Szczególna teoria względności w fizyce HSC: przejrzysty przewodnik z rozwiązanymi przykładami

Statek kosmiczny przelatuje obok Ziemi z prędkością \(0.80c\). Ziemia przypisuje dłuższy odstęp czasu między dwoma tyknięciami zegara statku niż astronauta. Astronauta z kolei twierdzi, że zegary na Ziemi chodzą wolno. Zanim zaczniesz czytać dalej, zastanów się: czy jeden z obserwatorów po prostu się myli? Nie. Każdy korzysta z innego układu inercjalnego, a rozbieżność wynika ze sposobu mierzenia czasu i przestrzeni przy dużych prędkościach.

01Układy odniesienia: co właściwie mierzy każdy obserwator?

Układ odniesienia to układ współrzędnych służący do przypisywania położeń i czasów zdarzeniom. Można go przedstawić za pomocą linijek oraz sieci zsynchronizowanych zegarów.

Układ inercjalny to taki, który nie przyspiesza ani nie obraca się. Na potrzeby tego przewodnika załóżmy, że grawitacja jest pomijalna, a statek kosmiczny i Ziemia poruszają się względem siebie ze stałą prędkością, gdy je porównujemy.

W życiu codziennym możemy zazwyczaj traktować czas tak, jakby był uniwersalny. Jeśli dwa zdarzenia zachodzą w tej samej chwili według ciebie, oczekujesz, że dla wszystkich innych również zajdą w tej samej chwili.

Szczególna teoria względności podważa to założenie. Opiera się na dwóch zasadach:

• Prawa fizyki są takie same we wszystkich układach inercjalnych.
• Każdy obserwator inercjalny mierzy taką samą prędkość światła w próżni, niezależnie od ruchu źródła światła lub obserwatora.

Prędkość światła wynosi

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Załóżmy, że poruszasz się w stronę wiązki światła. Możesz oczekiwać, że zmierzysz jej prędkość jako \(c+v\), gdzie \(v\) oznacza twoją prędkość w kierunku wiązki. Tak się jednak nie dzieje. Nadal mierzysz \(c\).

Aby było to możliwe, obserwatorzy poruszający się względem siebie nie mogą zawsze zgadzać się co do odstępów czasu, długości ani tego, które odległe zdarzenia zaszły jednocześnie.

Nie chodzi tu o to, co akurat widzą ich oczy. Pomiary relatywistyczne wykorzystują zsynchronizowane zegary i uwzględniają czas potrzebny światłu na przebycie drogi. Rozbieżność pozostaje nawet po uwzględnieniu tej poprawki.

02Jednoczesność: dwa zdarzenia mogą zachodzić w różnych chwilach w różnych układach odniesienia

Wyobraź sobie dwie lampy, A i B, umieszczone na przeciwległych końcach długiego peronu. Zegary spoczywające względem peronu są zsynchronizowane, a obie lampy błyskają w chwili \(t=0\), mierzonej w układzie peronu.

Zanim przejdziesz dalej, zastanów się: czy rakieta przelatująca obok peronu musi zgodzić się, że błyski nastąpiły jednocześnie?

Nie. Rakieta może przypisać obu błyskom różne czasy.

Jednoczesne oznacza, że dwa zdarzenia mają tę samą współrzędną czasową w określonym układzie odniesienia. Nie oznacza to automatycznie, że każdy układ inercjalny przypisuje im ten sam czas.

Aby dokładnie opisać tę sytuację, załóżmy, że:

• Lampa A znajduje się w punkcie \(x=0\).
• Lampa B znajduje się w punkcie \(x=600\text{ m}\).
• Peron spoczywa w układzie \(S\).
• Układ rakiety \(S'\) porusza się w dodatnim kierunku osi \(x\) z prędkością \(v\) względem układu \(S\).

W układzie peronu błyski są jednoczesne. W układzie rakiety błysk lampy B następuje wcześniej niż błysk lampy A.

Dlaczego właśnie w tej kolejności? Transformacja współrzędnej czasowej dla tych dwóch zdarzeń ma postać

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

gdzie

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Tutaj \(\Delta t=t_B-t_A\) oraz \(\Delta x=x_B-x_A\) oznaczają różnice czasu i położenia zmierzone w układzie \(S\). Różnica czasów oznaczona primem jest mierzona w układzie \(S'\), który porusza się w dodatnim kierunku osi \(x\) względem układu \(S\).

