תורת היחסות הפרטית בפיזיקה ל-HSC: מדריך ברור עם דוגמאות פתורות

חללית חולפת ליד כדור הארץ במהירות \(0.80c\). כדור הארץ מייחס פרק זמן ארוך יותר בין שתי תקתוקי השעון של החללית מזה שמודד האסטרונאוט. האסטרונאוט, מצדו, אומר שהשעונים בכדור הארץ פועלים לאט. לפני שממשיכים לקרוא, נסו לחזות: האם אחד הצופים פשוט טועה? לא. כל אחד מהם משתמש במסגרת אינרציאלית אחרת, והמחלוקת נובעת מהאופן שבו מודדים זמן ומרחב במהירויות גבוהות.

01מסגרות ייחוס: מה כל צופה מודד בפועל?

מסגרת ייחוס היא מערכת קואורדינטות המשמשת לקביעת מיקומם וזמניהם של אירועים. אפשר לייצג אותה באמצעות סרגלים ורשת של שעונים מסונכרנים.

מסגרת אינרציאלית היא מסגרת שאינה מאיצה ואינה מסתובבת. לצורך מדריך זה, נניח שהשפעת הכבידה זניחה, ושכאשר משווים בין החללית לכדור הארץ, הם נעים זה ביחס לזה במהירות קבועה.

בחיי היום-יום, בדרך כלל אפשר להתייחס לזמן כאילו הוא אחיד בכל מקום. אם שני אירועים מתרחשים באותו זמן מבחינתכם, אתם מצפים שהם יתרחשו באותו זמן גם מבחינת כל אדם אחר.

תורת היחסות הפרטית מערערת על ההנחה הזאת. היא מבוססת על שני כללים:

• חוקי הפיזיקה זהים בכל מסגרת אינרציאלית.
• כל צופה אינרציאלי מודד את אותה מהירות האור בריק, ללא תלות בתנועתו של מקור האור או בתנועתו של הצופה.

מהירות האור היא

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

נניח שאתם נעים לעבר אלומת אור. ייתכן שתצפו למדוד את מהירותה בתור \(c+v\), כאשר \(v\) היא מהירותכם לעבר האלומה. אבל זה לא מה שקורה. אתם עדיין מודדים את המהירות \(c\).

כדי שהדבר יהיה אפשרי, צופים הנעים זה ביחס לזה אינם יכולים תמיד להסכים על פרקי זמן, על אורכים או על השאלה אילו אירועים מרוחקים התרחשו בו-זמנית.

אין כאן עניין של מה שעיניהם רואות במקרה. מדידות יחסותיות משתמשות בשעונים מסונכרנים ומביאות בחשבון את הזמן הדרוש לאור להגיע ממקום למקום. גם לאחר התיקון הזה, המחלוקת בין המדידות נותרת בעינה.

02בו-זמניות: שני אירועים יכולים להתרחש בזמנים שונים במסגרות שונות

דמיינו שתי מנורות, A ו-B, בקצוות מנוגדים של רציף ארוך. השעונים הנחים ביחס לרציף מסונכרנים, ושתי המנורות מהבהבות בזמן \(t=0\) לפי שעון הרציף.

לפני שתמשיכו לקרוא, נסו לחזות: האם רקטה החולפת ליד הרציף חייבת להסכים שההבזקים התרחשו בו-זמנית?

לא. הרקטה יכולה לייחס לשני ההבזקים זמנים שונים.

בו-זמניים פירושו שלשני אירועים יש אותה קואורדינטת זמן במסגרת ייחוס מוגדרת. אין פירוש הדבר בהכרח שכל מסגרת אינרציאלית תייחס להם אותו זמן.

כדי לתאר את המצב במדויק, נניח ש:

• מנורה A נמצאת ב-\(x=0\).
• מנורה B נמצאת ב-\(x=600\text{ m}\).
• הרציף נמצא במנוחה במסגרת \(S\).
• מסגרת הרקטה \(S'\) נעה בכיוון החיובי של ציר \(x\), במהירות \(v\) ביחס ל-\(S\).

במסגרת הרציף, ההבזקים בו-זמניים. במסגרת הרקטה, ההבזק במנורה B מתרחש מוקדם יותר מההבזק במנורה A.

מדוע דווקא בסדר הזה? טרנספורמציית קואורדינטת הזמן עבור שני האירועים האלה היא

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

כאשר

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

כאן, \(\Delta t=t_B-t_A\) ו-\(\Delta x=x_B-x_A\) הם הפרשי הזמן והמיקום הנמדדים במסגרת \(S\). הפרש הזמן המסומן בגרש נמדד במסגרת \(S'\), הנעה בכיוון החיובי של ציר \(x\) ביחס ל-\(S\).

