수직항력이 무게와 같지 않은 경우는 언제일까? HSC 물리

경사면 문제를 풀고 있고, 블록은 정지해 있으므로 \(N=mg\)라고 적었다고 해 보자. 논리적으로 맞는 것처럼 느껴진다. 가속도가 0이면 힘이 평형을 이루기 때문이다. 그런데 계산한 수직항력이 지나치게 크게 나온다.

실수는 ‘힘이 평형을 이룬다’는 것을 ‘수직항력이 무게 전체와 평형을 이룬다’는 뜻으로 해석한 데 있다. 두 가지는 같은 의미가 아니다.

계속 읽기 전에 다음 문제의 답을 예상해 보자. 질량이 \(4.0\ \text{kg}\)인 블록이 수평면과 \(30^\circ\)의 각도를 이루는 고정된 경사면 위에 놓여 있다. 이 블록의 수직항력은 \(39.2\ \text{N}\), \(19.6\ \text{N}\), 아니면 둘 다 아닐까?

정답은 둘 다 아니다. 수직항력은 약 \(33.9\ \text{N}\)이다. 전체 무게는 \(39.2\ \text{N}\)이고, \(19.6\ \text{N}\)은 경사면 아래쪽으로 작용하는 중력의 성분이다.

핵심은 수직항력이 어느 방향으로 작용하는지 파악한 다음, 그 방향의 힘을 계산하는 것이다.

01진단: 평형을 이루는 힘을 잘못 선택하고 있다

수직항력 \(N\)은 접촉면이 그 면에 수직인 방향으로 가하는 접촉력이다. 무게 \(mg\)는 수직 아래쪽으로 작용하는 중력이다.

여기서 \(m\)은 킬로그램 단위의 질량이고, \(g\)는 중력장 세기로, 지표면 근처에서는 약 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)이다.

수평 책상 위에서는 수직항력이 수직 위쪽을 향한다. 무게는 수직 아래쪽을 향한다. 따라서 두 힘은 서로 직접 평형을 이룰 수 있다.

경사면에서는 수직항력이 수직 방향에 대해 기울어져 있다. 두 힘의 방향이 서로 정반대가 아니므로 수직항력이 무게 전체와 평형을 이룰 수는 없다.

자유물체도에서 가장 먼저 확인해야 할 사항은 다음과 같다. 수직항력을 자동으로 수직 위쪽으로 그리지 말고, 실제 접촉면에 수직인 방향으로 그려야 한다.

자유물체도에 표시해야 하는 것

자유물체도는 하나의 물체를 다른 대상과 분리해 생각하고, 그 물체에 작용하는 모든 힘을 나타낸 그림이다. 수직항력 문제에서는 각 힘을 주의 깊게 표시해야 한다.

여기서 \(a_y\)는 수직 가속도, \(a_\perp\)는 접촉면에 수직인 가속도, \(F_y\)는 외력이 가지는 수직 위쪽 성분이다. 위 표의 식은 접촉면에 수직인 성분을 가진 다른 힘이 없다고 가정한다. 그러한 힘이 있다면 해당 힘도 포함해야 한다.

경사면의 방정식에서 \(\theta\)는 경사면과 수평면 사이의 각도이다. 이 방정식에는 경사면에 수직인 중력의 성분 \(mg\cos\theta\)가 사용된다.

이 방정식들의 공통점을 살펴보자. 모두 접촉면에 수직인 방향에 뉴턴의 제2법칙을 적용한 것이다.

\[ \boxed{\sum F_\perp=ma_\perp} \]

기호 \(\sum F_\perp\)는 접촉면에 수직인 방향의 알짜힘을 의미한다. \(N=mg\)라고 가정하는 대신 이 방정식에서 출발해야 한다.

02\(N=mg\)가 실제로 성립하는 경우는?

수평 책상 위에 놓인 책을 생각해 보자.

책에는 수직 가속도가 없다. 수직 방향으로 작용하는 힘이 수직항력과 무게뿐이라면, 수직 방향의 알짜힘은 0이어야 한다.

위쪽을 양의 방향으로 정하면,

\[ N-mg=0 \]

따라서,

\[ \boxed{N=mg} \]

이 결과가 옳은 이유는 책이 정지해 있기 때문만이 아니라, 특정한 조건들이 충족되기 때문이다.

