电势能与电场中的功
了解电荷在电场中移动时电势能如何改变，以及电势差、功和动能之间的关系。
一个正电荷在两块带相反电荷的平行板之间被释放。它会加速朝负极板移动。没有任何东西接触它，那么它不断增加的动能是从哪里来的？
电场对电荷做功。在这个过程中，电荷的电势能减少。同样的能量收支概念也能解释电子在电场中移动时会发生甚么、为甚么电势差可以加速带电粒子，以及为甚么电荷的正负号很重要。
在继续之前，先作一个预测。假设一个正电荷自然地沿着电场方向移动。它的电势能会增加还是减少？
它会减少。电场对电荷做正功，因此能量会由电势能转移到其他形式，通常是动能。
01先从能量图像开始
想像你在地球的重力场中把一个球向上抬。当你把它抬高时，你对抗重力做功，使它的重力势能增加。如果你把球放开，重力便会对球做功，而储存的能量会转化为动能。
电场的行为很相似，但有一个重要的复杂之处：电荷可以是正的，也可以是负的。
对于正电荷，电力方向与电场方向相同。
对于负电荷，电力方向与电场方向相反。
正负号造成的这个差异，正是为甚么死记「沿着电场移动就代表势能减少」之类的说法很危险。这对正电荷成立，但并非对所有电荷都成立。
重力的类比很有用，因为两个系统都能因物体的位置而储存势能。不过，这个类比也有局限，因为质量只有一种正负性质，而电荷则可以是正或负。
02电场所做的功
功是一种能量转移。
如果电场对电荷做正功，电荷的电势能便会减少。如果电场做负功，电荷的电势能便会增加。
两者的关系是
\[ W_{\text{field}} = -\Delta U \]
其中：
- \(W_{\text{field}}\) 是电场所做的功，单位为焦耳（J）
- \(\Delta U\) 是电势能的变化，单位为焦耳（J）
记住
\[ \Delta U = U_f - U_i \]
其中 \(U_i\) 是初始势能，\(U_f\) 是最终势能。
因此，如果 \(\Delta U = -4.0\text{ J}\)，就表示电荷失去了 \(4.0\text{ J}\) 的电势能。因此，电场做了 \(+4.0\text{ J}\) 的功。
这个负号并不是装饰。它告诉你，当电场做正功时，势能会下降。
03电势如何进入这个图像
势能取决于你放进电场中的电荷。电势则不取决于它。
电势 \(V\) 表示某一点上每单位正电荷所具有的电势能：
\[ V = \frac{U}{q} \]
重新整理得
\[ U = qV \]
其中：
- \(U\) 是电势能，单位为焦耳（J）
- \(q\) 是电荷量，单位为库仑（C）
- \(V\) 是电势，单位为伏特（V）
一伏特等于每库仑一焦耳：
\[ 1\text{ V} = 1\text{ J C}^{-1} \]
通常，我们关心的是两个位置之间的变化，而不是某一个位置上的绝对值。于是得到
\[ \Delta U = q\Delta V \]
其中
\[ \Delta V = V_f - V_i \]
因此，
\[ W_{\text{field}} = -q\Delta V \]
当电荷在电场中移动时，这条方程是追踪能量变化最实用的方法之一。
04电荷的正负号会改变整个情况
想像有 A、B 两点，其中
\[ V_A = 100\text{ V} \]
而
\[ V_B = 20\text{ V} \]
一个电荷由 A 移动到 B 时，
\[ \Delta V = 20 - 100 = -80\text{ V} \]
对于正电荷，\(q > 0\)，所以
\[ \Delta U = q\Delta V < 0 \]
它的势能减少。
对于负电荷，\(q < 0\)，所以两个负数相乘得到正数：
\[ \Delta U = q\Delta V > 0 \]
它的势能增加。
这个结果一开始可能令人觉得有点反直觉。较低的电势并不一定代表较低的电势能。
缺少的关键是电荷量：
\[ U = qV \]
对负电荷而言，乘上 \(q < 0\) 会令两者的关系反转。
一个稍微有点傻的类比或许有帮助。把电势想像成约会地点的评分。正电荷和负电荷的品味完全相反。只告诉你其中一间餐厅的「评分较高」，并不足以判断哪一种电荷在那里有较大的势能。你还需要知道是谁要去。
幸好，这个类比到此为止。电荷并没有自己的意见，而 \(U=qV\) 能精确给出两者的关系。
例题：质子穿越一段电势差
一个电荷量为 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\) 的质子，由电势为 \(250\text{ V}\) 的位置移动到电势为 \(70\text{ V}\) 的位置。计算它的电势能变化，以及电场所做的功。
步骤 1
\[ \Delta V = V_f - V_i = 70 - 250 = -180\text{ V} \]
步骤 2
