अधिक द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम तारों का जीवनकाल कम क्यों होता है
किसी तारे में अधिक हाइड्रोजन होने के बावजूद वह मुख्य अनुक्रम पर कम समय तक रह सकता है। उदाहरणों और HSC-शैली के प्रश्नों के माध्यम से समझें कि केंद्र का तापमान, संलयन की दर, दीप्तिमानता और उपयोग योग्य ईंधन इस विरोधाभास को कैसे स्पष्ट करते हैं।
दो मुख्य-अनुक्रम तारों की कल्पना कीजिए। इनमें से एक का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का दोगुना है, इसलिए उसके पास शुरुआत में अधिक हाइड्रोजन है। आप अनुमान लगा सकते हैं कि उसे मुख्य अनुक्रम पर सूर्य की तुलना में दोगुने समय तक बने रहना चाहिए।
अब विचार कीजिए कि वह कितनी चमक के साथ ऊर्जा उत्सर्जित करता है। यदि अधिक द्रव्यमान वाला तारा प्रति सेकंड लगभग ग्यारह गुना अधिक ऊर्जा उत्पन्न करता है, तो क्या दोगुना ईंधन होना वास्तव में उसकी मदद करता है? पर्याप्त नहीं। उसका ऊर्जा-उत्पादन ईंधन की उपलब्ध मात्रा की तुलना में बहुत तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए सामान्यतः उसके केंद्र में उपयोग योग्य हाइड्रोजन जल्दी समाप्त हो जाती है।
मुख्य बात यह तुलना करना है कि कोई तारा कितना ईंधन उपयोग कर सकता है और वह उस ईंधन को कितनी तेज़ी से खर्च करता है।
01अधिक द्रव्यमान का अर्थ अधिक ईंधन है, लेकिन सारा ईंधन उपयोग योग्य नहीं होता
एक मुख्य-अनुक्रम तारा अपनी अधिकांश ऊर्जा अपने केंद्र में हाइड्रोजन का हीलियम में संलयन करके उत्पन्न करता है। यह तारकीय विकास का वही चरण है जिसमें हमारा सूर्य वर्तमान में है।
तारे के आंतरिक भाग के अधिकांश हिस्से में हाइड्रोजन मौजूद होती है। हालाँकि, बाहरी परतों में मौजूद हाइड्रोजन, जहाँ तापमान कम होता है, उन परिस्थितियों में पर्याप्त संलयन नहीं कर सकती। मुख्य-अनुक्रम चरण के लिए उपलब्ध ईंधन इस बात पर निर्भर करता है कि गर्म केंद्र में कितनी हाइड्रोजन संलयन प्रक्रिया में भाग ले सकती है।
अधिक द्रव्यमान वाले तारे का केंद्र सामान्यतः बड़ा होता है और उसमें संलयन के लिए अधिक हाइड्रोजन उपलब्ध होती है। उसकी आंतरिक संरचना और पदार्थ के मिश्रण की प्रक्रिया भी यह निर्धारित करती हैं कि वह कितना ईंधन उपयोग कर सकता है।
इसलिए, सहज अनुमान का पहला हिस्सा सही है: अधिक द्रव्यमान वाले तारे के पास सामान्यतः उपयोग योग्य ईंधन की अधिक मात्रा होती है।
गलती यह मान लेने में है कि ईंधन की यह मात्रा तारे के ऊर्जा-उत्पादन की दर के समान अनुपात में बढ़ती है।
एक ऐसे ट्रक के बारे में सोचिए जिसका ईंधन टैंक बड़ा है, लेकिन ईंधन की खपत भी बहुत अधिक है। बड़ा टैंक होने से यह सुनिश्चित नहीं होता कि वह अधिक दूरी तय करेगा। हालाँकि, इस तुलना की एक सीमा है: तारे में कोई चालक नहीं होता जो उसके ईंधन की खपत नियंत्रित करे। गुरुत्वाकर्षण, केंद्र का तापमान और संलयन का भौतिक विज्ञान उसकी ऊर्जा-उत्पादन दर निर्धारित करते हैं।
अधिक द्रव्यमान का अर्थ है अधिक उपयोग योग्य ईंधन
| सूर्य जैसा तारा | Total mass: 1 M☉ द्रव्यमान पट्टी: █ केंद्र में उपयोग योग्य हाइड्रोजन: ▰ (प्रतीकात्मक) |
|---|---|
| सूर्य से दोगुने द्रव्यमान वाला तारा | Total mass: 2 M☉ द्रव्यमान पट्टी: ██ केंद्र में उपयोग योग्य हाइड्रोजन: ▰▰ (गुणात्मक रूप से अधिक; मापानुसार नहीं) |
02अधिक द्रव्यमान वाले तारे ईंधन को तेज़ी से क्यों खर्च करते हैं
अगला कदम यह समझना है कि अधिक द्रव्यमान का तारे के केंद्र पर क्या प्रभाव पड़ता है।
