كيفية اختيار محاور الرسم البياني وتحويل بيانات فيزياء HSC إلى علاقات خطية
تعلّم كيفية اختيار المتغيرات المستقلة والتابعة، وتسمية محاور الرسوم البيانية بشكل صحيح، وتحويل بيانات فيزياء HSC إلى علاقات خطية. تعرّف على أمثلة محلولة من الحركة والدوائر الكهربائية وشدة الضوء وفق قانون التربيع العكسي، لفهم الميل والجزء المقطوع والأخطاء الشائعة في الرسم البياني.
تضع الزمن على المحور الرأسي، والإزاحة على المحور الأفقي، ثم ترسم خطًا مستقيمًا متقنًا تمامًا، وتذكر ميله على أنه السرعة. لكن الوحدات تكشف الخطأ بهدوء: فميلك بوحدة الثواني لكل متر، وليس الأمتار لكل ثانية. أو قد ترى رسمًا بيانيًا منحنيًا للإزاحة مقابل الزمن، فترسم الإزاحة مقابل مربع الزمن متوقعًا الحصول على خط مستقيم لمجرد أن الجسم يتسارع. لكن الرسم البياني يظل منحنيًا.
هذه ليست أخطاء في الرسم، بل أخطاء في اختيار المتغيرات وتفسير النموذج الفيزيائي. صحّح هذه القرارات قبل أن تمسك المسطرة.
- قياسات العربة؛ ميل خط أفضل مطابقة ≈ 0.75 m/s
01اختر المحاور قبل رسم المخطط البياني
القرار الأول بسيط: ما المتغير الذي تغيّره، وما الكمية التي تقيسها استجابةً لذلك؟
المتغير المستقل هو المتغير الذي تغيّره عمدًا، أو المتغير الذي تستخدمه لتفسير نمط في البيانات. ويوضع عادةً على المحور الأفقي.
المتغير التابع هو الكمية التي تقيسها استجابةً لذلك التغيير. ويوضع عادةً على المحور الرأسي.
على سبيل المثال، إذا قست إزاحة عربة عند أزمنة مختلفة، فالزمن هو المتغير المستقل، والإزاحة هي المتغير التابع. لذا ترسم الإزاحة رأسيًا مقابل الزمن أفقيًا.
وهناك أيضًا قاعدة مفيدة لفهم صياغة أسئلة الامتحان:
«ارسم A مقابل B» تعني أن A يوضع على المحور الرأسي، وB يوضع على المحور الأفقي.
إذًا:
- ارسم فرق الجهد مقابل شدة التيار: فرق الجهد رأسيًا، وشدة التيار أفقيًا.
- ارسم السرعة مقابل الزمن: السرعة رأسيًا، والزمن أفقيًا.
- ارسم الاستضاءة مقابل مقلوب مربع المسافة: الاستضاءة رأسيًا، و\(1/r^2\) أفقيًا.
ترتيب الكميات في جدول البيانات لا يحدد المحاور، وكذلك لا يحددها اختيار الترتيب الذي ينتج خطًا أكثر استقامة.
سمِّ كلا المحورين تسمية صحيحة
يجب أن يتضمن كل محور اسم الكمية ورمزها ووحدتها.
| الكمية | تسمية مناسبة للمحور |
|---|---|
| الزمن | الزمن، \(t\) (s) |
| الإزاحة | الإزاحة، \(x\) (m) |
| السرعة | السرعة، \(v\) (m/s) |
| التسارع | التسارع، \(a\) (m/s²) |
| شدة التيار | شدة التيار، \(I\) (A) |
| فرق الجهد | فرق الجهد، \(V\) (V) |
| المسافة | المسافة، \(r\) (m) |
| الاستضاءة | الاستضاءة، \(E\) (lx) |
لاحظ الفرق بين تسمية محور بعبارة الزمن، t (s) وتسميته بكلمة ثوانٍ فقط. تخبر التسمية الأولى القارئ بما يجري قياسه والوحدة المستخدمة، أما الثانية فلا تذكر سوى الوحدة.
- قياسات العربة
اختر مقياسًا مناسبًا ومتساوي التدرج يستفيد من مساحة الرسم المتاحة. يجب تمثيل النقاط التجريبية بدقة، ورسم خط أفضل مطابقة عند الاقتضاء.
بالنسبة إلى البيانات الفيزيائية المستمرة، يكون المخطط المبعثر عادةً نقطة البداية المناسبة. لا تصل كل نقطة تلقائيًا بالنقطة التالية باستخدام مقاطع مستقيمة. هدفك هو تحديد العلاقة بين المتغيرات، وليس إنشاء رسم يشبه لعبة توصيل النقاط.
02حدّد العلاقة التي ينبغي أن يوضحها الرسم البياني
قبل أن تقرر ما إذا كنت سترسم خطًا مستقيمًا أم منحنى، اكتب النموذج الفيزيائي.
هنا تقع أخطاء كثيرة في أساليب رسم تبدو منطقية في البداية. فكثيرًا ما يرى الطلاب منحنى ويبدؤون بتجربة تحويلات مختلفة حتى تبدو البيانات مستقيمة. لكن النهج الأفضل هو التنبؤ بشكل الرسم البياني انطلاقًا من المعادلة.
