Relatività ristretta per la fisica HSC: una guida chiara con esempi svolti
Comprendi la relatività ristretta senza misteri. Questa guida di fisica HSC spiega i sistemi di riferimento, la relatività della simultaneità, la dilatazione del tempo, la contrazione delle lunghezze e l'equivalenza massa-energia attraverso spiegazioni chiare ed esempi svolti.
Un’astronave passa accanto alla Terra a \(0.80c\). La Terra assegna un intervallo di tempo più lungo tra due tic dell’orologio dell’astronave rispetto a quello misurato dall’astronauta. L’astronauta, invece, afferma che gli orologi terrestri vanno più lentamente. Prima di continuare a leggere, prova a prevedere la risposta: uno dei due osservatori ha semplicemente torto? No. Ciascuno utilizza un diverso sistema di riferimento inerziale e il disaccordo deriva dal modo in cui vengono misurati il tempo e lo spazio alle alte velocità.
Gli stessi due tic, intervalli di tempo diversi
| Sistema di riferimento di quiete dell’astronauta | Δτ = 3.0 s Entrambi i tic avvengono nella stessa posizione nella cabina. L’orologio di bordo misura il tempo proprio. |
|---|---|
| Sistema di riferimento terrestre | Δt = γΔτ = 5.0 s Gli orologi terrestri sincronizzati assegnano l’intervallo. Gli stessi due eventi; nessun orologio è difettoso. |
01Sistemi di riferimento: che cosa sta effettivamente misurando ciascun osservatore?
Un sistema di riferimento è un sistema di coordinate utilizzato per assegnare posizioni e tempi agli eventi. Può essere rappresentato mediante righelli e una rete di orologi sincronizzati.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema che non accelera né ruota. Ai fini di questa guida, supponiamo che gli effetti della gravità siano trascurabili e che l’astronave e la Terra si muovano a velocità relativa costante ogni volta che le confrontiamo.
Nella vita quotidiana, di solito possiamo considerare il tempo come se fosse universale. Se due eventi avvengono contemporaneamente per te, ti aspetti che avvengano contemporaneamente anche per chiunque altro.
La relatività ristretta mette in discussione questa ipotesi. Si basa su due principi:
- Le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale.
- Ogni osservatore inerziale misura la stessa velocità della luce nel vuoto, indipendentemente dal moto della sorgente luminosa o dell’osservatore.
La velocità della luce è
\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Supponiamo che tu ti muova verso un fascio di luce. Potresti aspettarti di misurarne la velocità come \(c+v\), dove \(v\) è la tua velocità verso il fascio. Ma non è così: misuri comunque \(c\).
Affinché ciò sia possibile, osservatori che si muovono l’uno rispetto all’altro non possono sempre concordare sugli intervalli di tempo, sulle lunghezze o su quali eventi distanti siano avvenuti simultaneamente.
Non si tratta semplicemente di ciò che i loro occhi vedono. Le misurazioni relativistiche utilizzano orologi sincronizzati e tengono conto del tempo impiegato dalla luce per viaggiare. Il disaccordo persiste anche dopo aver applicato questa correzione.
Stessi eventi, coordinate diverse
| Sistema di riferimento della piattaforma S | A (0 s, 0 m); B (0 s, 600 m) Rete di orologi sincronizzati e scala delle posizioni proprie. Gli eventi A e B sono simultanei. |
|---|---|
| Sistema di riferimento del razzo S′ | A (0 s, 0 m); B (−2.67 μs, 1000 m) Rete di orologi sincronizzati e scala delle posizioni proprie. L’evento B avviene prima di A. |
02Simultaneità: due eventi possono avvenire in istanti diversi in sistemi di riferimento diversi
Immagina due lampade, A e B, poste alle estremità opposte di una lunga piattaforma. Gli orologi fermi rispetto alla piattaforma sono sincronizzati ed entrambe le lampade emettono un lampo all’istante \(t=0\) secondo il tempo della piattaforma.
Prima di proseguire, prova a prevedere la risposta: un razzo che passa accanto alla piattaforma deve necessariamente concordare sul fatto che i lampi siano avvenuti simultaneamente?
