HSC 物理狭义相对论：清晰易懂的详解指南

一艘太空船以 \(0.80c\) 的速度飞越地球。地球测得太空船时钟两次滴答之间的时间间隔，比太空人测得的更长。另一方面，太空人则认为地球上的时钟走得比较慢。继续阅读之前，先预测一下：是否有一位观察者单纯地弄错了？没有。两人各自使用不同的惯性参考系，而这种分歧源于高速运动下时间与空间的测量方式。

01参考系：每位观察者实际上测量的是什么？

参考系是一种座标系统，用来为事件指定位置与时间。它可以用尺和一组彼此同步的时钟来表示。

惯性参考系 是指没有加速或旋转的参考系。在本指南中，假设重力的影响可以忽略不计，而且当我们比较太空船与地球时，两者之间的相对速度保持不变。

在日常生活中，我们通常可以把时间视为普遍一致的。如果两件事在你看来同时发生，你会预期其他人也会认为它们同时发生。

狭义相对论对这项假设提出了挑战。它以两项原则为基础：

• 物理定律在每个惯性参考系中都相同。
• 无论光源或观察者如何运动，每位惯性观察者测得的真空光速都相同。

光速为

\[ c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

假设你朝一道光束移动。你可能会预期自己测得的光速是 \(c+v\)，其中 \(v\) 是你朝光束移动的速度。但事实并非如此，你测得的光速仍然是 \(c\)。

要使这项原则成立，彼此相对运动的观察者就不可能总是对时间间隔、长度，或相距遥远的事件是否同时发生达成一致。

这与他们的眼睛恰好看见什么无关。相对论中的测量会使用同步时钟，并将光线传播所需的时间纳入考量。即使完成这项修正，观察者之间的分歧依然存在。

02同时性的相对性：两个事件在不同参考系中可能发生于不同时间

想像有两盏灯，A 和 B，分别位于一条长月台的两端。相对月台静止的时钟彼此同步，而两盏灯都在月台时间 \(t=0\) 时闪亮。

继续阅读之前，先预测一下：一枚火箭经过月台时，是否一定会认为两次闪光同时发生？

不一定。火箭可以为这两次闪光指定不同的发生时间。

同时发生 是指两个事件在指定参考系中的时间座标相同。这并不代表每个惯性参考系都会为它们指定相同的时间。

为了更精确地描述这个情况，假设：

• 灯 A 位于 \(x=0\)。
• 灯 B 位于 \(x=600\text{ m}\)。
• 月台在参考系 \(S\) 中静止。
• 火箭的参考系 \(S'\) 相对于 \(S\) 沿正 \(x\) 方向以速度 \(v\) 移动。

在月台参考系中，两次闪光同时发生。在火箭参考系中，B 处的闪光会比 A 处的闪光早发生。

为什么先后顺序会是这样？这两个事件的时间座标转换公式为

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

其中

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

这里，\(\Delta t=t_B-t_A\) 和 \(\Delta x=x_B-x_A\) 分别是参考系 \(S\) 测得的时间差与位置差。带撇号的时间差则是在参考系 \(S'\) 中测得；该参考系相对于 \(S\) 沿正 \(x\) 方向移动。

对于在月台参考系中同时发生的两次闪光，

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x>0. \]

因此，

\[ \Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}<0. \]

负号表示在火箭参考系中，B 处的闪光较早发生。

有一项重要的限制需要注意：观察者接收到两次闪光的先后顺序，本身并不能证明两个事件的实际发生时间。光需要时间才能传到观察者，而且两次闪光到观察者的距离可能不同。同时性的相对性探讨的是：在考虑光线传播时间后，使用同步时钟所指定的事件发生时间。

当题目涉及两个相距遥远的事件，而不是同一个时钟的两次滴答时，这项区别尤其重要。

03时间膨胀：运动中的时钟具有较长的测得滴答间隔

现在考虑一个固定在太空船上的单一时钟所产生的两次滴答。

这两次滴答发生在太空船静止参考系中的同一位置。由该时钟测得的经过时间称为固有时间，以 \(\Delta\tau\) 表示。

在另一个惯性参考系中，太空船以速度 \(v\) 移动，该参考系的观察者会为同一对事件指定较长的时间间隔。这就是时间膨胀。

公式为

\[ \boxed{\Delta t=\gamma\Delta\tau} \]

