重力场强度与重力位能的比较：距离如何影响两者

探测器从距离行星中心 \(r\) 的位置移动到距离行星中心 \(2r\) 的位置。预测它的重力场强度和重力位能会如何变化。距离加倍后，两者是否都会减半？

只有其中一个量会减半。重力场强度的大小会降至原来的四分之一，而重力位能则会变成原来负值的一半。例如，重力位能从 \(-100\ \mathrm{J}\) 变成 \(-50\ \mathrm{J}\)。实际上，它的数值增加了 \(50\ \mathrm{J}\)。

原因在于，重力场强度和重力位能对距离的依赖方式不同。要选出正确的方程式，第一步就是确认题目要求计算的是哪个物理量。

此处的 \(r\) 是距离行星中心的距离，而不是高于行星表面的高度。行星的半径为 \(R\)。

• 重力场强度：1/x²
• 重力位能：−1/x
• x = 1: g/g(R) = 1
• x = 2: g/g(R) = 1/4
• x = 1: U/(GMm/R) = −1
• x = 2: U/(GMm/R) = −1/2

01快速判断规则

当题目提到重力时，首先要判断需要计算的是什么。

• 重力场强度、重力加速度或单位质量所受的力： 使用反平方关系式，\(g=\dfrac{GM}{r^2}\)。
• 特定半径处的重力位能： 使用 \(U=-\dfrac{GMm}{r}\)，并假设无限远处的位能为零。
• 物体在两个不同半径之间移动时转移的能量： 计算 \(\Delta U=U_f-U_i\)，或直接使用合并后的方程式

\[ \Delta U=GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right). \]

如果物体缓慢移动，而且动能没有改变，外力施加者所做的功就等于 \(\Delta U\)。重力所做的功则为 \(-\Delta U\)。

代入数值之前，先确认两件事：距离必须从行星中心量起，而且必须清楚知道位能的零点参考位置。

02每个物理量实际代表什么

1. 重力场强度：单位质量所受的力

想像在行星外部的同一位置放置两个物体。一个物体的质量为 \(1\ \mathrm{kg}\)，另一个则为 \(10\ \mathrm{kg}\)。

较重的物体所受的重力是较轻物体的十倍。这是否代表较重物体所在位置的重力场强度也大十倍？

不是。重力场是该位置本身的性质，由行星的质量及该位置距离行星中心的远近决定。较重的物体之所以受到较大的力，是因为它的质量较大。

重力场强度定义为单位质量所受的重力：

\[ g=\frac{F_g}{m}=\frac{GM}{r^2} \]

其中：

• \(g\) 是重力场强度的大小，单位为 \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) 或 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)。
• \(F_g\) 是重力的大小，单位为牛顿（\(\mathrm{N}\)）。
• \(G\) 是万有引力常数，数值为 \(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。
• \(M\) 是行星的质量，单位为公斤。
• \(m\) 是受到重力作用的物体的质量，单位为公斤。
• \(r\) 是距离行星中心的距离，单位为公尺。

请注意，计算重力场强度时，物体的质量 \(m\) 会约去。在同一位置，质量较大的物体受到较大的力，但重力场强度并不会因此改变。

重力场的方向指向行星中心。上面的方程式给出的是重力场强度的大小，因此数值为正。

2. 重力位能：行星与物体组成的系统所具有的能量

现在考虑另一个问题。假设物体从目前的位置移动到距离行星无限远的地方，并且起点和终点的速度都为零，那么需要提供多少能量？

这是一道能量问题，而不是单位质量所受的力的问题。

如果将无限远处的重力位能定义为零，则

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

符号 \(G\)、\(M\)、\(m\) 和 \(r\) 的意义与前面相同。不过，\(U\) 的单位是焦耳（\(\mathrm{J}\)）。

这个方程式与重力场强度方程式有两个重要差异：

• 重力位能取决于物体的质量 \(m\)。
• 当无限远处被定义为位能零点时，任何有限距离处的重力位能都是负值。

为什么是负值？因为在有限距离处，物体受到行星的重力束缚。若要将两者完全分离，并在到达无限远处时不保留任何动能，就必须提供能量。

如果保持物体的位置不变，将其质量加倍，重力位能的大小也会加倍。但该位置的重力场强度不会改变。

3. 区分重力位与重力位能

还有第三个有时会令人混淆的物理量：重力位，通常以 \(\phi\) 表示。

重力位是单位质量的重力位能：

\[ \phi=\frac{U}{m}=-\frac{GM}{r} \]