في معادلات الحركة أدناه، يمثّل \(x\) الموضع بالأمتار، و\(x_0\) الموضع الابتدائي، و\(t\) الزمن بالثواني، و\(v\) السرعة بالأمتار لكل ثانية، و\(u\) السرعة الابتدائية، و\(a\) التسارع بالأمتار لكل ثانية مربعة. أما الإزاحة من الموضع الابتدائي فهي \(\Delta x=x-x_0\).
في الدوائر الكهربائية، يمثّل \(V\) فرق الجهد بالفولت، و\(I\) شدة التيار بالأمبير، و\(R\) المقاومة بالأوم. وبالنسبة إلى الضوء، يمثّل \(E\) الاستضاءة باللوكس، و\(E_{\mathrm{bg}}\) استضاءة الخلفية، و\(r\) المسافة بالأمتار، و\(k\) ثابت التناسب.
إليك بعض العلاقات التي يجدر بك التعرّف عليها.
| العلاقة الفيزيائية | الرسم البياني المناسب | معنى الميل |
|---|---|---|
| \(x=x_0+vt\)، عند ثبات السرعة | \(x\) مقابل \(t\) | السرعة، \(v\) |
| \(v=u+at\)، عند ثبات التسارع | \(v\) مقابل \(t\) | التسارع، \(a\) |
| \(\Delta x=\frac12 at^2\)، عندما \(u=0\) | \(\Delta x\) مقابل \(t^2\) | نصف التسارع، \(a/2\) |
| \(V=RI\)، لمقاومة أومية عند درجة حرارة ثابتة | \(V\) مقابل \(I\) | المقاومة، \(R\) |
| \(E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2}\) | \(E\) مقابل \(1/r^2\) | الثابت، \(k\) |
الشروط مهمة. وعلى وجه الخصوص، يفترض الصف الثالث أن الجسم يبدأ من السكون، وأن الإزاحة تُقاس من موضع بدايته. من دون هذين الشرطين، قد لا ينتج عن الرسم المقترح خط مستقيم.
- بيانات العربة؛ الميل ≈ 0.75 m/s
ماذا يعني تحويل البيانات إلى علاقة خطية؟
يعني تحويل العلاقة إلى صيغة خطية إجراء تحويل على أحد المتغيرين المرسومين أو كليهما، بحيث يتنبأ النموذج بخط مستقيم.
يمكن كتابة العلاقة الخطية على الصورة التالية:
\[ Y=mX+c \]
حيث:
- \(Y\) هو المتغير الرأسي.
- \(X\) هو المتغير الأفقي.
- \(m\) هو الميل.
- \(c\) هو الجزء المقطوع من المحور الرأسي.
الفكرة الأساسية هي أن \(X\) و\(Y\) قد يكونان متغيرين محوّلين، وليس بالضرورة القياسات الأصلية.
على سبيل المثال، إذا تنبأ نموذج بالعلاقة
\[ y=kx^2 \]
فإن رسم \(y\) مقابل \(x\) ينتج منحنى. أما رسم \(y\) مقابل \(x^2\) فينتج خطًا مستقيمًا، لأن النموذج يصبح \(y=kX\)، حيث \(X=x^2\).
لكن انتبه. إذا احتوت المعادلة الأصلية على حدود إضافية، مثل \(y=bx+cx^2\)، فإن رسم \(y\) مقابل \(x^2\) لن ينتج خطًا مستقيمًا في الحالة العامة. إذ يظل الحد \(bx\) موجودًا.
لهذا السبب، ينبغي اشتقاق التحويل من النموذج الفيزيائي بدلًا من تخمينه.
من النموذج الفيزيائي إلى رسم بياني ذي معنى
- حدّد المتغيرات
المتغير المستقل: المحور الأفقي؛ المتغير التابع: المحور الرأسي.
- اكتب النموذج الفيزيائي
حدّد العلاقة وافتراضاتها.
- اختر الرسم البياني
مثّل المتغيرات الأصلية بيانيًا أو اشتق تحويلًا مبررًا.
- فسّر الخط
استخدم المحاور الفعلية لتحديد وحدات الميل ومعناه الفيزيائي والجزء المقطوع.
03تعرّف على العلاقات الثلاث التي تسبب المشكلات عادةً
الحركة: لا يعني التسارع الثابت دائمًا أن الإزاحة تتناسب مع مربع الزمن
تُوصف الإزاحة عند التسارع الثابت بالعلاقة
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
إذا بدأ الجسم من السكون، فإن \(u=0\)، وبالتالي
\[ \Delta x=\frac12at^2 \]
تتنبأ هذه المعادلة المبسطة بخط مستقيم عند رسم \(\Delta x\) مقابل \(t^2\). ويكون الميل \(a/2\)، وليس \(a\).
أما إذا كانت للجسم سرعة ابتدائية غير صفرية، فيظل الحد \(ut\) موجودًا. وعندئذٍ، ينتج رسم الإزاحة مقابل مربع الزمن منحنى في الحالة العامة.