其中：

• \(\Delta t\) 是在时钟正在移动的参考系中测得的时间间隔。
• \(\Delta\tau\) 是时钟在其静止参考系中测得的固有时间。
• \(\gamma\) 是洛伦兹因子。
• \(v\) 是两个参考系之间的相对速度。
• \(c\) 是光速。

由于 \(\gamma\geq1\)，运动中的时钟所对应的测得滴答间隔，绝不会短于它的固有时间间隔。

例如，当 \(v=0.80c\) 时，

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{1}{0.60} =1.67. \]

另一个参考系测得的时间间隔，是该时钟自身时间间隔的 \(1.67\) 倍。

计算范例：高速太空船上的时钟

一艘太空船相对于地球以 \(0.80c\) 的速度移动。船上的时钟测得两次滴答之间相隔 \(10.0\text{ min}\)。地球会为同一对滴答指定多长的时间间隔？

步骤 1：找出固有时间。

两次滴答发生在太空船静止参考系中的同一位置，因此船上时钟的读数就是固有时间：

\[ \Delta\tau=10.0\text{ min}. \]

步骤 2：计算洛伦兹因子。

\[ \begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}}\\ &=\frac{1}{0.60}\\ &=1.67. \end{aligned} \]

步骤 3：套用时间膨胀公式。

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.67)(10.0\text{ min})\\ &=16.7\text{ min}. \end{aligned} \]

地球指定的时间间隔为 \(16.7\text{ min}\)，而太空船时钟测得的时间间隔为 \(10.0\text{ min}\)。太空人的时钟在自身静止参考系中运作正常；两者的差异来自两个参考系对时间间隔的指定不同。

为什么两位观察者都可以说对方的时钟走得比较慢？

这听起来似乎自相矛盾，但两位观察者并不是直接比较两个时钟上完全相同的一对滴答。

地球使用自己的同步时钟网络，为太空船上的滴答指定时间。太空人则使用另一组同步时钟网络，为地球上远处时钟的滴答指定时间。由于同时性取决于参考系，两者的比较并没有使用相同的远距事件时间指定方式。

如果太空人转身，之后再与地球会合，情况又会有所不同。这趟旅程涉及惯性参考系的改变，因此两位观察者的完整旅程不再等价。他们累积的固有时间可能不同。

关键规则很简单：时间膨胀适用于同一对事件，而固有时间间隔是在这两个事件发生于同一位置的参考系中测得的。

04长度收缩：运动物体的测得长度会改变

时间膨胀涉及事件之间的时间间隔。长度收缩则涉及物体两端之间的距离。

想像一艘静止的太空船。你用尺测量它的长度，得到 \(150\text{ m}\)。这就是它的固有长度 \(L_0\)，因为测量是在太空船的静止参考系中进行的。

现在假设太空船以高速经过地球。地球要测量它的长度，就必须在同一个地球参考系时间，记录太空船前端与后端的位置。

最后这项条件十分重要。在某个参考系中测量长度时，必须在该参考系中同时记录物体两端的位置。

运动中的太空船，其测得长度为

\[ \boxed{L=\frac{L_0}{\gamma}} \]

或者等价地，

\[ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, \]

其中：

• \(L\) 是在物体正在运动的参考系中测得的长度。
• \(L_0\) 是物体的固有长度，即在其静止参考系中测得的长度。
• \(v\) 是物体相对于测量参考系的速度。
• \(\gamma\) 是洛伦兹因子。

只有与运动方向平行的尺寸会收缩。依据这个长度收缩关系，物体垂直于运动方向的尺寸不会改变。

一个常见的错误观念是，以为太空船会感觉自己受到挤压，导致实际尺寸缩小。事实并非如此。太空船在自身静止参考系中测得的长度不会变短。这种差异来自不同参考系的长度测量使用了不同组、彼此同时的端点位置。

计算范例：太空船通过探测器

一艘探测船的固有长度为 \(150\text{ m}\)，并以 \(0.80c\) 的速度通过一个静止的探测器。

计算：

• 地球测得的长度；
• 在地球参考系中，探测船头部与尾部通过探测器的时间间隔；
• 在探测船参考系中，同一对事件之间的时间间隔。

步骤 1：计算洛伦兹因子。

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

步骤 2：计算地球测得的长度。

\[ \begin{aligned} L&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{150\text{ m}}{1.67}\\ &=90.0\text{ m}. \end{aligned} \]