它的单位是 \(\mathrm{J\,kg^{-1}}\)。与 \(U\) 不同，重力位不取决于所考虑物体的质量。

这些方程式适用于质点，或适用于球对称行星外部的位置。在这些情况下，可以将行星视为其全部质量集中在中心的物体。这些方程式不考虑其他天体的重力作用。

在行星内部，外部重力场强度方程式通常不再适用。你需要知道行星内部的质量分布，才能进行计算。

03为什么两者对半径的依赖关系不同

关键在于区分局部测量量与能量变化。

重力场强度告诉你，在某个特定位置，每公斤质量受到多大的重力。它与距离的平方成反比：

\[ g\propto\frac{1}{r^2} \]

重力位能则描述行星与物体组成的系统相对于所选零点的能量。它与距离的倒数成反比：

\[ U\propto-\frac{1}{r} \]

重力位能并不是在另一种形式下测量某一点的重力。它反映的是将物体从一个位置移动到另一个位置所需的功，而这个功取决于重力在整段移动距离上所产生的作用。

当物体逐渐远离行星时，重力会按照距离平方的反比关系减弱。随著距离增加，将物体移至无限远处所需的剩余功也会减少，因此重力位能呈现与距离的一次方成反比的关系。

直接比较两者的变化

假设行星和物体保持不变，而半径增加至原来的 \(k\) 倍。根据方程式：

\[ g(kr)=\frac{g(r)}{k^2} \]

以及

\[ U(kr)=\frac{U(r)}{k}. \]

第二个关系式假设 \(U=0\) 的位置在无限远处。

例如，如果物体从 \(r\) 移动到 \(3r\)，其重力场强度的大小就会降至原来的九分之一，而重力位能则会变成原来的三分之一。

如果原本的重力位能是 \(-90\ \mathrm{J}\)，新的数值就是 \(-30\ \mathrm{J}\)，而不是 \(-10\ \mathrm{J}\)。

物体的重力位能增加了 \(60\ \mathrm{J}\)，即使该能量的大小已经减少。

04为什么重力位能会从负值一侧趋近于零

当无限远处的位能定义为零时，

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

在任何有限的正半径处，分母都是正值，而分子带有负号。因此，\(U\) 必定是负值。

随著 \(r\) 增加，\(GMm/r\) 的大小会减小。因此，重力位能会变得较不负，并从零以下逐渐趋近于零。

在这个理想化模型中，重力位能不会在任何有限距离处真正达到零。

重力场强度的符号行为不同，但其极限值相似。在任何有限半径处，重力场强度的大小都保持正值，并会随著距离增加而趋近于零。

因此，两条曲线的形状有所不同：

• \(g\) 从零以上的一侧逐渐下降至零。
• \(U\) 从零以下的一侧逐渐上升至零。

重力位能的零点是人为选定的

方程式 \(U=-GMm/r\) 将无限远处作为零点。这种选择很方便，但并不是唯一可用的选择。

假设改为将行星表面，即 \(r=R\) 处的重力位能定义为零。那么，行星外部的重力位能就变成

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

在行星表面，\(U_R(R)=0\)。在更远的位置，这个位能数值则为正值。

这并不代表重力作用发生了改变。改变的只是参考点，因此同一物体在各个位置的重力位能都会加上相同的常数。

两个位置之间的重力位能变化仍然相同，因为计算终值减去初值时，这个常数会互相抵消。

关于符号和参考点的选择，可以进一步阅读为什么行星周围的重力位能是负值。

• 无限远处为零：U∞
• 行星表面为零：U_R
• U∞ 在 R 处：−1
• U∞ 在 2R 处：−0.5
• U_R 在 R 处：0
• U_R 在 2R 处：+0.5

