Nadharia Maalumu ya Uhusiano kwa Fizikia ya HSC: Mwongozo Wazi Wenye Mifano Iliyotatuliwa

Chombo cha angani kinapita karibu na Dunia kwa kasi ya \(0.80c\). Katika fremu ya Dunia, muda kati ya midundo miwili ya saa ya chombo hupimwa kuwa mrefu zaidi kuliko muda unaopimwa na mwanaanga. Mwanaanga, kwa upande mwingine, anasema kuwa saa za Dunia zinaenda polepole. Kabla ya kuendelea kusoma, tabiri: je, inawezekana kwamba mwangalizi mmoja amekosea tu? Hapana. Kila mmoja anatumia fremu tofauti ya inersia, na tofauti hiyo inatokana na jinsi muda na nafasi zinavyopimwa katika kasi kubwa.

01Fremu za marejeo: kila mwangalizi anapima nini hasa?

Fremu ya marejeo ni mfumo wa koordinati unaotumika kuainisha nafasi na nyakati za matukio. Inaweza kuwakilishwa kwa kutumia rula na mtandao wa saa zilizosawazishwa.

Fremu ya inersia ni fremu ambayo haipati mchapuko wala kuzunguka. Kwa mwongozo huu, chukulia kuwa athari za uvutano zinaweza kupuuzwa na kwamba chombo cha angani na Dunia husogea kwa kasi ya jamaa isiyobadilika kila tunapovilinganisha.

Katika maisha ya kila siku, kwa kawaida tunaweza kuchukulia muda kana kwamba ni wa ulimwengu wote. Ikiwa matukio mawili yanatokea kwa wakati mmoja kwako, unatarajia yatatokea kwa wakati mmoja pia kwa kila mtu mwingine.

Nadharia maalumu ya uhusiano inatilia shaka dhana hiyo. Inaanza na kanuni mbili:

• Sheria za fizikia ni zilezile katika kila fremu ya inersia.
• Kila mwangalizi aliye katika fremu ya inersia hupima kasi ileile ya mwanga katika ombwe, bila kujali mwendo wa chanzo cha mwanga au wa mwangalizi.

Kasi ya mwanga ni

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

Tuseme unasogea kuelekea kwenye boriti ya mwanga. Unaweza kutarajia kupima kasi yake kuwa \(c+v\), ambapo \(v\) ni kasi yako ya kusogea kuelekea kwenye boriti hiyo. Hufanyi hivyo. Bado unapima kasi \(c\).

Ili jambo hili liwezekane, waangalizi wanaosogea kuhusiana na kila mmoja hawawezi kukubaliana kila wakati kuhusu vipindi vya muda, urefu, au ni matukio gani ya mbali yaliyotokea kwa wakati mmoja.

Hili halihusu tu kile ambacho macho yao yanaona. Vipimo vya uhusiano hutumia saa zilizosawazishwa na huzingatia muda ambao mwanga huchukua kusafiri. Tofauti hiyo hubaki hata baada ya marekebisho hayo kufanywa.

02Kutokea kwa wakati mmoja: matukio mawili yanaweza kutokea kwa nyakati tofauti katika fremu tofauti

Fikiria taa mbili, A na B, zilizo kwenye ncha mbili za jukwaa refu. Saa zilizo katika hali ya kutulia pamoja na jukwaa zimesawazishwa, na taa zote mbili zinawaka katika wakati wa jukwaa \(t=0\).

Kabla ya kuendelea kusoma, tabiri: je, roketi inayopita kando ya jukwaa lazima ikubaliane kwamba taa hizo ziliwaka kwa wakati mmoja?

Hapana. Roketi inaweza kuainisha nyakati tofauti kwa miangaza hiyo miwili.

Kutokea kwa wakati mmoja kunamaanisha kwamba matukio mawili yana koordinati sawa ya wakati katika fremu maalumu. Haimaanishi moja kwa moja kwamba kila fremu ya inersia itayaainisha kuwa yametokea kwa wakati mmoja.

Ili kueleza hali hii kwa usahihi, tuseme kwamba:

• Taa A iko katika \(x=0\).
• Taa B iko katika \(x=600\text{ m}\).
• Jukwaa limetulia katika fremu \(S\).
• Fremu ya roketi \(S'\) husogea katika mwelekeo chanya wa \(x\) kwa kasi \(v\) kuhusiana na \(S\).

