弦上的驻波：谐波与波速

拨动一条绷紧的弦，你会听到一个主要音高，尽管理论上这条弦可以用无数种不同方式振动。把弦缩短，音高会升高。把弦拉得更紧，音高又会升高。让弦变得更重，音高则会降低。

但更有意思的问题是：为甚么只有某些频率是允许的？ 为甚么一条两端固定的弦不能在你任意选择的任何频率下形成稳定的驻波？

答案来自波如何配合两个边界之间的空间。只要理解了这种几何关系，弦长、张力、质量密度和波速的影响就会自然地连系起来。

01为甚么只有某些驻波能够形成

想像你沿著一条两端固定的弦发出一个脉冲。脉冲传到弦的一端，反射后再传回来。如果波持续向两个方向传播，它们便会互相重叠。

在某些频率下，这种干涉会形成一种稳定的图样，称为驻波。某些点保持不动，这些点称为节点。相邻节点之间，有些点以最大振幅振动，这些点称为波腹。

固定的两端带来一项重要限制：

两端都必须是节点。

现在先作一个预测。假设弦长为 \(L\)。如果从弦的一端到另一端的距离是 \(0.73\lambda\)，其中 \(\lambda\) 是波长，驻波能够形成吗？

不能。固定端必须刚好位于节点，而相邻节点之间的距离是半个波长。因此，弦长必须包含整数个半波长。

对于最简单的图样，刚好容纳一个半波长：

\[ L=\frac{\lambda_1}{2} \]

所以

\[ \lambda_1=2L \]

对于下一个图样，刚好容纳两个半波长：

\[ L=2\left(\frac{\lambda_2}{2}\right)=\lambda_2 \]

对于第三个图样，刚好容纳三个半波长：

\[ L=3\left(\frac{\lambda_3}{2}\right) \]

所以

\[ \lambda_3=\frac{2L}{3} \]

一般规则是

\[ \lambda_n=\frac{2L}{n} \]

其中：

• \(\lambda_n\) 是第 \(n\) 个允许模态的波长，单位为米
• \(L\) 是弦的振动长度，单位为米
• \(n\) 是正整数：\(1,2,3,\ldots\)

这个整数条件非常重要。对于两端固定的弦，像 \(n=2.4\) 这样的数值并不代表一个允许的驻波模态。

02基频与谐波

\(n=1\) 的模态称为基频，也称为第一谐波。

较大的 \(n\) 值对应较高次的谐波。

一个很有用的想像方法，是把它看成要把完全相同的半波「波环」塞进弦中。弦的两端就像两名极其严格的门卫：每个入口都必须站著一个节点。你可以放入一个波环、两个波环、三个波环，如此类推，但不能放入两个再多一点。

这个图像有助于理解几何关系。但如果把这些波环想成彼此分离的物体，这个比喻就不再适用。弦是一个连续的整体，而驻波是由沿相反方向传播的行波互相干涉所形成的。

03把波长转换成频率

你已经知道波动方程：

\[ v=f\lambda \]

其中 \(v\) 是以米每秒表示的波速，\(f\) 是以赫兹表示的频率，而 \(\lambda\) 是以米表示的波长。

对于第 \(n\) 次谐波，

\[ f_n=\frac{v}{\lambda_n} \]

而我们刚才已得出

\[ \lambda_n=\frac{2L}{n} \]

因此，

\[ f_n=\frac{nv}{2L} \]

这是两端固定弦的第一条主要驻波方程。

它立即告诉我们，如果波速和弦长保持不变，

\[ f_n=nf_1 \]

其中

\[ f_1=\frac{v}{2L} \]

所以，第二谐波的频率是基频的两倍，第三谐波是基频的三倍，如此类推。

一个很容易出现的误解：较高次谐波代表较高的波速

第三谐波的频率是基频的三倍。这是否代表波的传播速度也是三倍？

不是。

在同一条弦上，只要张力和线质量密度相同，每一个谐波的波速都相同。第三谐波的频率是三倍，是因为它的波长缩小至三分之一：

\[ v=f\lambda \]

频率以某个倍数增加，而波长则以相同倍数缩短，所以 \(v\) 保持不变。

04甚么决定波速？

现在我们需要知道 \(v\) 是由甚么决定的。

对于理想的绷紧弦，

\[ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

其中：

• \(v\) 是横波波速，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(T\) 是弦的张力，单位为牛顿
• \(\mu\) 是线质量密度，单位为 \(\text{kg m}^{-1}\)

线质量密度的意思是每单位长度的质量：

\[ \mu=\frac{m}{L} \]

对于一段均匀、质量为 \(m\)、长度为 \(L\) 的弦，就是如此。

要小心这里的「密度」一词。\(\mu\) 并不是以 \(\text{kg m}^{-3}\) 表示的一般体积密度。它表示每一米弦中包含多少质量。

即使在计算之前，波速方程背后的物理意义也很合理。

较大的张力会在弦偏离平衡位置时提供较强的回复力，因此扰动会传播得更快。

较大的线质量密度代表需要被加速的质量更多，因此扰动会传播得较慢。

把

\[ f_n=\frac{nv}{2L} \]