이제 조건을 한 번에 하나씩 바꿔 보자.

사례 1: 경사면 위의 물체

중력을 두 성분으로 분해하자.

• \(mg\cos\theta\): 경사면에 수직으로 작용하며, 경사면 안쪽을 향하는 성분.
• \(mg\sin\theta\): 경사면과 평행하게 작용하며, 경사면 아래쪽을 향하는 성분.

물체가 고정된 직선 경사면과 계속 접촉하고 있다면, 경사면에 수직인 방향의 가속도는 0이다. 다른 힘에 수직 성분이 없다면 수직항력은 중력의 수직 성분만 상쇄한다.

\[ N-mg\cos\theta=0 \]

따라서,

\[ \boxed{N=mg\cos\theta} \]

물체는 정지해 있을 수도 있고 경사면 아래쪽으로 가속할 수도 있다. 어느 경우든 경사면에 수직인 가속도가 0이고 다른 수직 방향 힘이 작용하지 않는다면 수직항력의 크기는 이 값이다.

• N/(mg) = cos θ

이 그래프는 주어진 가정하에서 경사면이 가팔라질수록 수직항력이 감소하는 이유를 보여 준다. 경사각이 \(0^\circ\)이면 경사면은 수평이므로 \(N=mg\)이다. 경사각이 \(60^\circ\)이면 수직항력은 무게의 절반에 불과하다.

성분 \(mg\sin\theta\)는 수직항력이 아니다. 이 성분은 경사면을 따라 작용하며, 경사면과 평행한 방향의 운동을 분석할 때 중요하다.

사례 2: 물체에 추가적인 힘이 작용하는 경우

다시 수평 책상으로 돌아가 보자. 상자를 비스듬히 위쪽으로 당긴다고 가정하자.

당기는 힘의 일부는 수평으로 작용한다. 나머지는 수직 위쪽으로 작용하여 상자를 일부 지탱한다.

상자에 수직 가속도가 없다면 수직 방향의 힘은 다음 관계를 만족한다.

\[ N+F_y-mg=0 \]

따라서,

\[ \boxed{N=mg-F_y} \]

당기는 힘의 위쪽 성분은 수직항력을 감소시킨다. 반대로 아래쪽으로 비스듬히 밀면 아래쪽 성분이 수직항력을 증가시킨다.

직선 표면과 완전히 평행하게 작용하는 힘에는 그 표면에 수직인 성분이 없다. 따라서 표면에 수직인 가속도가 0으로 유지되는 한, 이러한 힘은 수직항력을 직접 변화시키지 않는다.

사례 3: 물체가 수직 방향으로 가속하는 경우

이번에는 물체를 엘리베이터 안의 저울 위에 올려놓자.

저울은 물체에 작용하는 수직 접촉력의 크기를 측정한다. 엘리베이터가 위쪽으로 가속한다면 위쪽 알짜힘이 발생해야 하므로 수직항력은 무게보다 커야 한다.

위쪽을 양의 방향으로 정하면,

\[ N-mg=ma_y \]

식을 정리하면,

\[ \boxed{N=m(g+a_y)} \]

위쪽 가속도의 크기가 \(a\)라면,

\[ N=m(g+a) \]

아래쪽 가속도의 크기가 \(a\)라면,

\[ N=m(g-a) \]

따라서 사람의 질량이나 중력장 세기가 변하지 않아도 더 무겁거나 가볍게 느껴질 수 있다. 가속도가 변하면서 지지력이 달라졌기 때문이다.

자유 낙하에서는 중력이 여전히 작용하지만 수직항력은 0이다. 사람과 엘리베이터가 함께 아래쪽으로 가속하므로 저울은 더 이상 사람을 지탱하지 않는다.

03시험 문제를 푸는 신뢰할 수 있는 방법

수직항력을 계산하라는 문제가 나오면 다음 순서를 따르자.

1단계: 접촉면을 확인한다.

물체가 수평 바닥, 경사면, 벽 또는 곡면 위에 있는가? 수직항력은 접촉 지점에서 표면에 수직인 방향으로 작용해야 한다.

2단계: 자유물체도를 그린다.

