HSC 化學：理解低於檢出限的分析結果

想像一下，你正在檢測溪水中的溶解態銅。儀器測得的吸光度為 0.029，而試劑空白的讀數約為 0.020。這代表銅不存在、以低濃度存在，還是其訊號根本無法與背景雜訊區分？

單憑這個讀數，無法確定答案。在進行任何計算之前，先想想你會如何報告結果：報告一個濃度、「未檢出」，還是「已檢出，但無法可靠地定量」？

答案取決於三個因素：檢出限、定量限，以及校正範圍。分析污染物時，理解這三者的差異至關重要，因為儀器提供的數字並不一定代表可靠的測量結果。

01判斷規則：你實際上可以報告什麼？

首先，判斷你的結果屬於哪一類。

關鍵在於依序進行以下三項檢查：

• 儀器能否區分樣本訊號與背景雜訊？
• 如果可以，訊號是否足夠強，能夠可靠地測定濃度？
• 濃度是否位於此方法已經過驗證的範圍內？

01不存在、未檢出，以及已檢出但低於定量限

這三種描述代表不同的意思。混淆它們，可能導致超出實驗證據所能支持的結論。

不存在

如果某種物質不存在，就表示樣本中沒有這種物質。

然而，僅僅因為儀器讀數接近零，一般的分析測試並不能證明該物質絕對不存在。該物質可能以低於此方法檢出能力的濃度存在。所測試的水樣也可能無法代表整條溪流的水質。

未檢出

當測得的響應未達到此方法用來區分分析物與背景雜訊的判準時，就表示該物質「未檢出」。

但分析物仍可能存在，其濃度可能低於此方法的檢出限。

例如，假設某個經驗證的方法對溶解態銅的檢出限為 0.06 mg/L，那麼報告結果為「未檢出」，並不代表銅的濃度確切等於 0 mg/L。

這只能證明，在該方法的測試條件下，未能檢出銅。

已檢出，但低於定量限

這是另一種情況。訊號可以與背景區分，但訊號太弱，無法讓此方法以可接受的可靠程度測定濃度。

你有證據顯示該物質存在，但無法有把握地為它指定一個精確濃度。

請記住以下重要區別：

• 檢出：訊號是否能與背景區分。
• 定量：物質的含量是否能被可靠地測定。

一個結果可以符合第一項條件，卻不符合第二項條件。

02背景訊號與空白測量

即使沒有分析物存在，儀器也不一定會給出零讀數。

假設你使用一種示例性的比色法測量溶解態銅。銅與適當的試劑反應，形成有色錯合物，再由儀器測量其吸光度。在受控條件下，銅的濃度越高，吸光度讀數也越高。

然而，試劑、容器、儀器，以及水中的其他物質，也可能對測得的訊號有所貢獻。

因此，儀器測量到的響應，同時包含分析物本身的貢獻與背景效應。

什麼是空白？

空白樣本經過製備和測量，用來估計背景響應。例如，試劑空白包含各種試劑，並經過與樣本相同的製備步驟，但不含正在測量的分析物。

想像一下，你試著在嘈雜的房間裡聽清楚某人的耳語。微弱的聲音可能來自說話的人、背景噪音，或兩者兼有。

空白測量有助於建立判斷樣本時所依據的噪音水平。不過，與人類聽覺不同，分析方法應使用明確的測量判準與方法驗證，而不是依賴個人的主觀判斷。

在以下這個示例性的銅分析中，五次空白測量得到下列吸光度讀數：

空白訊號的平均值為

\[ \bar A_{\text{blank}}=0.020 \]

樣本標準差約為

\[ s=0.00158 \]

標準差 \(s\) 描述各次讀數相對於平均值的變動程度。標準差越大，代表背景變動越大，因此越難將微弱的分析物訊號與背景區分。

請注意，空白讀數的平均值是 0.020，而不是零。當你將儀器訊號換算成濃度時，這一點十分重要。

另一項限制是，試劑空白不一定能涵蓋溪水中的所有影響因素。天然存在的有色溶解物質或樣本中的其他成分，都可能影響吸光度。在信任校正結果之前，必須控制或考慮這些基質效應。

03計算濃度之前，先理解校正曲線

儀器測量的是訊號，而不是直接測量濃度。若要將訊號換算成濃度，你需要一個校正關係。

校正曲線是透過測量含有已知分析物濃度的標準溶液建立的，並用來描述這些濃度與儀器響應之間的關係。

對於這個示例方法，假設在經驗證的範圍內，兩者呈線性關係：

\[ A=0.020+0.080C \]

