折射率：在 HSC 物理中使用 n = c/v

一个雷射脉冲先穿过 30 cm 的真空，再穿过 30 cm 的玻璃。哪一段需要较长时间？

玻璃那一段需要较长时间。光在玻璃中仍然传播得非常快，但没有在真空中那么快。折射率是一个数值，用来表示光在某种材料中的传播速度，比起在真空中的速度慢了多少。

在看方程式之前，先作一个预测。假设材料 A 的折射率是 \(1.3\)，材料 B 的折射率是 \(1.8\)。光在哪一种材料中传播得较快？

材料 A。折射率越大，光速越低。以下方程式会清楚显示原因。

01从比较速度开始

在真空中，光的传播速度为

\[ c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1} \]

其中 \(c\) 是光在真空中的速度。

现在想像光进入玻璃。它的速度变成 \(v\)，其中 \(v\) 是光在该特定介质中的速度。

折射率就是比较这两个速度：

\[ n = \frac{c}{v} \]

其中：

• \(n\) 是介质的折射率
• \(c\) 是光在真空中的速度，\(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是光在介质中的速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)

这个方程式其实是在问：

真空中的光速是光在这种材料中速度的多少倍？

如果光在某种玻璃中的速度是 \(2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)，那么

\[ n = \frac{3.00 \times 10^8}{2.00 \times 10^8} = 1.50 \]

所以，真空中的光速是光在这种玻璃中速度的 1.50 倍。

请注意，\(n\) 没有单位。分子和分母都是速度，因此单位会互相约掉。

02为甚么折射率越大，光速越低

方程式

\[ n = \frac{c}{v} \]

显示 \(n\) 和 \(v\) 之间存在反比关系。

由于 \(c\) 是常数，当 \(n\) 增加时，\(v\) 必须减小。

把方程式重新排列后，这一点会更清楚：

\[ v = \frac{c}{n} \]

假设一种材料的 \(n=1.2\)，另一种材料的 \(n=1.5\)。

当 \(n=1.2\) 时，

\[ v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.2} = 2.50 \times 10^8\ \text{m s}^{-1} \]

当 \(n=1.5\) 时，

\[ v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.5} = 2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1} \]

折射率较高的材料，光速较低。

一个有用的想像方式，是把它想成跑步者在不同表面上前进。真空就像能让跑步者达到最快速度的跑道。折射率较大的材料，就像一种令跑步者每秒前进距离较短的表面。

不过，这个类比有其限制。光并不是因为摩擦而真的被「拖慢」，光子也不是在玻璃中跑到疲倦的小跑步者。折射率描述的是电磁波如何在材料中传播。对 HSC 的计算而言，重要的结果是：光在介质中的传播速度低于 \(c\)。

03\(n=1\) 代表甚么？

把 \(n=1\) 代入

\[ v = \frac{c}{n} \]

便得到

\[ v=c \]

因此，真空的折射率为 \(1\)。

对一般透明材料而言，折射率大于 \(1\)，所以光速低于 \(c\)。

例如，如果某种材料的 \(n=1.50\)，

\[ v=\frac{c}{1.50} \]

因此，光在其中的速度是真空光速的三分之二。

这一点值得理解，而不是只靠背诵。折射率为 \(1.50\) 并不表示光以光速的 1.50 倍传播，而是表示真空中的光速是光在材料中速度的 1.50 倍。

05小心「光变慢」这种说法

在 HSC 程度，说光在介质中传播得较慢，对你需要计算的物理量而言既实用也正确。

不过，有一个细节值得弄清楚。你不应想像一条光线在穿越边界时，因为速度变慢而以某种方式失去能量。

当光进入透明介质时：

• 它的频率保持不变
• 它的传播速度改变
• 因此，它的波长也会改变

任何波的速度关系式为

\[ v=f\lambda \]

其中 \(f\) 是以赫兹为单位的频率，而 \(\lambda\) 是以米为单位的波长。

如果 \(v\) 减小，而 \(f\) 保持不变，那么 \(\lambda\) 也必须减小。

这把折射率与更广泛的折射主题连系起来。当光以一定角度进入新的介质时，正是这种速度改变最终导致传播方向改变。

06最容易令人误解的地方

学生看到 \(n=1.6\)，便想：「这种材料一定会令光传播得快 1.6 倍。」

这听起来似乎合理，因为较大的数字通常让人联想到「更多」。但看看 \(v\) 出现在哪里：

\[ n=\frac{c}{v} \]