गुरुत्वाकर्षण तारे के पदार्थ को अंदर की ओर खींचता है। अधिक द्रव्यमान वाले तारे को अधिक प्रबल गुरुत्वाकर्षण बलों का संतुलन बनाना पड़ता है, और उसके केंद्र में सामान्यतः अधिक दबाव तथा उच्च तापमान उत्पन्न होते हैं।
इन उच्च तापमानों का नाभिकीय संलयन पर बड़ा प्रभाव पड़ता है। संलयन अभिक्रियाओं की दर तापमान के प्रति बहुत संवेदनशील होती है, इसलिए केंद्र के तापमान में अपेक्षाकृत मामूली वृद्धि भी ऊर्जा-उत्पादन की दर में बहुत बड़ी वृद्धि कर सकती है।
उदाहरण के लिए, सूर्य अपनी अधिकांश ऊर्जा प्रोटॉन-प्रोटॉन शृंखला से प्राप्त करता है। अधिक गर्म और अधिक द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम तारों में कार्बन-नाइट्रोजन-ऑक्सीजन (CNO) चक्र अक्सर प्रमुख होता है। यहाँ मुख्य बात किसी एक अभिक्रिया की दर को याद करना नहीं, बल्कि यह समझना है कि संलयन केंद्र की परिस्थितियों पर कितनी मज़बूती से निर्भर करता है।
कारण और परिणाम की शृंखला इस प्रकार है:
भारी तारे ईंधन तेज़ी से क्यों खर्च करते हैं
- अधिक तारकीय द्रव्यमान
अधिक प्रबल गुरुत्वाकर्षण
- अधिक प्रबल गुरुत्वीय संपीड़न
केंद्र में अधिक दबाव
- केंद्र का अधिक तापमान
संलयन की दर बढ़ती है
- नाभिकीय ऊर्जा का तेज़ उत्पादन
प्रति सेकंड ऊर्जा-उत्पादन बढ़ता है
- अधिक दीप्तिमानता
उपयोग योग्य हाइड्रोजन तेज़ी से खर्च होती है
- अधिक द्रव्यमान के कारण गुरुत्वाकर्षणीय संपीड़न अधिक प्रबल होता है।
- केंद्र में अधिक चरम परिस्थितियाँ उत्पन्न होती हैं, विशेषकर तापमान बढ़ता है।
- संलयन अभिक्रियाएँ अधिक तेज़ी से ऊर्जा उत्पन्न करती हैं।
- तारे की दीप्तिमानता बहुत बढ़ जाती है।
- उसकी उपयोग योग्य हाइड्रोजन अधिक तेज़ी से खर्च होती है।
यहाँ दीप्तिमानता का अर्थ है कि कोई तारा प्रति सेकंड कुल कितनी ऊर्जा उत्सर्जित करता है। यह शक्ति का माप है, न कि तारे में संचित कुल ऊर्जा का।
एक स्थिर मुख्य-अनुक्रम तारे को विकिरित होकर बाहर जाने वाली ऊर्जा की भरपाई करनी होती है। इसलिए बहुत अधिक दीप्तिमानता वाले तारे को लंबे समय तक ऊर्जा उत्पन्न करने की बहुत अधिक दर बनाए रखनी पड़ती है। चूँकि हाइड्रोजन के संलयन से प्रति किलोग्राम खर्च की गई हाइड्रोजन पर लगभग समान मात्रा में ऊर्जा निकलती है, इसलिए अधिक ऊर्जा-उत्पादन के लिए ईंधन को अधिक तेज़ी से खर्च करना आवश्यक है।
इसी कारण किसी भारी तारे के पास अधिक हाइड्रोजन होने के बावजूद वह मुख्य अनुक्रम पर कम समय बिता सकता है।
03द्रव्यमान, दीप्तिमानता और जीवनकाल के बीच संबंध
हम इस विचार को गणितीय रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
मुख्य-अनुक्रम का जीवनकाल उपयोग योग्य हाइड्रोजन ईंधन से उपलब्ध ऊर्जा और तारे द्वारा ऊर्जा विकिरित करने की दर पर निर्भर करता है:
\[ t_{\mathrm{MS}} \propto \frac{\text{उपयोग योग्य ईंधन}}{L} \]
यहाँ \(t_{\mathrm{MS}}\) मुख्य-अनुक्रम का जीवनकाल है और \(L\) दीप्तिमानता है।
समान रासायनिक संरचना वाले तारों के लिए एक उपयोगी सरलीकृत मॉडल है:
\[ t_{\mathrm{MS}} \propto \frac{M}{L} \]
जहाँ \(M\) तारे का कुल द्रव्यमान है। यह सरलीकृत रूप मानता है कि ईंधन के रूप में उपलब्ध तारे के द्रव्यमान का अंश लगभग स्थिर रहता है।
सूर्य के द्रव्यमान को \(M_\odot\) और उसकी दीप्तिमानता को \(L_\odot\) से दर्शाया जाता है।
सामान्य मुख्य-अनुक्रम तारों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए निम्नलिखित एक मोटा अनुमान है:
\[ \frac{L}{L_\odot} \approx \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3.5} \]
यह द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध का एक अनुमानित रूप है, हर तारे पर लागू होने वाला सटीक नियम नहीं।
दोनों संबंधों को मिलाने पर, और उपयोग योग्य ईंधन के अंश को स्थिर मानने पर, हमें मिलता है:
\[ t_{\mathrm{MS}} \propto \frac{M}{M^{3.5}} \]
इसलिए,
\[ \boxed{t_{\mathrm{MS}} \propto M^{-2.5}} \]
यह परिणाम मुख्य विचार को स्पष्ट करता है: इन सरलीकृत मान्यताओं के अंतर्गत, तारे का द्रव्यमान बढ़ने से उसका मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल घटता है।
- मुख्य अनुक्रम: ऊपरी सीमा
- मुख्य अनुक्रम: निचली सीमा
- लाल दानव (योजनात्मक)
- सूर्य (योजनात्मक संकेतक)
यही संबंध हर्ट्ज़स्प्रंग-रसेल, या H-R, आरेख पर तारों की स्थिति को समझाने में भी मदद करता है। अधिक द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम तारे सामान्यतः अधिक गर्म और अधिक दीप्तिमान होते हैं, इसलिए वे आरेख के ऊपरी बाएँ भाग में स्थित होते हैं। कम द्रव्यमान वाले तारे अधिक ठंडे और कम दीप्तिमान होते हैं, इसलिए वे निचले दाएँ भाग में स्थित होते हैं।
हालाँकि, इस संबंध का उपयोग मुख्य-अनुक्रम तारों पर ही किया जाना चाहिए। किसी लाल दानव की सतह अपेक्षाकृत ठंडी होने के बावजूद उसकी दीप्तिमानता बहुत अधिक हो सकती है, क्योंकि उसकी त्रिज्या बहुत बड़ी होती है और वह विकास की एक अलग अवस्था में होता है।
हल किया गया उदाहरण: दो सौर-द्रव्यमान वाले तारे के जीवनकाल का अनुमान लगाएँ
एक मुख्य-अनुक्रम तारे का द्रव्यमान \(2M_\odot\) है। अनुमानित द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध का उपयोग करके सूर्य की तुलना में उसके मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल का अनुमान लगाएँ। मान लें कि उपयोग योग्य ईंधन की मात्रा द्रव्यमान के समानुपाती है और सूर्य का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल \(10^{10}\) वर्ष है।
चरण 1
संबंध का उपयोग करते हुए,
\[ \frac{L}{L_\odot} \approx \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3.5}, \]
\(M=2M_\odot\) रखने पर:
\[ \begin{aligned} \frac{L}{L_\odot} &\approx 2^{3.5}\\ &\approx 11.3 \end{aligned} \]
इस तारे की दीप्तिमानता सूर्य की दीप्तिमानता से लगभग 11.3 गुना है।
चरण 2
इस सरलीकृत मान्यता के अंतर्गत कि उपयोग योग्य ईंधन द्रव्यमान के समानुपाती है,
\[ \begin{aligned} \frac{t_{\mathrm{MS}}}{t_{\odot,\mathrm{MS}}} &\approx \frac{M/M_\odot}{L/L_\odot}\\ &\approx \frac{2}{11.3}\\ &\approx 0.177 \end{aligned} \]
इस तारे की ईंधन-आपूर्ति सूर्य की तुलना में लगभग दोगुनी है, लेकिन इसकी दीप्तिमानता ग्यारह गुने से भी अधिक है।
चरण 3
\[ \begin{aligned} t_{\mathrm{MS}} &\approx 0.177(10^{10}\text{ वर्ष})\\ &\approx 1.8\times10^9\text{ वर्ष} \end{aligned} \]
अनुमानित मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल लगभग 1.8 अरब वर्ष है, जबकि सूर्य के लिए यह लगभग 10 अरब वर्ष है।
यह परिमाण-क्रम का अनुमान है, पूर्ण तारकीय-विकास मॉडल से प्राप्त सटीक भविष्यवाणी नहीं। इसका उद्देश्य यह दिखाना है कि अधिक ईंधन उपलब्ध होने से लंबा जीवनकाल सुनिश्चित नहीं होता।
04अधिक सटीक मॉडल: तारा वास्तव में कितना ईंधन उपयोग कर सकता है?