其中：

• \(A\) 是測得的吸光度，此處以吸光度單位（AU）表示。
• \(C\) 是溶解態銅的濃度，單位為 mg/L。
• \(0.020\) 是截距，在這個簡化模型中代表基線響應。
• \(0.080\) 是校正斜率，單位為 AU per mg/L。

斜率表示銅濃度每增加 1 mg/L，吸光度會改變多少。

將方程式重新整理，即可求出與測得訊號相對應的表觀濃度：

\[ C=\frac{A-0.020}{0.080} \]

你必須先扣除基線，再除以斜率。如果直接將原始吸光度除以斜率，就會錯誤地把背景訊號全部當成來自銅的訊號。

什麼是校正範圍？

在這個例子中，經驗證的定量校正範圍為 0.20-2.00 mg/L。

在此範圍內，該方法已經過驗證，能在指定條件下提供可靠的定量結果。

根據校正方程式，這個範圍所對應的吸光度讀數如下：

• 在 0.20 mg/L 時：\(A=0.036\)
• 在 2.00 mg/L 時：\(A=0.180\)

直線方程式在數學上可以算出超出這些界限的濃度，但這並不代表該濃度有效。

低於下限時，訊號可能太弱，無法可靠地定量。高於上限時，儀器響應可能不再符合經驗證的關係。

• 校正：A = 0.020 + 0.080C
• 空白基線：0.020 AU
• LOD ≈ 0.06 mg/L
• LOQ = 0.20 mg/L
• 校正上限 = 2.00 mg/L

因此，必須遵守一項重要原則：校正方程式只有在經過驗證的條件與範圍內，才能作為可靠的定量工具。

04檢出限與定量限

檢出限與定量限回答的是不同問題。

檢出限（LOD）

檢出限（limit of detection，LOD）是指依據指定的檢出判準，此方法能夠將分析物與背景區分的最低濃度。

低於此限值時，使用該方法便無法可靠地將訊號與背景區分。

定量限（LOQ）

定量限（limit of quantification，LOQ）是指在此方法經驗證的條件下，能以可接受的精密度與準確度測量的最低分析物濃度。

定量限通常高於檢出限。要確定訊號能與背景區分，只需要足夠強的訊號；但要可靠地測定含量，則需要更強的訊號。

05如何報告結果

了解各項限值後，應選擇與證據相符的措辭。

如果未檢出該物質：

未檢出銅。此方法的 LOD 為 0.06 mg/L。

實驗室可能會採用「ND, LOD = 0.06 mg/L」這種報告格式。不要將它改寫成「0 mg/L」。

如果已檢出該物質，但低於 LOQ：

已檢出銅，但其濃度低於 0.20 mg/L 的定量限。

這樣的表述說明訊號可以與背景區分，同時不會假裝已準確掌握其含量。

如果結果位於定量校正範圍內：

測得的銅濃度為 0.30 mg/L。

應附上單位、適當的有效數字，以及任何必要的不確定度或稀釋資訊。

如果結果超出校正範圍：

初始結果超出經驗證的校正範圍。樣本經稀釋後重新分析，再計算原始濃度。

這樣能清楚交代結果的依據，也能避免將超出範圍的測量結果當成已經過驗證的結果。

08常見錯誤

錯誤 1：未檢出物質時，直接報告為零

未檢出表示此方法無法將訊號與背景區分，並不能證明物質絕對不存在。

應報告未檢出結果及相關的方法限值，而不是自動指定 0 mg/L 的濃度。

錯誤 2：將 LOD 與 LOQ 視為可以互換的概念

LOD 涉及檢出；LOQ 則涉及可靠的定量。

樣本可以產生可檢出的訊號，卻無法提供可靠的濃度。決定如何報告之前，務必同時檢查這兩項限值。

錯誤 3：直接將原始訊號除以校正斜率

在這個示例方法中，方程式是 \(A=0.020+0.080C\)，而不只是 \(A=0.080C\)。

必須考慮基線：

\[ C=\frac{A-0.020}{0.080} \]