与

\[ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

结合，可得关键结果：

\[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

这一条方程把允许的谐波与谐波次数、弦长、张力、线质量密度及波速连系起来。

05不用计算也能读懂方程

在拿起计算机之前，你应该已经能预测频率会如何改变。

由

\[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

可得：

这里有一个重要的预测问题。

如果你把张力加倍，频率也会加倍吗？

这听起来似乎合理。较大的张力代表波传得更快，所以或许两倍张力就代表两倍频率。

但张力位于平方根之内：

\[ f\propto\sqrt{T} \]

把张力加倍，只会令频率乘上

\[ \sqrt{2}\approx1.41 \]

而不是乘上 \(2\)。

如果只靠改变张力来把频率加倍，你需要把张力增加至原来的四倍。

08改变弦长

由

\[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

可知，当 \(n\)、\(T\) 和 \(\mu\) 保持不变时，频率与长度成反比：

\[ f_n\propto\frac{1}{L} \]

因此，把振动长度减半，所有允许频率都会加倍。

这就是为甚么缩短振动弦会产生较高的音高。

这里有一个容易忽略的小陷阱。如果你缩短的是同一条均匀弦的振动部分，它的线质量密度并不会改变。每一米弦仍然包含相同的质量。

振动部分的质量会变小，但

\[ \mu=\frac{\text{该段的质量}}{\text{该段的长度}} \]

仍然保持不变。

除非题目实际描述的是另一条具有固定质量的弦，否则不要在改变长度时错误地把该段弦的质量保持固定。

09改变质量密度

假设有两条弦，长度和张力相同，但其中一条的线质量密度是另一条的四倍。

先在计算之前预测频率的变化。

因为

\[ f\propto\frac{1}{\sqrt{\mu}} \]

把 \(\mu\) 乘以 \(4\)，会令频率除以

\[ \sqrt{4}=2 \]

因此，对相同的谐波而言，较重的弦具有一半的频率。

这也是另一个直接比例直觉会失效的地方。每米质量增加至四倍，并不会令频率变成四分之一。平方根的关系十分重要。

10离散频率的陷阱

方程

\[ f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

不只是用来计算频率。它还告诉我们，允许的频率是离散的。

假设你的计算得到

\[ n=4.6 \]

你不能因此说弦正在以「第 4.6 谐波」振动。

对理想的两端固定弦而言，

\[ n=1,2,3,\ldots \]

如果驱动器以介乎两个允许共振频率之间的频率迫使弦振动，一般不会形成与共振相对应的大振幅、稳定驻波图样。

驱动器仍然可以使弦运动。重点是，这种运动不会符合其中一个理想简正模态，即同时在两端具有节点及相应稳定驻波图样的模态。

11真实的弦没有那么完美

HSC 模型把弦视为柔软而均匀，具有恒定张力，并进行小振幅的横向运动。在这些假设下，

\[ f_n=nf_1 \]

完全成立。

真实的弦可能具有刚性、不均匀性和不完美的边界条件。因此，它们较高频率的模态可能会与基频的精确整数倍稍有偏差。

这并不表示 HSC 模型是错的。它只是告诉你这个模型作出了哪些假设，以及这些假设在甚么情况下有用。

12问题与解答

问题 1

一条两端固定的弦长 \(1.00\text{ m}\)，张力为 \(64\text{ N}\)，线质量密度为 \(4.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}\)。计算其第二谐波的频率。

解答 1

第二谐波的频率约为 \(\boxed{126\text{ Hz}}\)。

先求波速：

\[ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} =\sqrt{\frac{64}{4.0\times10^{-3}}} =\sqrt{16000} =126.5\text{ m s}^{-1} \]

对 \(n=2\)，

\[ f_2=\frac{2v}{2L} =\frac{2(126.5)}{2(1.00)} =126.5\text{ Hz} \]

因此，

\[ \boxed{f_2\approx126\text{ Hz}} \]

第二谐波在弦上包含两个半波长。在这个特定例子中，它的频率数值恰好等于波速的数值，但两者的单位和物理意义完全不同。

问题 2

一条弦在张力为 \(45\text{ N}\) 时，以某一特定谐波在 \(180\text{ Hz}\) 下振动。当张力增加至 \(80\text{ N}\) 时，弦长、线质量密度和谐波次数均保持不变。求新的频率。

解答 2

新的频率是 \(\boxed{240\text{ Hz}}\)。

因为只有张力改变，

\[ f\propto\sqrt{T} \]

所以

\[ \frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \]

代入数值：

\[ \frac{f_2}{180} = \sqrt{\frac{80}{45}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \]

因此，

\[ f_2=180\left(\frac{4}{3}\right) =240\text{ Hz} \]

即使张力增加了超过三分之一，频率只增加了三分之一。陷阱在于把频率误认为与张力成正比，而不是与张力的平方根成正比。

问题 3

一条均匀弦的振动长度为 \(0.90\text{ m}\)，该振动部分的质量为 \(5.4\text{ g}\)。弦的张力为 \(48.6\text{ N}\)，并以 \(150\text{ Hz}\) 驱动。

