HSC 物理中的拍频：拍频如何运作

两件乐器正在尝试演奏完全相同的音。一开始听起来几乎正确，但你听到的不是稳定不变的声音，而是音量变大、变小、再变大、再变小。没有人在转动音量旋钮。那么，这种周期性的起伏究竟从哪里来？

继续阅读之前，先作一个预测。如果一件乐器产生 \(440\text{ Hz}\) 的声音，另一件产生 \(443\text{ Hz}\) 的声音，你预期每秒会听到多少次明显的响度脉动？

答案是每秒 3 个拍频脉动。这些拍频来自两个频率相近、但并不完全相同的波之间的干涉。

01为什么两个稳定的声音会产生变化的响度

先从一个比声波更容易想像的例子开始。想像两个人以几乎相同的速率拍手。

有一段时间，他们的拍手会同步。过了一会儿，其中一个人逐渐领先，于是两人的拍手变得很不同步。继续听下去，最后他们又会再次同步。

两个人都没有改变自己的拍手速率。这个不断变化的模式之所以出现，是因为他们的速率略有不同。

频率相近的两个声波也会有类似的行为。

当它们的压缩区和疏松区彼此对齐时，两个波会互相增强，合成声音的振幅较大。当一个波的压缩区与另一个波的疏松区对齐时，它们会部分抵消，产生较小的振幅。

这就是叠加：当波彼此重叠时，它们的位移会相加。

关键在于，频率略有不同的波不会一直维持相同的相位关系。它们会反复地从对齐逐渐变成不对齐，再重新对齐。

这便产生了周期性重复的振幅变化，也就是我们所说的拍频。

02拍频频率

假设两个声音的频率分别为 \(f_1\) 和 \(f_2\)，单位为赫兹。

它们的拍频频率为

\[ f_b = |f_1-f_2| \]

其中：

• \(f_b\) 是拍频频率，单位为赫兹，
• \(f_1\) 是第一个波的频率，单位为赫兹，
• \(f_2\) 是第二个波的频率，单位为赫兹。

绝对值符号很重要，因为频率不可能是负数。我们只在意两个频率之差的大小。

所以，如果两个频率分别为 \(440\text{ Hz}\) 和 \(443\text{ Hz}\)，

\[ f_b=|440-443|=3\text{ Hz} \]

你每秒会听到三个响度由大变小再变大的周期。

一个实用的记法是：

相近的频率决定声音的音高，而它们的差值决定拍频出现得有多快。

范例：求拍频频率

两个音叉分别产生 \(256\text{ Hz}\) 和 \(260\text{ Hz}\) 的频率。当它们同时发声时，所听到的拍频频率是多少？

步骤 1：求两个频率之差。

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

步骤 2：代入频率。

\[ f_b=|256-260|=4\text{ Hz} \]

步骤 3：解释结果。

拍频频率为

\[ \boxed{4\text{ Hz}} \]

因此，响度每秒会增大和减小四次。

03实际上改变的是什么？

一个常见的错误，是以为每个声源本身都在变大声和变小声。

其实不是。

每个声源都可以产生振幅恒定的波。发生变化的是两个波重叠时形成的合成波的振幅。

想像两名学生以几乎相同的速度绕著一条圆形跑道行走。有时他们会走在彼此旁边。之后，他们可能位于跑道的相对两侧。最后，速度较快的学生又会追上另一人，两人再次走到一起。

对声波而言，「走在一起」大致相当于同相，而位于相对两侧则大致相当于反相。

这个比喻有其限制。声波并不是在环形路径上移动的小物体。由于这些波以不同频率振荡，它们之间的相位关系会持续改变。

04为什么频率之差等于拍频频率

考虑频率分别为 \(100\text{ Hz}\) 和 \(103\text{ Hz}\) 的两个波。

在一秒内：

• 第一个波完成 100 个周期，
• 第二个波完成 103 个周期。

在这一秒内，第二个波比第一个波多完成三个完整周期。

每当它多出一个完整周期，两个波就会回到相同的相位关系。这表示强烈增强的模式每秒重复三次。

所以拍频频率为

\[ f_b=|103-100|=3\text{ Hz} \]