地球测得运动中的探测船长 \(90.0\text{ m}\)。

步骤 3：计算地球参考系中的时间间隔。

探测船的速度为

\[ v=0.80(3.00\times10^8) =2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}. \]

在地球参考系中，探测船头部与尾部相距 \(90.0\text{ m}\)。因此，它们通过静止探测器的时间间隔为

\[ \begin{aligned} \Delta t_E&=\frac{L}{v}\\ &=\frac{90.0\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=3.75\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.375\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

步骤 4：计算探测船参考系中的时间间隔。

在探测船参考系中，探测器以相同的相对速度移过探测船完整的 \(150\text{ m}\) 固有长度。因此，

\[ \begin{aligned} \Delta t_P&=\frac{L_0}{v}\\ &=\frac{150\text{ m}} {2.40\times10^8\text{ m s}^{-1}}\\ &=6.25\times10^{-7}\text{ s}\\ &=0.625\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

两个通过事件在地球参考系中发生于同一位置，因此探测器测得的 \(0.375\,\mu\text{s}\) 间隔是固有时间间隔。在探测船参考系中，探测器正在移动，所以时间间隔较长：

\[ \gamma\Delta t_E =(1.67)(0.375\,\mu\text{s}) =0.625\,\mu\text{s}. \]

计算结果一致。同一对事件在两个参考系中具有不同的时间间隔，而探测船的测得长度则取决于在哪个参考系中同时记录两端的位置。

05质能关系：\(E=mc^2\) 究竟代表什么？

考虑一个原子核由分开的质子与中子结合而成的情况。原子核形成后，其静止质量会略小于这些分离粒子的静止质量总和。

是否有一些物质就这样消失了？

没有。这个系统释放了能量，而释出的能量必须纳入整体计算。质量与能量彼此相关。

物体的静止能量为

\[ \boxed{E_0=mc^2} \]

其中：

• \(E_0\) 是静止能量。
• \(m\) 是不变质量，也就是静止质量。
• \(c\) 是光速。

如果静止质量发生变化，相应的静止能量变化为

\[ \boxed{\Delta E_0=\Delta m c^2}. \]

因子 \(c^2\) 的数值极大。仅仅 \(1.0\text{ g}\) 的质量差，就相当于以下的静止能量差：

\[ \begin{aligned} E_0&=(1.0\times10^{-3}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{13}\text{ J}. \end{aligned} \]

对于如此微小的质量差而言，这是非常庞大的能量。

当能量进入或离开系统时，会发生什么变化？

如果能量从系统中逸出，剩余系统的静止质量就可能降低。如果能量加入系统并保留在系统内部，只要比较的是系统加入能量前后都处于静止状态的情况，其静止质量就会增加。

这并不代表质量减少时，能量就被摧毁了。对于孤立系统而言，总能量守恒。能量可能以辐射或动能的形式离开剩余物体，但它仍然存在。

束缚原子核就是一个很好的例子。分离核子的静止质量总和与束缚原子核静止质量之间的差异，称为质量亏损。相应的能量差则称为束缚能。

一项必要的限制：静止质量不等于总能量

公式 \(E_0=mc^2\) 表示静止能量。对于以速度 \(v\) 运动的物体，其总能量为

\[ E=\gamma mc^2, \]

而其动能为

\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

这里的 \(m\) 仍然是物体的不变静止质量。因子 \(\gamma\) 改变的是物体的总能量，而不是其不变质量。

某些较早期的教材会使用「相对论质量」一词，表示 \(\gamma m\)。现代惯例通常将质量视为不变量，并以能量与动量来描述相关的增加。

例如，光子虽然没有静止质量，仍然具有能量与动量。因此，不应将 \(E=mc^2\) 解读为每一种能量形式都必须属于具有非零静止质量的粒子。

计算范例：根据质量差求能量

一个静止的辐射源释放辐射，其剩余静止质量减少了 \(0.50\text{ mg}\)。假设整个质量差都对应于辐射带走的能量，估算释放的能量。

步骤 1：将质量差换算成公斤。

\[ \begin{aligned} \Delta m&=0.50\text{ mg}\\ &=5.0\times10^{-7}\text{ kg}. \end{aligned} \]