Dla jednoczesnych błysków obserwowanych z układu peronu mamy

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Zatem

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Znak minus oznacza, że błysk B następuje wcześniej w układzie rakiety.

Ważne zastrzeżenie: kolejność, w jakiej obserwator odbiera dwa błyski, sama w sobie nie dowodzi, kiedy zaszły te zdarzenia. Światło musi dotrzeć do obserwatora, a odległości mogą być różne. Względność jednoczesności dotyczy czasów przypisywanych zdarzeniom przez zsynchronizowane zegary po uwzględnieniu czasu podróży światła.

To rozróżnienie jest szczególnie przydatne w zadaniach dotyczących dwóch odległych zdarzeń, a nie dwóch tyknięć jednego zegara.

03Dylatacja czasu: poruszający się zegar ma dłuższy mierzony odstęp między tyknięciami

Rozważmy teraz dwa tyknięcia jednego zegara zamontowanego na statku kosmicznym.

Oba tyknięcia zachodzą w tym samym miejscu w układzie spoczynkowym statku. Odstęp czasu zmierzony przez ten zegar nazywamy czasem własnym i oznaczamy symbolem \(\Delta\tau\).

Obserwator w innym układzie inercjalnym, w którym statek porusza się z prędkością \(v\), przypisuje tym samym dwóm zdarzeniom dłuższy odstęp czasu. Zjawisko to nazywamy dylatacją czasu.

Równanie ma postać

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

gdzie:

• \(\Delta t\) to odstęp czasu mierzony w układzie, w którym zegar się porusza.
• \(\Delta\tau\) to czas własny mierzony przez zegar w jego układzie spoczynkowym.
• \(\gamma\) to czynnik Lorentza.
• \(v\) to prędkość względna między układami.
• \(c\) to prędkość światła.

Ponieważ \(\gamma\geq1\), odstęp między tyknięciami poruszającego się zegara nigdy nie jest krótszy niż odpowiadający mu odstęp czasu własnego.

Na przykład dla \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Drugi układ mierzy odstęp czasu \(1.67\) razy dłuższy niż odstęp wskazywany przez sam zegar.

Dlaczego obaj obserwatorzy mogą twierdzić, że zegar drugiego chodzi wolniej?

Brzmi to jak sprzeczność, ale obserwatorzy nie porównują bezpośrednio tych samych par tyknięć obu zegarów.

Ziemia korzysta z własnej sieci zsynchronizowanych zegarów, aby przypisać czasy tyknięciom zegara statku. Astronauta używa innej sieci zsynchronizowanych zegarów, aby przypisać czasy odległym tyknięciom zegarów na Ziemi. Ponieważ jednoczesność zależy od układu odniesienia, oba porównania nie wykorzystują tych samych przypisań czasów odległym zdarzeniom.

Jeśli astronauta zawróci i później ponownie spotka się z Ziemią, sytuacja znów się zmieni. Podróż obejmuje zmianę układu inercjalnego, więc pełne przebiegi podróży obu obserwatorów nie są już równoważne. Mogą upłynąć dla nich różne czasy własne.

Podstawowa zasada jest prosta: dylatacja czasu dotyczy tych samych dwóch zdarzeń, przy czym czas własny mierzy się w układzie, w którym oba zdarzenia zachodzą w jednym miejscu.

04Skrócenie długości: mierzona długość poruszającego się obiektu ulega zmianie

Dylatacja czasu dotyczy odstępu między zdarzeniami. Skrócenie długości dotyczy odległości między końcami obiektu.

Wyobraź sobie statek kosmiczny spoczywający względem ciebie. Mierzysz jego długość za pomocą linijki i otrzymujesz \(150\text{ m}\). Jest to jego długość własna, \(L_0\), ponieważ pomiar przeprowadzono w układzie spoczynkowym statku.

Załóżmy teraz, że statek przelatuje obok Ziemi z dużą prędkością. Ziemia mierzy jego długość, rejestrując położenia przedniego i tylnego końca w tej samej chwili według czasu układu Ziemi.