무게, 수직항력, 물체에 작용하는 모든 외력, 장력 및 마찰력을 포함한다. 지표면 근처에서 무게는 항상 수직 아래쪽으로 작용한다. 수직항력은 접촉면에 수직으로 작용한다.

3단계: 수직 방향의 축을 선택한다.

수평면에서는 수직축을 사용한다. 직선 경사면에서는 경사면과 평행한 축과 수직인 축을 사용한다.

4단계: 힘을 성분으로 분해한다.

접촉면에 수직인 방향의 힘 방정식에는 수직 성분만 포함한다. 경사면과 평행한 힘은 이 방정식에 기여하지 않는다.

5단계: 뉴턴의 제2법칙을 적용한다.

다음과 같이 쓴다.

\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]

물체가 표면에 수직인 방향으로 가속하지 않을 때만 \(a_\perp=0\)으로 둔다. 고정된 직선 경사면과 접촉하는 경우에는 일반적으로 이 조건이 성립한다.

6단계: 접촉이 물리적으로 가능한지 확인한다.

수직항력은 물체를 표면에서 밀어낼 수 있지만, 물체를 표면 쪽으로 끌어당길 수는 없다. 이 모형에서는 \(N\)이 음수가 될 수 없다.

계산 결과가 \(N<0\)이라면 가정한 접촉 조건은 물리적으로 불가능하다. 접촉이 끊어지면 \(N=0\)으로 두고, 수직항력이 더 이상 작용하지 않는 상태에서 물체의 운동을 분석한다.

05시험에서 통하지 않는 단순화

또 다른 특수한 경우도 중요하다. 곡선 트랙 위에서는 물체가 표면에 수직인 방향으로 가속할 수 있으므로 \(N=mg\cos\theta\)조차 틀릴 수 있다. 암기한 공식에 의존하지 말고 뉴턴의 제2법칙으로 돌아가야 한다.

또한 수직항력과 무게는 뉴턴의 제3법칙에 따른 작용·반작용 쌍이 아니다. 두 힘 모두 같은 물체에 작용한다. 무게에 대한 반작용은 물체가 지구를 중력으로 끌어당기는 힘이고, 수직항력에 대한 반작용은 물체가 표면에 가하는 접촉력이다.

수직항력이 마찰력에 중요한 이유

이 부분에서 잘못된 개념이 또 다른 오류로 이어질 수 있다.

최대 정지 마찰력은 다음과 같다.

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

여기서 \(f_{s,\max}\)는 가능한 최대 정지 마찰력이고, \(\mu_s\)는 정지 마찰 계수이다. 정지 마찰력이 항상 이 최댓값과 같은 것은 아니다. 미끄러짐을 막기 위해 필요한 크기로 조절되며, 최댓값을 넘을 수 없을 뿐이다.

외력이 물체를 경사면에서 멀어지는 방향으로 당기면 수직항력이 감소한다. 그에 따라 최대 정지 마찰력도 감소한다.

따라서 물체를 경사면 위쪽으로 당기는 힘은 두 가지 방식으로 동시에 더 효과적으로 작용할 수 있다. 경사면을 따라 작용하는 성분은 물체를 위쪽으로 움직이려는 경향을 증가시키고, 표면 바깥쪽으로 작용하는 성분은 그 운동을 방해할 수 있는 마찰력을 감소시킨다.

• 수직항력 N
• 최대 정지 마찰력 μₛN

0630초 자가 점검

수직항력 계산을 마치고 다음 단계로 넘어가기 전에 스스로 질문해 보자.

• \(N\)을 실제 접촉면에 수직인 방향으로 그렸는가?
• 물체에 작용하는 모든 힘을 포함했는가?
• 힘을 수직항력의 방향에 해당하는 성분으로 분해했는가?
• \(N=mg\)라고 가정하는 대신 \(\sum F_\perp=ma_\perp\)를 사용했는가?
• 접촉이 유지되는 동안 \(N\geq0\)이라는 조건을 만족하며, 답이 물리적으로 가능한가?
• 마찰력이 관련되어 있다면 최대 마찰력을 구하기 전에 \(N\)을 계산했는가?

이제 조건이 바뀌었을 때도 이 방법을 적용할 수 있는지 확인해 보자.