No. Il razzo può assegnare tempi diversi ai due lampi.
Simultanei significa che due eventi hanno la stessa coordinata temporale in un sistema di riferimento specificato. Ciò non significa automaticamente che ogni sistema di riferimento inerziale assegni loro lo stesso tempo.
Per descrivere la situazione con precisione, supponiamo che:
- La lampada A si trovi in \(x=0\).
- La lampada B si trovi in \(x=600\text{ m}\).
- La piattaforma sia ferma nel sistema di riferimento \(S\).
- Il sistema di riferimento \(S'\), solidale con il razzo, si muova nella direzione positiva dell’asse \(x\) alla velocità \(v\) rispetto a \(S\).
Nel sistema di riferimento della piattaforma, i lampi sono simultanei. Nel sistema di riferimento del razzo, il lampo in B avviene prima di quello in A.
Perché proprio in quest’ordine? La trasformazione della coordinata temporale per questi due eventi è
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
dove
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]
Qui, \(\Delta t=t_B-t_A\) e \(\Delta x=x_B-x_A\) sono rispettivamente le differenze di tempo e di posizione misurate nel sistema di riferimento \(S\). La differenza di tempo con l’apice è misurata nel sistema \(S'\), che si muove nella direzione positiva dell’asse \(x\) rispetto a \(S\).
Per i lampi simultanei sulla piattaforma,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]
Pertanto,
\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]
Il segno negativo indica che il lampo in B avviene prima nel sistema di riferimento del razzo.
Relatività della simultaneità: struttura richiesta della linea temporale
| Sistema di riferimento della piattaforma S | Δt = 0 Gli eventi A e B hanno la stessa coordinata temporale. |
|---|---|
| Sistema di riferimento del razzo S′ | Δt′ < 0 L’evento B avviene prima dell’evento A. |
Una precisazione importante: l’ordine in cui un osservatore riceve due lampi non dimostra, di per sé, quando si siano verificati gli eventi. La luce deve raggiungere l’osservatore e le distanze percorse possono essere diverse. La relatività della simultaneità riguarda i tempi assegnati da orologi sincronizzati, dopo aver tenuto conto del tempo di propagazione della luce.
Questa distinzione diventa particolarmente utile quando un problema riguarda due eventi distanti anziché due tic dello stesso orologio.
03Dilatazione del tempo: un orologio in movimento presenta un intervallo tra i tic più lungo
Consideriamo ora due tic di un singolo orologio fissato a un’astronave.
I due tic avvengono nella stessa posizione nel sistema di riferimento in cui l’astronave è ferma. Il tempo trascorso misurato da quell’orologio si chiama tempo proprio e si indica con \(\Delta\tau\).
Un osservatore in un altro sistema di riferimento inerziale, nel quale l’astronave si muove alla velocità \(v\), assegna a questi stessi due eventi un intervallo di tempo più lungo. Questo fenomeno è la dilatazione del tempo.
L’equazione è
\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]
dove:
- \(\Delta t\) è l’intervallo di tempo misurato nel sistema di riferimento in cui l’orologio è in movimento.
- \(\Delta\tau\) è il tempo proprio misurato dall’orologio nel sistema di riferimento in cui è fermo.
- \(\gamma\) è il fattore di Lorentz.
- \(v\) è la velocità relativa tra i sistemi di riferimento.
- \(c\) è la velocità della luce.
Poiché \(\gamma\geq1\), l’intervallo tra i tic dell’orologio in movimento non è mai più breve del suo intervallo di tempo proprio.
Per esempio, quando \(v=0.80c\),
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]
L’altro sistema di riferimento misura un intervallo 1.67 volte più lungo di quello indicato dall’orologio stesso.