لديك خياران: استخدام رسم بياني للسرعة مقابل الزمن إذا كانت بيانات السرعة متاحة، أو إيجاد تحويل يأخذ السرعة الابتدائية في الحسبان. ويظهر الخيار الثاني في السؤال 5.
الدوائر الكهربائية: يعتمد الميل على الكمية الموضوعة على المحور الرأسي
بالنسبة إلى مقاومة أومية عند درجة حرارة ثابتة،
\[ V=IR \]
إذا كان فرق الجهد على المحور الرأسي وشدة التيار على المحور الأفقي، فإن ميل الرسم البياني يساوي
\[ m=\frac{\Delta V}{\Delta I}=R \]
ووحدته فولت لكل أمبير، وهي مكافئة للأوم.
إذا عكست المحورين، فستحصل على ميل مختلف:
\[ m=\frac{\Delta I}{\Delta V}=\frac1R \]
وهذا يمثل الموصلية الكهربائية، وليس المقاومة.
يمكن أن يكون كلا الرسمين خطًا مستقيمًا تمامًا، لكن ميل أحدهما فقط يساوي المقاومة.
شدة الضوء: تتطلب علاقات التناسب العكسي مع مربع المسافة تحويل أحد المحاور
بالنسبة إلى مصدر نقطي مثالي، بعد إزالة إضاءة الخلفية، تتبع الاستضاءة علاقة التناسب العكسي مع مربع المسافة:
\[ E=\frac{k}{r^2} \]
تؤدي مضاعفة المسافة إلى خفض الاستضاءة إلى ربع قيمتها الأصلية، بينما تؤدي زيادة المسافة إلى ثلاثة أمثالها إلى خفض الاستضاءة إلى تسع قيمتها الأصلية.
يكون الرسم البياني لـ \(E\) مقابل \(r\) منحنيًا. أما الرسم البياني لـ \(E\) مقابل \(1/r^2\)، فيُفترض أن يكون خطيًا وفقًا لافتراضات النموذج.
أصبح للمحور الأفقي الآن وحدات مقدارها \(\mathrm{m^{-2}}\). أما ميل الخط فوحدته \(\mathrm{lx\,m^2}\)، لأنه يساوي الاستضاءة مقسومة على مقلوب مربع المسافة.
إذا لم تُزل إضاءة الخلفية، فإن النموذج الأكثر واقعية هو
\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]
يُفترض أن يظل الرسم البياني لـ \(E\) مقابل \(1/r^2\) خطًا مستقيمًا، لكن الجزء المقطوع من المحور الرأسي يساوي \(E_{\mathrm{bg}}\)، وليس صفرًا.
04فسّر الميل والجزء المقطوع تفسيرًا صحيحًا
بعد اختيار المحاور، تصبح الرياضيات مباشرة. أما الجزء المهم فهو تفسير النتيجة.
الميل
في رسم بياني يكون فيه المتغير الرأسي \(Y\) والمتغير الأفقي \(X\)، فإن
\[ m=\frac{\Delta Y}{\Delta X} \]
احسب التغير في الكمية الرأسية مقسومًا على التغير في الكمية الأفقية.
استخدم نقطتين متباعدتين جيدًا على خط أفضل مطابقة، بدلًا من استخدام نقطتين متقاربتين من البيانات الخام. فهذا يقلل أثر أخطاء القراءة الصغيرة. ولا يشترط أن تكون النقطتان المستخدمتان لحساب الميل قياسات أصلية، ما دامت كلتاهما تقعان على خط أفضل المطابقة.
تحقق دائمًا من الوحدات.
- الإزاحة مقابل الزمن: \(\mathrm{m/s}\).
- السرعة مقابل الزمن: \(\mathrm{m/s^2}\).
- فرق الجهد مقابل شدة التيار: \(\mathrm{V/A}=\Omega\).
- الاستضاءة مقابل \(1/r^2\): \(\mathrm{lx\,m^2}\).
إذا لم تتوافق الوحدات مع الكمية الفيزيائية التي تزعم أنك حسبتها، فتوقف وتحقق من محوريك.
كذلك، لا تخلط بين الميل والنسبة \(Y/X\). فهما متساويان فقط عندما يكون الخط المستقيم مارًا بنقطة الأصل. وإذا كان الجزء المقطوع غير صفري، فاستخدم التغيرات في الكميات لحساب الميل.
الجزء المقطوع من المحور الرأسي
هو قيمة المتغير الرأسي عندما يساوي المتغير الأفقي صفرًا.
وقد يمثّل:
- الموضع الابتدائي في رسم الإزاحة مقابل الزمن.
- السرعة الابتدائية في رسم السرعة مقابل الزمن.
- استضاءة الخلفية في رسم الاستضاءة مقابل \(1/r^2\).
- انحيازًا في القياس ضمن تجربة كهربائية.
ليس الجزء المقطوع غير الصفري خطأً تجريبيًا بالضرورة، فقد يكون متوقعًا من النموذج.
وبالمثل، لا تفرض مرور خط أفضل المطابقة بنقطة الأصل لمجرد أن المعادلة التي تتذكرها لا تحتوي على حد ثابت. تحقّق أولًا مما إذا كانت الظروف التجريبية تدعم ذلك النموذج، وما إذا كانت القياسات متوافقة معه.
