzeitig erfasst werden.

Die Zeitdifferenz zwischen zwei Ereignissen entspricht nicht allgemein der gemessenen Länge geteilt durch \(c\). Der Schüler vermischt eine Länge, die anhand gleichzeitig erfasster Endpunktpositionen gemessen wurde, mit zwei Ereignissen, die im selben Bezugssystem zu unterschiedlichen Zeiten stattfinden.

Schritt 4: Erklären, warum sich die Lichtimpulse weiterhin treffen.

In \(S\) legt jeder Lichtimpuls \(300\text{ m}\) bis zur Mitte zurück. Das Treffereignis findet daher statt bei

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Dies ist ein einzelnes Ereignis in der Raumzeit. Jedes Inertialsystem stimmt darin überein, dass sich beide Lichtimpulse bei diesem Ereignis treffen, auch wenn die zugewiesenen Koordinaten unterschiedlich sind.

Wir können die Zeitangaben im Bezugssystem der Rakete überprüfen. Wenden wir die vorgegebene Beziehung auf den Lichtblitz A und das Treffereignis an, erhalten wir

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Der Lichtblitz A findet bei \(t'_A=0\) statt. Daher benötigt sein Lichtimpuls \(0.333\,\mu\text{s}\) an Koordinatenzeit im Raketenbezugssystem, um das Treffereignis zu erreichen.

Der Lichtblitz B findet bei \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\) statt. Sein Lichtimpuls benötigt daher

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

bis zu demselben Ereignis.

Die unterschiedlichen Emissionszeitpunkte und Laufzeitintervalle sind mit demselben Treffereignis vereinbar. Der Fehler wäre die Annahme, dass eine gleichzeitige Emission in einem Bezugssystem in jedem Bezugssystem gleichzeitig bleiben muss.

Der nächste sinnvolle Schritt ist, zu lernen, wie sich Ereignisse in einem Raumzeitdiagramm darstellen lassen. Beginne bei HSC-Aufgaben damit, das Bezugssystem zu bestimmen und zu fragen, ob die Ereignisse in diesem Bezugssystem am selben Ort stattfinden. Diese Entscheidung hilft dir, zwischen Zeitdilatation, Längenkontraktion und Relativität der Gleichzeitigkeit zu wählen, bevor du mit dem Rechnen beginnst.