पिछली गणना यह मानती है कि हर तारे के द्रव्यमान का समान अंश संलयन के लिए उपलब्ध है। वास्तविक तारे इससे अधिक जटिल होते हैं।
अधिक द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम तारों के संवहनशील केंद्र सामान्यतः बड़े होते हैं। संवहन पदार्थ को इधर-उधर ले जाता है, जिससे हाइड्रोजन उस क्षेत्र तक पहुँच सकती है जहाँ संलयन होता है। परिणामस्वरूप, किसी भारी तारे के कुल द्रव्यमान का अधिक बड़ा अंश ईंधन के रूप में उपलब्ध हो सकता है।
हम इसे अधिक सावधानी से इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
\[ t_{\mathrm{MS}} \propto \frac{XfM}{L} \]
जहाँ:
- \(X\) पदार्थ का हाइड्रोजन द्रव्यमान अंश है।
- \(f\) तारे के द्रव्यमान का वह अंश है जो संलयन क्षेत्र तक हाइड्रोजन पहुँचाने के लिए उपलब्ध होता है।
- \(M\) तारे का कुल द्रव्यमान है।
- \(L\) उसकी दीप्तिमानता है।
समान संरचना वाले तारों के लिए \(X\) लगभग स्थिर होता है। हालाँकि, \(f\) द्रव्यमान के साथ बदल सकता है, क्योंकि तारों के आंतरिक भागों की संरचना और मिश्रण की प्रक्रियाएँ अलग-अलग होती हैं।
यह संशोधन महत्त्वपूर्ण है। किसी भारी तारे के पास स्थिर-अंश वाले सरल मॉडल की भविष्यवाणी से कहीं अधिक उपयोग योग्य ईंधन हो सकता है।
लेकिन उपयोग योग्य ईंधन में होने वाली वृद्धि सामान्यतः दीप्तिमानता में होने वाली वृद्धि की बराबरी नहीं कर पाती। उपलब्ध ईंधन की तुलना में तारा अब भी उसे अधिक तेज़ी से खर्च करता है।
हल किया गया उदाहरण: अधिक ईंधन, लेकिन कम जीवनकाल
समान संरचना वाले दो काल्पनिक मुख्य-अनुक्रम तारों पर विचार कीजिए।
- तारा C के पास उपयोग योग्य हाइड्रोजन ईंधन के रूप में \(0.45M_\odot\) है और उसकी दीप्तिमानता \(45L_\odot\) है।
- तारा D के पास उपयोग योग्य हाइड्रोजन ईंधन के रूप में \(0.80M_\odot\) है और उसकी दीप्तिमानता \(100L_\odot\) है।
मान लें कि जलने वाली हाइड्रोजन के प्रति किलोग्राम से दोनों तारों में समान ऊर्जा निकलती है और उनकी दीप्तिमानताएँ मुख्य-अनुक्रम चरण के दौरान उनके औसत ऊर्जा-उत्पादन को दर्शाती हैं। किस तारे का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल अधिक है?
चरण 1
इन मान्यताओं के अनुसार,
\[ t_{\mathrm{MS}}\propto \frac{F}{L}, \]
जहाँ \(F\) उपयोग योग्य हाइड्रोजन ईंधन का द्रव्यमान है।
चरण 2
\[ \begin{aligned} \frac{t_D}{t_C} &\approx \frac{F_D/L_D}{F_C/L_C}\\[4pt] &= \frac{0.80/100}{0.45/45}\\[4pt] &= \frac{0.008}{0.010}\\[4pt] &=0.80 \end{aligned} \]
इस अनुपात में सौर-द्रव्यमान और सौर-दीप्तिमानता की इकाइयाँ कट जाती हैं।
चरण 3
तारा D के पास तारा C की तुलना में लगभग 1.78 गुना अधिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन है। हालाँकि, इसकी दीप्तिमानता लगभग 2.22 गुना अधिक है।
अतिरिक्त ईंधन अधिक ऊर्जा-उत्पादन की भरपाई नहीं कर पाता। इस सरलीकृत अनुमान के अनुसार, तारा D का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल तारा C के जीवनकाल का 80% है, यानी लगभग 20% कम है।
महत्त्वपूर्ण तुलना यह नहीं है कि ईंधन की मात्रा बढ़ती है या नहीं। महत्त्वपूर्ण यह है कि क्या यह वृद्धि ऊर्जा-उत्पादन में हुई वृद्धि की बराबरी करने के लिए पर्याप्त है।
05यह प्रवृत्ति उपयोगी है, लेकिन सार्वभौमिक नहीं
दो सामान्य गलतियों से बचना चाहिए।
पहली गलती यह मानना है कि तारे का पूरा द्रव्यमान तुरंत संलयन के लिए उपलब्ध होता है। तारे का केवल एक हिस्सा केंद्र में हाइड्रोजन-दहन के चरण को ईंधन प्रदान करता है, और यह हिस्सा उसकी आंतरिक संरचना तथा मिश्रण पर निर्भर करता है।