介质中的速度位于分母。

较小的 \(v\) 会令分数变大。因此：

即使题目不需要计算，这也提供了一条很有用的比较规则。

如果钻石的折射率高于水，你可以立即得出结论：光在钻石中的传播速度比在水中慢。

08不用把所有数值都算出来，也能比较两种材料

假设介质 X 的 \(n=1.40\)，介质 Y 的 \(n=1.70\)。

哪一种介质中的光速较低？

你可以把两个速度都算出来，但其实没有必要。由于

\[ v=\frac{c}{n}, \]

较大的 \(n\) 会对应较小的 \(v\)。

所以，光在介质 Y 中传播得较慢。

你甚至可以直接比较两者的速度：

\[ v_X=\frac{c}{1.40} \]

以及

\[ v_Y=\frac{c}{1.70} \]

因此，

\[ \frac{v_X}{v_Y} = \frac{c/1.40}{c/1.70} = \frac{1.70}{1.40} \approx1.21 \]

光在 X 中的传播速度约为在 Y 中的 \(1.21\) 倍。

这种反比关系在较难的题目中特别有用，因为它让你在拿出计算机之前，就能先根据折射率进行推理。

09折射率可以取决于波长

把一种材料视为只有一个固定折射率，通常是很有用的初步模型，但这并不是完整的情况。

对许多透明材料而言，折射率会随波长稍微改变。因此，不同波长的可见光在同一种材料中可以有略为不同的传播速度。

这种效应称为色散。它有助于解释为甚么棱镜能把白光分离成不同颜色。

不过，如果一道题目只给你一个 \(n\) 值，就应使用题目提供的数值来处理所考虑的光。除非题目提供了需要作额外修正的资料，否则不要自行加入额外修正。

10问题与解答

问题 1

光在一种透明聚合物中的传播速度为 \(2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。计算其折射率。

解答 1

折射率为 \(\boxed{1.25}\)。

使用

\[ n=\frac{c}{v} \]

其中 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(v=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)：

\[ n = \frac{3.00\times10^8}{2.40\times10^8} = 1.25 \]

速度的单位互相约掉，因此折射率没有单位。折射率大于 \(1\)，与光在聚合物中的传播速度比在真空中慢的情况一致。

问题 2

一种透明晶体的折射率为 \(1.80\)。计算光在晶体中的传播速度。

解答 2

光在晶体中的传播速度为 \(\boxed{1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}}\)。

从

\[ n=\frac{c}{v} \]

开始，并重新排列：

\[ v=\frac{c}{n} \]

代入数值：

\[ v = \frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.80} = 1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1} \]

结果小于 \(c\)，这与折射率 \(n>1\) 的材料所预期的情况一致。

问题 3

两种透明材料 P 和 Q 的折射率分别为 \(1.25\) 和 \(1.50\)。

一名学生声称：「Q 的折射率大了 20%，所以光在 Q 中一定快 20%。」

解释这个错误，并计算光在两种材料中的速度。

解答 3

这名学生的结论刚好相反：光在 Q 中传播得较慢，因为 Q 的折射率较大。

折射率和速度的关系为

\[ v=\frac{c}{n}, \]

所以两者呈反比。

对 P 而言：

\[ v_P = \frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.25} = 2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1} \]

对 Q 而言：

\[ v_Q = \frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.50} = 2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1} \]

因此，

\[ \boxed{v_P=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}} \]

以及

\[ \boxed{v_Q=2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}} \]

陷阱在于把折射率误当成与速度成正比。实际上并不是。在 \(v=c/n\) 中，分母 \(n\) 越大，速度就越小。

另外，折射率增加 20% 并不代表速度会降低 20%。两者是反比关系，不能直接用百分比相减。

问题 4

一条 \(6.00\ \text{m}\) 的光学路径由 \(3.00\ \text{m}\) 的材料 A 和接著的 \(3.00\ \text{m}\) 材料 B 组成。它们的折射率分别为 \(1.20\) 和 \(1.80\)。