步骤 2：套用质能等价关系。

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(5.0\times10^{-7}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=4.5\times10^{10}\text{ J}. \end{aligned} \]

步骤 3：解释结果。

释放的能量为 \(4.5\times10^{10}\text{ J}\)。仅仅 \(0.50\text{ mg}\) 的质量差，就相当于庞大的能量。

辐射源剩余部分的静止质量虽然减少，但能量并没有消失。将发射出的辐射也纳入计算后，总能量的计算仍然符合能量守恒。

06如何选择正确的关系式

解答狭义相对论题目时，最可靠的方法是在选择公式之前，先确认题目要测量的是什么。

以下四项检查可以避免许多常见错误：

• 检查洛伦兹因子。 当 \(0\leq v<c\) 时，\(\gamma\geq1\)。
• 检查事件。 时间膨胀并不适用于任意一对事件，固有时间的条件十分重要。
• 检查测量方式。 长度收缩只适用于运动方向上的尺寸，而测量长度时，必须在测量参考系中同时记录两端的位置。
• 检查能量的计算。 一个物体的静止质量减少，并不代表孤立系统的总能量消失了。

07问题与解答

问题 1

固定在探测船上的时钟测得两次滴答之间相隔 \(3.0\text{ s}\)。探测船相对于实验室以 \(0.60c\) 的速度移动。

计算实验室为同一对滴答指定的时间间隔。

解答 1

实验室指定的时间间隔为 \(3.75\text{ s}\)，以两位有效数字表示则为 \(3.8\text{ s}\)。

船上的时钟测得的是固有时间，因为两次滴答都发生在探测船静止参考系中的同一位置。

步骤 1：计算洛伦兹因子。

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\ &=\frac{1}{0.80}\\ &=1.25. \end{aligned} \]

步骤 2：套用时间膨胀公式。

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\Delta\tau\\ &=(1.25)(3.0\text{ s})\\ &=3.75\text{ s}. \end{aligned} \]

实验室测得的时间间隔比探测船时钟测得的更长。这个结果符合时间膨胀的原理。

问题 2

一艘探测船的固有长度为 \(80\text{ m}\)。机库在自身静止参考系中的长度为 \(60\text{ m}\)。探测船以 \(0.80c\) 的速度通过机库。

一名工程师认为，因为探测船收缩后的长度比机库短，所以探测船可以在某一瞬间完全位于机库内。驾驶员则认为这不可能，因为在驾驶员的参考系中，机库比探测船短。

假设机库的理想化舱门可以瞬间开启及关闭，并忽略材料损坏的情况。

两位观察者的长度计算是否都正确？探测船能否在某一瞬间完全位于机库内？请解释这两种描述为何能够相容。

解答 2

两位观察者的长度计算都正确。分歧在于探测船是否能够「在某一瞬间」完全位于机库内，因为同时性取决于参考系。

步骤 1：计算洛伦兹因子。

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}=1.67. \]

步骤 2：计算在机库参考系中探测船的长度。

探测船的固有长度为 \(L_0=80\text{ m}\)。

\[ \begin{aligned} L_{\text{probe}}&=\frac{L_0}{\gamma}\\ &=\frac{80\text{ m}}{1.67}\\ &=48\text{ m}. \end{aligned} \]

由于 \(48\text{ m}<60\text{ m}\)，工程师的说法正确：只要探测船的位置适当，它就能在机库参考系的某一瞬间完全位于机库内。

步骤 3：计算在探测船参考系中机库的长度。

机库的固有长度为 \(60\text{ m}\)。在探测船参考系中，机库正在移动，因此其测得长度为

\[ \begin{aligned} L_{\text{hangar}}&=\frac{60\text{ m}}{1.67}\\ &=36\text{ m}. \end{aligned} \]

驾驶员的说法同样正确：运动中的机库在探测船参考系中只有 \(36\text{ m}\) 长，而探测船的固有长度仍然是 \(80\text{ m}\)。

步骤 4：解决表面上的矛盾。

「在某一瞬间完全位于机库内」是指，在指定参考系中的同一时间，探测船两端的位置都位于机库内。

在机库参考系中，确实存在一个两端都位于机库内的瞬间。在探测船参考系中，则不存在任何一个瞬间，能让整艘长 \(80\text{ m}\) 的探测船完全位于长 \(36\text{ m}\) 的机库内。