06常见错误

• 使用高度代替半径。 如果物体位于高于行星表面 \(h\) 的位置，应使用 \(r=R+h\)。方程式需要的是距离行星中心的距离，而不是距离地面的高度。

• 对重力位能使用反平方关系。 重力场强度遵循 \(1/r^2\)，但重力位能遵循 \(-1/r\)。半径加倍会使 \(g\) 降至原来的四分之一，并使 \(U\) 的大小减半。

• 认为物体向外移动时，重力位能会减少。 当无限远处的位能为零时，\(U\) 会变得较不负，因此其数值实际上增加了。减少的是它的大小。

• 在重力场强度方程式中加入物体的质量。 计算 \(g\) 时，测试物体的质量会约去；但在重力位能方程式中，物体的质量仍然存在。

• 将负重力位能视为绝对不变的性质。 符号取决于所选的零点参考。只要正确地改变参考点，重力位能的变化以及由此得出的物理预测仍会保持一致。

• 在行星内部使用外部区域的方程式。 此处的公式适用于球形行星外部，或质点的情况。在行星内部，重力场取决于行星内部的质量分布。

07题目与解答

问题 1

在某个半径 \(r=4R\) 处，重力场强度的大小为 \(2.4\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，而一个物体的重力位能为 \(-3.0\times10^8\ \mathrm{J}\)，其中无限远处的位能为零。

现在将同一物体移动至 \(r=8R\)。计算新的重力场强度大小和重力位能。

解答 1

新的重力场强度大小为 \(0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，重力位能则为 \(-1.5\times10^8\ \mathrm{J}\)。半径加倍会使重力场强度减至原来的四分之一，但重力位能的大小只会减半。

对于重力场强度，

\[ \begin{aligned} g_2&=g_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\[4pt] &=2.4\left(\frac{4R}{8R}\right)^2\\[4pt] &=0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

对于重力位能，

\[ \begin{aligned} U_2&=U_1\frac{r_1}{r_2}\\[4pt] &=(-3.0\times10^8)\frac{4R}{8R}\\[4pt] &=-1.5\times10^8\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

重力位能增加了 \(+1.5\times10^8\ \mathrm{J}\)。它变得较不负，即使其大小有所减少。

问题 2

一个球形行星的质量为 \(4.8\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(6.0\times10^6\ \mathrm{m}\)。一个质量为 \(750\ \mathrm{kg}\) 的探测器，被缓慢地从行星表面升高至高度等于行星半径的位置。

计算：

(a) 初始位置和最终位置的重力场强度大小；

(b) 以无限远处为位能零点时，重力位能的变化；

(c) 重力所做的功。

解答 2

重力场强度会从 \(8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\) 降至 \(2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)。重力位能增加 \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)，而重力所做的功为 \(-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)。

(a) 重力场强度

在行星表面，\(r_i=R\)。在最终位置，探测器的高度为 \(h=R\)，因此它与行星中心的距离是

\[ r_f=R+h=2R. \]

初始重力场强度为

\[ \begin{aligned} g_i&=\frac{GM}{R^2}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})} {(6.0\times10^6)^2}\\[4pt] &=8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

最终重力场强度为

\[ \begin{aligned} g_f&=\frac{GM}{(2R)^2}\\[4pt] &=\frac{g_i}{4}\\[4pt] &=2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

(b) 重力位能的变化

使用初始和最终半径：

\[ \begin{aligned} \Delta U &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})(750)} {1.2\times10^7}\\[4pt] &=+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

能量变化为正值，因为探测器向外移动，受到行星重力束缚的程度降低。

(c) 重力所做的功

重力所做的功是重力位能变化的相反数：

\[ W_{\text{重力}}=-\Delta U =-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \]

由于探测器被缓慢升高，动能没有净变化，因此外力施加者提供 \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\) 的功。

关键细节在于，最终高度是 \(R\)，但最终的中心到探测器距离是 \(2R\)。如果将高度与半径混淆，就会得到错误的结果。

问题 3

在球形行星外部的某个位置，一个质量为 \(300\ \mathrm{kg}\) 的探测器，其重力场强度大小为 \(4.0\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)，重力位能为 \(-1.2\times10^{10}\ \mathrm{J}\)。