עבור ההבזקים בו-זמניים במסגרת הרציף,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

לכן,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

הסימן השלילי מראה שההבזק במנורה B מתרחש מוקדם יותר במסגרת הרקטה.

חשוב לסייג נקודה אחת: הסדר שבו צופה מקבל שני הבזקי אור אינו, כשלעצמו, הוכחה לזמני ההתרחשות של האירועים. לאור נדרש זמן כדי להגיע אל הצופה, והמרחקים עשויים להיות שונים. יחסיות הבו-זמניות עוסקת בזמנים שמייחסים לאירועים באמצעות שעונים מסונכרנים, לאחר שמביאים בחשבון את זמן התקדמות האור.

ההבחנה הזאת נעשית שימושית במיוחד כאשר שאלה עוסקת בשני אירועים מרוחקים, ולא בשתי תקתוקים של שעון יחיד.

03התארכות הזמן: שעון נע נמדד עם מרווח ארוך יותר בין תקתוקיו

כעת נבחן שני תקתוקים של שעון יחיד המחובר לחללית.

שני התקתוקים מתרחשים באותו מקום במסגרת המנוחה של החללית. פרק הזמן הנמדד בשעון הזה נקרא הזמן העצמי, ומסמנים אותו ב-\(\Delta\tau\).

צופה במסגרת אינרציאלית אחרת, שבה החללית נעה במהירות \(v\), מייחס לאותם שני אירועים פרק זמן ארוך יותר. תופעה זו נקראת התארכות הזמן.

המשוואה היא

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

כאשר:

• \(\Delta t\) הוא פרק הזמן הנמדד במסגרת שבה השעון נע.
• \(\Delta\tau\) הוא הזמן העצמי הנמדד בשעון במסגרת המנוחה שלו.
• \(\gamma\) הוא גורם לורנץ.
• \(v\) היא המהירות היחסית בין המסגרות.
• \(c\) היא מהירות האור.

מכיוון ש-\(\gamma\geq1\), פרק הזמן בין תקתוקי השעון הנע לעולם אינו קצר יותר מפרק הזמן העצמי שלו.

לדוגמה, כאשר \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

המסגרת האחרת מודדת פרק זמן ארוך פי \(1.67\) מפרק הזמן שמודד השעון עצמו.

מדוע שני הצופים יכולים לומר שהשעון של האחר פועל לאט?

הדבר נשמע סותר, אך הצופים אינם מבצעים השוואה ישירה של אותן שתי תקתוקים בשני השעונים.

כדור הארץ משתמש ברשת השעונים המסונכרנים שלו כדי לייחס זמנים לתקתוקי השעון של החללית. האסטרונאוט משתמש ברשת אחרת של שעונים מסונכרנים כדי לייחס זמנים לתקתוקי השעונים המרוחקים בכדור הארץ. מכיוון שבו-זמניות תלויה במסגרת הייחוס, שתי ההשוואות אינן משתמשות באותן קביעות זמן עבור אירועים מרוחקים.

אם האסטרונאוט מסתובב וחוזר מאוחר יותר להיפגש שוב עם כדור הארץ, המצב משתנה. המסע כולל מעבר בין מסגרות אינרציאליות, ולכן המסעות המלאים של שני הצופים כבר אינם שקולים. הם יכולים לצבור כמויות שונות של זמן עצמי.

הכלל המרכזי פשוט: התארכות הזמן חלה על אותם שני אירועים, כאשר פרק הזמן העצמי נמדד במסגרת שבה שני האירועים מתרחשים באותו מקום.

04התכווצות האורך: האורך הנמדד של עצם נע משתנה

התארכות הזמן עוסקת בפרק הזמן שבין אירועים. התכווצות האורך עוסקת במרחק שבין קצותיו של עצם.

דמיינו חללית במנוחה. אתם מודדים את אורכה באמצעות סרגל ומוצאים \(150\text{ m}\). זהו האורך העצמי שלה, \(L_0\), משום שהמדידה מתבצעת במסגרת המנוחה של החללית.

כעת נניח שהחללית חולפת ליד כדור הארץ במהירות גבוהה. כדור הארץ מודד את אורכה באמצעות רישום מיקומיהם של החלק הקדמי והחלק האחורי באותו זמן לפי שעוני כדור הארץ.