Katika fremu ya jukwaa, miangaza hiyo hutokea kwa wakati mmoja. Katika fremu ya roketi, mwanga wa B hutokea mapema kuliko mwanga wa A.

Kwa nini mpangilio huo? Mlinganyo wa mabadiliko ya koordinati ya wakati kwa matukio haya mawili ni

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

ambapo

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

Hapa, \(\Delta t=t_B-t_A\) na \(\Delta x=x_B-x_A\) ni tofauti za muda na nafasi zilizopimwa katika fremu \(S\). Tofauti ya wakati yenye alama ya prima hupimwa katika fremu \(S'\), ambayo husogea katika mwelekeo chanya wa \(x\) kuhusiana na \(S\).

Kwa miangaza ya jukwaa inayotokea kwa wakati mmoja,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

Kwa hiyo,

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

Alama hasi inatuonyesha kwamba mwanga wa B hutokea mapema katika fremu ya roketi.

Jambo moja muhimu la kuzingatia: mpangilio ambao mwangalizi anapokea miangaza miwili hauwezi, peke yake, kuthibitisha nyakati za matukio hayo. Mwanga hulazimika kusafiri hadi kwa mwangalizi, na umbali unaweza kuwa tofauti. Uhusiano wa wakati mmoja unahusu nyakati zinazowekwa na saa zilizosawazishwa baada ya kuzingatia muda wa kusafiri kwa mwanga.

Tofauti hii huwa muhimu hasa swali linapohusu matukio mawili yaliyo mbali badala ya midundo miwili ya saa moja.

03Upanuzi wa muda: saa inayosonga huwa na muda mrefu zaidi kati ya midundo yake inapopimwa

Sasa fikiria midundo miwili ya saa moja iliyofungwa ndani ya chombo cha angani.

Midundo hiyo miwili hutokea katika eneo lilelile katika fremu ya mapumziko ya chombo cha angani. Muda uliopita unaopimwa na saa hiyo huitwa muda sahihi, unaoandikwa \(\Delta\tau\).

Mwangalizi aliye katika fremu nyingine ya inersia, ambamo chombo cha angani kinasogea kwa kasi \(v\), huweka muda mrefu zaidi kwa matukio hayo hayo mawili. Hili ndilo linaloitwa upanuzi wa muda.

Mlinganyo ni

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

ambapo:

• \(\Delta t\) ni kipindi cha muda kinachopimwa katika fremu ambamo saa inasogea.
• \(\Delta\tau\) ni muda sahihi unaopimwa na saa katika fremu yake ya mapumziko.
• \(\gamma\) ni kipengele cha Lorentz.
• \(v\) ni kasi ya jamaa kati ya fremu hizo.
• \(c\) ni kasi ya mwanga.

Kwa kuwa \(\gamma\geq1\), muda kati ya midundo ya saa inayosonga hauwi mfupi kuliko muda wake sahihi.

Kwa mfano, wakati \(v=0.80c\),

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

Fremu nyingine hupima kipindi cha muda kilicho mara \(1.67\) ya kipindi kinachopimwa na saa yenyewe.

Kwa nini waangalizi wote wawili wanaweza kusema kwamba saa ya mwingine inaenda polepole?

Hili linaonekana kuwa mkanganyiko, lakini waangalizi hawalinganishi moja kwa moja midundo ileile ya saa zote mbili.

Dunia hutumia mtandao wake wa saa zilizosawazishwa kuainisha nyakati za midundo ya saa ya chombo cha angani. Mwanaanga hutumia mtandao tofauti wa saa zilizosawazishwa kuainisha nyakati za midundo ya saa za mbali za Dunia. Kwa kuwa wakati mmoja hutegemea fremu, ulinganisho huo miwili hautumii uainishaji uleule wa matukio ya mbali.

Mwanaanga akigeuka na baadaye kukutana tena na Dunia, hali hubadilika tena. Safari hiyo inahusisha mabadiliko ya fremu ya inersia, kwa hiyo safari kamili za waangalizi hao wawili si sawa tena. Wanaweza kukusanya vipindi tofauti vya muda sahihi.