दूसरी गलती अनुमानित संबंध \(L\propto M^{3.5}\) को हर तारकीय द्रव्यमान के लिए सटीक मान लेना है। ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, कम द्रव्यमान वाले लाल बौने पूरी तरह संवहनशील हो सकते हैं, जिससे वे हाइड्रोजन का मिश्रण कर पाते हैं और उसके बड़े अंश का उपयोग कर सकते हैं। उनके द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध और जीवनकाल उसी सरल आनुपातिक संबंध का ठीक-ठीक पालन नहीं करते।
तारे की रासायनिक संरचना, घूर्णन, मिश्रण और द्रव्यमान-हानि भी उसके विकास के इतिहास को बदल सकते हैं।
फिर भी, व्यापक प्रवृत्ति उपयोगी बनी रहती है: समान परिस्थितियों वाले सामान्य मुख्य-अनुक्रम तारों में अधिक द्रव्यमान का अर्थ सामान्यतः अधिक दीप्तिमानता और कम मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल होता है। यह एक प्रवृत्ति है, यह दावा नहीं कि हर तारा बिल्कुल एक जैसे मार्ग का अनुसरण करता है।
इन जीवनकालों के बीच अंतर बहुत बड़ा है। सूर्य का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल लगभग 10 अरब वर्ष है, जबकि लगभग दस सौर-द्रव्यमान वाला तारा मुख्य अनुक्रम पर केवल कुछ दसियों लाख वर्ष बिता सकता है। सबसे छोटे लाल बौने सैकड़ों अरब से लेकर खरबों वर्षों तक मुख्य अनुक्रम पर बने रह सकते हैं।
06प्रश्न और हल
प्रश्न 1
दो मुख्य-अनुक्रम तारों की रासायनिक संरचना समान है। तारा P का द्रव्यमान \(0.6M_\odot\) है, जबकि तारा Q का द्रव्यमान \(5M_\odot\) है।
किस तारे के अधिक गर्म और अधिक दीप्तिमान होने की अपेक्षा है, और किसका मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल कम होगा? केवल प्रवृत्ति बताने के बजाय भौतिक कारण समझाइए।
हल 1
तारा Q के अधिक गर्म और अधिक दीप्तिमान होने की अपेक्षा है, और सामान्यतः उसका मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल कम होगा।
उसका अधिक द्रव्यमान अधिक प्रबल गुरुत्वाकर्षणीय संपीड़न और केंद्र में अधिक चरम परिस्थितियाँ उत्पन्न करता है। केंद्र का उच्च तापमान नाभिकीय ऊर्जा-उत्पादन की दर बढ़ाता है, जिससे तारा Q की दीप्तिमानता बहुत अधिक हो जाती है।
हालाँकि तारा Q के पास अधिक हाइड्रोजन ईंधन उपलब्ध है, लेकिन उसकी दीप्तिमानता ईंधन की मात्रा की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ती है। इसलिए वह उपलब्ध ईंधन की मात्रा के अनुपात में अपनी उपयोग योग्य हाइड्रोजन को अधिक तेज़ी से खर्च करता है।
तारा P के पास ईंधन कम है, लेकिन वह बहुत कम दर से ऊर्जा भी उत्पन्न करता है। इस कारण वह मुख्य अनुक्रम पर अधिक समय तक बना रह सकता है।
प्रश्न 2
तारा R एक ठंडा, लाल दानव है जिसकी दीप्तिमानता \(100L_\odot\) है। तारा S एक गर्म मुख्य-अनुक्रम तारा है जिसकी दीप्तिमानता \(20L_\odot\) है।
एक विद्यार्थी तर्क देता है कि तारा R का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल अवश्य ही तारा S से कम रहा होगा, क्योंकि वर्तमान में उसकी दीप्तिमानता तारा S की तुलना में पाँच गुना है।
क्या दी गई जानकारी से यह निष्कर्ष उचित है? समझाइए कि विकास की अवस्था क्यों महत्त्वपूर्ण है और बताइए कि तारों के मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल निर्धारित करने में कौन-सी अतिरिक्त जानकारी उपयोगी हो सकती है।
हल 2
नहीं। केवल वर्तमान दीप्तिमानताओं से यह निर्धारित नहीं किया जा सकता कि किस तारे का मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल कम था।
इस मार्गदर्शिका में चर्चा किया गया द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध मुख्य-अनुक्रम तारों पर लागू होता है। तारा R एक लाल दानव है, इसलिए वह विकास की अलग अवस्था में है। उसकी बड़ी त्रिज्या और ऊर्जा-उत्पादन उसकी दीप्तिमानता को प्रभावित करते हैं। इस ऊर्जा-उत्पादन में केंद्र के चारों ओर स्थित एक परत में होने वाला हाइड्रोजन संलयन भी शामिल हो सकता है।