07문제와 해설

문제 1

질량이 \(4.0\ \text{kg}\)인 상자가 수평 탁자 위에 놓여 있다. 상자에는 다른 수직 방향 힘이 작용하지 않는다. 탁자가 상자에 가하는 수직항력을 계산하라. \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)로 하자.

해설 1

수직항력은 \(\boxed{39.2\ \text{N}}\)이다. 상자의 수직 가속도가 0이고, 수직 방향으로 작용하는 힘이 수직항력과 무게뿐이기 때문이다.

위쪽을 양의 방향으로 정하면,

\[ N-mg=ma_y \]

\(a_y=0\)이므로,

\[ N=mg \]

값을 대입하면,

\[ N=(4.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) =39.2\ \text{N} \]

이 경우에는 표면이 수평이고 추가적인 수직 방향 힘이 없으며 상자의 수직 가속도가 0이므로 \(N=mg\)가 성립한다. 이 결과를 모든 표면과 모든 상황에 일반화하지 않도록 주의하자.

문제 2

질량이 \(8.0\ \text{kg}\)인 상자가 수평면과 \(30^\circ\)의 각도를 이루는 고정된 경사면 위에 정지해 있다. 크기가 \(25\ \text{N}\)인 힘이 경사면과 평행하게 위쪽으로 작용한다. 정지 마찰력도 작용하며, 표면은 필요한 크기의 정지 마찰력을 제공할 수 있다.

다음을 계산하라.

(a) 수직항력의 크기

(b) 정지 마찰력의 크기와 방향

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)로 하자.

해설 2

수직항력은 \(\boxed{67.9\ \text{N}}\)이고, 정지 마찰력은 경사면 위쪽으로 \(\boxed{14.2\ \text{N}}\)이다. 외력과 마찰력은 경사면을 따라 작용하는 힘의 평형에 영향을 주지만, 어느 힘에도 경사면에 수직인 성분은 없다.

(a) 수직항력

경사면에 수직인 중력의 성분은 \(mg\cos30^\circ\)이다. 상자의 수직 가속도가 0이므로,

\[ N-mg\cos30^\circ=0 \]

따라서,

\[ \begin{aligned} N&=(8.0)(9.8)\cos30^\circ\\ &=78.4(0.8660)\\ &=67.9\ \text{N} \end{aligned} \]

(b) 정지 마찰력

경사면 아래쪽으로 작용하는 중력 성분은 다음과 같다.

\[ mg\sin30^\circ =(8.0)(9.8)(0.5) =39.2\ \text{N} \]

외력은 경사면 위쪽으로 \(25\ \text{N}\) 작용한다. 마찰력이 없다면 경사면을 따라 작용하는 알짜힘은 다음과 같다.

\[ 39.2-25.0=14.2\ \text{N} \]

이 힘은 경사면 아래쪽으로 작용한다.

상자가 정지해 있으므로 마찰력은 이러한 운동 경향에 반대되는 방향으로 작용해야 한다. 따라서 마찰력은 경사면 위쪽으로 \(14.2\ \text{N}\)의 크기로 작용한다.

중력이 경사면 아래쪽 성분을 가지므로 마찰력도 반드시 경사면 아래쪽으로 작용한다고 가정하는 것이 함정이다. 마찰력은 중력 자체에 반대하는 것이 아니라 접촉면 사이의 상대 운동 경향에 반대한다.

문제 3

질량이 \(12.0\ \text{kg}\)인 상자가 수평 바닥 위에서 오른쪽으로 움직이고 있다. 상자는 수평 방향보다 \(35^\circ\) 위쪽으로 기울어진 \(60.0\ \text{N}\)의 힘으로 당겨지는 동시에, 수직 아래쪽으로 \(20.0\ \text{N}\)의 힘을 받고 있다. 운동 마찰 계수는 \(\mu_k=0.25\)이다.

상자의 수직 가속도가 0이고 바닥과 계속 접촉한다고 가정하자.

다음을 계산하라.

(a) 수직항력

(b) 상자의 수평 가속도

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)로 하자.

해설 3

수직항력은 \(\boxed{103.2\ \text{N}}\)이고, 수평 가속도는 오른쪽으로 약 \(\boxed{1.95\ \text{m s}^{-2}}\)이다. 아래쪽으로 미는 힘은 수직항력을 증가시키고, 이로 인해 운동 마찰력이 커져 수평 방향의 알짜힘이 감소한다.