Ten ostatni warunek ma znaczenie. Aby zmierzyć długość w określonym układzie, trzeba jednocześnie w tym układzie zarejestrować położenia obu końców.

Mierzona długość poruszającego się statku wynosi

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

lub równoważnie

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

gdzie:

• \(L\) to długość mierzona w układzie, w którym obiekt się porusza.
• \(L_0\) to długość własna obiektu, mierzona w jego układzie spoczynkowym.
• \(v\) to prędkość obiektu względem układu pomiarowego.
• \(\gamma\) to czynnik Lorentza.

Skróceniu ulega tylko wymiar równoległy do kierunku ruchu. Wymiary obiektu prostopadłe do kierunku ruchu nie zmieniają się wskutek tego zjawiska.

Częstym błędem jest wyobrażenie sobie, że statek kosmiczny jest fizycznie ściskany. Tak nie jest: w swoim własnym układzie spoczynkowym nie mierzy on krótszej długości. Różnica wynika z tego, że pomiary długości w różnych układach wykorzystują różne zestawy jednoczesnych położeń końców obiektu.

05Masa i energia: co tak naprawdę oznacza \(E=mc^2\)?

Rozważmy powstanie jądra atomowego z oddzielnych protonów i neutronów. Po utworzeniu jądra jego masa spoczynkowa jest nieco mniejsza niż suma mas spoczynkowych rozdzielonych cząstek.

Czy część materii po prostu zniknęła?

Nie. Układ uwolnił energię, a energię, która została odprowadzona, trzeba uwzględnić w bilansie. Masa i energia są ze sobą powiązane.

Energia spoczynkowa obiektu wynosi

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

gdzie:

• \(E_0\) to energia spoczynkowa.
• \(m\) to masa niezmiennicza, czyli masa spoczynkowa.
• \(c\) to prędkość światła.

Zmianie masy spoczynkowej odpowiada zmiana energii spoczynkowej:

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Czynnik \(c^2\) jest ogromny. Różnica masy wynosząca zaledwie \(1.0\text{ g}\) odpowiada różnicy energii spoczynkowej równej

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

To ogromna ilość energii odpowiadająca bardzo małej różnicy masy.

Co się zmienia, gdy energia wpływa do układu lub go opuszcza?

Jeśli energia opuszcza układ, masa spoczynkowa pozostałego układu może się zmniejszyć. Jeśli energia zostaje dostarczona do układu i zatrzymana w nim, jego masa spoczynkowa wzrasta, pod warunkiem że układ porównuje się w stanie spoczynku przed zmianą i po niej.

Nie oznacza to, że energia zostaje zniszczona, gdy masa maleje. W układzie izolowanym całkowita energia jest zachowana. Energia mogła opuścić pozostały obiekt w postaci promieniowania lub energii kinetycznej, ale nadal istnieje.

Przykładem jest związane jądro atomowe. Różnicę między sumą mas spoczynkowych rozdzielonych nukleonów a masą spoczynkową związanego jądra nazywamy defektem masy. Odpowiadająca jej różnica energii to energia wiązania.

Ważne zastrzeżenie: masa spoczynkowa to nie to samo co energia całkowita

Równanie \(E_0=mc^2\) opisuje energię spoczynkową. Dla obiektu poruszającego się z prędkością \(v\) energia całkowita wynosi

\[ E=\gamma mc^2, \]

a energia kinetyczna

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Tutaj \(m\) nadal oznacza masę niezmienniczą obiektu, czyli jego masę spoczynkową. Czynnik \(\gamma\) zmienia energię całkowitą obiektu, a nie jego masę niezmienniczą.

W niektórych starszych ujęciach stosuje się termin masa relatywistyczna dla wielkości \(\gamma m\). We współczesnej konwencji masa pozostaje na ogół niezmiennicza, a zmiany związane z ruchem opisuje się za pomocą energii i pędu.

Na przykład fotony przenoszą energię i pęd, mimo że ich masa spoczynkowa wynosi zero. Dlatego równania \(E=mc^2\) nie należy interpretować tak, jakby każda postać energii musiała należeć do cząstki o niezerowej masie spoczynkowej.

06Jak wybrać odpowiednią zależność?