计算光穿过这两段所需的总时间。

解答 4

总传播时间为 \(\boxed{3.00\times10^{-8}\ \text{s}}\)。

重要概念是，光在每一段中的速度不同，因此不能把整段 \(6.00\ \text{m}\) 距离当作具有同一个折射率来处理。

对材料 A：

\[ v_A = \frac{c}{n_A} = \frac{3.00\times10^8}{1.20} = 2.50\times10^8\ \text{m s}^{-1} \]

其传播时间为

\[ t_A = \frac{d_A}{v_A} = \frac{3.00}{2.50\times10^8} = 1.20\times10^{-8}\ \text{s} \]

对材料 B：

\[ v_B = \frac{c}{n_B} = \frac{3.00\times10^8}{1.80} = 1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1} \]

其传播时间为

\[ t_B = \frac{d_B}{v_B} = \frac{3.00}{1.67\times10^8} = 1.80\times10^{-8}\ \text{s} \]

因此，

\[ t_{\text{total}} = t_A+t_B = 1.20\times10^{-8}+1.80\times10^{-8} = 3.00\times10^{-8}\ \text{s} \]

所以，

\[ \boxed{t_{\text{total}}=3.00\times10^{-8}\ \text{s}} \]

即使两段长度相同，折射率较高的第二段仍会占用较多传播时间，因为光在那里传播得较慢。

问题 5

一名学生测得光在某种未知透明材料中的速度为 \(1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。他把其折射率报告为 \(0.50\)，理由是光的速度是真空光速的一半。

指出错误，并求出正确的折射率。

解答 5

正确的折射率是 \(\boxed{2.00}\)，而不是 \(0.50\)。

这名学生把比值颠倒了。

折射率的定义是

\[ n=\frac{c}{v}, \]

而不是 \(v/c\)。

代入测得的速度：

\[ n = \frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}} {1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}} = 2.00 \]

介质中的光速是真空光速的一半，意味著真空光速是介质中光速的两倍。这正是 \(n=2.00\) 所表示的意思。

一个有用的检查方法是：对一般透明介质而言，如果光在其中的传播速度低于 \(c\)，就应有 \(n>1\)。因此，学生所得的 \(0.50\) 应该会令人怀疑。

问题 6

两块板的厚度相同。板 R 的折射率为 \(1.40\)，板 S 的折射率为 \(1.60\)。

一个光脉冲穿过板 R 需要 \(7.00\ \text{ns}\)。在不先计算任何一块板厚度的情况下，求光脉冲穿过板 S 所需的时间。

解答 6

光脉冲穿过板 S 需要 \(\boxed{8.00\ \text{ns}}\)。

对厚度为 \(d\) 的板，

\[ t=\frac{d}{v} \]

而由于

\[ v=\frac{c}{n}, \]

我们可以代入：

\[ t = \frac{d}{c/n} = \frac{dn}{c} \]

当厚度相等时，\(d\) 和 \(c\) 都相同，因此传播时间与折射率成正比：

\[ \frac{t_S}{t_R} = \frac{n_S}{n_R} \]

代入数值：

\[ t_S = t_R\frac{n_S}{n_R} = 7.00\ \text{ns}\times\frac{1.60}{1.40} = 8.00\ \text{ns} \]

所以，

\[ \boxed{t_S=8.00\ \text{ns}} \]

关键的细节是：速度与折射率成反比，但穿越一段固定距离所需的时间则与折射率成正比。较高的 \(n\) 会带来较低的速度，因此需要较长的传播时间。

11接下来会延伸到哪里

方程式 \(n=c/v\) 赋予折射率一个物理意义：它比较了光在真空中的速度与光在介质中的速度。

这种速度改变，是理解折射的起点。当光以一定角度到达边界时，波前的一部分会比另一部分先进入新的介质。先进入的部分会先改变速度，使波前转动，光线因而改变方向。

所以，之后使用斯涅耳定律时，不要把折射率只当成正弦旁边一个莫名其妙的数字。它实际上告诉你，光如何在每一种介质中传播。