الصيغة الخطية نفسها، ومعانٍ فيزيائية مختلفة
| الإزاحة-الزمن | x = x₀ + vt الأفقي: t (s)؛ الرأسي: x (m). الميل v (m/s)؛ الجزء المقطوع x₀ (m)، الموضع الابتدائي. |
|---|---|
| السرعة-الزمن | v = u + at الأفقي: t (s)؛ الرأسي: v (m/s). الميل a (m/s²)؛ الجزء المقطوع u (m/s)، السرعة الابتدائية. |
| الضوء وفق قانون التربيع العكسي | E = E_bg + k(1/r²) الأفقي: 1/r² (m⁻²)؛ الرأسي: E (lx). الميل k (lx·m²)؛ الجزء المقطوع E_bg (lx)، الاستضاءة الخلفية. |
05أمثلة محلولة
مثال محلول: إيجاد السرعة من بيانات الإزاحة مقابل الزمن
تُقاس إزاحة عربة بالنسبة إلى نقطة أصل ثابتة عند أزمنة متعددة.
| الزمن، \(t\) (s) | الإزاحة، \(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 0.20 |
| 1 | 0.95 |
| 2 | 1.71 |
| 3 | 2.48 |
| 4 | 3.20 |
اختر المحاور، وقدّر سرعة العربة وموضعها الابتدائي، واشرح ما الذي سيحدث إذا عُكس المحوران.
الخطوة 1
الزمن هو المتغير المستقل، والإزاحة هي المتغير التابع.
ضع الزمن على المحور الأفقي والإزاحة على المحور الرأسي. وسمِّ المحورين الزمن، t (s) والإزاحة، x (m).
الخطوة 2
تقع النقاط تقريبًا على خط مستقيم، وهو ما يتوافق مع حركة بسرعة ثابتة. لا تفرض مرور الخط بنقطة الأصل، لأن الإزاحة الابتدائية ليست صفرًا.
الخطوة 3
باستخدام طرفي خط أفضل المطابقة للحصول على تقدير،
\[ \begin{aligned} v&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{3.20-0.20}{4.0-0}\\ &=\frac{3.00\ \mathrm{m}}{4.0\ \mathrm{s}}\\ &=0.75\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]
تبلغ سرعة العربة نحو \(0.75\ \mathrm{m/s}\).
الخطوة 4
يقطع الخط المحور الرأسي عند نحو \(0.20\ \mathrm{m}\). وهذا هو الموضع الابتدائي \(x_0\).
إذًا، العلاقة التقريبية هي
\[ x=0.20+0.75t \]
حيث يُقاس \(x\) بالأمتار و\(t\) بالثواني.
إذا عكست المحورين، فستكون وحدة الميل \(\mathrm{s/m}\). وسيعبّر الميل عن التغير في الزمن لكل وحدة من الإزاحة، وليس عن السرعة. فكون الخط مستقيمًا لا يضمن أنك حسبت الكمية التي تقصدها.
- البيانات المقاسة
- أفضل مطابقة، 0.75 m/s
مثال محلول: إيجاد المقاومة من قياسات الدائرة الكهربائية
يقيس طالب فرق الجهد عبر مقاومة عند قيم مختلفة لشدة التيار.
| شدة التيار، \(I\) (A) | فرق الجهد، \(V\) (V) |
|---|---|
| 0.10 | 0.48 |
| 0.20 | 1.01 |
| 0.30 | 1.49 |
| 0.40 | 2.02 |
| 0.50 | 2.51 |
قدّر المقاومة من الرسم البياني، وعلّق على الجزء المقطوع من المحور الرأسي.
الخطوة 1
شدة التيار هي المتغير المستقل، وفرق الجهد هو المتغير التابع. ارسم \(V\) رأسيًا مقابل \(I\) أفقيًا.
الخطوة 2
بالنسبة إلى مقاومة أومية عند درجة حرارة ثابتة،
\[ V=IR \]
بمقارنة هذه المعادلة مع \(Y=mX+c\)، نجد أن ميل رسم فرق الجهد مقابل شدة التيار يساوي المقاومة.
الخطوة 3
باستخدام القياسين الأول والأخير لتقدير ميل خط أفضل المطابقة،
\[ \begin{aligned} R&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{2.51-0.48}{0.50-0.10}\\ &=\frac{2.03\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=5.075\ \Omega\\ &\approx 5.1\ \Omega \end{aligned} \]
تبلغ المقاومة المقدّرة \(5.1\ \Omega\).
الخطوة 4
باستخدام الميل المقدّر والقياس الأول،
\[ \begin{aligned} c&\approx V-RI\\ &=0.48-(5.075)(0.10)\\ &\approx -0.03\ \mathrm{V} \end{aligned} \]
هذه القيمة قريبة من الصفر مقارنةً بالتشتت في القياسات. وتتوافق البيانات مع النموذج المثالي، لكن لا ينبغي المبالغة في تفسير الجزء المقطوع الصغير المحسوب.