Un orologio, due intervalli di tempo misurati
| Sistema di riferimento dell’astronave | Δτ = 10.0 min Entrambi i tic avvengono nella stessa posizione nella cabina. L’orologio di bordo misura il tempo proprio. |
|---|---|
| Sistema di riferimento del laboratorio | Δt = γΔτ = 16.7 min L’orologio di bordo si muove a 0.80c. Gli orologi sincronizzati del laboratorio assegnano un intervallo più lungo. |
Esempio svolto: un orologio a bordo di un’astronave veloce
Un’astronave si muove a \(0.80c\) rispetto alla Terra. Il suo orologio di bordo misura \(10.0\text{ min}\) tra due tic. Quale intervallo di tempo assegna la Terra agli stessi due tic?
Passaggio 1: Identificare il tempo proprio.
I due tic avvengono nella stessa posizione nel sistema di riferimento in cui l’astronave è ferma, quindi la lettura dell’orologio di bordo è il tempo proprio:
\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]
Passaggio 2: Calcolare il fattore di Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]
Passaggio 3: Applicare la dilatazione del tempo.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]
La Terra assegna un intervallo di \(16.7\text{ min}\), rispetto ai \(10.0\text{ min}\) dell’orologio dell’astronave. L’orologio dell’astronauta funziona normalmente nel proprio sistema di riferimento di quiete; la differenza riguarda gli intervalli di tempo assegnati dai due sistemi di riferimento.
Perché entrambi gli osservatori possono affermare che l’orologio dell’altro va più lentamente?
Sembra una contraddizione, ma i due osservatori non stanno effettuando un confronto diretto tra la stessa coppia di tic dei due orologi.
La Terra utilizza la propria rete di orologi sincronizzati per assegnare tempi ai tic dell’astronave. L’astronauta utilizza una diversa rete di orologi sincronizzati per assegnare tempi ai tic degli orologi terrestri distanti. Poiché la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, i due confronti non utilizzano le stesse assegnazioni temporali per gli eventi distanti.
Se l’astronauta fa inversione di marcia e in seguito si ricongiunge con la Terra, la situazione cambia ancora. Il viaggio comprende un cambiamento di sistema di riferimento inerziale, quindi i percorsi completi dei due osservatori non sono più equivalenti. I due possono accumulare quantità diverse di tempo proprio.
La regola fondamentale è semplice: la dilatazione del tempo si applica agli stessi due eventi, con l’intervallo di tempo proprio misurato nel sistema di riferimento in cui tali eventi avvengono nella stessa posizione.
04Contrazione delle lunghezze: la lunghezza misurata di un oggetto in movimento cambia
La dilatazione del tempo riguarda l’intervallo tra eventi. La contrazione delle lunghezze riguarda la distanza tra le estremità di un oggetto.
Immagina un’astronave ferma. Ne misuri la lunghezza con un righello e trovi \(150\text{ m}\). Questa è la sua lunghezza propria, \(L_0\), perché la misurazione viene effettuata nel sistema di riferimento in cui l’astronave è ferma.
Supponiamo ora che l’astronave passi accanto alla Terra ad alta velocità. La Terra ne misura la lunghezza registrando le posizioni della parte anteriore e di quella posteriore nello stesso istante secondo il tempo terrestre.
Quest’ultima condizione è importante. Per misurare una lunghezza in un determinato sistema di riferimento, devi registrare simultaneamente, in quel sistema, le posizioni di entrambe le estremità.
La lunghezza misurata dell’astronave in movimento è
\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]
oppure, in modo equivalente,
\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]
dove:
- \(L\) è la lunghezza misurata nel sistema di riferimento in cui l’oggetto è in movimento.
- \(L_0\) è la lunghezza propria dell’oggetto, misurata nel suo sistema di riferimento di quiete.
- \(v\) è la velocità dell’oggetto rispetto al sistema di riferimento in cui viene effettuata la misurazione.
- \(\gamma\) è il fattore di Lorentz.
Solo la dimensione parallela al moto si contrae. Le dimensioni dell’oggetto perpendicolari alla direzione del moto rimangono invariate secondo questa relazione di contrazione delle lunghezze.