关键在于：在机库参考系中同时发生的两扇舱门关闭事件，在探测船参考系中并不同时发生。两位观察者描述的并不是同一对同时发生的事件。这两种描述都不代表探测船在自身静止参考系中遭到实际摧毁或压缩。

问题 3

某束缚原子的静止质量，比其分离核子的静止质量总和少 \(2.0\times10^{-28}\text{ kg}\)。

假设两种状态都是在静止时进行比较，而且束缚过程中释放的能量会离开原子核。

计算释放的束缚能，以焦耳表示，并解释为什么最终原子核的静止质量较低，并不违反能量守恒。

解答 3

与质量差相对应的束缚能为 \(1.8\times10^{-11}\text{ J}\)。静止质量降低符合能量守恒，因为释出的能量离开了系统。

步骤 1：找出质量差。

质量亏损的大小为

\[ \Delta m=2.0\times10^{-28}\text{ kg}. \]

步骤 2：套用质能等价关系。

\[ \begin{aligned} E&=\Delta m c^2\\ &=(2.0\times10^{-28}\text{ kg}) (3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=(2.0\times10^{-28})(9.00\times10^{16})\\ &=1.8\times10^{-11}\text{ J}. \end{aligned} \]

步骤 3：解释能量的计算。

束缚原子的静止能量低于分离核子的静止能量总和。两者的差额会以束缚过程中释放的能量形式出现，例如辐射，或由其他产物带走的动能。

最终原子核的静止质量较低，是因为能量已经离开原子核。将释放的能量纳入计算后，总能量仍然守恒。

问题 4

一艘太空船的不变静止质量为 \(1.0\text{ kg}\)，相对于地球以 \(0.80c\) 的速度移动。

一名学生计算出 \(\gamma=1.67\)，并声称太空船的质量已增加到 \(1.67\text{ kg}\)。

使用以下公式：

\[ E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad K=(\gamma-1)mc^2, \]

计算太空船的静止能量、总能量与动能，并评估这名学生的说法。

解答 4

静止能量为 \(9.0\times10^{16}\text{ J}\)，总能量为 \(1.5\times10^{17}\text{ J}\)，动能为 \(6.0\times10^{16}\text{ J}\)。按照不变质量的惯例，太空船的静止质量仍然是 \(1.0\text{ kg}\)。

步骤 1：计算静止能量。

静止质量为 \(m=1.0\text{ kg}\)。

\[ \begin{aligned} E_0&=mc^2\\ &=(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &=9.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

步骤 2：计算总能量。

\[ \begin{aligned} E&=\gamma mc^2\\ &=(1.67)(1.0\text{ kg})(3.00\times10^8\text{ m s}^{-1})^2\\ &\approx1.5\times10^{17}\text{ J}. \end{aligned} \]

步骤 3：计算动能。

\[ \begin{aligned} K&=(\gamma-1)mc^2\\ &=(1.67-1)(9.0\times10^{16}\text{ J})\\ &\approx6.0\times10^{16}\text{ J}. \end{aligned} \]

这些结果彼此一致，因为总能量等于静止能量加上动能：

\[ E=E_0+K. \]

步骤 4：评估学生的说法。

学生正确地指出，总能量等于静止能量乘以 \(\gamma\)。错误之处在于把这个因子解读为不变静止质量的增加。

太空船的动能会随速度增加，但其不变静止质量仍然是 \(1.0\text{ kg}\)。当题目同时涉及质能等价关系与运动物体的能量时，这项区别十分重要。

问题 5

一座月台在其静止参考系 \(S\) 中长 \(600\text{ m}\)。两盏灯 A 和 B 分别安装在月台两端，其中 A 位于 \(x=0\)，B 位于 \(x=+600\text{ m}\)。两盏灯在 \(S\) 中的 \(t=0\) 时同时闪亮。

每次闪光都会发出一道朝月台中点传播的光脉冲。在参考系 \(S\) 中，两道光脉冲会在中点相遇。

一枚火箭的静止参考系 \(S'\) 相对于 \(S\) 沿正 \(x\) 方向以 \(0.80c\) 的速度移动。

本题请使用以下时间座标关系式：

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right), \]