忽略截距會錯誤地將背景響應歸因於銅。

錯誤 4：將結果外推至校正範圍之外

即使測得的訊號超出經驗證的範圍，計算機仍然會算出一個濃度。但這項計算並不能證明校正關係在該範圍內仍然有效。

在適當的情況下，應稀釋樣本並重新測量，然後套用稀釋倍數。

錯誤 5：認為小數位數越多，準確度就越高

計算所得的 0.1125 mg/L，並不一定比「已檢出，但低於 0.20 mg/L 的 LOQ」這種報告更有資訊價值。

計算機顯示的位數，並不能說明儀器是否能支持該程度的精密度。

錯誤 6：忽略樣本基質

校正曲線可能適用於經過製備的標準溶液，卻可能對含有其他溶解物質的溪水樣本產生偏差結果。

如果基質改變了儀器響應，校正方程式可能不再能提供有效的濃度。此方法可能需要使用適當的基質匹配校正、標準添加法，或其他經驗證的修正方法。

09問題與解答

問題 1

一份水樣的吸光度為 0.052 AU。校正方程式為 \(A=0.020+0.080C\)，經驗證的定量範圍為 0.20-2.00 mg/L。

計算銅的濃度，並說明是否可以將結果作為定量結果報告。

解答 1

銅的濃度為 0.40 mg/L，位於經驗證的定量範圍內。

重新整理校正方程式：

\[ C=\frac{A-0.020}{0.080} \]

代入測得的吸光度：

\[ \begin{aligned} C&=\frac{0.052-0.020}{0.080}\\ &=\frac{0.032}{0.080}\\ &=0.40\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

計算所得的濃度高於 0.20 mg/L 的 LOQ，並低於 2.00 mg/L 的校正上限。只要符合此方法的其他條件，0.40 mg/L 就是有充分依據的定量結果。

單靠計算並不能確立這一點。範圍檢查可以確認此方法是否足以支持所報告的數值。

問題 2

五次空白測量的吸光度讀數分別為 0.020、0.022、0.019、0.021 和 0.018 AU。其平均值為 0.020 AU，樣本標準差為 0.00158 AU。

使用以下簡化規則：

\[ A_{\mathrm{LOD}}=\bar A_{\mathrm{blank}}+3s \]

以及

\[ A_{\mathrm{LOQ}}=\bar A_{\mathrm{blank}}+10s \]

並使用每 mg/L 對應 0.080 AU 的校正斜率，計算以 mg/L 表示的 LOD 和 LOQ。

某個樣本的吸光度為 0.031 AU。應如何報告此結果？

解答 2

此方法的 LOD 約為 0.06 mg/L，LOQ 約為 0.20 mg/L。樣本已被檢出，但無法可靠地定量。

首先計算訊號閾值：

\[ \begin{aligned} A_{\mathrm{LOD}}&=0.020+3(0.00158)\\ &=0.02474\ \mathrm{AU} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} A_{\mathrm{LOQ}}&=0.020+10(0.00158)\\ &=0.0358\ \mathrm{AU} \end{aligned} \]

將每個閾值換算成對應的濃度：

\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{LOD}} &=\frac{0.02474-0.020}{0.080}\\ &\approx0.059\ \mathrm{mg/L}\\ &\approx0.06\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{LOQ}} &=\frac{0.0358-0.020}{0.080}\\ &\approx0.198\ \mathrm{mg/L}\\ &\approx0.20\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

樣本訊號為 0.031 AU，介於兩個訊號閾值之間：

\[ 0.02474<0.031<0.0358 \]

其表觀濃度為

\[ \begin{aligned} C&=\frac{0.031-0.020}{0.080}\\ &=0.1375\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

雖然校正方程式得出 0.1375 mg/L 的表觀值，但此數值低於 LOQ，因此不應將其作為可靠的濃度報告。

有充分依據的表述是：「已檢出銅，但低於 0.20 mg/L 的 LOQ。」

問題 3

兩間實驗室使用不同的經驗證方法，分析同一份溪水樣本。

• 方法 A 的 LOD 為 0.06 mg/L，LOQ 為 0.20 mg/L。結果報告為「未檢出」。
• 方法 B 的 LOD 為 0.02 mg/L，LOQ 為 0.10 mg/L。結果報告為「已檢出，低於 LOQ」。