\[ \Delta U = (1.60\times10^{-19})(-180) = -2.88\times10^{-17}\text{ J} \]
负号表示质子失去了电势能。
步骤 3
\[ W_{\text{field}}=-\Delta U = -(-2.88\times10^{-17}) = 2.88\times10^{-17}\text{ J} \]
电场对质子做了 \(2.88\times10^{-17}\text{ J}\) 的正功。如果没有其他能量转移，这些能量便会表现为质子动能的增加。
05把功与动能连系起来
功-能定理告诉我们，物体所受的净功等于它的动能变化：
\[ W_{\text{net}} = \Delta K \]
如果只有电力在做功，那么
\[ W_{\text{field}} = \Delta K \]
由于
\[ W_{\text{field}}=-\Delta U \]
我们得到
\[ \Delta K=-\Delta U \]
或
\[ \Delta K+\Delta U=0 \]
这就是只受电力作用而移动的电荷所遵守的机械能守恒。
换句话说：
失去的电势能 = 增加的动能
反过来也成立。
要注意这个条件。如果另一个力也有做功，就不能自动认为每一焦耳失去的电势能都会变成动能。
例题：电子经电势差加速
一个电子由静止开始，从电势为 \(-40\text{ V}\) 的位置移动到电势为 \(160\text{ V}\) 的位置。电子的电荷量为 \(-1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。忽略电力以外的所有力。求它最终的动能和速率。使用电子质量 \(9.11\times10^{-31}\text{ kg}\)。
步骤 1
\[ \Delta V = V_f - V_i = 160-(-40)=200\text{ V} \]
步骤 2
\[ \Delta U = q\Delta V = (-1.60\times10^{-19})(200) = -3.20\times10^{-17}\text{ J} \]
电子失去了 \(3.20\times10^{-17}\text{ J}\) 的电势能。
留意正负号。电子移动到较高的电势，但由于它带负电，因此它的电势能反而减少。
步骤 3
电子由静止开始，所以 \(K_i=0\)。因此，
\[ \Delta K=-\Delta U=3.20\times10^{-17}\text{ J} \]
而且
\[ K_f=3.20\times10^{-17}\text{ J} \]
步骤 4
当速率远低于光速时，
\[ K=\frac{1}{2}mv^2 \]
其中 \(m\) 是质量，单位为公斤（kg），\(v\) 是速率，单位为米每秒（m s\(^{-1}\)）。
因此
\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}} \]
代入数值得
\[ v = \sqrt{\frac{2(3.20\times10^{-17})}{9.11\times10^{-31}}} = 8.38\times10^6\text{ m s}^{-1} \]
电子的速率约为
\[ \boxed{8.38\times10^6\text{ m s}^{-1}} \]
重要的物理概念不只是这个速率。电子在加速时朝着较高电势的区域移动，同时移向较低电势能的状态。
06均匀电场中的电势差
在大型平行板之间，若远离边缘，通常可以把电场视为均匀电场。
对于平行于电场方向的运动，
\[ \Delta V=-Ed \]
其中：
- \(E\) 是电场强度，单位为伏特每米（V m\(^{-1}\)），等同于牛顿每库仑（N C\(^{-1}\)）
- \(d\) 是位移，单位为米（m），并把沿电场方向的位移定为正值
- \(\Delta V\) 是电势的变化，单位为伏特（V）
负号告诉我们，沿着电场方向，电势会降低。
这个叙述说的是 \(V\)，不是 \(U\)。无论之后把甚么电荷放在那里，这一点都成立。
把
\[ \Delta U=q\Delta V \]
与
\[ \Delta V=-Ed \]
结合，可得
\[ \Delta U=-qEd \]
其中位移 \(d\) 与电场方向平行。
因此，电场所做的功为
\[ W_{\text{field}}=qEd \]
但这只适用于上述特定几何情况。
不要不加判断地使用 \(W=qEd\)。它假设位移与均匀电场平行。使用电势差表示的方程 \(W_{\text{field}}=-q\Delta V\) 更为一般。
07如果电荷横向移动会怎样？
想像一个均匀电场指向右方。一个正电荷垂直向上移动。
预测电场所做的功。
电力指向右方，而位移指向上方。两者互相垂直，因此电场不做功。
使用一般的功公式，
\[ W=Fd\cos\theta \]