其中 \(\Delta t=t_B-t_A\) 和 \(\Delta x=x_B-x_A\) 是在 \(S\) 中测得的数值。

(a) 在 \(S'\) 中，哪一次闪光先发生？两次闪光相差多少时间？

(b) 月台在 \(S'\) 中的长度为 \(360\text{ m}\)。一名学生声称，两次闪光之间的时间差必定是 \(360\text{ m}/c=1.20\,\mu\text{s}\)。请精确解释这项推理的错误之处。

(c) 两道光脉冲在 \(S'\) 中是否仍然会在同一事件相遇？请解释为什么即使两次闪光不再同时发生，这仍然可能成立。

解答 5

在 \(S'\) 中，B 处的闪光会先发生，比 A 处早 \(2.67\,\mu\text{s}\)。两道光脉冲仍然会在同一事件相遇，因为所有惯性参考系都同意两道光脉冲的交会事件，即使它们为发射事件指定了不同的时间。

步骤 1：计算洛伦兹因子，并找出事件之间的差值。

相对速度为 \(v=0.80c\)，因此

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}} =\frac{5}{3}. \]

在 \(S\) 中，两次闪光同时发生，而且 B 的位置座标较大。因此，

\[ \Delta t=0,\qquad \Delta x=+600\text{ m}. \]

步骤 2：计算 \(S'\) 中的时间差。

将数值代入题目提供的时间座标关系式：

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}\left(0-\frac{(0.80c)(600\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=-\frac{800\text{ m}}{c}\\ &=-2.67\times10^{-6}\text{ s}. \end{aligned} \]

负值表示 \(t'_B<t'_A\)。在火箭参考系中，B 处的闪光比 A 处早 \(2.67\,\mu\text{s}\) 发生。

步骤 3：解释为什么 \(360\text{ m}/c\) 的计算不成立。

学生的计算结果为

\[ \frac{360\text{ m}}{3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}} =1.20\,\mu\text{s}. \]

算术运算本身是正确的，但它回答了错误的问题。

\(360\text{ m}\) 是在 \(S'\) 中测得的月台长度，这个长度是透过在火箭参考系的同一时间测量两端的位置而得到的。两次闪光事件在 \(S'\) 中并不同时，因此不能把这两个事件的位置当作这项同时长度测量中的两个端点。

两个事件之间的时间差，一般而言并不等于测得的长度除以 \(c\)。学生混淆了使用同时端点位置测得的长度，以及在同一参考系中发生于不同时间的两个事件。

步骤 4：解释为什么两道光脉冲仍然会相遇。

在 \(S\) 中，每道光脉冲都传播 \(300\text{ m}\) 才到达中点。因此，相遇事件发生于

\[ t=\frac{300\text{ m}}{c} =1.00\,\mu\text{s}, \qquad x=300\text{ m}. \]

这是时空中的同一个事件。每个惯性参考系都同意两道光脉冲在这个事件相遇，即使它们为该事件指定的座标有所不同。

我们可以检查火箭参考系中的时间。使用题目提供的关系式，计算从闪光 A 到相遇事件的时间座标：

\[ \begin{aligned} t'_{\text{meet}} &=\gamma\left(1.00\,\mu\text{s} -\frac{(0.80c)(300\text{ m})}{c^2}\right)\\ &=\frac{5}{3}(1.00-0.80)\,\mu\text{s}\\ &=0.333\,\mu\text{s}. \end{aligned} \]

闪光 A 发生于 \(t'_A=0\)，因此它发出的光脉冲需要 \(0.333\,\mu\text{s}\) 的火箭参考系座标时间，才能到达相遇事件。

闪光 B 发生于 \(t'_B=-2.67\,\mu\text{s}\)，因此它发出的光脉冲需要

\[ 0.333-(-2.67)=3.00\,\mu\text{s} \]

才能到达同一事件。

不同的发射时间与传播时间，完全可以与同一个相遇事件相容。真正的错误在于假设：如果两道光在某个参考系中同时发射，那么它们在所有参考系中也必定同时发射。

接下来值得学习的是如何在时空图上表示事件。对于 HSC 的题目，首先要找出所使用的参考系，并确认事件在该参考系中是否发生于同一位置。这项判断有助于你在开始计算前，正确选择时间膨胀、长度收缩或同时性的相对性。