HSC 物理中的位移－时间图与位移－位置图

一个波通过绳上的某一点。你记录绳子的位移，并画出一条平滑的正弦曲线。水平轴标示的可能是时间，也可能是位置。

这两种图看起来几乎可以一模一样。

这正是它们容易造成混淆的原因。

继续阅读之前，先预测一下：如果相邻两个波峰在水平轴上相距 0.80 个单位，你是否已经量到波长？

只有当水平轴表示位置时才是。如果水平轴表示时间，那么你量到的其实是周期。只看曲线形状是不够的。你必须先问：沿著图从左向右移动，实际上代表甚么？

01区分两种图的一个关键问题

当你沿著波形图从左向右移动时，问自己：

我是在不同时间观察同一个位置，还是在同一时间观察不同位置？

这就能区分两者：

两种图的纵轴都是位移。位移表示介质中的一个粒子偏离其平衡位置多远。

对绳上的横波而言，这可以表示绳子比静止位置高出或低下多少。

真正改变图表意义的是水平轴。

02位移－时间图追踪一个粒子

想像你在绳子上 \(x = 2.0\text{ m}\) 的位置涂上一个小白点。波沿著绳子传播，但你的相机一直对准这一个白点。

在 \(t=0\) 时，白点可能位于平衡位置。过了一会儿，它向上移动，到达最大位移，再回到并穿过平衡位置，接著向下移动，最后又回来。

位移－时间图记录的就是这种运动。

你问的是：

随著时间经过，这一个点的位移如何改变？

因此，水平座标是 \(t\)，以秒为单位。

从位移－时间图可以量到甚么？

最重要的量包括：

• 从纵轴读出的振幅 \(A\)
• 从水平轴读出的周期 \(T\)
• 由周期计算出的频率 \(f\)
• 粒子在某一特定时间的位移
• 由图表斜率得到的粒子速度

振幅是相对于平衡位置的最大位移大小。如果图表最高达到 \(+0.040\text{ m}\)，最低达到 \(-0.040\text{ m}\)，那么 \(A=0.040\text{ m}\)，而不是 \(0.080\text{ m}\)。

周期 \(T\) 是完成一个完整周期所需的时间。

你可以在相邻两个周期中任意两个等效点之间量度，例如：

• 一个波峰到下一个波峰
• 一个波谷到下一个波谷
• 一次向上穿过平衡位置到下一次向上穿过平衡位置

知道 \(T\) 之后，频率为

\[ f=\frac{1}{T} \]

其中：

• \(f\) 是频率，单位为赫兹，\(\text{Hz}\)
• \(T\) 是周期，单位为秒，\(\text{s}\)

频率表示每秒发生多少次完整振动。

03位移－位置图是瞬间快照

现在改变实验方式。

不要连续几秒观察同一个白点，而是在某一瞬间拍摄整条绳子的照片。

照片可能显示有些粒子位于平衡位置上方，有些在下方，还有些正好位于平衡位置。

位移－位置图表示的就是这一瞬间的快照。

你问的是：

在这一特定时刻，位移如何随位置改变？

因此，水平座标是位置 \(x\)，以米为单位。

这种图有时很容易被误读，因为它确实可能看起来就像绳上横波的实际形状。对于绳上的横波来说，这样的图像确实很有用。

但它仍然是一张位移对位置的图，而不是记录某个粒子沿著波浪形路径移动的图。

从位移－位置图可以量到甚么？

你可以判定：

• 从纵轴读出的振幅 \(A\)
• 从水平轴读出的波长 \(\lambda\)
• 某一特定位置的位移
• 不同位置粒子的相对相位
• 波在某一特定位置的空间梯度

波长 \(\lambda\) 是波中两个同相位点之间最短的距离。

对正弦波而言，方便选择的点包括：

• 一个波峰到下一个波峰
• 一个波谷到下一个波谷
• 一次向上穿过平衡位置到下一次向上穿过平衡位置

它的 SI 单位是米，\(\text{m}\)。

半个周期并不是一个波长

假设一个波峰位于 \(x=1.2\text{ m}\)，相邻的波谷位于 \(x=1.7\text{ m}\)。

很容易会认为波长是 \(0.5\text{ m}\)。

但一个波峰与相邻波谷之间只相隔半个周期。

因此，

\[ \frac{\lambda}{2}=1.7-1.2=0.5\text{ m} \]

所以

\[ \lambda=1.0\text{ m} \]

这就是为甚么在等效点之间量度通常更稳妥。

04周期和波长彼此相关，但不是同一回事

一张正弦形的位移－时间图和一张正弦形的位移－位置图，视觉上可能完全相同。

在时间图上，一个完整的水平周期代表 \(T\)。

在位置图上，一个完整的水平周期代表 \(\lambda\)。

你可以用一个稍微荒谬的比喻来想像两者的差异。

想像一排人在做观众席人浪。

位移－位置图就像在某一刻替整排人拍一张照片。你可以看见谁坐著、谁站著，以及图样中重复部分彼此相隔多远。

位移－时间图则像只拍摄其中一个人。你会看到他的高度如何随时间改变，但无法看到队伍其他位置的人彼此相隔多远。

这个比喻并不完全吻合，因为理想正弦波中的粒子是连续运动的，而不是选择「站起来」，而且真实波动也可能涉及多种粒子运动方式。不过，空间中的瞬间快照与某一位置随时间的历史之间的区别，正是这个比喻最有用的地方。