Kanuni kuu ni rahisi: upanuzi wa muda hutumika kwa matukio yale yale mawili, ambapo muda sahihi hupimwa katika fremu ambamo matukio hayo hutokea katika eneo moja.

04Ufupikaji wa urefu: urefu unaopimwa wa kitu kinachosonga hubadilika

Upanuzi wa muda unahusu kipindi kati ya matukio. Ufupikaji wa urefu unahusu umbali kati ya ncha za kitu.

Fikiria chombo cha angani kilichotulia. Unapima urefu wake kwa kutumia rula na kupata \(150\text{ m}\). Huu ndio urefu sahihi wake, \(L_0\), kwa sababu kipimo kimefanywa katika fremu ya mapumziko ya chombo hicho.

Sasa tuseme chombo cha angani kinapita karibu na Dunia kwa kasi kubwa. Dunia hupima urefu wake kwa kurekodi nafasi za sehemu yake ya mbele na ya nyuma kwa wakati mmoja katika fremu ya Dunia.

Sharti hilo la mwisho ni muhimu. Ili kupima urefu katika fremu fulani, lazima urekodi nafasi za ncha zote mbili kwa wakati mmoja katika fremu hiyo.

Urefu unaopimwa wa chombo cha angani kinachosonga ni

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

au, kwa namna inayolingana,

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

ambapo:

• \(L\) ni urefu unaopimwa katika fremu ambamo kitu kinasonga.
• \(L_0\) ni urefu sahihi wa kitu, unaopimwa katika fremu yake ya mapumziko.
• \(v\) ni kasi ya kitu kuhusiana na fremu inayokipima.
• \(\gamma\) ni kipengele cha Lorentz.

Kipimo kinacholingana na mwelekeo wa mwendo pekee ndicho hufupika. Vipimo vya kitu vilivyo wima kwa mwelekeo huo havibadiliki kutokana na uhusiano huu wa ufupikaji wa urefu.

Kosa la kawaida ni kufikiria kwamba chombo cha angani huhisi kana kwamba kinabanwa kimwili. Sivyo. Hakipimi urefu mfupi zaidi katika fremu yake ya mapumziko. Tofauti hutokea kwa sababu vipimo vya urefu katika fremu tofauti hutumia seti tofauti za nafasi za ncha zinazochukuliwa kuwa ziko katika nafasi hizo kwa wakati mmoja.

05Misa na nishati: \(E=mc^2\) humaanisha nini hasa?

Fikiria kiini cha atomu kinachoundwa kutoka kwa protoni na nyutroni zilizotengana. Baada ya kiini hicho kuundwa, misa yake ya kupumzika huwa ndogo kidogo kuliko jumla ya misa ya kupumzika ya chembe hizo zikiwa zimetengana.

Je, baadhi ya maada imetoweka tu?

Hapana. Mfumo huo umetoa nishati, na nishati iliyobebwa na kuondoka lazima ijumuishwe katika hesabu. Misa na nishati vinahusiana.

Nishati ya kupumzika ya kitu ni

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

ambapo:

• \(E_0\) ni nishati ya kupumzika.
• \(m\) ni misa isiyobadilika, yaani misa ya kupumzika.
• \(c\) ni kasi ya mwanga.

Kwa mabadiliko ya misa ya kupumzika, mabadiliko yanayolingana ya nishati ya kupumzika ni

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

Kipengele \(c^2\) ni kikubwa mno. Tofauti ya misa ya \(1.0\text{ g}\) tu inalingana na tofauti ya nishati ya kupumzika ya

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hiyo ni kiasi kikubwa sana cha nishati kwa tofauti ndogo ya misa.

Nini hubadilika nishati inapoingia au kutoka katika mfumo?

Nishati ikitoka katika mfumo, mfumo unaobaki unaweza kuwa na misa ndogo ya kupumzika. Nishati ikiongezwa kwenye mfumo na kubaki ndani yake, misa yake ya kupumzika huongezeka, mradi mfumo huo ulinganishwe ukiwa umetulia kabla na baada ya mabadiliko.