उसकी वर्तमान दीप्तिमानता को सीधे मुख्य-अनुक्रम द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध में रखकर उसका मूल द्रव्यमान या मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल ज्ञात नहीं किया जा सकता।
अतिरिक्त उपयोगी जानकारी में तारों के द्रव्यमान, रासायनिक संरचना और विकास के इतिहास शामिल होंगे। यदि दोनों तारे एक ही आयु वाले तारागुच्छ के सदस्य होते, तो उस तारागुच्छ का मुख्य-अनुक्रम टर्न-ऑफ भी उनके प्रारंभिक द्रव्यमान और विकास की समय-सीमाओं का अनुमान लगाने में मदद कर सकता था।
यहाँ होने वाली गलती यह मान लेना है कि विकास की अवस्था चाहे जो भी हो, सबसे अधिक दीप्तिमान तारा हमेशा सबसे अधिक द्रव्यमान वाला होगा।
प्रश्न 3
एक विद्यार्थी अनुमानित संबंध
\[ \frac{L}{L_\odot} \approx \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3.5} \]
का उपयोग \(0.20M_\odot\) द्रव्यमान वाले तारे के लिए करता है।
यह मानते हुए कि उपयोग योग्य ईंधन की मात्रा द्रव्यमान के समानुपाती है, अनुमानित अनुपात \(t_{\mathrm{MS}}/t_{\odot,\mathrm{MS}}\) की गणना कीजिए। फिर समझाइए कि इस परिणाम को किसी वास्तविक कम-द्रव्यमान वाले तारे की सटीक भविष्यवाणी क्यों नहीं मानना चाहिए।
हल 3
सरलीकृत मॉडल के अनुसार मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल सूर्य के जीवनकाल का लगभग 56 गुना है, लेकिन यह परिणाम केवल एक अनुमान है।
चरण 1: दीप्तिमानता का अनुपात ज्ञात करें।
\[ \begin{aligned} \frac{L}{L_\odot} &\approx 0.20^{3.5}\\ &=0.20^3\sqrt{0.20}\\ &\approx 0.008(0.447)\\ &\approx 0.00358 \end{aligned} \]
मॉडल के अनुसार दीप्तिमानता लगभग \(0.00358L_\odot\) है।
चरण 2: जीवनकाल का अनुपात ज्ञात करें।
\(t_{\mathrm{MS}}\propto M/L\) का उपयोग करने पर,
\[ \begin{aligned} \frac{t_{\mathrm{MS}}}{t_{\odot,\mathrm{MS}}} &\approx \frac{0.20}{0.00358}\\ &\approx 55.9 \end{aligned} \]
अनुमानित जीवनकाल सूर्य के मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल का लगभग 56 गुना है। यदि सूर्य का जीवनकाल 10 अरब वर्ष माना जाए, तो यह लगभग 560 अरब वर्ष होता है।
चरण 3: सीमाओं की व्याख्या करें।
इस परिणाम को सटीक मानने से बचने के दो महत्त्वपूर्ण कारण हैं।
पहला, अनुमानित द्रव्यमान-दीप्तिमानता संबंध में घातांक सभी तारकीय द्रव्यमानों के लिए स्थिर नहीं होता। इसी संबंध को बहुत कम द्रव्यमान वाले तारे पर लागू करने से उसकी दीप्तिमानता का गलत अनुमान मिल सकता है।
दूसरा, \(0.20M_\odot\) द्रव्यमान वाले तारे के पूरी तरह संवहनशील होने की अपेक्षा है। मिश्रण के कारण तारे के बड़े हिस्से की हाइड्रोजन उसके दीर्घकालीन ईंधन-स्रोत में भाग ले सकती है। इसलिए उपयोग योग्य ईंधन का अंश उस अंश से अलग होता है जिसे सरल मॉडल मानकर चलता है।
यह गणना दिखाती है कि कम द्रव्यमान वाले तारे असाधारण रूप से लंबे समय तक जीवित क्यों रह सकते हैं। सटीक जीवनकाल ज्ञात करने के लिए ऐसे मॉडल की आवश्यकता होती है जो तारे की वास्तविक संरचना और विकास को ध्यान में रखे।
प्रश्न 4
मान लीजिए कि किसी तारे के केंद्र में संलयन की दर इतनी बढ़ जाती है कि वह तारे द्वारा विकिरित की जा रही ऊर्जा से अधिक तेज़ी से ऊर्जा उत्पन्न करने लगता है।
समझाइए कि तारा इस स्थिति पर कैसी प्रतिक्रिया देता है और यह प्रतिपुष्टि किसी भारी तारे को सूर्य की दीप्तिमानता पर स्थिर होने के लिए बाध्य क्यों नहीं करती।
हल 4
केंद्र के फैलने और ठंडा होने से प्रतिक्रिया होती है, जिससे संलयन की दर घटती है और संतुलन बहाल करने में मदद मिलती है। हालाँकि, संतुलन की अवस्था तारे के द्रव्यमान पर निर्भर करती है, इसलिए तारे का सूर्य की दीप्तिमानता पर स्थिर होना आवश्यक नहीं है।
यदि केंद्र तारे द्वारा खोई जा रही ऊर्जा की तुलना में बहुत अधिक ऊर्जा उत्पन्न करता है, तो अतिरिक्त ऊर्जा के कारण तारे का विस्तार होने लगता है। विस्तार के दौरान केंद्र ठंडा होता है, जिससे संलयन की दर घट जाती है।