(a) 수직항력

수직 방향의 힘은 수직항력과 당기는 힘의 위쪽 성분이며, 이 힘들은 무게와 추가적인 아래쪽 힘에 의해 평형을 이룬다.

수직 가속도가 0이므로,

\[ N+60.0\sin35^\circ-mg-20.0=0 \]

식을 정리하면,

\[ N=mg+20.0-60.0\sin35^\circ \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} N&=117.6+20.0-34.4\\ &=103.2\ \text{N} \end{aligned} \]

(b) 수평 가속도

상자가 바닥에 대해 오른쪽으로 움직이고 있으므로 운동 마찰력은 왼쪽으로 작용한다.

운동 마찰력의 크기는 다음과 같다.

\[ f_k=\mu_kN \]

따라서,

\[ f_k=0.25(103.2)=25.8\ \text{N} \]

당기는 힘의 수평 성분은 다음과 같다.

\[ F_x=60.0\cos35^\circ =49.1\ \text{N} \]

오른쪽을 양의 방향으로 정하면 수평 알짜힘은 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},x}&=F_x-f_k\\ &=49.1-25.8\\ &=23.3\ \text{N} \end{aligned} \]

수평 방향에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면,

\[ a_x=\frac{F_{\text{net},x}}{m} \]

\[ a_x=\frac{23.3}{12.0} =1.94\ \text{m s}^{-2} \]

상자는 오른쪽으로 약 \(1.95\ \text{m s}^{-2}\)의 가속도로 움직인다.

흔히 저지르는 실수는 마찰력을 계산할 때 \(N=mg\)를 사용하는 것이다. 그렇게 하면 당기는 힘의 위쪽 성분과 추가적인 아래쪽 힘을 모두 무시하게 된다. 그 결과 마찰력과 가속도가 모두 잘못 계산된다.

문제 4

질량이 \(60.0\ \text{kg}\)인 승객이 엘리베이터 안의 저울 위에 서 있다. 저울의 표시값은 \(510\ \text{N}\)이다.

(a) 승객의 수직 가속도를 계산하라.

(b) 엘리베이터의 운동에 대해 무엇을 결론 내릴 수 있는가? 저울의 표시값만으로 엘리베이터가 위쪽으로 이동하는지 아래쪽으로 이동하는지 결정할 수 없는 이유를 설명하라.

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)로 하자. 저울의 표시값은 승객에게 작용하는 수직항력과 같고 다른 수직 방향 힘은 작용하지 않는다고 가정하자.

해설 4

승객의 가속도는 아래쪽으로 \(\boxed{1.30\ \text{m s}^{-2}}\)이다. 저울의 표시값으로 가속도의 방향은 알 수 있지만, 속도의 방향은 알 수 없다.

(a) 가속도

위쪽을 양의 방향으로 정한다. 수직 방향의 힘 방정식은 다음과 같다.

\[ N-mg=ma_y \]

식을 정리하면,

\[ a_y=\frac{N-mg}{m} \]

승객의 무게는 다음과 같다.

\[ mg=(60.0)(9.8)=588\ \text{N} \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{510-588}{60.0}\\ &=\frac{-78}{60.0}\\ &=-1.30\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

음수 부호는 가속도가 아래쪽을 향한다는 뜻이다.

(b) 운동 방향

엘리베이터는 아래쪽으로 가속하고 있다. 위쪽으로 이동 중이라면 속력이 감소하고 있는 것이다. 아래쪽으로 이동 중이라면 속력이 증가하고 있는 것이다.

아래쪽으로 움직이기 시작하는 순간에는 순간적으로 정지해 있을 수도 있다. 저울의 표시값만으로는 엘리베이터의 속도를 알 수 없다.

흔히 저지르는 실수는 저울의 표시값이 승객의 무게보다 작으면 엘리베이터가 아래쪽으로 이동한다고 결론 내리는 것이다. 표시값은 가속도를 알려 줄 뿐, 이동 방향을 알려 주지는 않는다. 속도와 가속도는 서로 다른 물리량이다.

