多普勒效应：HSC 物理中的频率变化

救护车鸣著警笛从你身旁驶过。就在它到达你身旁之前，音调很高；刚驶过之后，音调却突然降低。警笛的设定并没有改变，那么究竟是甚么改变了？

在继续阅读之前，先作一个预测：救护车向你驶近时，声音本身的传播速度会变快吗？

不会。在静止的空气中，声速主要由空气的性质决定，而不是由声源移动得多快决定。救护车改变的是另一件事：声波之间的间距，以及声波抵达你的频率。这种观察到的频率改变，就是多普勒效应。

01先从波前开始，而不是公式

想像一个静止的扬声器发出稳定的音调。每一个周期都会在空气中产生一次新的压缩。这些压缩以声速向外传播。

如果扬声器每秒发出 \(500\) 个周期，它的频率就是 \(500\ \text{Hz}\)。相邻两个周期之间的时间就是周期：

\[ T = \frac{1}{f} \]

其中：

• \(T\) 是以秒为单位的周期，
• \(f\) 是以赫兹（\(\text{Hz}\)）为单位的频率。

在一个周期产生的过程中，前一个波前已经在空气中向前移动了一段距离。这就决定了波长：

\[ v = f\lambda \]

其中：

• \(v\) 是以 \(\text{m s}^{-1}\) 为单位的波速，
• \(f\) 是以 \(\text{Hz}\) 为单位的频率，
• \(\lambda\) 是以米为单位的波长。

对于静止的声源和静止的观察者，不会发生任何特别的情况。观察者接收到波前的速率，与声源产生波前的速率相同。

现在让声源或观察者其中一方移动。这两种情况看起来相似，但在物理上并不完全相同。

02当观察者移动时

假设扬声器保持静止，但你向它跑去。

空气中的波长不会改变。声源仍然在相同的位置，以相同的方式产生波前。改变的是，你主动移向迎面而来的波前，因此你遇到波前的频率更高。

想像你走向一排彼此相距一米站立的人。人与人之间的间距不会因为你在走动而改变。你只是每秒经过更多人而已。

当然，声波的波前并不是站著不动的人。它们是在介质中传播的扰动。这个类比的用途，只是帮助我们理解：观察者可以改变与波前相遇的速率，而不改变空气中原本已存在的波长。

如果观察者以速度 \(v_o\) 向声源移动，那么波前相对于观察者的有效接近速率便以 \(v + v_o\) 为基础。

由于

\[ f_{\text{obs}} = \frac{\text{遇到波前的速率}}{\text{波长}}, \]

因此可得

\[ f_{\text{obs}} = \frac{v+v_o}{\lambda} = f_s\frac{v+v_o}{v} \]

其中：

• \(f_{\text{obs}}\) 是观察到的频率，
• \(f_s\) 是声源发出的频率，
• \(v\) 是声音在介质中的传播速度，
• \(v_o\) 是观察者朝向声源的速度。

如果观察者远离声源，则 \(v_o\) 为负值。观察者每秒遇到的波前较少，因此观察到的频率会降低。

03当声源移动时

现在让观察者保持静止，并让声源向观察者移动。

这次发生的情况有所不同。声源产生一个波前后，会先向前移动一段距离，才产生下一个波前。这使声源前方相邻的波前距离变得更近。

假设声源的周期为 \(T\)。在一个周期内：

• 第一个波前移动的距离为 \(vT\)，
• 声源向前移动的距离为 \(v_sT\)。

因此，声源前方相邻波前之间的距离为

\[ \lambda' = vT-v_sT \]

提出公因式后得

\[ \lambda' = (v-v_s)T \]

而因为 \(T=1/f_s\)，

\[ \lambda' = \frac{v-v_s}{f_s} \]

观察者是静止的，所以波前以速度 \(v\) 经过观察者。因此，

\[ f_{\text{obs}} = \frac{v}{\lambda'} = f_s\frac{v}{v-v_s} \]

接近中的声源会使 \(v-v_s\) 变小，因此观察到的频率会变大。

如果声源正在远离，我们把 \(v_s\) 视为负值。分母会变大，而观察到的频率会降低。

04同时考虑声源和观察者的运动

如果声源和观察者都沿著连接两者的直线移动，我们便要把两种效应结合起来：

\[ \boxed{ f_{\text{obs}} = f_s \frac{v+v_o}{v-v_s} } \]

使用以下正负号规则：

不要用「向左」或「向右」来决定正负号。应该根据靠近还是远离来判断。

这样在图示方向反转时会安全得多。

05为甚么只看「相对速度」并不足够

一个很容易让人接受的想法是：

如果声源和观察者以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度彼此接近，应该不重要究竟是哪一方在移动。

这听起来很合理，但对声音而言并不完全正确。

假设 \(v=340\ \text{m s}^{-1}\)。

如果是观察者以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度接近一个静止声源，频率的倍数为

\[ \frac{340+20}{340} = 1.0588 \]