Najpewniejszym sposobem rozwiązania zadania ze szczególnej teorii względności jest ustalenie, co jest mierzone, zanim wybierzesz wzór.

Cztery kontrole pozwalają wychwycić wiele typowych błędów:

• Sprawdź czynnik Lorentza. Dla \(0\leq v<c\) zachodzi \(\gamma\geq1\).
• Sprawdź zdarzenia. Dylatacja czasu nie jest regułą dotyczącą każdej pary zdarzeń. Warunek dotyczący czasu własnego ma znaczenie.
• Sprawdź pomiar. Skrócenie długości dotyczy kierunku ruchu, a pomiar długości wymaga jednoczesnego wyznaczenia położeń obu końców w układzie pomiarowym.
• Sprawdź bilans energii. Zmniejszenie masy spoczynkowej jednego obiektu nie oznacza, że zniknęła całkowita energia układu izolowanego.

07Pytania i rozwiązania

Zadanie 1

Zegar zamontowany na sondzie mierzy \(3.0\text{ s}\) między dwoma tyknięciami. Sonda porusza się względem laboratorium z prędkością \(0.60c\).

Oblicz odstęp czasu, jaki laboratorium przypisuje tym samym dwóm tyknięciom.

Rozwiązanie 1

Laboratorium przypisuje tym zdarzeniom odstęp \(3.75\text{ s}\), czyli \(3.8\text{ s}\) z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Zegar pokładowy mierzy czas własny, ponieważ oba tyknięcia zachodzą w tym samym miejscu w układzie spoczynkowym sondy.

Krok 1: Oblicz czynnik Lorentza.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Krok 2: Zastosuj dylatację czasu.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Laboratorium mierzy dłuższy odstęp czasu niż zegar sondy. Wynik jest zgodny z dylatacją czasu.

Zadanie 2

Sonda ma długość własną \(80\text{ m}\). Hangar ma długość \(60\text{ m}\) w swoim własnym układzie spoczynkowym. Sonda przelatuje obok hangaru z prędkością \(0.80c\).

Inżynier twierdzi, że sonda może w całości zmieścić się w hangarze w jednej chwili, ponieważ jej długość po skróceniu jest mniejsza niż długość hangaru. Pilot twierdzi, że jest to niemożliwe, ponieważ w układzie pilota hangar jest krótszy od sondy.

Załóż idealne drzwi, które mogą otwierać się i zamykać natychmiast, oraz pomiń uszkodzenia materialne.

Czy obaj obserwatorzy poprawnie obliczają długości? Czy sonda może znaleźć się w całości wewnątrz hangaru w jednej chwili? Wyjaśnij, dlaczego oba opisy są ze sobą zgodne.

Rozwiązanie 2

Obliczenia długości wykonane przez obu obserwatorów są poprawne. Rozbieżność dotyczy tego, czy sonda znajduje się w całości wewnątrz hangaru w jednej chwili, ponieważ jednoczesność zależy od układu odniesienia.

Krok 1: Oblicz czynnik Lorentza.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Krok 2: Oblicz długość sondy w układzie hangaru.

Długość własna sondy wynosi \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{sondy}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Ponieważ \(48\text{ m}<60\text{ m}\), inżynier ma rację: sonda może w całości zmieścić się w hangarze w jednej chwili mierzonej w układzie hangaru, jeśli zostanie odpowiednio ustawiona.

Krok 3: Oblicz długość hangaru w układzie sondy.

Długość własna hangaru wynosi \(60\text{ m}\). W układzie sondy hangar się porusza, więc jego mierzona długość wynosi

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Pilot również ma rację: poruszający się hangar ma w układzie sondy długość zaledwie \(36\text{ m}\), podczas gdy długość własna sondy nadal wynosi \(80\text{ m}\).

Krok 4: Wyjaśnij pozorną sprzeczność.

Wyrażenie „w całości wewnątrz w jednej chwili” oznacza, że położenia obu końców sondy znajdują się wewnątrz hangaru w tej samej chwili, określonej w konkretnym układzie odniesienia.

W układzie hangaru istnieje chwila, w której oba końce sondy znajdują się wewnątrz. W układzie sondy nie istnieje natomiast chwila, w której cała sonda o długości \(80\text{ m}\) mieści się w hangarze o długości \(36\text{ m}\).