05图表的斜率意义也不同

水平轴不但改变你在波峰之间量到甚么，也改变斜率所代表的意义。

位移－时间图的斜率

如果位移是 \(y\)，其斜率为

\[ \frac{\Delta y}{\Delta t} \]

而在时间间隔非常小的极限下，

\[ \frac{dy}{dt} \]

这就是粒子沿位移方向的速度。

例如，在绳上的横波中：

• 正斜率表示粒子正在向上移动
• 负斜率表示粒子正在向下移动
• 在最大或最小位移处斜率为零，表示粒子在该瞬间静止

这是粒子速度，不是波速。

这项区别非常重要。

一个波可以快速向右传播，而某一小段绳子在同一瞬间可能只是缓慢地向上移动。

位移－位置图的斜率

现在斜率是

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

更精确地说，

\[ \frac{\partial y}{\partial x} \]

它描述在该瞬间，位移从一个位置到下一个位置改变得有多快。

它是一个空间梯度。它并不会自动等于波的速度或粒子的速度。

因此，位移－位置图很陡，并不表示「波移动得很快」。这张图没有提供可直接用来求速度的时间间隔。

06一个实用的判断规则

在 HSC Physics 题目中看到波形图时，不要一开始就量波峰之间的距离。

先读取坐标轴。

然后使用以下规则：

振幅可以从任何一种图读出，因为两者的纵轴都是位移。

对波速而言，

\[ v=f\lambda=\frac{\lambda}{T} \]

你需要同时知道空间尺度和时间尺度。一张位移－位置图可以提供空间尺度，一张位移－时间图可以提供时间尺度。

07最容易犯的错误观念：「波沿著曲线移动」

假设一张位移－位置图在 \(x=3.0\text{ m}\) 有一个波峰。

学生可能会想像，绳子上的某个粒子原本位于左边某处，之后沿著曲线向上移动，到达波峰，再继续沿著另一边向下移动。

这种解读感觉很自然，因为图看起来像是一条运动路径。

但水平座标代表的是介质中的位置，而不是某一个运动粒子在其运动过程中的水平位置。

在同一瞬间：

• 位于 \(x=2.9\text{ m}\) 的点有一个位移
• 位于 \(x=3.0\text{ m}\) 的点有另一个位移
• 位于 \(x=3.1\text{ m}\) 的点又有另一个位移

它们是不同的粒子。

对横波而言，每个粒子的运动方向主要与波的传播方向垂直。波形会穿过介质向前传播，但物质并不是简单地沿著波浪形曲线前进。

08相位能让我们更精确地比较不同位置

当两个点处于振动的相同阶段时，它们就是同相位。

对正弦行波而言，相距一个波长的粒子同相位。相距任何整数倍波长的粒子也同相位。

相距半个波长的粒子则相差 \(180^\circ\)。

因此，位移－位置图能告诉你的不只是波长。它也能帮助你比较不同位置粒子的振动状态。

例如，如果两个点相距

\[ \frac{\lambda}{4} \]

它们的相位差就是

\[ \frac{1}{4}\times360^\circ=90^\circ \]

同样的逻辑也适用于位移－时间图。相隔一个周期的两个时刻，对应振动中的相同相位。

这个对应关系值得记住：

\[ \text{空间中的一个波长} \longleftrightarrow \text{时间中的一个周期} \]

两者都代表一个完整周期，只是分别沿著不同的水平变数。

09问题与解答

问题 1

某条弦上一个点的位移－时间图中，相邻两个波谷分别出现在 \(t=0.20\text{ s}\) 和 \(t=0.70\text{ s}\)。振幅为 \(4.0\text{ cm}\)。

求周期和频率。能否只根据这张图求出波长？

解答 1

周期为 \(0.50\text{ s}\)，频率为 \(2.0\text{ Hz}\)，而且无法只根据这张图求出波长。

相邻两个波谷是相隔一个完整周期的等效点，因此

\[ T=0.70-0.20=0.50\text{ s} \]

然后

\[ f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.50} =2.0\text{ Hz} \]

振幅是 \(4.0\text{ cm}\)，但这并不能帮助我们求波长。水平轴是时间，因此这张图并没有提供沿弦方向的距离量度。

常见陷阱是把水平间距 \(0.50\) 当成波长。它的单位是秒，而不是米，所以它代表的是周期。

问题 2

一张位移－位置图显示，一个波峰位于 \(x=1.4\text{ m}\)，而相邻波谷位于 \(x=2.0\text{ m}\)。

求波长。

解答 2

波长是 \(1.2\text{ m}\)。

相邻的波峰与波谷相距半个波长，因此

\[ \frac{\lambda}{2}=2.0-1.4=0.60\text{ m} \]

所以，

\[ \lambda=2(0.60)=1.2\text{ m} \]