الخطأ المغري هنا هو عكس المحورين والاستمرار في تسمية الميل بالمقاومة. إذا وُضعت شدة التيار رأسيًا وفرق الجهد أفقيًا، فإن الميل يمثّل \(1/R\). حدّد دائمًا الكميتين على المحورين الرأسي والأفقي قبل تفسير الميل.
- البيانات المقاسة
- أفضل مطابقة: الميل ≈ 5.1 Ω
مثال محلول: تحويل بيانات قانون التربيع العكسي للضوء إلى علاقة خطية
ينتج عن تجربة مثالية باستخدام مصدر ضوئي نقطي قياسات الاستضاءة المصححة بإزالة استضاءة الخلفية التالية.
| المسافة، \(r\) (m) | الاستضاءة، \(E\) (lx) |
|---|---|
| 0.50 | 40.0 |
| 0.70 | 20.4 |
| 1.00 | 10.0 |
| 1.40 | 5.1 |
| 2.00 | 2.5 |
افترض أن خرج المصدر واتجاه الكاشف يظلان ثابتين. اختر رسمًا بيانيًا لاختبار نموذج التربيع العكسي، وقدّر قيمة \(k\) في العلاقة \(E=k/r^2\).
الخطوة 1
المسافة هي المتغير المستقل، والاستضاءة هي المتغير التابع.
يُفترض أن يكون الرسم البياني لـ \(E\) مقابل \(r\) منحنيًا إذا كان نموذج التربيع العكسي صحيحًا. ولا يعني ظهور منحنى بحد ذاته أن النموذج قد فشل.
الخطوة 2
النموذج هو
\[ E=\frac{k}{r^2} \]
أعد كتابة المعادلة على الصورة
\[ E=k\left(\frac1{r^2}\right) \]
ارسم الآن \(E\) رأسيًا مقابل \(1/r^2\) أفقيًا.
احسب القيم المحوّلة:
| \(1/r^2\) (m⁻²) | \(E\) (lx) |
|---|---|
| 4.00 | 40.0 |
| 2.04 | 20.4 |
| 1.00 | 10.0 |
| 0.510 | 5.1 |
| 0.250 | 2.5 |
الخطوة 3
باستخدام النقطتين \((4.00,\ 40.0)\) و\((0.250,\ 2.5)\)،
\[ \begin{aligned} k&=\frac{\Delta E}{\Delta(1/r^2)}\\ &=\frac{40.0-2.5}{4.00-0.250}\\ &=\frac{37.5\ \mathrm{lx}}{3.75\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=10.0\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]
الثابت المقدّر هو \(k=10.0\ \mathrm{lx\,m^2}\).
يعني ذلك أن النموذج يتنبأ بالعلاقة \(E=10.0/r^2\)، عندما تُقاس \(r\) بالأمتار. ووحدات الميل صحيحة لأن الاستضاءة مقسومة على مقلوب مربع المسافة.
إن التحويل مبرر بنموذج التربيع العكسي، وليس لمجرد أن الرسم البياني المحوّل يبدو مستقيمًا.
- بعد تصحيح استضاءة الخلفية
- مع استضاءة خلفية 2 lx (توضيحي)
06مراجعة الامتحان في 20 ثانية
قبل تسليم الرسم البياني، تحقّق من النقاط التالية:
- [ ] هل حدّدت المتغير المستقل والمتغير التابع؟
- [ ] هل وضعت A على المحور الرأسي وB على المحور الأفقي عندما طُلب مني «رسم A مقابل B»؟
- [ ] هل يوضح كل محور الكمية والرمز والوحدة؟
- [ ] إذا حوّلت متغيرًا، فهل أستطيع اشتقاق هذا التحويل من النموذج الفيزيائي؟
- [ ] هل تتوافق وحدات الميل مع الكمية التي أزعم أنني حسبتها؟
- [ ] هل فسّرت الجزء المقطوع وفقًا للظروف الفعلية، بدلًا من افتراض أنه يجب أن يساوي صفرًا؟
- [ ] هل رسمت خط أفضل مطابقة أو منحنى مناسبًا بدلًا من وصل كل نقطة تلقائيًا بالنقطة التالية؟
07الأسئلة والحلول
السؤال 1
سُجلت إزاحة درّاج كما يلي.
| الزمن، \(t\) (s) | الإزاحة، \(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 0.0 |
| 1 | 2.4 |
| 2 | 4.9 |
| 3 | 7.1 |
اختر المحاور وقدّر السرعة المتوسطة للدرّاج. واشرح لماذا يؤدي عكس المحورين إلى تغيير معنى الميل.
الحل 1
ارسم الإزاحة \(x\) رأسيًا مقابل الزمن \(t\) أفقيًا. ويعطي الميل سرعة متوسطة تبلغ نحو \(2.4\ \mathrm{m/s}\).
باستخدام القياسين الأول والأخير،
\[ \begin{aligned} v_{\mathrm{avg}}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}\\ &=\frac{7.1-0.0}{3.0-0}\\ &=\frac{7.1\ \mathrm{m}}{3.0\ \mathrm{s}}\\ &\approx 2.37\ \mathrm{m/s} \end{aligned} \]
يعطي خط أفضل مطابقة يمر بالنقاط الأربع تقديرًا مشابهًا.