这种理解方式比单纯背公式更有用。拍频频率告诉你的是：一个波相对于另一个波累积周期差的速度有多快。

05更精确的波动描述

前面的图像已足以处理大多数拍频频率问题，但我们可以描述得更精确一些。

对于两个振幅同为 \(A\) 的波，

\[ y_1=A\cos(2\pi f_1t) \]

以及

\[ y_2=A\cos(2\pi f_2t) \]

其中 \(t\) 是以秒为单位的时间。

根据叠加原理，

\[ y=y_1+y_2 \]

利用三角恒等式，

\[ y=2A\cos\left(\pi(f_1-f_2)t\right) \cos\left(\pi(f_1+f_2)t\right) \]

不要让这条方程式掩盖背后的物理意义。

第二个余弦项快速振荡。它描述声音本身的振动，其频率位于两个原始频率的平均值附近。

第一个余弦项变化慢得多。它控制合成振幅的大小。

这种较慢的变化就是拍频的来源。

这里有一个细微之处。如果直接把第一个余弦项视为一般振荡来解读，它的振幅因子所对应的频率包含 \((f_1-f_2)/2\)。那么，为什么拍频频率不是频率差的一半？

因为只要振幅的大小变大，我们就会听到一个明显的响度峰值。包络线的正峰值和负峰值都对应于大的振荡振幅。因此，这些响度最大值以完整的频率差出现：

\[ \boxed{f_b=|f_1-f_2|} \]

理解这项差别很重要，因为它可以避免一个相当常见的差两倍错误。

06拍频周期

你也可以用相邻两个响度最大值之间的时间来描述拍频。

这就是拍频周期 \(T_b\)。

和任何周期运动一样，

\[ T_b=\frac{1}{f_b} \]

其中 \(T_b\) 的单位为秒。

所以，若拍频频率为 \(4\text{ Hz}\)，

\[ T_b=\frac{1}{4}=0.25\text{ s} \]

则每隔 \(0.25\text{ s}\) 会出现一次响度最大值。

范例：利用拍频求未知频率

一名学生把一条弦发出的声音与 \(440\text{ Hz}\) 的参考音比较。他们每秒听到 \(5\) 个拍频脉动。接著，学生把弦稍微拉紧，使其频率增加，而拍频频率下降至 \(2\text{ Hz}\)。这条弦原本的频率是多少？

步骤 1：利用原本的拍频频率。

弦的频率与 \(440\text{ Hz}\) 相差 \(5\text{ Hz}\)：

\[ |f-440|=5 \]

因此，一开始有两个可能的频率：

\[ f=435\text{ Hz} \]

或

\[ f=445\text{ Hz} \]

单靠拍频频率，无法判断未知频率高于还是低于参考频率。

步骤 2：利用拉紧弦后发生的变化。

拉紧弦会使其频率增加。

拍频频率变小，因此弦的频率一定是在向 \(440\text{ Hz}\) 靠近。

如果弦原本是 \(445\text{ Hz}\)，增加它的频率只会使它更远离 \(440\text{ Hz}\)，因此拍频频率应该变大。

所以，原本的频率一定低于 \(440\text{ Hz}\)。

步骤 3：写出原本的频率。

\[ \boxed{f=435\text{ Hz}} \]

后来的观察解除了只靠拍频频率方程式无法判定的歧义。

这是处理 HSC 题目时很重要的习惯：不要在把数字代入公式后就停下来。还要检查实际的物理变化告诉了你什么。

07利用拍频调音

拍频之所以有用，是因为慢速的拍频比两个高频之间很小的频率差更容易察觉。

假设一个参考声源恰好产生 \(500\text{ Hz}\)。

如果另一个声源产生 \(506\text{ Hz}\)，你会听到

\[ f_b=|506-500|=6\text{ Hz} \]