התנאי האחרון חשוב. כדי למדוד אורך במסגרת מסוימת, יש לרשום את מיקומי שני הקצוות בו-זמנית באותה מסגרת.

האורך הנמדד של החללית הנעה הוא

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

או, באופן שקול,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

כאשר:

• \(L\) הוא האורך הנמדד במסגרת שבה העצם נע.
• \(L_0\) הוא האורך העצמי של העצם, הנמדד במסגרת המנוחה שלו.
• \(v\) היא מהירות העצם ביחס למסגרת המדידה.
• \(\gamma\) הוא גורם לורנץ.

רק הממד המקביל לכיוון התנועה מתכווץ. ממדי העצם המאונכים לכיוון התנועה אינם משתנים עקב קשר זה של התכווצות האורך.

טעות נפוצה היא לדמיין שהחללית מרגישה כאילו היא נמחצת פיזית. היא אינה מודדת אורך קצר יותר במסגרת המנוחה שלה. ההבדל נובע מכך שמדידות אורך במסגרות שונות משתמשות בקבוצות שונות של מיקומי קצוות הנמדדים בו-זמנית.

05מסה ואנרגיה: מה באמת פירושו של \(E=mc^2\)?

חשבו על גרעין שנוצר מפרוטונים ומנייטרונים נפרדים. לאחר היווצרות הגרעין, מסת המנוחה שלו קטנה מעט מסכום מסות המנוחה של החלקיקים כשהם נפרדים.

האם חלק מהחומר פשוט נעלם?

לא. המערכת שחררה אנרגיה, ויש לכלול את האנרגיה שנפלטה בחישוב הכולל. מסה ואנרגיה קשורות זו לזו.

אנרגיית המנוחה של עצם היא

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

כאשר:

• \(E_0\) היא אנרגיית המנוחה.
• \(m\) היא המסה האינווריאנטית, או מסת המנוחה.
• \(c\) היא מהירות האור.

עבור שינוי במסת המנוחה, השינוי המתאים באנרגיית המנוחה הוא

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

הגורם \(c^2\) עצום. הפרש מסה של \(1.0\text{ g}\) בלבד מתאים להפרש באנרגיית מנוחה של

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

זוהי כמות עצומה של אנרגיה ביחס להפרש מסה זעיר.

מה משתנה כאשר אנרגיה נכנסת למערכת או יוצאת ממנה?

אם אנרגיה נפלטת ממערכת, מסת המנוחה של המערכת שנותרת יכולה להיות קטנה יותר. אם מוסיפים אנרגיה למערכת והיא נשמרת בתוכה, מסת המנוחה שלה גדלה, בתנאי שמשווים את המערכת במנוחה לפני התהליך ואחריו.

אין פירוש הדבר שאנרגיה נהרסת כאשר המסה קטנה. במערכת מבודדת, האנרגיה הכוללת נשמרת. ייתכן שהאנרגיה עזבה את העצם שנותר בצורת קרינה או אנרגיה קינטית, אך היא עדיין קיימת.

גרעין קשור מספק דוגמה שימושית. ההפרש בין סכום מסות המנוחה של הנוקלאונים כשהם נפרדים לבין מסת המנוחה של הגרעין הקשור נקרא פגם המסה. הפרש האנרגיה המתאים נקרא אנרגיית הקשר.

הסתייגות חשובה: מסת מנוחה אינה זהה לאנרגיה כוללת

המשוואה \(E_0=mc^2\) נותנת את אנרגיית המנוחה. עבור עצם הנע במהירות \(v\), האנרגיה הכוללת שלו היא

\[ E=\gamma mc^2, \]

והאנרגיה הקינטית שלו היא

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

כאן, \(m\) נותרת מסת המנוחה האינווריאנטית של העצם. הגורם \(\gamma\) משנה את האנרגיה הכוללת של העצם, ולא את המסה האינווריאנטית שלו.

בחלק מהטיפולים הישנים יותר משתמשים במונח מסה יחסותית עבור \(\gamma m\). לפי המוסכמה המודרנית, המסה בדרך כלל נשארת אינווריאנטית, ואת הגידול מתארים באמצעות אנרגיה ותנע.

לדוגמה, פוטונים נושאים אנרגיה ותנע אף שמסת המנוחה שלהם אפס. לכן, אין לפרש את \(E=mc^2\) כאילו כל צורה של אנרגיה חייבת להשתייך לחלקיק בעל מסת מנוחה שאינה אפס.