最容易犯的错误是把 \(0.60\text{ m}\) 当成波长。这段距离只涵盖半个周期，也就是从最大正位移到最大负位移。

问题 3

某行波的波长为 \(0.80\text{ m}\)。在某个固定位置，相邻两次向上穿过平衡位置之间相隔 \(0.25\text{ s}\)。

求此波的频率和波速。

解答 3

频率是 \(4.0\text{ Hz}\)，波速是 \(3.2\text{ m s}^{-1}\)。

相邻两次向上穿过平衡位置相隔一个完整周期，因此

\[ T=0.25\text{ s} \]

频率为

\[ f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.25} =4.0\text{ Hz} \]

使用 \(v=f\lambda\)，

\[ v=(4.0)(0.80) =3.2\text{ m s}^{-1} \]

这个结果表示波形每秒沿介质前进 \(3.2\text{ m}\)。

它并不表示介质中的某个粒子每秒沿波的传播方向移动 \(3.2\text{ m}\)。

问题 4

两张图具有相同的正弦曲线形状，而相邻波峰之间的水平数值间距都为 \(0.40\)。

图 A 的水平轴为以秒计的 \(t\)。图 B 的水平轴为以米计的 \(x\)。

一名学生说：「两张图都表示波长为 \(0.40\)，因为波长就是波峰之间的距离。」

准确解释这名学生的推理哪里有错，并说明 \(0.40\) 在每张图上分别代表甚么。

解答 4

图 A 显示的是 \(0.40\text{ s}\) 的周期，而图 B 显示的是 \(0.40\text{ m}\) 的波长。

学生所说的「波长就是波峰之间的距离」并不完整。波长是相邻两个同相位点之间的空间距离。这要求水平轴表示位置或距离。

对图 A 而言，

\[ T=0.40\text{ s} \]

因为水平移动代表在观察同一固定位置的同时，时间向前推移。

对图 B 而言，

\[ \lambda=0.40\text{ m} \]

因为水平移动代表在同一瞬间，从介质中的一个位置移到另一个位置。

两张图即使形状完全相同，也不代表同一个物理量。坐标轴的标示、变数和单位决定了图表的意义。

问题 5

在某一瞬间，一个横向行波的位移－位置图在 \(x=1.0\text{ m}\) 处穿过平衡位置，而且斜率为很大的正值。

一名学生声称：「\(x=1.0\text{ m}\) 的粒子一定正在快速向上移动，因为图很陡。」

只根据位移－位置图，这个结论是否合理？请解释。

解答 5

不合理。位移－位置图上很大的正斜率，本身并不能告诉我们该粒子正在快速向上移动。

图表的梯度是

\[ \frac{\partial y}{\partial x} \]

它描述的是在该瞬间，位移如何随位置改变。这是一个空间梯度。

粒子的垂直速度则取决于它的位移如何随时间改变：

\[ \frac{\partial y}{\partial t} \]

单靠位移－位置图并不能直接提供这个对时间的变化率。

对某一个已知的行波，如果有额外资讯，例如波的传播方向和速度，就可以在数学上把空间梯度和粒子速度联系起来。但题目所述的图本身并不包含这些资讯。

陷阱在于把任何陡峭的图都理解成「快速运动」。只有在先确认两个坐标轴分别表示甚么之后，图表的斜率才有明确意义。

问题 6

一个正弦波沿弦传播。一张位移－位置瞬间图显示波长为 \(1.5\text{ m}\)。另一张针对弦上某一点的位移－时间图显示，该点从最大正位移移动到下一个最大负位移需要 \(0.20\text{ s}\)。

一名学生把波速计算为

\[ v=\frac{1.5}{0.20}=7.5\text{ m s}^{-1} \]

指出其中隐藏的错误，并求出正确的波速。

解答 6

正确波速为 \(3.75\text{ m s}^{-1}\)。隐藏的错误是把从波峰到下一个波谷所需的时间当成一个完整周期。

粒子从最大正位移移动到下一个最大负位移，只完成了半次振动。因此，

\[ \frac{T}{2}=0.20\text{ s} \]

所以

\[ T=0.40\text{ s} \]

波长为

\[ \lambda=1.5\text{ m} \]

使用

\[ v=\frac{\lambda}{T} \]

得到

\[ v=\frac{1.5}{0.40} =3.75\text{ m s}^{-1} \]

这名学生的算术没有问题，错的是物理解读。在把数值代入波动方程之前，你必须先判断所量得的间隔代表一个完整周期、半个周期，还是其他比例的周期。

10理解这项区别之后，你可以进一步做甚么

一旦你能正确读懂这两种图，波动方程的意义就会清楚得多。

位移－时间图透过 \(T\) 或 \(f\) 提供振动的时间尺度。位移－位置图则透过 \(\lambda\) 提供空间尺度。把两者结合起来，就能得到传播速度：

\[ v=f\lambda=\frac{\lambda}{T} \]

同样地，区分某一位置随时间发生甚么变化与某一瞬间不同位置呈现甚么状态，也是理解相位差、行波、驻波和干涉的基础。