यदि ऊर्जा-उत्पादन ऊर्जा-हानि की तुलना में बहुत कम हो जाता है, तो केंद्र सिकुड़ता है और गर्म होता है, जिससे संलयन की दर बढ़ जाती है।
यह एक स्थिरकारी प्रतिपुष्टि तंत्र है। यह तारे को उसके मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल के दौरान अपेक्षाकृत स्थिर संरचना बनाए रखने में मदद करता है।
यह प्रतिपुष्टि सभी तारों को समान केंद्र-तापमान या समान दीप्तिमानता प्राप्त करने के लिए बाध्य नहीं करती। अधिक द्रव्यमान वाले तारे को अधिक प्रबल गुरुत्वाकर्षण का संतुलन बनाना पड़ता है और वह सामान्यतः अधिक गर्म तथा अधिक दीप्तिमान अवस्था में स्थिर होता है। इसलिए वह स्थिर रहते हुए भी सूर्य की तुलना में बहुत अधिक ऊर्जा-उत्पादन बनाए रख सकता है।
मुख्य अंतर किसी तारे के ऊर्जा-उत्पादन को नियंत्रित करने और उसके ऊर्जा-उत्पादन को एक सार्वभौमिक मान पर निर्धारित करने के बीच है।
प्रश्न 5
दो मुख्य-अनुक्रम तारों का अवलोकन किया गया है। उनके द्रव्यमान, दीप्तिमानता और उपयोग योग्य हाइड्रोजन की मात्रा नीचे दी गई है।
| गुण | तारा A | तारा B |
|---|---|---|
| कुल द्रव्यमान | \(10M_\odot\) | \(2M_\odot\) |
| दीप्तिमानता | \(3000L_\odot\) | \(20L_\odot\) |
| मुख्य-अनुक्रम की शुरुआत में उपयोग योग्य हाइड्रोजन | \(1.2M_\odot\) | \(0.30M_\odot\) |
| वर्तमान में बची हुई उपयोग योग्य हाइड्रोजन का अंश | 25% | 80% |
इस प्रश्न के लिए मान लें कि दोनों तारों में जलने वाली हाइड्रोजन के प्रत्येक किलोग्राम से समान मात्रा में ऊर्जा निकलती है। यह भी मान लें कि प्रत्येक तारे की दीप्तिमानता उसके पूरे मुख्य-अनुक्रम चरण में स्थिर रही और उपयोग योग्य हाइड्रोजन की प्रारंभिक मात्रा निश्चित थी। गणना के लिए ये जानबूझकर की गई सरलीकृत मान्यताएँ हैं।
(a) वर्तमान में किस तारे के पास निरपेक्ष मात्रा में अधिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन बची हुई है?
(b) उनके शेष मुख्य-अनुक्रम जीवनकालों का अनुपात \(t_{A,\mathrm{rem}}/t_{B,\mathrm{rem}}\) ज्ञात कीजिए।
(c) पहले ही खर्च हो चुकी ईंधन की मात्रा का उपयोग करके निर्धारित कीजिए कि क्या इस मॉडल के अंतर्गत दोनों तारों की आयु समान हो सकती है।
(d) समझाइए कि आपके परिणाम इस सामान्य प्रवृत्ति के विरुद्ध क्यों नहीं हैं कि अधिक द्रव्यमान वाले मुख्य-अनुक्रम तारों का जीवनकाल कम होता है।
हल 5
तारा A के पास अधिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन बची हुई है, लेकिन इस मॉडल के अनुसार उसका शेष मुख्य-अनुक्रम समय तारा B के शेष समय का केवल \(1/120\) है। दी गई मान्यताओं के अंतर्गत, दोनों तारों की आयु समान नहीं है। यह परिणाम केवल ईंधन की मात्रा की तुलना करने के बजाय ईंधन की उपलब्धता और ऊर्जा-उत्पादन की तुलना करने से प्राप्त होता है।
भाग (a): बची हुई ईंधन-आपूर्ति की तुलना करें।
तारा A के पास प्रारंभिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन का 25% बचा है:
\[ \begin{aligned} F_{A,\mathrm{rem}} &=0.25(1.2M_\odot)\\ &=0.30M_\odot \end{aligned} \]
तारा B के पास 80% हाइड्रोजन बची है:
\[ \begin{aligned} F_{B,\mathrm{rem}} &=0.80(0.30M_\odot)\\ &=0.24M_\odot \end{aligned} \]
तारा A के पास \(0.30M_\odot\) उपयोग योग्य हाइड्रोजन बची है, जबकि तारा B के पास \(0.24M_\odot\) है। इसलिए तारा A के पास 1.25 गुना अधिक उपयोग योग्य ईंधन बचा है।
भाग (b): शेष जीवनकालों की तुलना करें।
दी गई मान्यताओं के अंतर्गत, शेष समय बची हुई ईंधन की मात्रा को दीप्तिमानता से भाग देने के समानुपाती है:
\[ t_{\mathrm{rem}}\propto \frac{F_{\mathrm{rem}}}{L} \]
इसलिए,