Hii haimaanishi kwamba nishati huharibiwa misa inapopungua. Kwa mfumo uliojitenga, nishati yote huhifadhiwa. Huenda nishati imeondoka katika kitu kilichobaki ikiwa mionzi au nishati ya kinetiki, lakini bado ipo.

Kiini kilichofungamana ni mfano unaofaa. Tofauti kati ya jumla ya misa ya kupumzika ya nukleoni zake zikiwa zimetengana na misa ya kupumzika ya kiini kilichofungamana huitwa kasoro ya misa. Tofauti ya nishati inayolingana nayo huitwa nishati ya kufungamana.

Jambo muhimu la kuzingatia: misa ya kupumzika si sawa na nishati yote

Mlinganyo \(E_0=mc^2\) hutoa nishati ya kupumzika. Kwa kitu kinachosonga kwa kasi \(v\), nishati yake yote ni

\[ E=\gamma mc^2, \]

na nishati yake ya kinetiki ni

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

Hapa, \(m\) hubaki kuwa misa isiyobadilika ya kitu, yaani misa yake ya kupumzika. Kipengele \(\gamma\) hubadilisha nishati yote ya kitu, si misa yake isiyobadilika.

Baadhi ya maelezo ya zamani hutumia istilahi misa ya uhusiano kumaanisha \(\gamma m\). Kwa kawaida, matumizi ya kisasa huichukulia misa kuwa isiyobadilika na kueleza ongezeko hilo kwa kutumia nishati na momentamu badala yake.

Kwa mfano, fotoni hubeba nishati na momentamu licha ya kuwa na misa ya kupumzika iliyo sifuri. Kwa hiyo, \(E=mc^2\) haipaswi kutafsiriwa kuwa kila aina ya nishati lazima iwe ya chembe yenye misa ya kupumzika isiyo sifuri.

06Kuchagua uhusiano unaofaa

Njia inayotegemeka zaidi ya kutatua swali la nadharia maalumu ya uhusiano ni kutambua kinachopimwa kabla ya kuchagua fomula.

Ukaguzi huu minne husaidia kugundua makosa mengi ya kawaida:

• Kagua kipengele cha Lorentz. Kwa \(0\leq v<c\), \(\gamma\geq1\).
• Kagua matukio. Upanuzi wa muda si kanuni inayotumika kwa kila jozi ya matukio. Sharti la muda sahihi ni muhimu.
• Kagua kipimo. Ufupikaji wa urefu hutumika katika mwelekeo wa mwendo, na kipimo cha urefu kinahitaji nafasi za ncha zote mbili zichukuliwe kwa wakati mmoja katika fremu inayopima.
• Kagua hesabu ya nishati. Kupungua kwa misa ya kupumzika ya kitu kimoja hakumaanishi kwamba nishati yote ya mfumo uliojitenga imetoweka.

07Maswali na suluhisho

Swali la 1

Saa iliyofungwa kwenye chombo cha uchunguzi hupima \(3.0\text{ s}\) kati ya midundo miwili. Chombo hicho husogea kwa kasi ya \(0.60c\) kuhusiana na maabara.

Kokotoa kipindi cha muda ambacho maabara huweka kwa midundo hiyo hiyo miwili.

Suluhisho la 1

Maabara huweka kipindi cha \(3.75\text{ s}\), au \(3.8\text{ s}\) kwa tarakimu mbili muhimu.

Saa ya ndani hupima muda sahihi kwa sababu midundo yote miwili hutokea katika eneo lilelile katika fremu ya mapumziko ya chombo cha uchunguzi.

Hatua ya 1: Kokotoa kipengele cha Lorentz.

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

Hatua ya 2: Tumia upanuzi wa muda.

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

Maabara hupima kipindi kirefu zaidi kuliko saa ya chombo cha uchunguzi. Matokeo haya yanalingana na upanuzi wa muda.

Swali la 2

Chombo cha uchunguzi kina urefu sahihi wa \(80\text{ m}\). Hangari ina urefu wa \(60\text{ m}\) katika fremu yake ya mapumziko. Chombo cha uchunguzi kinapita kwenye hangari kwa kasi ya \(0.80c\).

Mhandisi anadai kwamba chombo cha uchunguzi kinaweza kutoshea kabisa ndani ya hangari kwa wakati mmoja kwa sababu urefu wake uliofupika ni mfupi kuliko urefu wa hangari. Rubani anadai kwamba hilo haliwezekani kwa sababu hangari ni fupi kuliko chombo cha uchunguzi katika fremu ya rubani.