06בחירת הקשר המתמטי המתאים

הדרך האמינה ביותר לפתור שאלה בתורת היחסות הפרטית היא לזהות מה נמדד לפני שבוחרים נוסחה.

ארבע בדיקות יכולות למנוע רבות מהטעויות הנפוצות:

• בדקו את גורם לורנץ. עבור \(0\leq v<c\), מתקיים \(\gamma\geq1\).
• בדקו את האירועים. התארכות הזמן אינה כלל שחל על כל זוג אירועים. התנאי הקשור לזמן העצמי חשוב.
• בדקו את המדידה. התכווצות האורך חלה לאורך כיוון התנועה, ומדידת אורך מחייבת מדידה בו-זמנית של מיקומי הקצוות במסגרת המדידה.
• בדקו את מאזן האנרגיה. ירידה במסת המנוחה של עצם אחד אינה פירושה שהאנרגיה הכוללת של מערכת מבודדת נעלמה.

07שאלות ופתרונות

שאלה 1

שעון המחובר לגשושית מודד \(3.0\text{ s}\) בין שני תקתוקים. הגשושית נעה במהירות \(0.60c\) ביחס למעבדה.

חשבו את פרק הזמן שהמעבדה מייחסת לאותם שני תקתוקים.

פתרון 1

המעבדה מייחסת לאירועים פרק זמן של \(3.75\text{ s}\), או \(3.8\text{ s}\) בשתי ספרות משמעותיות.

השעון שעל הגשושית מודד את הזמן העצמי, מכיוון ששני התקתוקים מתרחשים באותו מקום במסגרת המנוחה של הגשושית.

שלב 1: חישוב גורם לורנץ.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

שלב 2: שימוש בנוסחת התארכות הזמן.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

המעבדה מודדת פרק זמן ארוך יותר מזה שמודד שעון הגשושית. התוצאה תואמת את תופעת התארכות הזמן.

שאלה 2

לגשושית יש אורך עצמי של \(80\text{ m}\). אורכו של האנגר הוא \(60\text{ m}\) במסגרת המנוחה שלו. הגשושית חולפת ליד ההאנגר במהירות \(0.80c\).

מהנדס טוען שהגשושית יכולה להימצא כולה בתוך ההאנגר ברגע מסוים, משום שאורכה לאחר התכווצות קצר יותר מאורך ההאנגר. הטייס טוען שהדבר בלתי אפשרי, משום שההאנגר קצר יותר מהגשושית במסגרת המנוחה של הטייס.

הניחו שהדלתות אידיאליות ויכולות להיפתח ולהיסגר באופן מיידי, והתעלמו מנזק לחומרים.

האם חישובי האורך של שני הצופים נכונים? האם הגשושית יכולה להימצא כולה בתוך ההאנגר ברגע אחד? הסבירו כיצד שני התיאורים מתיישבים זה עם זה.

פתרון 2

שני חישובי האורך נכונים. המחלוקת נוגעת לשאלה אם הגשושית נמצאת כולה בתוך ההאנגר ברגע אחד, משום שהבו-זמניות תלויה במסגרת הייחוס.

שלב 1: חישוב גורם לורנץ.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

שלב 2: חישוב אורך הגשושית במסגרת ההאנגר.

האורך העצמי של הגשושית הוא \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

מכיוון ש-\(48\text{ m}<60\text{ m}\), המהנדס צודק: הגשושית יכולה להיכנס כולה לתוך ההאנגר ברגע מסוים במסגרת ההאנגר, בתנאי שהיא ממוקמת בהתאם.

שלב 3: חישוב אורך ההאנגר במסגרת הגשושית.

האורך העצמי של ההאנגר הוא \(60\text{ m}\). במסגרת הגשושית, ההאנגר נע, ולכן אורכו הנמדד הוא

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

גם הטייס צודק: אורכו של ההאנגר הנע הוא רק \(36\text{ m}\) במסגרת הגשושית, בעוד שהאורך העצמי של הגשושית נותר \(80\text{ m}\).

שלב 4: יישוב הסתירה לכאורה.

הביטוי “נמצאת כולה בפנים ברגע אחד” פירושו שמיקומי שני קצות הגשושית נמצאים בתוך ההאנגר באותו זמן, במסגרת ייחוס מוגדרת.

במסגרת ההאנגר קיים רגע שבו שני הקצוות נמצאים בפנים. במסגרת הגשושית, אין רגע שבו הגשושית כולה, שאורכה \(80\text{ m}\), נכנסת להאנגר שאורכו \(36\text{ m}\).