문제 5

질량이 \(5.0\ \text{kg}\)인 블록이 수평면과 \(30^\circ\)의 각도를 이루는 거친 고정 경사면 위에 놓여 있다. 정지 마찰 계수는 \(\mu_s=0.70\)이다.

크기가 \(F\)인 힘이 경사면 위쪽을 향하면서 경사면보다 \(20^\circ\) 위쪽으로 기울어진 방향으로 작용한다. 즉, 힘은 블록을 경사면 위쪽으로 밀면서 표면에서 멀어지게 한다. 처음에는 \(F=0\)이고, 힘의 크기를 천천히 증가시킨다.

블록은 처음에 정지해 있고, 경사면은 직선이며, 접촉이 유지되는 동안 블록의 경사면 수직 가속도는 0이라고 가정하자. \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)로 하자.

다음을 구하라.

(a) 정지 마찰력의 방향이 바뀌는 힘의 크기

(b) 블록이 경사면 위쪽으로 미끄러지기 시작하는 힘의 크기

(c) 블록이 경사면 위쪽으로 미끄러지기 시작하기 전에 경사면과의 접촉을 잃는지 여부

\(N=mg\cos30^\circ\)를 상수로 취급하면 (b)의 답이 왜 틀리는지 설명하라.

해설 5

정지 마찰력의 방향은 약 \(\boxed{26.1\ \text{N}}\)에서 바뀐다. 블록은 약 \(\boxed{46.0\ \text{N}}\)에서 경사면 위쪽으로 미끄러지기 시작한다. 이는 수직항력이 0이 되어 접촉을 잃게 되는 약 \(\boxed{124\ \text{N}}\)보다 훨씬 작은 힘이다.

핵심은 가해진 힘이 두 성분으로 나뉜다는 것이다. 한 성분은 경사면 위쪽으로 작용하고, 다른 성분은 블록을 표면에서 멀어지게 당긴다. 두 번째 성분은 수직항력을 감소시키며, 그 결과 가능한 최대 정지 마찰력도 감소한다.

1단계: 블록이 처음에 정지 상태를 유지할 수 있는지 확인한다.

\(F=0\)일 때 수직항력은 다음과 같다.

\[ N=mg\cos30^\circ \]

\[ N=(5.0)(9.8)\cos30^\circ =42.4\ \text{N} \]

경사면 아래쪽으로 작용하는 중력 성분은 다음과 같다.

\[ mg\sin30^\circ =(5.0)(9.8)(0.5) =24.5\ \text{N} \]

최대 정지 마찰력은 다음과 같다.

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

\[ f_{s,\max}=0.70(42.4)=29.7\ \text{N} \]

\(24.5\ \text{N}<29.7\ \text{N}\)이므로 정지 마찰력은 처음에 블록을 정지 상태로 유지할 수 있다. 따라서 주어진 초기 조건은 물리적으로 가능하다.

2단계: 마찰력의 방향이 바뀌는 순간을 구한다.

가해진 힘의 경사면 평행 성분은 \(F\cos20^\circ\)이며, 위쪽을 향한다.

처음에는 중력의 아래쪽 성분이 더 크므로 블록이 아래쪽으로 미끄러지는 것을 막기 위해 마찰력이 위쪽으로 작용한다.

경사면을 따라 작용하는 두 성분이 평형을 이루면 마찰력은 0이 된다.

\[ F\cos20^\circ=mg\sin30^\circ \]

따라서,

\[ F=\frac{mg\sin30^\circ}{\cos20^\circ} \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\sin30^\circ} {\cos20^\circ}\\ &=\frac{24.5}{0.9397}\\ &=26.1\ \text{N} \end{aligned} \]

힘이 \(26.1\ \text{N}\)일 때 경사면을 따라 작용하는 힘의 평형을 유지하는 데 마찰력은 필요하지 않다.

가해진 힘이 이보다 작으면 마찰력은 위쪽으로 작용한다. 가해진 힘이 이보다 커지면 힘의 위쪽 성분이 중력의 아래쪽 성분보다 커지므로, 블록이 위쪽으로 움직이는 것을 막기 위해 마찰력이 아래쪽으로 작용해야 한다.

3단계: 수직항력의 변화를 고려한다.