如果是声源以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度接近一个静止观察者，倍数为

\[ \frac{340}{340-20} = 1.0625 \]

两者很接近，但并不相同。

为甚么？

因为声音是在介质中传播的。

观察者移动时，改变的是观察者遇到既有波前排列的速率。

声源移动时，改变的是波前本身的间距。

这个分别是多普勒效应题目中最重要的概念之一。

06当声源从你身旁经过时，实际上改变了甚么？

回到救护车的例子。

当它接近时：

• 声源在两次发声之间向前移动，
• 它前方的波前被压缩，
• 波长变短，
• 你接收到波前的频率更高，
• 观察到的频率较高。

当它驶过之后：

• 声源正在远离，
• 接连到达你的波前间距变得较大，
• 波长变长，
• 你接收到波前的频率较低，
• 观察到的频率较低。

每一道声波在静止空气中的传播速度并没有突然降低。

因此，说「接近中的声音传得更快」会形成错误的物理概念。

07计算前先快速检查正负号

在使用公式之前，先预测答案应该高于还是低于发出的频率。

如果声源和观察者正在彼此接近，通常应该预期观察到的频率较高。

如果两者正在彼此分离，通常应该预期观察到的频率较低。

然后再查看公式：

\[ f_{\text{obs}} = f_s \frac{v+v_o}{v-v_s} \]

对于接近运动：

• \(v_o>0\) 使分子变大，
• \(v_s>0\) 使分母变小。

两者都会提高 \(f_{\text{obs}}\)。

对于分离运动：

• \(v_o<0\) 使分子变小，
• \(v_s<0\) 使分母变大。

两者都会降低 \(f_{\text{obs}}\)。

如果计算出的答案与你的物理预测不一致，先检查正负号，再做其他处理。

08公式有其适用限制

看看声源项：

\[ f_{\text{obs}}=f_s\frac{v}{v-v_s} \]

当一个接近中的声源速度愈来愈接近声速时，\(v-v_s\) 会变得非常小。公式会预测声源前方的波长极短，而观察到的频率极高。

如果 \(v_s=v\) 呢？

分母会变成零。

这不代表观察者真的会听到无限高频率的声音。这表示我们用来描述分离且稳定到达之波前的简单模型，已经到达其适用极限。

在声速下，接连产生的扰动会堆叠在一起。对于超音速运动，声源会追过自己较早产生的一部分波前，形成冲击波的波形，而不是简单多普勒公式所假设的普通次音速波形。

因此，分母趋近于零是在提醒我们要思考背后的物理，而不是让我们写下「无限大 Hz」。

09问题与解答

问题 1

一个静止的警报器发出 \(520\ \text{Hz}\) 的频率。一名观察者以 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 的速度直接向它跑去。声速为 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

计算观察到的频率。

解答 1

观察到的频率约为 \(\boxed{538\ \text{Hz}}\)。

声源是静止的，而观察者向它移动，因此 \(v_o=+12\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(v_s=0\)。

使用

\[ f_{\text{obs}} = f_s\frac{v+v_o}{v-v_s}, \]

可得

\[ \begin{aligned} f_{\text{obs}} &=520\left(\frac{340+12}{340}\right)\\ &=520\left(\frac{352}{340}\right)\\ &=538.35\ \text{Hz} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{f_{\text{obs}}\approx538\ \text{Hz}} \]

结果高于 \(520\ \text{Hz}\)，正如预期，因为观察者正在移向迎面而来的波前。

问题 2

一辆小车载著一个发出 \(900\ \text{Hz}\) 声音的蜂鸣器。小车以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向一名学生移动。学生则以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度远离小车。

取声速为 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

计算学生听到的频率。

解答 2

学生听到的频率约为 \(\boxed{939\ \text{Hz}}\)。

声源向观察者移动，因此

\[ v_s=+18\ \text{m s}^{-1} \]

观察者远离声源，因此

\[ v_o=-4.0\ \text{m s}^{-1} \]

使用多普勒公式，

\[ \begin{aligned} f_{\text{obs}} &=f_s\frac{v+v_o}{v-v_s}\\ &=900\left(\frac{340-4.0}{340-18}\right)\\ &=900\left(\frac{336}{322}\right)\\ &=939.13\ \text{Hz} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{f_{\text{obs}}\approx939\ \text{Hz}} \]

观察者远离会倾向使频率降低，而声源接近则会倾向使频率升高。在这个情况中，声源造成的效应较强，因此整体观察到的频率高于 \(900\ \text{Hz}\)。

问题 3

在两个实验中都使用了 \(700\ \text{Hz}\) 的声音。取声速为 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