其中 \(\theta\) 是力与位移之间的夹角。此时 \(\theta=90^\circ\)，所以
\[ W=Fd\cos90^\circ=0 \]
因此，
\[ \Delta U=0 \]
而且
\[ \Delta V=0 \]
电荷沿着一条等势线移动。
等势线是由具有相同电势的各点组成的线。沿等势线移动时，电场不需要做功。
这也给出一条很有用的几何规则：
电场线与等势线或等势面互相垂直。
08最容易令人误解的说法：「电荷由高电势移向低电势」
这个说法并不完整。
一个由静止释放的正电荷会朝较低电势加速。
一个由静止释放的负电荷会朝较高电势加速。
两者都会自然地朝较低的电势能移动。
这才是较稳妥的能量规则：
\[ \text{自由加速的电荷会以令 }U\text{ 减少的方式移动} \]
为甚么？
因为电场对电荷做正功，使它的动能增加：
\[ \Delta K=-\Delta U \]
而 \(U\) 减少的方向取决于 \(q\) 的正负号。
第二个常见误解，是把电势和电势能视为可以互换的概念。它们并不相同。
| 物理量 | 符号 | 取决于测试电荷吗？ | 单位 |
|---|---|---|---|
| 电势 | \(V\) | 否 | 伏特（V） |
| 电势能 | \(U\) | 是，透过 \(U=qV\) | 焦耳（J） |
| 电势差 | \(\Delta V\) | 否 | 伏特（V） |
| 势能变化 | \(\Delta U\) | 是，透过 \(\Delta U=q\Delta V\) | 焦耳（J） |
09电场做的功与外力做的功
假设你慢慢把一个正电荷推向另一个正的源电荷。
电力会尝试把你的电荷推开。你正把它朝着与该电力相反的方向移动。
因此，电场做负功，而你则做正功。
如果你移动电荷的速度足够慢，使其动能没有显著变化，那么
\[ W_{\text{external}}=\Delta U \]
而
\[ W_{\text{field}}=-\Delta U \]
这个分别十分重要。
如果题目问的是**「电场做的功」**，使用
\[ W_{\text{field}}=-\Delta U \]
如果题目问的是外力在电荷动能不变的情况下，缓慢移动电荷所需做的功，则使用
\[ W_{\text{external}}=\Delta U \]
在这种受控制的情况下，两者大小相等、符号相反。
10问题与解答
问题 1
一个 \(+3.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的电荷从电势为 \(120\text{ V}\) 的位置移动到电势为 \(40\text{ V}\) 的位置。
计算：
a. 电荷的电势能变化
b. 电场做的功。
解答 1
电荷失去了 \(2.4\times10^{-4}\text{ J}\) 的电势能，而电场做了 \(+2.4\times10^{-4}\text{ J}\) 的功。
先计算电势差：
\[ \Delta V=V_f-V_i=40-120=-80\text{ V} \]
然后使用
\[ \Delta U=q\Delta V \]
所以
\[ \Delta U = (3.0\times10^{-6})(-80) = -2.4\times10^{-4}\text{ J} \]
因此，
\[ \boxed{\Delta U=-2.4\times10^{-4}\text{ J}} \]
负号表示电势能减少。
电场所做的功为
\[ W_{\text{field}} = -\Delta U = 2.4\times10^{-4}\text{ J} \]
所以
\[ \boxed{W_{\text{field}}=+2.4\times10^{-4}\text{ J}} \]
正功表示电场把能量从电势能转移出去。如果电力是唯一做功的力，电荷的动能会增加相同的数量。
问题 2
两块大型平行板产生一个 \(4.0\times10^3\text{ V m}^{-1}\) 的均匀电场，方向由左向右。一个质子由左向右移动 \(0.060\text{ m}\)。
质子的电荷量为 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。
计算电势的变化，以及质子电势能的变化。
解答 2
电势降低了 \(240\text{ V}\)，而质子的电势能减少了 \(3.84\times10^{-17}\text{ J}\)。
由于质子沿电场方向移动，
\[ \Delta V=-Ed \]
代入数值得
\[ \Delta V = -(4.0\times10^3)(0.060) = -240\text{ V} \]
所以
\[ \boxed{\Delta V=-240\text{ V}} \]
现在使用
\[ \Delta U=q\Delta V \]
得到