Chukulia kwamba milango bora inaweza kufunguliwa na kufungwa papo hapo, na puuza uharibifu wa vifaa.

Je, vipimo vya urefu vya waangalizi wote wawili ni sahihi? Je, chombo cha uchunguzi kinaweza kuwa ndani ya hangari kabisa kwa wakati mmoja? Eleza jinsi maelezo hayo mawili yanavyoweza kuwa sahihi.

Suluhisho la 2

Vipimo vyote viwili vya urefu ni sahihi. Tofauti inahusu iwapo chombo cha uchunguzi kiko ndani ya hangari kabisa kwa wakati mmoja, kwa sababu wakati mmoja hutegemea fremu.

Hatua ya 1: Kokotoa kipengele cha Lorentz.

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

Hatua ya 2: Kokotoa urefu wa chombo cha uchunguzi katika fremu ya hangari.

Urefu sahihi wa chombo cha uchunguzi ni \(L_0=80\text{ m}\).

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

Kwa kuwa \(48\text{ m}<60\text{ m}\), mhandisi yuko sahihi anaposema kwamba chombo cha uchunguzi kinaweza kutoshea kabisa ndani ya hangari kwa wakati mmoja katika fremu ya hangari, mradi kiwekwe katika nafasi inayofaa.

Hatua ya 3: Kokotoa urefu wa hangari katika fremu ya chombo cha uchunguzi.

Urefu sahihi wa hangari ni \(60\text{ m}\). Katika fremu ya chombo cha uchunguzi, hangari inasonga, kwa hiyo urefu wake unaopimwa ni

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

Rubani pia yuko sahihi: hangari inayosonga ina urefu wa \(36\text{ m}\) tu katika fremu ya chombo cha uchunguzi, ilhali urefu sahihi wa chombo hicho unabaki kuwa \(80\text{ m}\).

Hatua ya 4: Tatua mkanganyiko unaoonekana.

Kauli “ndani kabisa kwa wakati mmoja” inamaanisha kwamba nafasi za ncha zote mbili za chombo cha uchunguzi ziko ndani ya hangari kwa wakati mmoja katika fremu maalumu.

Katika fremu ya hangari, kuna wakati ambapo ncha zote mbili ziko ndani. Katika fremu ya chombo cha uchunguzi, hakuna wakati ambapo chombo chote chenye urefu wa \(80\text{ m}\) kinaweza kutoshea ndani ya hangari yenye urefu wa \(36\text{ m}\).

Jambo kuu ni kwamba matukio mawili ya kufungwa kwa milango, ambayo hutokea kwa wakati mmoja katika fremu ya hangari, hayatokei kwa wakati mmoja katika fremu ya chombo cha uchunguzi. Waangalizi hao hawaelezi jozi ileile ya matukio yanayotokea kwa wakati mmoja. Hakuna maelezo yoyote kati ya hayo yanayohitaji chombo cha uchunguzi kuharibiwa kimwili au kubanwa katika fremu yake ya mapumziko.

Swali la 3

Misa ya kupumzika ya kiini kilichofungamana ni ndogo kwa \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\) kuliko jumla ya misa ya kupumzika ya nukleoni zake zikiwa zimetengana.

Chukulia kwamba hali zote mbili zinalinganishwa zikiwa zimetulia na kwamba nishati inayotolewa wakati wa kufungamana hutoka kwenye kiini.

Kokotoa nishati ya kufungamana iliyotolewa, kwa joule, na ueleze kwa nini misa ndogo zaidi ya kupumzika ya kiini cha mwisho haikiuki kanuni ya uhifadhi wa nishati.

Suluhisho la 3

Nishati ya kufungamana inayolingana na tofauti hiyo ya misa ni \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\). Misa ndogo zaidi ya kupumzika inalingana na uhifadhi wa nishati kwa sababu nishati iliyotolewa huondoka kwenye mfumo.

Hatua ya 1: Tambua tofauti ya misa.

Ukubwa wa kasoro ya misa ni

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

Hatua ya 2: Tumia usawa wa misa na nishati.