המפתח הוא ששני אירועי סגירת הדלתות, המתרחשים בו-זמנית במסגרת ההאנגר, אינם בו-זמניים במסגרת הגשושית. הצופים אינם מתארים את אותו זוג אירועים בו-זמניים. אף אחד מהתיאורים אינו מחייב שהגשושית תיהרס פיזית או תידחס במסגרת המנוחה שלה.

שאלה 3

מסת המנוחה של גרעין קשור קטנה ב-\(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) מסכום מסות המנוחה של הנוקלאונים המרכיבים אותו כשהם נפרדים.

הניחו שמשווים בין שני המצבים כשהם במנוחה, ושהאנרגיה המשתחררת במהלך הקשירה נפלטת מהגרעין.

חשבו את אנרגיית הקשר שהשתחררה, ביחידות ג’אול, והסבירו מדוע מסת המנוחה הקטנה יותר של הגרעין הסופי אינה מפרה את חוק שימור האנרגיה.

פתרון 3

אנרגיית הקשר השקולה להפרש המסה היא \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). מסת המנוחה הקטנה יותר תואמת את שימור האנרגיה, משום שהאנרגיה שהשתחררה יוצאת מהמערכת.

שלב 1: זיהוי הפרש המסה.

גודלו של פגם המסה הוא

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

שלב 2: שימוש בשקילות מסה-אנרגיה.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

שלב 3: הסבר מאזן האנרגיה.

אנרגיית המנוחה של הגרעין הקשור קטנה מאנרגיית המנוחה הכוללת של הנוקלאונים הנפרדים. ההפרש מופיע כאנרגיה המשתחררת במהלך הקשירה, למשל כקרינה או כאנרגיה קינטית הנישאת על ידי תוצרים אחרים.

מסת המנוחה של הגרעין הסופי קטנה יותר משום שאנרגיה יצאה מהגרעין. כאשר כוללים את האנרגיה שהשתחררה, האנרגיה הכוללת נשמרת.

שאלה 4

לחללית יש מסה עצמית אינווריאנטית של \(1.0\text{ kg}\), והיא נעה ביחס לכדור הארץ במהירות \(0.80c\).

תלמיד מחשב \(\gamma=1.67\) וטוען שמסת החללית גדלה ל-\(1.67\text{ kg}\).

בהשתמשכם בנוסחאות

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

חשבו את אנרגיית המנוחה של החללית, את האנרגיה הכוללת שלה ואת האנרגיה הקינטית שלה. העריכו את טענת התלמיד.

פתרון 4

אנרגיית המנוחה היא \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), האנרגיה הכוללת היא \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), והאנרגיה הקינטית היא \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). לפי מוסכמת המסה האינווריאנטית, מסת המנוחה של החללית נשארת \(1.0\text{ kg}\).

שלב 1: חישוב אנרגיית המנוחה.

מסת המנוחה היא \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

שלב 2: חישוב האנרגיה הכוללת.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

שלב 3: חישוב האנרגיה הקינטית.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

התוצאות עקביות, משום שהאנרגיה הכוללת היא סכום אנרגיית המנוחה והאנרגיה הקינטית:

\[ E=E_0+K. \]

שלב 4: הערכת טענת התלמיד.

התלמיד זיהה נכון ש-\(\gamma\) מכפיל את אנרגיית המנוחה כדי לתת את האנרגיה הכוללת. הטעות היא בפירוש הגורם הזה כאילו הוא מגדיל את מסת המנוחה האינווריאנטית.

האנרגיה הקינטית של החללית גדלה עם מהירותה, אך מסת המנוחה האינווריאנטית שלה נשארת \(1.0\text{ kg}\). ההבחנה הזאת חשובה בכל שאלה המשלבת שקילות מסה-אנרגיה עם האנרגיה של עצם נע.

שאלה 5

אורכו של רציף הוא \(600\text{ m}\) במסגרת המנוחה שלו \(S\). שתי מנורות, A ו-B, מותקנות בקצותיו, כאשר A נמצאת ב-\(x=0\) ו-B נמצאת ב-\(x=+600\text{ m}\). שתי המנורות מהבהבות בו-זמנית בזמן \(t=0\) במסגרת \(S\).

כל הבזק משגר פולס אור לכיוון אמצע הרציף. במסגרת \(S\), שני הפולסים נפגשים באמצע הרציף.

מסגרת המנוחה \(S'\) של רקטה נעה בכיוון החיובי של ציר \(x\) במהירות \(0.80c\) ביחס ל-\(S\).