Kluczowe jest to, że zdarzenia zamknięcia obu drzwi, jednoczesne w układzie hangaru, nie są jednoczesne w układzie sondy. Obserwatorzy nie opisują tej samej pary zdarzeń uznanych za jednoczesne. Żaden z tych opisów nie wymaga, aby sonda została fizycznie zniszczona lub ściśnięta we własnym układzie spoczynkowym.

Zadanie 3

Masa spoczynkowa związanego jądra atomowego jest o \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) mniejsza niż łączna masa spoczynkowa jego rozdzielonych nukleonów.

Załóż, że oba stany porównuje się w spoczynku, a energia uwolniona podczas wiązania opuszcza jądro.

Oblicz energię wiązania uwolnioną w tym procesie, wyrażoną w dżulach, i wyjaśnij, dlaczego mniejsza masa spoczynkowa końcowego jądra nie narusza zasady zachowania energii.

Rozwiązanie 3

Energia wiązania odpowiadająca różnicy mas wynosi \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Mniejsza masa spoczynkowa jest zgodna z zasadą zachowania energii, ponieważ uwolniona energia opuszcza układ.

Krok 1: Ustal różnicę mas.

Wartość bezwzględna defektu masy wynosi

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Krok 2: Zastosuj równoważność masy i energii.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Krok 3: Wyjaśnij bilans energii.

Energia spoczynkowa związanego jądra jest mniejsza niż energia spoczynkowa rozdzielonych nukleonów. Różnica odpowiada energii uwolnionej podczas wiązania, na przykład w postaci promieniowania lub energii kinetycznej unoszonej przez inne produkty reakcji.

Końcowe jądro ma mniejszą masę spoczynkową, ponieważ energia opuściła jądro. Po uwzględnieniu uwolnionej energii całkowita energia pozostaje zachowana.

Zadanie 4

Statek kosmiczny ma masę spoczynkową niezmienniczą \(1.0\text{ kg}\) i porusza się względem Ziemi z prędkością \(0.80c\).

Uczeń oblicza \(\gamma=1.67\) i twierdzi, że masa statku wzrosła do \(1.67\text{ kg}\).

Korzystając z zależności

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

oblicz energię spoczynkową statku, jego energię całkowitą i energię kinetyczną. Oceń twierdzenie ucznia.

Rozwiązanie 4

Energia spoczynkowa wynosi \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), energia całkowita wynosi \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), a energia kinetyczna wynosi \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Zgodnie z konwencją masy niezmienniczej masa spoczynkowa statku pozostaje równa \(1.0\text{ kg}\).

Krok 1: Oblicz energię spoczynkową.

Masa spoczynkowa wynosi \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Krok 2: Oblicz energię całkowitą.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Krok 3: Oblicz energię kinetyczną.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Wyniki są zgodne, ponieważ energia całkowita jest sumą energii spoczynkowej i energii kinetycznej:

\[ E=E_0+K. \]

Krok 4: Oceń twierdzenie ucznia.

Uczeń poprawnie zauważył, że \(\gamma\) mnoży energię spoczynkową, dając energię całkowitą. Błąd polega na zinterpretowaniu tego czynnika jako wzrostu masy spoczynkowej niezmienniczej.

Energia kinetyczna statku wzrasta wraz z prędkością, ale jego masa spoczynkowa niezmiennicza pozostaje równa \(1.0\text{ kg}\). To rozróżnienie ma znaczenie zawsze wtedy, gdy zadanie łączy równoważność masy i energii z energią poruszającego się obiektu.

Zadanie 5

Peron ma długość \(600\text{ m}\) w swoim układzie spoczynkowym \(S\). Na jego końcach znajdują się dwie lampy, A i B, przy czym A leży w punkcie \(x=0\), a B w punkcie \(x=+600\text{ m}\). Lampy błyskają jednocześnie w chwili \(t=0\) w układzie \(S\).

Każdy błysk wywołuje impuls świetlny skierowany ku środkowi peronu. W układzie \(S\) oba impulsy spotykają się w środku peronu.

Układ spoczynkowy rakiety \(S'\) porusza się w dodatnim kierunku osi \(x\) z prędkością \(0.80c\) względem układu \(S\).