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hatua ya 3: Eleza hesabu ya nishati.

Kiini kilichofungamana kina nishati ndogo ya kupumzika kuliko nukleoni zilizotengana. Tofauti hiyo huonekana kama nishati iliyotolewa wakati wa kufungamana, kwa mfano ikiwa mionzi au nishati ya kinetiki inayobebwa na bidhaa nyingine za mmenyuko.

Misa ya kupumzika ya kiini cha mwisho ni ndogo kwa sababu nishati imeondoka kwenye kiini. Nishati iliyotolewa inapojumuishwa, nishati yote bado huhifadhiwa.

Swali la 4

Chombo cha angani kina misa isiyobadilika ya kupumzika ya \(1.0\text{ kg}\) na husogea kwa kasi ya \(0.80c\) kuhusiana na Dunia.

Mwanafunzi anakokotoa \(\gamma=1.67\) na kudai kwamba misa ya chombo cha angani imeongezeka hadi \(1.67\text{ kg}\).

Kwa kutumia

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

kokotoa nishati ya kupumzika, nishati yote, na nishati ya kinetiki ya chombo cha angani. Tathmini dai la mwanafunzi.

Suluhisho la 4

Nishati ya kupumzika ni \(9.0\times10^{16}\text{ J}\), nishati yote ni \(1.5\times10^{17}\text{ J}\), na nishati ya kinetiki ni \(6.0\times10^{16}\text{ J}\). Kwa mujibu wa dhana ya misa isiyobadilika, misa ya kupumzika ya chombo cha angani hubaki kuwa \(1.0\text{ kg}\).

Hatua ya 1: Kokotoa nishati ya kupumzika.

Misa ya kupumzika ni \(m=1.0\text{ kg}\).

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hatua ya 2: Kokotoa nishati yote.

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

Hatua ya 3: Kokotoa nishati ya kinetiki.

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

Matokeo yanalingana kwa sababu nishati yote ni jumla ya nishati ya kupumzika na nishati ya kinetiki:

\[ E=E_0+K. \]

Hatua ya 4: Tathmini dai la mwanafunzi.

Mwanafunzi ametambua kwa usahihi kwamba \(\gamma\) huzidisha nishati ya kupumzika ili kutoa nishati yote. Kosa ni kutafsiri kipengele hicho kama ongezeko la misa isiyobadilika ya kupumzika.

Nishati ya kinetiki ya chombo cha angani huongezeka kadiri kasi inavyoongezeka, lakini misa yake isiyobadilika ya kupumzika hubaki kuwa \(1.0\text{ kg}\). Tofauti hii ni muhimu kila swali linapounganisha usawa wa misa na nishati na nishati ya kitu kinachosonga.

Swali la 5

Jukwaa lina urefu wa \(600\text{ m}\) katika fremu yake ya mapumziko \(S\). Taa mbili, A na B, zimewekwa kwenye ncha zake, ambapo A iko katika \(x=0\) na B iko katika \(x=+600\text{ m}\). Taa hizo zinawaka kwa wakati mmoja katika \(t=0\) katika fremu \(S\).

Kila mwanga huzindua mpigo wa mwanga kuelekea katikati ya jukwaa. Katika fremu \(S\), mipigo hiyo miwili hukutana katikati.

Fremu ya mapumziko ya roketi \(S'\) husogea katika mwelekeo chanya wa \(x\) kwa kasi ya \(0.80c\) kuhusiana na \(S\).

Kwa swali hili, tumia uhusiano wa koordinati ya wakati

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

ambapo \(\Delta t=t_B-t_A\) na \(\Delta x=x_B-x_A\) hupimwa katika \(S\).

(a) Ni mwanga upi hutokea kwanza katika \(S'\), na kwa tofauti ya muda kiasi gani?

(b) Urefu wa jukwaa katika \(S'\) ni \(360\text{ m}\). Mwanafunzi anadai kwamba pengo la muda kati ya miangaza lazima liwe \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\). Eleza kosa halisi katika hoja hiyo.

(c) Je, mipigo hiyo miwili ya mwanga lazima iendelee kukutana katika tukio lilelile katika \(S'\)? Eleza jinsi hilo linavyowezekana hata ingawa miangaza haitokei tena kwa wakati mmoja.