判断 \(150\text{ Hz}\) 是否为允许的谐波频率；如果是，指出它是哪一次谐波。

解答 3

是。\(150\text{ Hz}\) 是 \(\boxed{\text{第三谐波}}\)。

先把质量换算成公斤：

\[ 5.4\text{ g}=5.4\times10^{-3}\text{ kg} \]

线质量密度为

\[ \mu=\frac{m}{L} =\frac{5.4\times10^{-3}}{0.90} =6.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1} \]

现在求波速：

\[ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} =\sqrt{\frac{48.6}{6.0\times10^{-3}}} =\sqrt{8100} =90\text{ m s}^{-1} \]

基频为

\[ f_1=\frac{v}{2L} =\frac{90}{2(0.90)} =50\text{ Hz} \]

因此，

\[ n=\frac{f_n}{f_1} =\frac{150}{50} =3 \]

由于 \(n=3\) 是整数，

\[ \boxed{150\text{ Hz 是第三谐波}} \]

如果计算得出非整数的 \(n\)，例如 \(3.4\)，那么该频率便不是理想情况下允许的驻波频率之一。

问题 4

一条两端固定的均匀弦最初以第四谐波振动。然后，透过移动其中一个固定边界，把它的振动长度减至原来的四分之三。所使用的仍是同一条弦，而且张力保持不变。

驱动频率亦保持不变。

现在哪一次谐波（如果有）可以在原来的驱动频率下发生共振？

解答 4

原来的驱动频率现在对应 \(\boxed{\text{第三谐波}}\)。

因为使用的是同一条均匀弦，而且张力不变，所以 \(\mu\) 和 \(v\) 都保持不变。

原先，

\[ f=\frac{4v}{2L} \]

新的长度为

\[ L'=\frac{3L}{4} \]

对缩短后弦上的某一谐波 \(n'\)，

\[ f=\frac{n'v}{2L'} \]

由于驱动频率没有改变，

\[ \frac{4v}{2L} = \frac{n'v}{2(3L/4)} \]

约去 \(v\) 并化简：

\[ \frac{2}{L} = \frac{2n'}{3L} \]

所以

\[ n'=3 \]

因此，

\[ \boxed{n'=3} \]

关键的细节是：缩短弦通常会提高某一特定谐波的频率。但题目并没有要求谐波次数保持不变。由第四谐波转为第三谐波后，缩短的弦仍可在原来的频率下发生共振。

问题 5

一条两端固定的弦在以 \(250\text{ Hz}\) 驱动时形成一个具有五个波环的驻波图样。其后，弦的张力增加 \(44\%\)，而弦长、线质量密度和驱动频率均保持不变。

一名学生认为：

「波速增加了 \(20\%\)，所以波长也增加 \(20\%\)。那应该只是形成另一个驻波图样而已。」

判断在改变张力后，\(250\text{ Hz}\) 是否仍能形成精确的驻波。然后求在新张力下形成第四谐波所需的频率。

解答 5

改变张力后，在 \(250\text{ Hz}\) 下不能形成精确的谐波驻波。新张力下的第四谐波出现在 \(\boxed{240\text{ Hz}}\)。

五个波环的图样对应第五谐波，所以最初

\[ f_5=250\text{ Hz} \]

因此

\[ f_1=\frac{250}{5}=50\text{ Hz} \]

张力增加的倍数为

\[ 1.44 \]

由于

\[ v\propto\sqrt{T} \]

新的波速会乘上

\[ \sqrt{1.44}=1.20 \]

由于弦长不变，所有允许频率也会乘上 \(1.20\)。因此新的基频为

\[ f_1'=1.20(50)=60\text{ Hz} \]

在驱动频率为 \(250\text{ Hz}\) 时，所需的谐波次数将会是

\[ n=\frac{250}{60}=4.17 \]

但两端固定的弦要求

\[ n=1,2,3,\ldots \]

因此，在张力改变后，\(250\text{ Hz}\) 并不是精确的允许谐波频率。

对于第四谐波，

\[ f_4'=4f_1' =4(60) =240\text{ Hz} \]

所以

\[ \boxed{f_4'=240\text{ Hz}} \]

这名学生关于波速的推理有一部分是正确的：波速确实增加了 \(20\%\)。错误之处在于假设任何因此产生的波长都可以形成驻波。边界条件仍然要求弦内必须刚好容纳整数个半波长。

13这让你接下来可以理解甚么

弦上的驻波把两个概念结合起来：介质决定波速，而边界决定哪些波长是允许的。

对两端固定的弦而言，

\[ \boxed{\lambda_n=\frac{2L}{n}} \]

以及

\[ \boxed{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}} \]

当你进一步学习更广泛的共振现象时，同一种思考方式会十分有用。除了问「波传得有多快？」之外，你还可以再问第二个问题：边界实际允许哪些图样？

这正是从一般行波进一步理解简正模态、共振，以及弦、空气柱和许多其他振荡系统中出现的驻波图样的关键一步。