La contrazione delle lunghezze riguarda solo la direzione del moto
| Astronave ferma | L = L₀ L₀ è la lunghezza propria. Dimensione perpendicolare: h₀. |
|---|---|
| Astronave in movimento alla velocità v | L = L₀/γ La lunghezza si contrae parallelamente al moto. La dimensione perpendicolare rimane h₀. |
Un errore comune consiste nell’immaginare che l’astronave si senta fisicamente schiacciata. Non è così: nel proprio sistema di riferimento di quiete, essa non misura una lunghezza minore. La differenza nasce dal fatto che le misurazioni delle lunghezze in sistemi di riferimento diversi utilizzano insiemi diversi di posizioni simultanee delle estremità.
Esempio svolto: un’astronave che passa davanti a un rivelatore
Una sonda ha una lunghezza propria di \(150\text{ m}\) e passa davanti a un rivelatore fermo a \(0.80c\).
Calcola:
- la lunghezza misurata dalla Terra;
- l’intervallo di tempo tra il passaggio del muso e quello della coda della sonda davanti al rivelatore nel sistema di riferimento terrestre;
- l’intervallo di tempo tra gli stessi eventi nel sistema di riferimento della sonda.
Passaggio 1: Calcolare il fattore di Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Passaggio 2: Calcolare la lunghezza misurata dalla Terra.
\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]
La Terra misura una lunghezza di \(90.0\text{ m}\) per la sonda in movimento.
Passaggio 3: Calcolare l’intervallo di tempo nel sistema di riferimento terrestre.
La sonda si muove alla velocità
\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]
Nel sistema di riferimento terrestre, il muso e la coda sono separati da \(90.0\text{ m}\). Pertanto, il tempo che intercorre tra i loro passaggi davanti al rivelatore fermo è
\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Passaggio 4: Calcolare l’intervallo nel sistema di riferimento della sonda.
Nel sistema di riferimento della sonda, il rivelatore attraversa l’intera lunghezza propria di \(150\text{ m}\) della sonda alla stessa velocità relativa. Pertanto,
\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
I due eventi di attraversamento avvengono nella stessa posizione nel sistema di riferimento terrestre, quindi l’intervallo di \(0.375\,\mu\text{s}\) misurato dal rivelatore è un intervallo di tempo proprio. Nel sistema di riferimento della sonda, il rivelatore è in movimento e l’intervallo è più lungo:
\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]
I calcoli concordano. La stessa coppia di eventi presenta intervalli di tempo diversi nei due sistemi di riferimento, mentre la lunghezza misurata della sonda dipende dal sistema in cui entrambe le estremità vengono registrate simultaneamente.
Stessi eventi di attraversamento, intervalli di tempo diversi
| Sistema di riferimento terrestre | A → B: 0.375 μs Lunghezza della sonda: 90 m; il rivelatore è fermo. |
|---|---|
| Sistema di riferimento della sonda | A → B: 0.625 μs Lunghezza della sonda: 150 m; il rivelatore le passa accanto. |
05Massa-energia: che cosa significa davvero \(E=mc^2\)?
Considera la formazione di un nucleo a partire da protoni e neutroni separati. Dopo la formazione del nucleo, la sua massa a riposo è leggermente inferiore alla somma delle masse a riposo delle particelle separate.
Una parte della materia è semplicemente scomparsa?
No. Il sistema ha liberato energia e l’energia trasportata all’esterno deve essere inclusa nel bilancio. Massa ed energia sono correlate.
L’energia a riposo di un oggetto è
\[ \boxed{E_0=mc^2} \]
dove:
- \(E_0\) è l’energia a riposo.
- \(m\) è la massa invariante, o massa a riposo.
- \(c\) è la velocità della luce.
Per una variazione della massa a riposo, la corrispondente variazione dell’energia a riposo è
\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]
Il fattore \(c^2\) è enorme. Una differenza di massa di appena \(1.0\text{ g}\) corrisponde a una differenza di energia a riposo pari a
\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]
Si tratta di una quantità enorme di energia associata a una differenza di massa molto piccola.
La massa diminuisce; l’energia totale si conserva
| Prima che l’energia fuoriesca | Rest mass = m Energia a riposo iniziale: E₀ = mc². |
|---|---|
| Dopo la fuoriuscita della radiazione | Remaining mass = m − Δm La radiazione trasporta ΔE = Δmc². Energia a riposo residua + energia della radiazione = energia iniziale. |
Che cosa cambia quando l’energia entra in un sistema o ne esce?