\[ \begin{aligned} \frac{t_{A,\mathrm{rem}}}{t_{B,\mathrm{rem}}} &\approx \frac{0.30/3000}{0.24/20}\\[4pt] &=\frac{0.00010}{0.012}\\[4pt] &=\frac{1}{120} \end{aligned} \]
इस मॉडल के अनुसार, तारा A का शेष मुख्य-अनुक्रम समय तारा B के शेष समय का केवल \(1/120\) है।
ऐसा अनुमान लगाना आकर्षक लग सकता है कि तारा A अधिक समय तक जीवित रहेगा, क्योंकि उसके पास अधिक हाइड्रोजन बची है। लेकिन निर्णायक कारक उसकी दीप्तिमानता है: तारा A, तारा B की तुलना में 150 गुना तेज़ी से ऊर्जा विकिरित करता है, जबकि उसकी शेष ईंधन-आपूर्ति केवल 1.25 गुना अधिक है। इसलिए वह अपने बचे हुए ईंधन को बहुत तेज़ी से खर्च करता है।
भाग (c): निर्धारित करें कि क्या दोनों तारों की आयु समान हो सकती है।
हमें प्रत्येक तारे द्वारा पहले ही खर्च की जा चुकी ईंधन की मात्रा की गणना करनी होगी। इसके बाद बीते हुए समय की तुलना करने के लिए इस मात्रा को दीप्तिमानता से भाग देना होगा।
तारा A अपनी प्रारंभिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन का 75% खर्च कर चुका है:
\[ \begin{aligned} F_{A,\mathrm{used}} &=0.75(1.2M_\odot)\\ &=0.90M_\odot \end{aligned} \]
तारा B अपनी प्रारंभिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन का 20% खर्च कर चुका है:
\[ \begin{aligned} F_{B,\mathrm{used}} &=0.20(0.30M_\odot)\\ &=0.060M_\odot \end{aligned} \]
प्रत्येक तारे के मुख्य-अनुक्रम चरण की शुरुआत से बीता हुआ समय, खर्च किए गए ईंधन को दीप्तिमानता से भाग देने के समानुपाती है। इसलिए,
\[ \begin{aligned} \frac{t_{A,\mathrm{age}}}{t_{B,\mathrm{age}}} &\approx \frac{0.90/3000}{0.060/20}\\[4pt] &=\frac{0.00030}{0.0030}\\[4pt] &=0.10 \end{aligned} \]
इस मॉडल के अनुसार, तारा A ने तारा B की तुलना में मुख्य अनुक्रम पर केवल दसवाँ हिस्सा समय बिताया है। इसलिए यदि दी गई जानकारी और मान्यताएँ सटीक हैं, तो दोनों की आयु समान नहीं हो सकती।
यह एक उपयोगी जाँच है: दो तारे मुख्य अनुक्रम पर हो सकते हैं, भले ही उनका निर्माण एक ही समय पर न हुआ हो।
भाग (d): परिणामों का द्रव्यमान-जीवनकाल की प्रवृत्ति से मेल बैठाएँ।
ये परिणाम सामान्य प्रवृत्ति के अनुरूप हैं, क्योंकि तारा A का कुल मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल भी कम है।
प्रारंभिक ईंधन-आपूर्ति का उपयोग करने पर,
\[ \begin{aligned} \frac{t_{A,\mathrm{MS}}}{t_{B,\mathrm{MS}}} &\approx \frac{1.2/3000}{0.30/20}\\[4pt] &=\frac{0.0004}{0.015}\\[4pt] &\approx \frac{1}{37.5} \end{aligned} \]
इस सरलीकृत मॉडल के अनुसार, तारा A का कुल मुख्य-अनुक्रम जीवनकाल तारा B के जीवनकाल का लगभग \(1/37.5\) है।
यहाँ अंतर कुल जीवनकाल और शेष जीवनकाल के बीच है। तारा A के पास शुरुआत में अधिक उपयोग योग्य हाइड्रोजन थी, लेकिन उसकी दीप्तिमानता इतनी अधिक है कि उसकी कुल ईंधन-आपूर्ति बहुत कम समय तक चलती है। तारा B की तुलना में उसका वर्तमान शेष समय और भी कम है, क्योंकि वह अपने उपलब्ध ईंधन का अधिक बड़ा अंश पहले ही खर्च कर चुका है।
यह प्रश्न यह भी दिखाता है कि किसी गणना के पीछे की मान्यताओं की जाँच करना क्यों आवश्यक है। वास्तविक तारों की दीप्तिमानता पूरी तरह स्थिर नहीं रहती और उनके आंतरिक भागों के विकास के साथ उपयोग योग्य ईंधन की मात्रा भी बदल सकती है।
यही द्रव्यमान-दीप्तिमानता-जीवनकाल संबंध एक अन्य उपयोगी अनुप्रयोग की ओर ले जाता है: तारागुच्छ की आयु का अनुमान लगाना। ऐसे तारागुच्छ में जिसके तारे लगभग एक ही समय पर बने हों, मुख्य-अनुक्रम टर्न-ऑफ उन तारों की पहचान करता है जो केंद्र में हाइड्रोजन संलयन समाप्त करके मुख्य अनुक्रम छोड़ने वाले हैं। चूँकि अधिक द्रव्यमान वाले तारे सामान्यतः पहले मुख्य अनुक्रम छोड़ते हैं, इसलिए यह टर्न-ऑफ खगोलविदों को तारागुच्छ की आयु का अनुमान लगाने में मदद करता है।