当你把未知声源逐渐调整至接近 \(500\text{ Hz}\) 时，拍频会逐渐变慢：

\[ 6\text{ Hz}\rightarrow4\text{ Hz}\rightarrow2\text{ Hz}\rightarrow1\text{ Hz} \]

当两个频率变得相等时，

\[ f_b=|500-500|=0 \]

拍频就会消失。

因此，实际调音时的规则很简单：

对最后一列要特别小心。听不到拍频，并不能证明两个真实声源在数学上具有完全相同的频率。它只表示任何剩余的频率差都小到无法在观察期间产生可侦测的拍频。

08最容易出现的误解：把频率相加或取平均

假设两个声源分别产生 \(700\text{ Hz}\) 和 \(704\text{ Hz}\)。

学生可能会先取平均：

\[ \frac{700+704}{2}=702\text{ Hz} \]

这个数值并不是毫无用途。它接近快速振荡的合成声音所对应的频率。

但它不是拍频频率。

拍频频率描述的是振幅的慢速变化：

\[ f_b=|704-700|=4\text{ Hz} \]

因此，这里其实有两个不同的概念：

• 各个波每秒振荡数百次，
• 合成声音的响度每秒只改变四次。

不要把振动的速率与振幅模式重复的速率混为一谈。

09拍频需要相近的频率

从数学上来说，不同频率的波仍然可以互相干涉。

但我们熟悉的缓慢「哇-哇-哇」拍频效果，在两个频率彼此接近时最为明显。如果频率差变得很大，耳朵可能会开始把两个频率分开辨认，而不是听成一个响度缓慢起伏的单一音高。

在 HSC 有关拍频的计算中，通常采用的模型是两个相近的频率，并使用

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

因此，「相近」这个词并不是多余的。它说明了这条方程式所描述的是哪一种物理情况。

10两个波需要有相同的振幅吗？

不需要。

只要频率相近，即使两个波的振幅不同，仍然可以产生拍频。

相同振幅会使拍频效果特别明显，因为相消干涉可以使合成振幅变得非常小。如果其中一个波远比另一个强，响度仍然会周期性改变，但最小值不会降得那么低。

拍频频率仍然由

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

决定。

改变振幅会改变拍频有多明显，但不会改变拍频出现的频率。

11问题与解答

问题 1

两个声源的频率分别为 \(315\text{ Hz}\) 和 \(321\text{ Hz}\)。求拍频频率以及相邻两次拍频之间的时间。

解答 1

拍频频率为 \(\boxed{6\text{ Hz}}\)，相邻两次拍频之间相隔约 \(\boxed{0.167\text{ s}}\)。

拍频频率等于两个声源频率之差：

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

代入：

\[ f_b=|321-315|=6\text{ Hz} \]

拍频周期为

\[ T_b=\frac{1}{f_b} =\frac{1}{6} =0.167\text{ s} \]

因此，合成声音约每隔 \(0.167\text{ s}\) 达到一次响度最大值。

问题 2

一个 \(500\text{ Hz}\) 的参考音与一个未知音同时播放。相邻的响度最大值相隔 \(0.20\text{ s}\)。

求未知音可能的频率。

解答 2

未知频率可能是 \(\boxed{495\text{ Hz}}\) 或 \(\boxed{505\text{ Hz}}\)。

先利用拍频周期求拍频频率：

\[ f_b=\frac{1}{T_b} =\frac{1}{0.20} =5.0\text{ Hz} \]

因此，未知频率与 \(500\text{ Hz}\) 必须相差 \(5\text{ Hz}\)：

\[ |f-500|=5 \]

所以，

\[ f=500-5=495\text{ Hz} \]

或

\[ f=500+5=505\text{ Hz} \]

这里最重要的陷阱，是以为拍频频率能告诉你哪个声源的频率较高。事实并非如此。要消除这个歧义，还需要第二项观察。

问题 3

一条弦与一个 \(600\text{ Hz}\) 的参考振荡器同时发声时，每秒产生 \(4\) 个拍频脉动。接著，弦的张力稍微增加。它的频率因此增加，而拍频频率起初变成 \(6\text{ Hz}\)。