إذا عُكس المحوران، فستكون وحدة الميل \(\mathrm{s/m}\). وسيعبّر عن التغير في الزمن لكل وحدة من الإزاحة، وليس عن سرعة الدرّاج. يعتمد المعنى الفيزيائي للميل على الكميات المرسومة فعليًا.
السؤال 2
تنتج مصباحة متوهجة القياسات التالية.
| شدة التيار، \(I\) (A) | فرق الجهد، \(V\) (V) |
|---|---|
| 0.20 | 1.0 |
| 0.40 | 2.4 |
| 0.60 | 4.2 |
يجادل طالب بأن الرسم البياني لفرق الجهد مقابل شدة التيار يجب أن يكون خطًا مستقيمًا لأن \(V=IR\). كما يحسب الميل بين النقطتين الأولى والأخيرة ويدّعي أن هذا الميل يمثل مقاومة المصباح عند كل قيمة لشدة التيار.
احسب \(V/I\) عند كل قياس، وأوجد الميل بين النقطتين الأولى والأخيرة، واشرح الخطأين. وهل يؤدي رسم \(V\) مقابل \(I^2\) تلقائيًا إلى تحويل البيانات إلى علاقة خطية؟
الحل 2
تزداد مقاومة المصباح عبر هذه القياسات، والميل بين النقطتين الأولى والأخيرة لا يمثل مقاومته عند كل تيار تشغيل. لا تتنبأ المعادلة \(V=IR\) بخط مستقيم إلا عندما تظل \(R\) ثابتة.
احسب نسبة فرق الجهد إلى شدة التيار عند كل نقطة:
\[ \begin{aligned} R_1&=\frac{1.0}{0.20}=5.0\ \Omega\\ R_2&=\frac{2.4}{0.40}=6.0\ \Omega\\ R_3&=\frac{4.2}{0.60}=7.0\ \Omega \end{aligned} \]
تزداد النسبة \(V/I\) من \(5.0\ \Omega\) إلى \(7.0\ \Omega\).
احسب الآن الميل بين النقطتين الأولى والأخيرة:
\[ \begin{aligned} m&=\frac{\Delta V}{\Delta I}\\ &=\frac{4.2-1.0}{0.60-0.20}\\ &=\frac{3.2\ \mathrm{V}}{0.40\ \mathrm{A}}\\ &=8.0\ \Omega \end{aligned} \]
يمثل هذا متوسط التغير في فرق الجهد بالنسبة إلى التغير في شدة التيار ضمن ذلك المجال. ولا يمثل قيمة \(V/I\) عند كل نقطة. ففي الرسم المنحني لفرق الجهد مقابل شدة التيار، يعبّر ميل المماس عند نقطة معينة عن معدل التغير الموضعي لفرق الجهد بالنسبة إلى شدة التيار، وهو معدل لا يلزم أن يساوي \(V/I\).
السبب الفيزيائي لانحناء الرسم هو ارتفاع درجة حرارة فتيلة المصباح مع زيادة شدة التيار. فتتغير درجة حرارتها، ولذلك لا تبقى مقاومتها ثابتة. ويتطلب التنبؤ المعتاد بخط مستقيم للمقاومة الأومية ثبات درجة الحرارة.
أخيرًا، ليس من المبرر تلقائيًا رسم \(V\) مقابل \(I^2\). تُظهر البيانات أن \(V/I\) تزداد، لكنها لا تثبت وجود نموذج يتناسب فيه فرق الجهد طرديًا مع مربع شدة التيار. ينبغي أن يستند التحويل إلى علاقة فيزيائية مبررة، لا إلى تخمين بشأن الرسم الذي قد يبدو مستقيمًا.
السؤال 3
يقيس طالب الاستضاءة عند ثلاث مسافات من مصدر ضوئي.
| المسافة، \(r\) (m) | الاستضاءة، \(E\) (lx) |
|---|---|
| 0.50 | 50 |
| 1.00 | 14 |
| 2.00 | 5 |
تتضمن القياسات استضاءة خلفية ثابتة. افترض النموذج
\[ E=E_{\mathrm{bg}}+\frac{k}{r^2} \]
حيث \(E_{\mathrm{bg}}\) هي استضاءة الخلفية، و\(k\) ثابت.
اختر الرسم البياني الصحيح، وحدّد \(k\) و\(E_{\mathrm{bg}}\)، واشرح لماذا لا يكون فرض مرور الرسم بنقطة الأصل مناسبًا.
الحل 3
ارسم الاستضاءة \(E\) رأسيًا مقابل مقلوب مربع المسافة \(1/r^2\) أفقيًا. ويكون الميل \(k=12\ \mathrm{lx\,m^2}\)، بينما يكون الجزء المقطوع من المحور الرأسي \(E_{\mathrm{bg}}=2\ \mathrm{lx}\).