W tym zadaniu użyj zależności opisującej transformację współrzędnej czasowej:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

gdzie \(\Delta t=t_B-t_A\) oraz \(\Delta x=x_B-x_A\) są mierzone w układzie \(S\).

(a) Który błysk następuje wcześniej w układzie \(S'\) i o ile?

(b) Długość peronu w układzie \(S'\) wynosi \(360\text{ m}\). Uczeń twierdzi, że odstęp czasu między błyskami musi zatem wynosić \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Wyjaśnij dokładnie, na czym polega błąd.

(c) Czy oba impulsy świetlne nadal muszą spotkać się w tym samym zdarzeniu w układzie \(S'\)? Wyjaśnij, dlaczego jest to możliwe, mimo że błyski nie są już jednoczesne.

Rozwiązanie 5

Błysk B następuje wcześniej w układzie \(S'\), o \(2.67\,\mu\text{s}\). Impulsy nadal spotykają się w tym samym zdarzeniu, ponieważ wszystkie układy inercjalne zgadzają się co do punktu przecięcia obu impulsów świetlnych, nawet jeśli przypisują różne czasy zdarzeniom emisji.

Krok 1: Oblicz czynnik Lorentza i ustal różnice między zdarzeniami.

Prędkość względna wynosi \(v=0.80c\), więc

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Błyski są jednoczesne w układzie \(S\), a B ma większą współrzędną położenia. Dlatego

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Krok 2: Oblicz różnicę czasu w układzie \(S'\).

Podstaw do podanej zależności transformacyjnej:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Wynik ujemny oznacza, że \(t'_B<t'_A\). W układzie rakiety błysk B następuje \(2.67\,\mu\text{s}\) przed błyskiem A.

Krok 3: Wyjaśnij, dlaczego obliczenie \(360\text{ m}/c\) jest błędne.

Obliczenie ucznia daje

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Rachunek jest poprawny, ale odpowiada na niewłaściwe pytanie.

Wartość \(360\text{ m}\) to długość peronu mierzona w układzie \(S'\), uzyskana przez jednoczesny pomiar położeń obu końców w jednej chwili układu rakiety. Dwa zdarzenia błysków nie są jednoczesne w układzie \(S'\), dlatego ich położeń nie można traktować jako położeń końców wyznaczających tę długość w jednoczesnym pomiarze.

Różnica czasu między dwoma zdarzeniami nie jest na ogół równa mierzonej długości podzielonej przez \(c\). Uczeń połączył długość zmierzoną na podstawie jednoczesnych położeń końców z dwoma zdarzeniami, które zachodzą w różnych chwilach w tym samym układzie.

Krok 4: Wyjaśnij, dlaczego impulsy nadal się spotykają.

W układzie \(S\) każdy impuls pokonuje \(300\text{ m}\) do środka peronu. Zdarzenie spotkania następuje zatem w chwili

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Jest to jedno zdarzenie w czasoprzestrzeni. Każdy układ inercjalny zgadza się, że oba impulsy spotykają się w tym zdarzeniu, chociaż przypisane mu współrzędne są różne.

Możemy sprawdzić czas w układzie rakiety. Zastosowanie podanej zależności między błyskiem A a zdarzeniem spotkania daje

\[ \begin{aligned} t'_{\text{spotkania}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Błysk A zachodzi w chwili \(t'_A=0\), więc jego impuls potrzebuje \(0.333\,\mu\text{s}\) czasu współrzędnościowego w układzie rakiety, aby dotrzeć do zdarzenia spotkania.

Błysk B zachodzi w chwili \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), więc jego impuls potrzebuje

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

na dotarcie do tego samego zdarzenia.

Różne czasy emisji i różne odstępy czasu podróży są zgodne z tym samym zdarzeniem spotkania. Błędem byłoby założenie, że jednoczesna emisja w jednym układzie musi pozostać jednoczesna we wszystkich układach.

Kolejnym przydatnym krokiem jest nauczenie się przedstawiania zdarzeń na diagramie czasoprzestrzennym. W zadaniach HSC zacznij od wskazania układu odniesienia i ustalenia, czy zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w tym układzie. Ta decyzja pomoże ci wybrać między dylatacją czasu, skróceniem długości a względnością jednoczesności, zanim rozpoczniesz obliczenia.