Se l’energia esce da un sistema, la massa a riposo del sistema rimanente può diminuire. Se l’energia viene aggiunta a un sistema e rimane al suo interno, la sua massa a riposo aumenta, purché il sistema venga confrontato a riposo prima e dopo.
Questo non significa che l’energia venga distrutta quando la massa diminuisce. In un sistema isolato, l’energia totale si conserva. L’energia può essere uscita dall’oggetto rimanente sotto forma di radiazione o energia cinetica, ma continua a esistere.
Un nucleo legato fornisce un esempio utile. La differenza tra la somma delle masse a riposo dei nucleoni separati e la massa a riposo del nucleo legato si chiama difetto di massa. La corrispondente differenza di energia è l’energia di legame.
Una precisazione necessaria: la massa a riposo non è la stessa cosa dell’energia totale
L’equazione \(E_0=mc^2\) fornisce l’energia a riposo. Per un oggetto che si muove alla velocità \(v\), l’energia totale è
\[ E=\gamma mc^2, \]
mentre l’energia cinetica è
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]
Qui, \(m\) rimane la massa invariante a riposo dell’oggetto. Il fattore \(\gamma\) modifica l’energia totale dell’oggetto, non la sua massa invariante.
Alcuni testi più datati utilizzano il termine massa relativistica per indicare \(\gamma m\). La convenzione moderna mantiene generalmente la massa invariante e descrive l’aumento in termini di energia e quantità di moto.
I fotoni, per esempio, trasportano energia e quantità di moto pur avendo massa a riposo nulla. Pertanto, \(E=mc^2\) non deve essere interpretata come se ogni forma di energia dovesse appartenere a una particella con massa a riposo diversa da zero.
Esempio svolto: calcolare l’energia a partire da una differenza di massa
Una sorgente ferma emette radiazione e la sua massa a riposo residua diminuisce di \(0.50\text{ mg}\). Supponendo che l’intera differenza di massa corrisponda all’energia trasportata dalla radiazione emessa, stima l’energia liberata.
Passaggio 1: Convertire la differenza di massa in chilogrammi.
\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]
Passaggio 2: Applicare l’equivalenza massa-energia.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passaggio 3: Interpretare il risultato.
L’energia liberata è \(4.5\times10^{10}\text{ J}\). Una differenza di massa di appena \(0.50\text{ mg}\) corrisponde a una quantità enorme di energia.
La massa a riposo residua della sorgente è diminuita, ma l’energia non è scomparsa. Quando si include la radiazione emessa, il bilancio energetico totale rimane coerente.
06Scegliere la relazione corretta
Il metodo più affidabile per risolvere un problema di relatività ristretta consiste nell’identificare che cosa viene misurato prima di scegliere una formula.
| Che cosa descrive il problema | Relazione pertinente | Che cosa verificare prima di sostituire i valori |
|---|---|---|
| Tempo tra due tic di un orologio in movimento | \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\) | I due eventi avvengono nella stessa posizione nel sistema di riferimento di quiete dell’orologio? |
| Lunghezza di un oggetto in movimento rispetto all’osservatore | \(L=L_0/\gamma\) | \(L_0\) è la lunghezza propria e le due estremità vengono misurate simultaneamente nel sistema di riferimento dell’osservatore? |
| Due eventi in posizioni diverse | Relatività della simultaneità | Gli eventi avvengono in posizioni diverse nel sistema di riferimento in cui vengono confrontati i loro tempi? |
| Variazione dell’energia a riposo di un sistema | \(\Delta E_0=\Delta m c^2\) | Quale sistema si sta considerando e dove è finita l’energia? |
Quattro verifiche permettono di individuare molti errori comuni:
- Verifica il fattore di Lorentz. Per \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
- Verifica gli eventi. La dilatazione del tempo non è una regola applicabile a qualsiasi coppia di eventi. La condizione relativa al tempo proprio è importante.