假设无限远处的位能为零。求探测器距离行星中心的距离，以及行星的质量。

解答 3

探测器距离行星中心 \(1.0\times10^7\ \mathrm{m}\)，而行星的质量约为 \(6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)。关键在于结合两个方程式，消去未知的行星质量。

先写出两个物理量的大小：

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \qquad |U|=\frac{GMm}{r}. \]

将第二个方程式除以第一个方程式，可得

\[ \frac{|U|}{g}=mr. \]

因此，

\[ r=\frac{|U|}{mg}. \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} r&=\frac{1.2\times10^{10}} {(300)(4.0)}\\[4pt] &=1.0\times10^7\ \mathrm{m}. \end{aligned} \]

现在使用重力场强度方程式求出行星质量：

\[ M=\frac{gr^2}{G}. \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} M&=\frac{(4.0)(1.0\times10^7)^2} {6.67\times10^{-11}}\\[4pt] &=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}. \end{aligned} \]

这里有用的关系式是 \(|U|=mgr\)。当位能零点位于无限远处，而且物体位于行星外部时，这个关系式适用。它可以直接由两个方程式合并推导出来，而不需要引入新的定律。

问题 4

对于某个行星，\(GM/R=4.0\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}\)，其中 \(R\) 是行星半径。

一个质量为 \(100\ \mathrm{kg}\) 的探测器位于 \(r=2R\) 处。一本教科书将无限远处的位能定义为零，另一本则将行星表面的位能定义为零。

按照这两种定义，分别计算探测器在 \(2R\) 处的重力位能。然后计算探测器从行星表面移动至 \(2R\) 时的重力位能变化。这两本教科书是否互相矛盾？

解答 4

按照无限远处位能为零的定义，探测器在 \(2R\) 处的重力位能为 \(-2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)；按照行星表面位能为零的定义，则为 \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)。两种定义得到的重力位能变化都相同，为 \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\)。两本教科书并没有互相矛盾。

无限远处位能为零的定义

使用 \(U=-GMm/r\)：

\[ \begin{aligned} U_\infty(2R) &=-\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=-\frac{m}{2}\frac{GM}{R}\\[4pt] &=-\frac{100}{2}(4.0\times10^7)\\[4pt] &=-2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

行星表面位能为零的定义

此时，重力位能为

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

当 \(r=2R\) 时，

\[ \begin{aligned} U_R(2R) &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

重力位能的变化

无论采用哪一种定义，从行星表面移动至 \(2R\) 时，位能变化都是

\[ \begin{aligned} \Delta U &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

在 \(2R\) 处的两个位能数值相差 \(GMm/R=4.0\times10^9\ \mathrm{J}\)，因为参考点改变了。这个差值会同样影响该探测器在每个位置的位能，因此计算终值减去初值时，差值便会抵消。

这道题的陷阱在于，不能将重力位能的数值视为与参考点无关。真正决定移动探测器所需功的是重力位能的变化。

• 行星 A：g/g_s
• 行星 B：g/g_s（与 A 重叠）
• 行星 A：U/(m g_s R) = −1/x
• 行星 B：U/(m g_s R) = −2/x
• x = 1: g/g_s = 1
• x = 2: g/g_s = 0.25

问题 5

行星 A 的质量为 \(M\)，半径为 \(R\)。行星 B 的质量为 \(4M\)，半径为 \(2R\)。两颗行星都是球形，而且其他天体的重力作用可以忽略。

因此，两颗行星表面的重力场强度大小相同：

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}. \]

将两个质量均为 \(m\) 的相同探测器，分别从两颗行星的表面缓慢移动至距离各自行星中心两倍半径的位置。假设无限远处的重力位能为零。

一名学生提出以下论点：

「两个探测器开始时所处的重力场强度都是 \(g_s\)，最后都处于重力场强度为 \(g_s/4\) 的位置，因此移动每个探测器所需的功必定相同。」

评估这个论点。比较两个探测器的重力位能变化，并求出它们从各自行星表面逃逸的速度比。

解答 5

这名学生的论点不正确。将探测器从行星 B 的表面移动至该行星自身半径的两倍处，所需的外力功是行星 A 的两倍：

\[ \Delta U_A=\frac12 mg_sR, \qquad \Delta U_B=mg_sR. \]