Suluhisho la 5

Mwanga wa B hutokea kwanza katika \(S'\), kwa tofauti ya \(2.67\,\mu\text{s}\). Mipigo hiyo bado hukutana katika tukio lilelile, kwa sababu fremu zote za inersia hukubaliana kuhusu sehemu ya makutano ya mipigo hiyo miwili ya mwanga, hata zinapoweka nyakati tofauti kwa matukio ya kutolewa kwa mwanga.

Hatua ya 1: Kokotoa kipengele cha Lorentz na tambua tofauti za matukio.

Kasi ya jamaa ni \(v=0.80c\), kwa hiyo

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

Miangaza hiyo hutokea kwa wakati mmoja katika \(S\), na B ina koordinati kubwa zaidi ya nafasi. Kwa hiyo,

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

Hatua ya 2: Kokotoa tofauti ya muda katika \(S'\).

Weka thamani hizo katika uhusiano wa koordinati ya wakati uliotolewa:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

Matokeo hasi yanamaanisha kwamba \(t'_B<t'_A\). Mwanga wa B hutokea \(2.67\,\mu\text{s}\) kabla ya mwanga wa A katika fremu ya roketi.

Hatua ya 3: Eleza kwa nini hesabu ya \(360\text{ m}/c\) si sahihi kwa swali hili.

Hesabu ya mwanafunzi inatoa

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

Hesabu yenyewe ni sahihi, lakini inajibu swali lisilo sahihi.

Urefu wa \(360\text{ m}\) ni urefu wa jukwaa unaopimwa katika \(S'\), unaopatikana kwa kupima ncha zote mbili kwa wakati mmoja katika wakati wa fremu ya roketi. Matukio mawili ya miangaza hayaji kwa wakati mmoja katika \(S'\), kwa hiyo nafasi za matukio hayo haziwezi kuchukuliwa kuwa ncha za kipimo hicho cha urefu kinachofanywa kwa wakati mmoja.

Tofauti ya muda kati ya matukio mawili kwa ujumla si sawa na urefu unaopimwa ukigawanywa kwa \(c\). Mwanafunzi amechanganya urefu unaopimwa kwa kutumia nafasi za ncha zinazolingana na wakati mmoja na matukio mawili yanayotokea katika nyakati tofauti ndani ya fremu ileile.

Hatua ya 4: Eleza kwa nini mipigo hiyo bado hukutana.

Katika \(S\), kila mpigo husafiri \(300\text{ m}\) hadi katikati. Kwa hiyo, tukio la kukutana hutokea katika

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

Hili ni tukio moja katika anga-wakati. Kila fremu ya inersia hukubaliana kwamba mipigo yote miwili hukutana katika tukio hilo, ingawa koordinati zinazotolewa kwa tukio hilo hutofautiana.

Tunaweza kukagua muda katika fremu ya roketi. Kutumia uhusiano uliotolewa kati ya mwanga wa A na tukio la kukutana kunatoa

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

Mwanga wa A hutokea katika \(t'_A=0\), kwa hiyo mpigo wake huchukua \(0.333\,\mu\text{s}\) za muda wa koordinati wa fremu ya roketi kufika kwenye tukio la kukutana.

Mwanga wa B hutokea katika \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\), kwa hiyo mpigo wake huchukua

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

kufika kwenye tukio hilohilo.

Nyakati tofauti za kutolewa kwa mwanga na vipindi tofauti vya safari vinaendana na tukio lilelile la kukutana. Kosa lingekuwa kudhani kwamba kutolewa kwa mwanga kwa wakati mmoja katika fremu moja lazima kuendelee kuwa kwa wakati mmoja katika kila fremu nyingine.

Hatua inayofuata yenye manufaa ni kujifunza jinsi ya kuwakilisha matukio kwenye mchoro wa anga-wakati. Kwa maswali ya HSC, anza kwa kutambua fremu husika na kuuliza ikiwa matukio hayo hutokea katika eneo lilelile katika fremu hiyo. Uamuzi huo hukusaidia kuchagua kati ya upanuzi wa muda, ufupikaji wa urefu, na uhusiano wa wakati mmoja kabla ya kuanza kufanya mahesabu.