- Verifica la misurazione. La contrazione delle lunghezze si applica lungo la direzione del moto e una misurazione della lunghezza richiede posizioni simultanee delle estremità nel sistema di riferimento utilizzato per la misura.
- Verifica il bilancio energetico. Una diminuzione della massa a riposo di un singolo oggetto non significa che l’energia totale di un sistema isolato sia scomparsa.
07Domande e soluzioni
Domanda 1
Un orologio fissato a una sonda misura \(3.0\text{ s}\) tra due tic. La sonda si muove a \(0.60c\) rispetto a un laboratorio.
Calcola l’intervallo di tempo che il laboratorio assegna agli stessi due tic.
Soluzione 1
Il laboratorio assegna un intervallo di \(3.75\text{ s}\), ovvero \(3.8\text{ s}\) a due cifre significative.
L’orologio di bordo misura il tempo proprio perché entrambi i tic avvengono nella stessa posizione nel sistema di riferimento di quiete della sonda.
Passaggio 1: Calcolare il fattore di Lorentz.
\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]
Passaggio 2: Applicare la dilatazione del tempo.
\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]
Il laboratorio misura un intervallo più lungo rispetto a quello indicato dall’orologio della sonda. Il risultato è coerente con la dilatazione del tempo.
Domanda 2
Una sonda ha una lunghezza propria di \(80\text{ m}\). Un hangar è lungo \(60\text{ m}\) nel proprio sistema di riferimento di quiete. La sonda attraversa l’hangar a \(0.80c\).
Un ingegnere sostiene che la sonda possa trovarsi interamente all’interno dell’hangar in un singolo istante, perché la sua lunghezza contratta è inferiore alla lunghezza dell’hangar. Il pilota sostiene che ciò sia impossibile, perché nel sistema di riferimento del pilota l’hangar è più corto della sonda.
Supponi che le porte ideali possano aprirsi e chiudersi istantaneamente e trascura i danni materiali.
Entrambi gli osservatori calcolano correttamente le lunghezze? La sonda può trovarsi interamente all’interno dell’hangar in un singolo istante? Spiega come le due descrizioni siano compatibili.
Soluzione 2
Entrambi i calcoli delle lunghezze sono corretti. Il disaccordo riguarda la possibilità che la sonda sia interamente all’interno dell’hangar in un singolo istante, perché la simultaneità dipende dal sistema di riferimento.
Passaggio 1: Calcolare il fattore di Lorentz.
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]
Passaggio 2: Calcolare la lunghezza della sonda nel sistema di riferimento dell’hangar.
La lunghezza propria della sonda è \(L_0=80\text{ m}\).
\[ \begin{aligned} L_{\text{sonda}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]
Poiché \(48\text{ m}<60\text{ m}\), l’ingegnere ha ragione: la sonda può trovarsi interamente all’interno dell’hangar in un singolo istante del sistema di riferimento dell’hangar, purché sia posizionata in modo appropriato.
Passaggio 3: Calcolare la lunghezza dell’hangar nel sistema di riferimento della sonda.
La lunghezza propria dell’hangar è \(60\text{ m}\). Nel sistema di riferimento della sonda, l’hangar è in movimento, quindi la lunghezza misurata è
\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]
Anche il pilota ha ragione: nel sistema di riferimento della sonda, l’hangar in movimento è lungo soltanto \(36\text{ m}\), mentre la lunghezza propria della sonda rimane \(80\text{ m}\).
Passaggio 4: Risolvere l’apparente contraddizione.
L’espressione «interamente all’interno in un singolo istante» significa che le posizioni di entrambe le estremità della sonda si trovano all’interno dell’hangar nello stesso momento, in un sistema di riferimento specificato.
Nel sistema di riferimento dell’hangar esiste un istante in cui entrambe le estremità si trovano al suo interno. Nel sistema di riferimento della sonda non esiste alcun istante in cui l’intera sonda di \(80\text{ m}\) possa entrare nell’hangar di \(36\text{ m}\).