在实验 A 中，声源静止，而观察者以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向它移动。

在实验 B 中，观察者静止，而声源以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向观察者移动。

计算每个实验中的观察频率，并判断两个频率是否相等。

解答 3

两个频率不相等。实验 A 约为 \(\boxed{762\ \text{Hz}}\)，而实验 B 约为 \(\boxed{768\ \text{Hz}}\)。

对于实验 A，只有观察者移动：

\[ \begin{aligned} f_A &=700\left(\frac{340+30}{340}\right)\\ &=761.76\ \text{Hz} \end{aligned} \]

所以

\[ \boxed{f_A\approx762\ \text{Hz}} \]

对于实验 B，只有声源移动：

\[ \begin{aligned} f_B &=700\left(\frac{340}{340-30}\right)\\ &=767.74\ \text{Hz} \end{aligned} \]

所以

\[ \boxed{f_B\approx768\ \text{Hz}} \]

一个很容易犯的错误，是认为两个实验的接近速度都是 \(30\ \text{m s}^{-1}\)，所以它们必定产生相同的多普勒频移。

但事实并非如此。观察者移动会改变遇到既有波前的速率；声源移动则会改变介质中产生的波长。这两种改变在物理上并不相同，因此 \(v_o\) 和 \(v_s\) 会出现在公式的不同位置。

问题 4

一个声源以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 的速度直接向一名观察者移动。观察者本身也可以移动。

观察者必须以甚么速度移动，才能使观察到的频率刚好等于声源发出的频率？假设两者都在静止空气中沿同一直线移动。

解答 4

观察者必须以 \(\boxed{20\ \text{m s}^{-1}}\) 的速度远离声源。

要使观察到的频率与发出的频率相等，

\[ f_{\text{obs}}=f_s \]

因此，多普勒公式中的倍数必须等于 \(1\)：

\[ \frac{v+v_o}{v-v_s}=1 \]

所以，

\[ v+v_o=v-v_s \]

消去 \(v\) 后得

\[ v_o=-v_s \]

声源速度为

\[ v_s=+20\ \text{m s}^{-1} \]

所以

\[ v_o=-20\ \text{m s}^{-1} \]

因此，观察者必须以

\[ \boxed{20\ \text{m s}^{-1}} \]

的速度远离声源。

这在物理上也合理。如果声源和观察者以相同速度向同一方向移动，它们之间的距离会保持不变。声源会压缩其前方的波前，但观察者沿著这个波前排列远离的速率，恰好可以抵消频率增加的效果。

问题 5

一个声源在接近静止观察者的同时，发出 \(500\ \text{Hz}\) 的音调。

声速为 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。

先计算声源以 \(330\ \text{m s}^{-1}\) 移动时，普通多普勒公式所预测的频率。然后解释当声源速度接近 \(340\ \text{m s}^{-1}\) 时，公式会发生甚么情况，以及这是否代表实际的物理频率会变成无限大。

解答 5

在 \(330\ \text{m s}^{-1}\) 时，公式预测的频率为 \(\boxed{17\,000\ \text{Hz}}\)。当声源速度接近声速时，普通公式会失效。这不代表真实的观察者会接收到无限高频率的声音。

对于静止的观察者，

\[ f_{\text{obs}} = f_s\frac{v}{v-v_s} \]

代入 \(f_s=500\ \text{Hz}\)、\(v=340\ \text{m s}^{-1}\) 和 \(v_s=330\ \text{m s}^{-1}\)，

\[ \begin{aligned} f_{\text{obs}} &=500\left(\frac{340}{340-330}\right)\\ &=500\left(\frac{340}{10}\right)\\ &=17\,000\ \text{Hz} \end{aligned} \]

这个非常大的结果，是因为模型预测声源前方的波长会变得极短。

如果把 \(v_s\) 增加到刚好 \(340\ \text{m s}^{-1}\)，分母会变成

\[ 340-340=0 \]

因此公式将没有定义。

容易掉入的陷阱，是把这个没有定义的结果当成字面上的无限频率。这个公式假设次音速声源产生的是一连串彼此分离的普通波前。在声速下，波前会堆叠起来。一旦声源进入超音速状态，就必须改为考虑冲击波的行为。数学上的失效是在告诉我们，简单模型背后的假设已经不再成立。

10这个概念接下来能带你理解甚么

从多普勒效应题目中最值得养成的习惯，不是死记正号和负号应该放在哪里，而是思考运动在物理上究竟改变了甚么。

观察者的运动改变的是遇到波前的速率。声源的运动改变的是波前之间的间距。

一旦牢固掌握这个分别，多普勒效应的计算就更容易检查，而频率偏移这个相同的基本概念，也可以延伸到科学家利用波来推断运动的其他情况。对电磁波而言，细节会有所不同，因为光的行为不像在空气中传播的声音，但核心的测量仍然非常有用：观察到的频率变化，可以揭示你无法直接测量的运动。