這些結果必然互相矛盾嗎？請說明可以得出什麼結論，以及哪些方面仍不確定。

解答 3

這些報告不一定互相矛盾。 方法 B 能檢出比方法 A 更低的濃度，因此可以區分出一個微弱訊號，而方法 A 無法可靠地將該訊號與背景區分。

例如，濃度約為 0.03 mg/L 時，會低於方法 A 的 LOD，卻高於方法 B 的 LOD。在適當的方法條件下，這可能產生上述兩種不同的報告結果。

然而，方法 B 的結果仍低於其 0.10 mg/L 的 LOQ，因此無法提供可靠的定量濃度。

最有力的結論是：方法 B 檢測到與分析物存在相符的訊號，而方法 A 在其自身的測試條件下未能檢出。兩份報告都無法確定實際濃度。

重要原則是，檢出限是特定方法在指定條件下的特性，而不是污染物本身的通用特性。

問題 4

一份未稀釋的水樣吸光度為 0.220 AU。校正方程式為 \(A=0.020+0.080C\)，經驗證的定量範圍為 0.20-2.00 mg/L。

經過五倍稀釋後，樣本的吸光度為 0.060 AU。

計算原始濃度，並解釋為何需要測量稀釋後的樣本。假設分析物沒有損失，而且稀釋方式與樣本基質均適用於此方法。

解答 4

原始樣本中的銅濃度為 2.50 mg/L，此數值是根據稀釋樣本的有效測量結果計算得出的。

未稀釋樣本的訊號為 0.220 AU，超過校正響應上限 0.180 AU。直接將其換算成濃度，會將校正關係外推至經驗證範圍之外。

因此，先計算稀釋後的濃度：

\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{diluted}} &=\frac{0.060-0.020}{0.080}\\ &=0.50\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

稀釋後的濃度位於定量校正範圍內。

套用稀釋倍數：

\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{original}} &=5(0.50\ \mathrm{mg/L})\\ &=2.50\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

原始濃度超出校正範圍，但這是可以接受的，因為稀釋後的溶液是在範圍內測量，而且正確地套用了稀釋倍數。

關鍵在於區分原始水樣中的濃度，以及儀器實際測量的溶液中的濃度。後者必須符合此方法的定量要求。

問題 5

某項環境指引規定，溶解態銅的濃度為 0.10 mg/L。

某實驗室使用的方法具有 0.06 mg/L 的 LOD、0.20 mg/L 的 LOQ，以及校正方程式 \(A=0.020+0.080C\)。經驗證的定量範圍為 0.20-2.00 mg/L。

一份溪水樣本的吸光度為 0.029 AU。

一名學生計算出表觀濃度，並得出樣本超過指引限值的結論。另一名學生則認為，由於結果低於 LOQ，因此樣本符合指引要求。

哪一個結論有充分依據？請解釋這兩種說法的問題，並指出要作出有充分依據的判斷，下一步需要進行什麼測量。

解答 5

根據這個結果，無法可靠地判定樣本符合或超過指引限值。 樣本訊號可以被檢出，但此方法無法可靠地定量其濃度，因此不能確定濃度高於還是低於 0.10 mg/L 的指引限值。

第一名學生計算得出：

\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{apparent}} &=\frac{0.029-0.020}{0.080}\\ &=0.1125\ \mathrm{mg/L} \end{aligned} \]

看似合理的結論是，0.1125 mg/L 高於 0.10 mg/L，因此樣本必定不符合指引要求。

問題在於，計算所得的數值低於此方法的 LOQ，即 0.20 mg/L。這只是一個表觀濃度，而不是經可靠定量的結果。直接將它與指引限值比較，就等於把微弱且不確定的測量結果當成已確立的濃度。

第二名學生則犯了相反的錯誤。低於 LOQ 並不代表濃度低於環境指引限值。LOQ 是限制此方法定量可靠程度的界限，而不是污染物的安全閾值。

在此例中，0.10 mg/L 的指引限值位於 0.06 mg/L 的 LOD 與 0.20 mg/L 的 LOQ 之間。此方法可以檢出這個區間內的訊號，但無法可靠地定量所需的濃度，因此不能據此判定樣本是否符合指引要求。

下一步應使用經驗證且 LOQ 低於 0.10 mg/L 的方法，並確保其定量範圍適合評估該指引限值。還必須考慮樣本基質，並依照方法要求進行製備、校正及不確定度評估。

這是關鍵的判斷：一種方法可能具有足夠的靈敏度來檢出污染物，卻沒有足夠的靈敏度來判定其濃度是否符合環境限值。

10接下來應檢查什麼

使用分析結果評估污染情況時，應確認此方法的 LOQ 低於你需要判斷的濃度。接著，確認樣本基質、校正範圍及任何稀釋步驟是否合適。

下一個值得學習的概念是校正品質：標準溶液、空白測量、精密度、準確度及回收率如何共同決定計算所得的濃度是否真正可靠。