Il punto fondamentale è che i due eventi di chiusura delle porte, simultanei nel sistema di riferimento dell’hangar, non sono simultanei nel sistema di riferimento della sonda. Gli osservatori non stanno descrivendo la stessa coppia di eventi simultanei. Nessuna delle due descrizioni richiede che la sonda venga fisicamente distrutta o compressa nel proprio sistema di riferimento di quiete.
Domanda 3
La massa a riposo di un nucleo legato è inferiore di \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) rispetto alla somma delle masse a riposo dei suoi nucleoni separati.
Supponi che entrambi gli stati vengano confrontati a riposo e che l’energia liberata durante il legame fuoriesca dal nucleo.
Calcola l’energia di legame liberata, in joule, e spiega perché la massa a riposo inferiore del nucleo finale non viola il principio di conservazione dell’energia.
Soluzione 3
L’energia di legame equivalente alla differenza di massa è \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). La massa a riposo inferiore è compatibile con la conservazione dell’energia perché l’energia liberata esce dal sistema.
Passaggio 1: Identificare la differenza di massa.
Il valore assoluto del difetto di massa è
\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]
Passaggio 2: Applicare l’equivalenza massa-energia.
\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passaggio 3: Spiegare il bilancio energetico.
Il nucleo legato possiede meno energia a riposo rispetto ai nucleoni separati. La differenza si manifesta come energia liberata durante la formazione del legame, per esempio sotto forma di radiazione o di energia cinetica trasportata da altri prodotti.
La massa a riposo del nucleo finale è inferiore perché l’energia è uscita dal nucleo. Includendo l’energia liberata, l’energia totale si conserva.
Domanda 4
Un’astronave ha una massa invariante a riposo di \(1.0\text{ kg}\) e si muove a \(0.80c\) rispetto alla Terra.
Uno studente calcola \(\gamma=1.67\) e sostiene che la massa dell’astronave sia aumentata fino a \(1.67\text{ kg}\).
Utilizzando
\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]
calcola l’energia a riposo, l’energia totale e l’energia cinetica dell’astronave. Valuta l’affermazione dello studente.
Soluzione 4
L’energia a riposo è \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), l’energia totale è \(1.5\times10^{17}\text{ J}\) e l’energia cinetica è \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Secondo la convenzione della massa invariante, la massa a riposo dell’astronave rimane \(1.0\text{ kg}\).
Passaggio 1: Calcolare l’energia a riposo.
La massa a riposo è \(m=1.0\text{ kg}\).
\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passaggio 2: Calcolare l’energia totale.
\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]
Passaggio 3: Calcolare l’energia cinetica.
\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]
I risultati sono coerenti perché l’energia totale è la somma dell’energia a riposo e dell’energia cinetica:
\[ E=E_0+K. \]
Passaggio 4: Valutare l’affermazione dello studente.
Lo studente ha correttamente riconosciuto che \(\gamma\) moltiplica l’energia a riposo per ottenere l’energia totale. L’errore consiste nell’interpretare questo fattore come un aumento della massa invariante a riposo.
L’energia cinetica dell’astronave aumenta con la velocità, ma la sua massa invariante a riposo rimane \(1.0\text{ kg}\). Questa distinzione è importante ogni volta che un problema combina l’equivalenza massa-energia con l’energia di un oggetto in movimento.
Domanda 5
Una piattaforma è lunga \(600\text{ m}\) nel proprio sistema di riferimento di quiete \(S\). Due lampade, A e B, sono montate alle sue estremità, con A in \(x=0\) e B in \(x=+600\text{ m}\). Nel sistema \(S\), entrambe emettono un lampo simultaneamente all’istante \(t=0\).
Ciascun lampo genera un impulso luminoso diretto verso il punto medio della piattaforma. Nel sistema \(S\), i due impulsi si incontrano nel punto medio.
Il sistema di riferimento di quiete \(S'\) di un razzo si muove nella direzione positiva dell’asse \(x\) alla velocità \(0.80c\) rispetto a \(S\).
Per questo problema, utilizza la relazione tra le coordinate temporali
\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]
dove \(\Delta t=t_B-t_A\) e \(\Delta x=x_B-x_A\) sono misurati in \(S\).