\[ \Delta U = (1.60\times10^{-19})(-240) = -3.84\times10^{-17}\text{ J} \]
因此，
\[ \boxed{\Delta U=-3.84\times10^{-17}\text{ J}} \]
这些正负号与物理图像一致。沿电场方向，电势会降低，而正电荷沿这个方向移动时，其电势能也会减少。
问题 3
一个电子在均匀电场中由静止释放。A 点的电势为 \(30\text{ V}\)，而 B 点的电势为 \(90\text{ V}\)。
一名学生认为：
「电子一定会朝 A 加速，因为 A 的电势较低。」
判断这名学生是否正确。如果电子在 A、B 之间移动，计算它沿物理上自然发生的方向运动时，电势能的变化。使用 \(q_e=-1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。
解答 3
这名学生不正确。被释放的电子会朝 B，也就是电势较高的点加速，而它的电势能会减少 \(9.60\times10^{-18}\text{ J}\)。
负电荷受到的力方向与电场方向相反。由于电场由较高电势指向较低电势，因此电子会朝相反方向加速，也就是朝较高电势移动。
对于从 A 移动到 B，
\[ \Delta V=90-30=60\text{ V} \]
电势能的变化为
\[ \Delta U=q\Delta V \]
所以
\[ \Delta U = (-1.60\times10^{-19})(60) = -9.60\times10^{-18}\text{ J} \]
因此，
\[ \boxed{\Delta U=-9.60\times10^{-18}\text{ J}} \]
电子移向较高的 \(V\)，但移向较低的 \(U\)。
这名学生的错误，是假设所有电荷都会自然地朝较低电势移动。这条规则只适用于在电力作用下由静止释放的正电荷。更一般的规则是，自由加速的电荷会朝较低的电势能移动。
问题 4
一个带正电的粒子在电场中由 X 移动到 Y。测量显示，它在 X 和 Y 的速率相同。
一名学生因此认为，X 和 Y 一定具有相同的电势。
这个结论一定正确吗？请利用能量解释。
解答 4
不一定。速率相同并不必然代表 X 和 Y 具有相同的电势。
如果速率没有改变，那么粒子的动能也没有改变：
\[ \Delta K=0 \]
如果电力是唯一做功的力，那么机械能守恒会给出
\[ \Delta K=-\Delta U \]
因此
\[ \Delta U=0 \]
由于粒子带有非零的正电荷，
\[ \Delta U=q\Delta V \]
便会要求
\[ \Delta V=0 \]
在这个受限制的情况下，X 和 Y 的确会具有相同的电势。
但是，题目没有说电力是唯一做功的力。当电势能改变时，另一个力也可能加入或移除能量。
例如，如果粒子朝较高电势移动，它的电势能可以增加，而外力同时移除等量、相当于动能的功，使它的速率保持不变。
因此，这名学生的结论隐含了一个假设：没有其他力进行能量转移。只有速率相同，并不足以证明电势相同。
问题 5
一个负电粒子在电场中由 P 移动到 Q。电场对它做了 \(+6.0\times10^{-15}\text{ J}\) 的功。
一名学生提出三个说法：
- 粒子的电势能减少。
- Q 的电势一定比 P 低。
- 如果电力是唯一做功的力，粒子的动能增加。
指出哪些说法正确，并逐一说明理由。
解答 5
说法 1 和 3 正确，而说法 2 错误。
对于说法 1，电场做的功与势能之间的关系为
\[ W_{\text{field}}=-\Delta U \]
因此，
\[ \Delta U=-W_{\text{field}} =-6.0\times10^{-15}\text{ J} \]
所以
\[ \boxed{\Delta U=-6.0\times10^{-15}\text{ J}} \]
粒子的电势能减少，因此说法 1 正确。
对于说法 2，使用
\[ \Delta U=q\Delta V \]
粒子带负电，因此 \(q<0\)。我们已知道 \(\Delta U<0\)。当 \(q\) 为负时，要使乘积 \(q\Delta V\) 为负，\(\Delta V\) 必须为正。
因此，
\[ V_Q>V_P \]
Q 的电势是较高，而不是较低。因此说法 2 错误。
对于说法 3，如果电力是唯一做功的力，
\[ \Delta K=W_{\text{field}} \]
所以
\[ \Delta K=+6.0\times10^{-15}\text{ J} \]
粒子的动能增加，因此说法 3 正确。
最重要的是牢记这个分别：电场指向电势降低的方向，但自由移动的电荷会朝电势能降低的方向加速。掌握这个分别之后，下一个有用的步骤，就是在较复杂的电场几何中，把电势差与电场强度及等势面连系起来。