从行星 B 表面出发的逃逸速度也比较大，是行星 A 的 \(\sqrt{2}\) 倍。

关键在于，对应位置的重力场强度相同，并不代表能量变化也相同。两颗行星的实际半径不同，因此重力在不同长度的路程上发挥作用。

步骤 1：检查重力场强度。

对于行星 A，表面重力场强度为

\[ g_{s,A}=\frac{GM}{R^2}=g_s. \]

对于行星 B，

\[ g_{s,B}=\frac{G(4M)}{(2R)^2} =\frac{GM}{R^2} =g_s. \]

两颗行星的表面重力场强度相同。

在各自行星半径的两倍处，重力场强度都是表面数值的四分之一：

\[ g_A(2R)=g_B(4R)=\frac{g_s}{4}. \]

因此，学生对起点和终点的重力场强度的判断是正确的。

步骤 2：计算行星 A 的能量变化。

探测器从 \(R\) 处出发，最后到达 \(2R\) 处。

初始重力位能为

\[ U_{A,i}=-\frac{GMm}{R}=-mg_sR. \]

最终重力位能为

\[ U_{A,f}=-\frac{GMm}{2R} =-\frac12 mg_sR. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta U_A &=U_{A,f}-U_{A,i}\\[4pt] &=-\frac12 mg_sR+mg_sR\\[4pt] &=\frac12 mg_sR. \end{aligned} \]

步骤 3：计算行星 B 的能量变化。

探测器从 \(2R\) 处出发，最后到达 \(4R\) 处。这两个距离分别是行星 A 对应距离的两倍。

初始重力位能为

\[ U_{B,i}=-\frac{G(4M)m}{2R} =-2mg_sR. \]

最终重力位能为

\[ U_{B,f}=-\frac{G(4M)m}{4R} =-mg_sR. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \Delta U_B &=U_{B,f}-U_{B,i}\\[4pt] &=-mg_sR+2mg_sR\\[4pt] &=mg_sR. \end{aligned} \]

比较两者的能量变化：

\[ \frac{\Delta U_B}{\Delta U_A} =\frac{mg_sR}{\frac12 mg_sR} =2. \]

移动行星 B 的探测器所需的功是行星 A 的两倍，因为探测器移动的径向距离是行星 A 的两倍。以各自行星半径的比例表示时，两颗行星的重力场强度曲线完全相同，但行星 B 的曲线涵盖的实际距离是两倍。功取决于整段移动过程中力的作用，而不只是起点和终点的重力场强度。

步骤 4：比较逃逸速度。

逃逸速度是物体到达无限远处时，最终动能恰好为零所需的最低初速度；此处忽略大气阻力和其他天体的作用。

根据能量守恒，初始动能必须等于初始重力位能的大小：

\[ \frac12 mv_e^2=\frac{GMm}{R}. \]

对于行星 A，

\[ v_{e,A}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} =\sqrt{2g_sR}. \]

对于行星 B，

\[ \begin{aligned} v_{e,B} &=\sqrt{\frac{2G(4M)}{2R}}\\[4pt] &=\sqrt{\frac{4GM}{R}}\\[4pt] &=\sqrt{2}\,v_{e,A}. \end{aligned} \]

行星 B 的逃逸速度较大，是行星 A 的 \(\sqrt{2}\) 倍。两颗行星的表面重力场强度相同，但行星 B 的半径较大，因此每单位质量的物体需要更多能量才能到达无限远处。

这正是两个概念之间更深层的区别：重力场强度描述特定位置的重力作用，而重力位能则反映物体在重力场中的位置所对应的系统能量。

08下一步：利用重力位能解决能量问题

掌握 \(g\) 与 \(U\) 的区别后，下一步就是判断题目要问的是某个位置的重力作用，还是物体在两个位置之间移动时转移的能量。

对于提升物体的问题，使用 \(\Delta U\) 计算能量变化。对于逃逸速度的问题，则利用能量守恒，将重力位能的增加与初始动能结合起来。这两种应用都依赖同一个原则：重力场强度描述局部的重力作用，而重力位能则追踪系统能量如何随位置改变。