أولًا، حوّل قيم المسافة:
| \(r\) (m) | \(1/r^2\) (m⁻²) | \(E\) (lx) |
|---|---|---|
| 0.50 | 4.00 | 50 |
| 1.00 | 1.00 | 14 |
| 2.00 | 0.25 | 5 |
باستخدام النقطتين الأولى والثانية، يكون الميل
\[ \begin{aligned} k&=\frac{50-14}{4.00-1.00}\\ &=\frac{36\ \mathrm{lx}}{3.00\ \mathrm{m^{-2}}}\\ &=12\ \mathrm{lx\,m^2} \end{aligned} \]
تحقق من المجال المتبقي:
\[ \frac{14-5}{1.00-0.25} =\frac{9}{0.75} =12\ \mathrm{lx\,m^2} \]
تتوافق البيانات مع خط مستقيم.
عندما تكون \(r=1.00\ \mathrm{m}\)، تكون قيمة مقلوب مربع المسافة \(1.00\ \mathrm{m^{-2}}\). لذلك،
\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{bg}}&=E-\frac{k}{r^2}\\ &=14-12(1.00)\\ &=2\ \mathrm{lx} \end{aligned} \]
وعليه، يكون النموذج
\[ E=2+\frac{12}{r^2} \]
الخطأ المغري هو افتراض أن سلوك التربيع العكسي يتطلب خطًا يمر بنقطة الأصل. المطلوب هو الحصول على خط مستقيم عند رسم \(E\) مقابل \(1/r^2\)، لكن ضوء الخلفية يضيف قيمة ثابتة إلى كل قراءة. إن فرض مرور الخط بنقطة الأصل سيخفي هذه المساهمة ويشوّه قيمة الميل المقدّرة.
السؤال 4
تُسجّل سرعة عربة خلال أربع ثوانٍ.
| الزمن، \(t\) (s) | السرعة، \(v\) (m/s) |
|---|---|
| 0 | 6 |
| 1 | 3 |
| 2 | 0 |
| 3 | −3 |
| 4 | −6 |
ارسم السرعة مقابل الزمن. وحدّد تسارع العربة وإزاحتها خلال الثواني الأربع والمسافة الكلية التي قطعتها.
يدّعي طالب أن الميل يعطي الإزاحة، وأن المساحة تحت الرسم تعطي دائمًا المسافة. اشرح لماذا كلا الادعاءين غير صحيح.
الحل 4
تسارع العربة هو \(-3.0\ \mathrm{m/s^2}\)، وإزاحتها \(0\ \mathrm{m}\)، والمسافة الكلية التي قطعتها \(12\ \mathrm{m}\).
ارسم السرعة \(v\) رأسيًا مقابل الزمن \(t\) أفقيًا.
يعطي الميل التسارع:
\[ \begin{aligned} a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\ &=\frac{-6-6}{4-0}\\ &=\frac{-12\ \mathrm{m/s}}{4\ \mathrm{s}}\\ &=-3.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]
يعني الميل السالب أن السرعة تتناقص مع الزمن.
لإيجاد الإزاحة، احسب المساحة الموقّعة تحت رسم السرعة مقابل الزمن. من \(t=0\) إلى \(t=2\ \mathrm{s}\)، تكون المساحة المثلثة الموجبة
\[ A_+=\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=6\ \mathrm{m} \]
ومن \(t=2\) إلى \(t=4\ \mathrm{s}\)، تكون المساحة المثلثة السالبة
\[ A_-=-\frac12(2\ \mathrm{s})(6\ \mathrm{m/s})=-6\ \mathrm{m} \]
إذًا،
\[ \Delta x=A_++A_-=6-6=0\ \mathrm{m} \]
تنتهي العربة عند موضع بدايتها.
أما المسافة المقطوعة، فتُحسب بجمع القيم المطلقة للمساحتين:
\[ d=|6|+|-6|=12\ \mathrm{m} \]
لقد خلط الطالب بين ثلاث كميات مختلفة. فميل رسم السرعة مقابل الزمن يعطي التسارع، والمساحة الموقّعة تعطي الإزاحة، ومجموع المساحات المطلقة يعطي المسافة المقطوعة.
يصبح هذا التمييز مهمًا عندما تتغير إشارة السرعة. تتحرك العربة إلى الأمام خلال الثانيتين الأوليين، وتتوقف لحظيًا، ثم تتحرك إلى الخلف. تتعادل الإزاحتان، لكن المسافتين لا تتعادلان.
السؤال 5
تتحرك عربة بتسارع ثابت، لكنها لا تبدأ من السكون. ويُقاس موضعها بالنسبة إلى نقطة أصل ثابتة.
| الزمن، \(t\) (s) | الموضع، \(x\) (m) |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 7 |
| 2 | 12 |
| 3 | 19 |
الموضع الابتدائي معلوم ويساوي \(x_0=4.0\ \mathrm{m}\). افترض أن القياسات دقيقة وأن التسارع ثابت.
يقترح طالبان طريقتين مختلفتين للحصول على رسم بياني بخط مستقيم.
- يرسم الطالب A الإزاحة \(\Delta x=x-x_0\) مقابل \(t^2\)، بحجة أن التسارع الثابت يجعل الإزاحة متناسبة مع مربع الزمن.
- يحسب الطالب B قيمة \(\Delta x/t\) لكل زمن غير صفري، ثم يرسم هذه الكمية مقابل \(t\).