这条弦原本的频率是 \(596\text{ Hz}\) 还是 \(604\text{ Hz}\)？请解释。

解答 3

这条弦原本的频率是 \(\boxed{604\text{ Hz}}\)。

一开始的拍频频率为 \(4\text{ Hz}\)，因此有两种可能：

\[ |f-600|=4 \]

所以

\[ f=596\text{ Hz} \]

或

\[ f=604\text{ Hz} \]

增加张力会提高弦的频率。

如果弦一开始的频率是 \(596\text{ Hz}\)，提高其频率会先使它靠近 \(600\text{ Hz}\)。频率差会减小，因此拍频频率也应该减小。

但实际上，拍频频率从 \(4\text{ Hz}\) 增加到 \(6\text{ Hz}\)。因此，弦的频率原本一定已高于参考频率，之后又进一步远离它。

所以，弦的初始频率为

\[ \boxed{604\text{ Hz}} \]

关键不在算术，而在于把频率改变的方向与所观察到的拍频频率变化连结起来。

问题 4

两个扬声器分别产生 \(800\text{ Hz}\) 和 \(803\text{ Hz}\) 的频率。扬声器 A 的振幅比扬声器 B 大得多。

一名学生声称：「因为两者的振幅不相等，所以拍频频率会小于 \(3\text{ Hz}\)。」

评估这项说法。

解答 4

这项说法不正确。拍频频率仍然是 \(\boxed{3\text{ Hz}}\)。

拍频频率取决于两个频率之差：

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

代入：

\[ f_b=|803-800|=3\text{ Hz} \]

振幅不相等会影响拍频的深度。由于较强的波无法被较弱的波完全抵消，因此合成振幅的最小值不会像两个等振幅波那样降得那么低。

然而，相对相位仍然以相同的速率重复。因此，拍频频率仍为 \(3\text{ Hz}\)。

这个误解来自把两个不同的性质混为一谈：振幅决定变化有多强烈，而频率差决定这种变化重复得有多快。

问题 5

一个 \(450\text{ Hz}\) 的参考音与一个未知音产生每秒 \(2\) 个拍频脉动。接著持续调整未知声源，使其频率增加。拍频频率先下降到零，之后又开始增加。

解释未知频率发生了什么变化，并求出它的初始频率。

解答 5

未知声源一开始的频率为 \(\boxed{448\text{ Hz}}\)，之后增加到 \(450\text{ Hz}\)，再继续上升至高于 \(450\text{ Hz}\)。

一开始，

\[ |f-450|=2 \]

所以可能的频率为

\[ f=448\text{ Hz} \]

或

\[ f=452\text{ Hz} \]

题目告诉我们，未知频率正在增加。

拍频频率起初减小。因此，未知频率一开始一定是在向 \(450\text{ Hz}\) 靠近。只有当它从参考频率以下开始，也就是

\[ \boxed{448\text{ Hz}} \]

时，才有可能出现这种情况。

当未知频率达到 \(450\text{ Hz}\) 时，

\[ f_b=|450-450|=0 \]

因此拍频消失。

调整仍然持续，所以未知频率继续升至 \(450\text{ Hz}\) 以上。此后，两个频率之差再次开始增加，因此拍频频率也开始增加。

一个很容易犯的错误，是以为拍频频率变成零就代表调整一定停止了。事实并非如此。零拍频只表示两个频率相等的那一瞬间。如果未知频率继续改变，拍频就会再次出现。

12拍频之后的概念

拍频是更广泛概念–叠加–的一个特定结果。

一旦你能想像两个相近频率的波如何反复地由同相逐渐变成不同相，再重新变成同相，干涉就不再那么难以理解。同一原理也有助于解释相长干涉与相消干涉、驻波、共振测量，以及为什么实验人员不必直接测量每个很高的频率，也能侦测极小的频率差。

方程式

\[ f_b=|f_1-f_2| \]

很简短。真正重要的物理意义，是理解这个差值代表什么：它量度两个几乎相同的波失去相同相位关系、之后再重新恢复相同相位关系的速度。