לצורך שאלה זו, השתמשו בקשר בין קואורדינטות הזמן

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

כאשר \(\Delta t=t_B-t_A\) ו-\(\Delta x=x_B-x_A\) נמדדים במסגרת \(S\).

(a) איזה הבזק מתרחש ראשון במסגרת \(S'\), ובכמה זמן?

(b) אורך הרציף במסגרת \(S'\) הוא \(360\text{ m}\). תלמיד טוען שהפרש הזמנים בין ההבזקים חייב להיות \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). הסבירו מהי הטעות המדויקת.

(c) האם שני פולסי האור חייבים עדיין להיפגש באותו אירוע במסגרת \(S'\)? הסבירו כיצד הדבר אפשרי אף שההבזקים כבר אינם בו-זמניים.

פתרון 5

ההבזק B מתרחש ראשון במסגרת \(S'\), בהפרש של \(2.67\,\mu\text{s}\). הפולסים עדיין נפגשים באותו אירוע, משום שכל המסגרות האינרציאליות מסכימות על נקודת המפגש של שני פולסי האור, גם כאשר הן מייחסות זמני פליטה שונים לאירועים.

שלב 1: חישוב גורם לורנץ וזיהוי הפרשי האירועים.

המהירות היחסית היא \(v=0.80c\), ולכן

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

ההבזקים בו-זמניים במסגרת \(S\), ו-B נמצאת בקואורדינטת מיקום גדולה יותר. לכן,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

שלב 2: חישוב הפרש הזמנים במסגרת \(S'\).

נציב בקשר הנתון בין קואורדינטות הזמן:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

התוצאה השלילית פירושה ש-\(t'_B<t'_A\). ההבזק B מתרחש \(2.67\,\mu\text{s}\) לפני ההבזק A במסגרת הרקטה.

שלב 3: הסבר מדוע החישוב \(360\text{ m}/c\) נכשל.

החישוב של התלמיד נותן

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

החשבון נכון, אך הוא עונה על השאלה הלא נכונה.

המרחק \(360\text{ m}\) הוא אורך הרציף הנמדד במסגרת \(S'\), המתקבל ממדידת שני קצותיו באותו זמן לפי שעון הרקטה. שני אירועי ההבזק אינם בו-זמניים במסגרת \(S'\), ולכן אי אפשר להתייחס למיקומי האירועים האלה כאילו היו קצותיו של אורך הנמדד בו-זמנית.

הפרש הזמנים בין שני אירועים אינו בדרך כלל שווה לאורך הנמדד חלקי \(c\). התלמיד ערבב בין אורך שנמדד באמצעות מיקומי קצוות בו-זמניים לבין שני אירועים המתרחשים בזמנים שונים באותה מסגרת.

שלב 4: הסבר מדוע הפולסים עדיין נפגשים.

במסגרת \(S\), כל פולס עובר מרחק של \(300\text{ m}\) עד לאמצע הרציף. לכן, אירוע המפגש מתרחש בזמן

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

זהו אירוע יחיד במרחב-זמן. כל מסגרת אינרציאלית מסכימה ששני הפולסים נפגשים באותו אירוע, אף שהקואורדינטות שהיא מייחסת לו שונות.

אפשר לבדוק את תזמון האירועים במסגרת הרקטה. הפעלת הקשר הנתון בין ההבזק A לאירוע המפגש נותנת

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

ההבזק A מתרחש בזמן \(t'_A=0\), ולכן הפולס שלו זקוק ל-\(0.333\,\mu\text{s}\) של זמן קואורדינטי במסגרת הרקטה כדי להגיע לאירוע המפגש.

ההבזק B מתרחש בזמן \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), ולכן הפולס שלו זקוק לפרק זמן של

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

כדי להגיע לאותו אירוע.

זמני הפליטה השונים ופרקי הזמן השונים של התקדמות האור תואמים את אותו אירוע מפגש. הטעות תהיה להניח שפליטה בו-זמנית במסגרת אחת חייבת להישאר בו-זמנית בכל מסגרת.

השלב השימושי הבא הוא ללמוד כיצד לייצג אירועים באמצעות דיאגרמת מרחב-זמן. בשאלות HSC, התחילו בזיהוי מסגרת הייחוס ושאלו אם האירועים מתרחשים באותו מקום במסגרת הזאת. ההחלטה הזאת תעזור לכם לבחור בין התארכות הזמן, התכווצות האורך ויחסיות הבו-זמניות עוד לפני שתתחילו לחשב.