أي الطريقتين تنجح مع هذه البيانات؟ حدّد السرعة الابتدائية والتسارع. واشرح لماذا تفشل طريقة الطالب A، ولماذا يفشل أيضًا رسم الموضع المطلق مقسومًا على الزمن، \(x/t\).
الحل 5
تنتج طريقة الطالب B خطًا مستقيمًا لهذه البيانات. وتعطي سرعة ابتدائية مقدارها \(2.0\ \mathrm{m/s}\) وتسارعًا مقداره \(2.0\ \mathrm{m/s^2}\). والخطوة الأساسية هي طرح الموضع الابتدائي قبل القسمة على الزمن.
أولًا، احسب الإزاحة من موضع البداية:
\[ \Delta x=x-x_0 \]
| \(t\) (s) | \(x\) (m) | \(\Delta x\) (m) | \(\Delta x/t\) (m/s) |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 3 | 3 |
| 2 | 12 | 8 | 4 |
| 3 | 19 | 15 | 5 |
انظر الآن إلى معادلة التسارع الثابت:
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
عندما \(t>0\)، اقسم طرفي المعادلة على \(t\):
\[ \frac{\Delta x}{t}=u+\frac12at \]
هذه معادلة خط مستقيم. المتغير الرأسي هو \(\Delta x/t\)، ووحدته \(\mathrm{m/s}\)، والمتغير الأفقي هو \(t\)، ووحدته الثواني.
الميل يساوي \(a/2\)، بينما يساوي الجزء المقطوع من المحور الرأسي \(u\).
أوجد التسارع.
باستخدام النقطتين عند \(t=1\ \mathrm{s}\) و\(t=3\ \mathrm{s}\)،
\[ \begin{aligned} m&=\frac{5-3}{3-1}\\ &=\frac{2\ \mathrm{m/s}}{2\ \mathrm{s}}\\ &=1.0\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned} \]
بما أن \(m=a/2\)، فإن
\[ a=2m=2.0\ \mathrm{m/s^2} \]
أوجد السرعة الابتدائية.
تمر العلاقة الخطية بالنقاط \((1,3)\) و\((2,4)\) و\((3,5)\)، حيث تمثل الإحداثية الأولى الزمن بالثواني، وتمثل الإحداثية الثانية \(\Delta x/t\) بالأمتار لكل ثانية.
معادلة الخط هي
\[ \frac{\Delta x}{t}=2+t \]
يعطي الاستقراء إلى \(t=0\) جزءًا مقطوعًا مقداره \(2.0\ \mathrm{m/s}\). لذلك،
\[ u=2.0\ \mathrm{m/s} \]
ويمكن أيضًا التحقق من ذلك باستخدام المعادلة الأصلية. فعند \(t=3\ \mathrm{s}\)،
\[ \begin{aligned} \Delta x&=ut+\frac12at^2\\ &=(2.0)(3)+\frac12(2.0)(3^2)\\ &=6+9\\ &=15\ \mathrm{m} \end{aligned} \]
بإضافة الموضع الابتدائي، نحصل على \(x=15+4=19\ \mathrm{m}\)، وهو ما يتفق مع الجدول.
لماذا يفشل رسم الطالب A؟
افترض الطالب A أن التسارع الثابت يضمن العلاقة \(\Delta x\propto t^2\). لكن المعادلة الكاملة تحتوي على حدين:
\[ \Delta x=ut+\frac12at^2 \]
عندما \(u\ne0\)، يظل الحد \(ut\) موجودًا. ورسم \(\Delta x\) مقابل \(t^2\) لا يزيل هذا الحد، لذلك لا تكون العلاقة خطية في الحالة العامة.
كانت طريقة الطالب A ستنجح لو بدأت العربة من السكون، بحيث \(u=0\). ففي هذه الحالة الخاصة،
\[ \Delta x=\frac12at^2 \]
ويكون ميل رسم الإزاحة مقابل مربع الزمن مساويًا لـ \(a/2\).
لماذا يفشل رسم \(x/t\) أيضًا؟
يتضمن الموضع المقاس الموضع الابتدائي:
\[ x=x_0+ut+\frac12at^2 \]
وبالقسمة على الزمن نحصل على
\[ \frac{x}{t}=\frac{x_0}{t}+u+\frac12at \]
يتغير الحد الإضافي \(x_0/t\) مع الزمن. وهذا يمنع الرسم من أن يكون خطًا مستقيمًا عندما \(x_0\ne0\).
يؤدي طرح \(x_0\) أولًا إلى إزالة هذا الحد وإنتاج التحويل الصحيح الذي استخدمه الطالب B. كذلك، فإن \(\Delta x/t\) غير معرّفة عند \(t=0\)، لذا يجب ملاءمة الخط باستخدام بيانات الأزمنة غير الصفرية واستقراء الجزء المقطوع.
الدرس الأوسع هو أن التحويل لا يكون صالحًا إلا إذا كانت المعادلة الفيزيائية الكاملة تدعمه. وبعد تحويل الرسم إلى علاقة خطية بصورة صحيحة، يصبح القرار المفيد التالي هو تحديد مدى دقة قياس ميله: فتشتت البيانات ومدى خطوط أفضل المطابقة المعقولة يحددان مقدار عدم اليقين في قيمة التسارع التي تذكرها.