(a) Quale lampo avviene per primo in \(S'\) e con quale anticipo?
(b) La lunghezza della piattaforma in \(S'\) è \(360\text{ m}\). Uno studente sostiene che l’intervallo di tempo tra i lampi debba quindi essere \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Spiega qual è esattamente l’errore.
(c) I due impulsi luminosi devono necessariamente incontrarsi nello stesso evento anche in \(S'\)? Spiega come ciò sia possibile, nonostante i lampi non siano più simultanei.
Soluzione 5
Il lampo B avviene per primo in \(S'\), con un anticipo di \(2.67\,\mu\text{s}\). I due impulsi si incontrano comunque nello stesso evento, perché tutti i sistemi di riferimento inerziali concordano sul punto d’intersezione dei due impulsi luminosi, anche quando assegnano tempi diversi agli eventi di emissione.
Passaggio 1: Calcolare il fattore di Lorentz e identificare le differenze tra gli eventi.
La velocità relativa è \(v=0.80c\), quindi
\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]
I lampi sono simultanei in \(S\) e B si trova alla coordinata di posizione maggiore. Pertanto,
\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]
Passaggio 2: Calcolare la differenza di tempo in \(S'\).
Sostituisci i valori nella relazione fornita tra le coordinate temporali:
\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]
Il risultato negativo significa che \(t'_B<t'_A\). Nel sistema di riferimento del razzo, il lampo B avviene \(2.67\,\mu\text{s}\) prima del lampo A.
Passaggio 3: Spiegare perché il calcolo \(360\text{ m}/c\) non funziona.
Il calcolo dello studente fornisce
\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]
L’operazione aritmetica è corretta, ma risponde alla domanda sbagliata.
I \(360\text{ m}\) rappresentano la lunghezza della piattaforma misurata in \(S'\), ottenuta misurando entrambe le estremità allo stesso istante secondo il tempo del razzo. I due eventi di emissione dei lampi non sono simultanei in \(S'\), quindi le loro posizioni non possono essere considerate le estremità della lunghezza misurata simultaneamente.
La differenza temporale tra due eventi non è, in generale, uguale alla lunghezza misurata divisa per \(c\). Lo studente ha combinato una lunghezza misurata utilizzando posizioni simultanee delle estremità con due eventi che avvengono in istanti diversi nello stesso sistema di riferimento.
Passaggio 4: Spiegare perché gli impulsi continuano a incontrarsi.
In \(S\), ciascun impulso percorre \(300\text{ m}\) fino al punto medio. L’evento d’incontro avviene quindi in
\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]
Questo è un unico evento nello spaziotempo. Tutti i sistemi di riferimento inerziali concordano sul fatto che entrambi gli impulsi si incontrino in quell’evento, anche se gli assegnano coordinate diverse.
Possiamo verificare la tempistica nel sistema di riferimento del razzo. Applicando la relazione fornita tra il lampo A e l’evento d’incontro, otteniamo
\[ \begin{aligned} t'_{\text{incontro}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]
Il lampo A avviene in \(t'_A=0\), quindi il suo impulso impiega \(0.333\,\mu\text{s}\) di tempo coordinato nel sistema di riferimento del razzo per raggiungere l’evento d’incontro.
Il lampo B avviene in \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), quindi il suo impulso impiega
\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]
per raggiungere lo stesso evento.
I diversi tempi di emissione e gli intervalli di propagazione sono compatibili con un unico evento d’incontro. L’errore consisterebbe nel supporre che un’emissione simultanea in un sistema di riferimento debba rimanere simultanea in tutti gli altri.
Il passo successivo utile consiste nell’imparare a rappresentare gli eventi mediante un diagramma spaziotemporale. Nei problemi HSC, inizia identificando il sistema di riferimento e chiedendoti se gli eventi avvengano nella stessa posizione in quel sistema. Questa decisione ti aiuta a scegliere tra dilatazione del tempo, contrazione delle lunghezze e relatività della simultaneità prima di iniziare i calcoli.