가해진 힘에는 \(F\sin20^\circ\)라는 바깥쪽 성분이 있다. 이 성분은 수직항력을 감소시킨다.

블록이 경사면과 접촉하는 동안 수직 가속도가 0이므로,

\[ N+F\sin20^\circ-mg\cos30^\circ=0 \]

따라서,

\[ \boxed{N=mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ} \]

알려진 값을 대입하면,

\[ N=42.4-F\sin20^\circ \]

이 관계가 핵심이다. \(F\)가 증가하는 동안 수직항력은 일정하지 않다.

4단계: 블록이 경사면 위쪽으로 미끄러지기 시작하는 순간을 구한다.

블록이 위쪽으로 미끄러지기 직전에는 정지 마찰력이 최대 크기로 아래쪽을 향한다.

\[ f_s=\mu_sN \]

운동이 시작되기 직전에는 경사면을 따라 작용하는 알짜힘이 여전히 0이다. 따라서,

\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ=\mu_sN \]

\(N\)에 대한 식을 대입하면,

\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ =\mu_s(mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ) \]

\(F\)가 포함된 항을 한쪽으로 모으면,

\[ F(\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ) =mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ) \]

식을 정리하면,

\[ F= \frac{mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ)} {\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ} \]

\(m=5.0\ \text{kg}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\), \(\mu_s=0.70\)을 대입하면,

\[ \begin{aligned} F&= \frac{49.0(0.500+0.70\times0.8660)} {0.9397+0.70\times0.3420}\\ &=\frac{54.2}{1.1791}\\ &=46.0\ \text{N} \end{aligned} \]

가해진 힘이 약 \(46.0\ \text{N}\)에 도달하면 블록은 경사면 위쪽으로 미끄러지기 시작한다.

수직항력을 \(N=mg\cos30^\circ\)로 고정한 계산보다 이 값이 작은 이유는 무엇일까? 수직항력을 \(42.4\ \text{N}\)으로 잘못 고정하면 다음 식을 얻게 된다.

\[ F= \frac{mg\sin30^\circ+\mu_smg\cos30^\circ} {\cos20^\circ} \]

이 식으로 계산하면 약 \(57.7\ \text{N}\)이 나온다.

이 답이 지나치게 큰 이유는 최대 정지 마찰력이 일정하게 유지된다고 가정하기 때문이다. 실제로는 가해진 힘의 바깥쪽 성분이 \(N\)을 감소시키므로, 가해진 힘이 커질수록 최대 마찰력도 감소한다. 따라서 블록은 더 작은 힘에서 마찰 한계에 도달한다.

5단계: 접촉이 먼저 끊어지는지 확인한다.

수직항력이 0이 되면 접촉이 끊어진다.

\[ mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ=0 \]

따라서,

\[ F=\frac{mg\cos30^\circ}{\sin20^\circ} \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\cos30^\circ} {\sin20^\circ}\\ &=\frac{42.4}{0.3420}\\ &=124\ \text{N} \end{aligned} \]

블록이 위쪽으로 미끄러지기 시작하는 힘이 \(46.0\ \text{N}\)일 때 수직항력은 여전히 양수이다.

\[ \begin{aligned} N&=42.4-46.0\sin20^\circ\\ &\approx26.7\ \text{N} \end{aligned} \]

따라서 블록은 경사면과의 접촉을 잃기 전에 위쪽으로 미끄러지기 시작한다.

중요한 점은 가해진 힘이 경사면을 따라 움직이려는 경향과 경사면에 수직인 접촉력 모두를 변화시킨다는 것이다. 수직항력은 가능한 최대 정지 마찰력을 결정하므로, 가해진 힘의 두 성분을 모두 고려하지 않으면 미끄러짐이 시작되는 순간을 올바르게 계산할 수 없다.

다음에 마찰력이 관련된 문제를 풀 때는 \(f_{s,\max}=\mu_sN\)을 사용하기 전에 수직항력을 계산하자. 엘리베이터 문제에서는 같은 수직 방향 힘 분석을 사용하여 겉보기 무게를 구할 수 있다. 신뢰할 수 있는 풀이 습관은 언제나 같다. 접촉면을 확인하고, 힘을 성분으로 분해한 다음, 접촉면에 수직인 방향으로 뉴턴의 제2법칙을 적용하는 것이다.