Cómo aprender de las soluciones resueltas sin copiarlas

Reconoces el patrón: lees una solución resuelta, asientes mientras la sigues y piensas: «Yo lo habría hecho así». Después cierras la página, intentas resolver la siguiente pregunta y no sabes qué escribir primero. Cambia una condición y, de repente, el método deja de funcionar.

El problema no es que hayas utilizado una solución resuelta. El problema es que reconocer el razonamiento de otra persona te hizo sentir que habías sido capaz de producir el tuyo.

Antes de seguir leyendo, predice qué estudiante está mejor preparado para enfrentarse a una pregunta desconocida. El estudiante A puede explicar cada línea mientras la solución está a la vista. El estudiante B tiene dificultades con una línea, identifica qué es lo que no puede justificar, cierra la solución y reconstruye el método de memoria. El estudiante B está realizando un trabajo más útil porque está comprobando si puede generar el razonamiento por sí mismo.

01Por qué leer una solución parece más fácil que resolver una pregunta

Una solución resuelta te da pistas. Te muestra qué fórmula utilizar, qué línea escribir a continuación y cuándo cambiar de estrategia. No tienes que tomar esas decisiones por tu cuenta.

Cuando intentas resolver la pregunta de forma independiente, esas pistas desaparecen. Debes decidir qué es importante, elegir un método y justificar cada paso.

Esta es la diferencia entre el reconocimiento y la recuperación. El reconocimiento consiste en familiarizarte con un método cuando lo ves. La recuperación consiste en recordar y aplicar ese método cuando la solución ya no está ahí para orientarte.

Piensa en seguir una ruta con un GPS. Puede que reconozcas cada giro mientras las indicaciones aparecen en la pantalla, pero eso no significa que supieras orientarte si una carretera estuviera cerrada. Necesitas comprender lo suficiente sobre la ruta como para tomar una decisión nueva.

La analogía tiene sus límites: los métodos matemáticos y científicos dependen de reglas y condiciones, no solo de indicaciones. Pero la idea fundamental sigue siendo válida. Seguir una solución y elegir de forma independiente el siguiente paso son habilidades diferentes.

La solución sigue siendo valiosa. Lo que necesitas es utilizarla como una herramienta para detectar y corregir lagunas, en lugar de leerla hasta que te resulte familiar.

02El método de cinco etapas para aprender de las soluciones resueltas

Utiliza este proceso cada vez que te quedes atascado con una pregunta de Matemáticas, Física o Química del HSC.

1. Intenta resolver la pregunta antes de abrir la solución

Primero, intenta resolver la pregunta de verdad. No necesitas completarla para beneficiarte de este paso.

Anota lo que sabes, lo que necesitas encontrar y cualquier ecuación, principio, diagrama o predicción pertinente. Si no sabes cómo empezar, identifica qué decisión no puedes tomar.

Por ejemplo, puede que sepas qué magnitudes te proporciona una pregunta de Física, pero no sepas si la aceleración es constante. O quizá reconozcas una expresión cuadrática, pero no sepas qué técnica utilizar para encontrar su mínimo.

Esa incertidumbre es información útil. Te indica en qué debes centrarte cuando leas la solución.

Sin embargo, no dediques media hora a repetir el mismo procedimiento sin éxito. Si has llegado a un bloqueo real, pasa a la siguiente etapa.

2. Encuentra el primer paso que no puedes justificar

Abre la solución resuelta y compárala con tu intento.

Encuentra la primera línea que no puedes explicar o el primer punto en el que tu razonamiento deja de tener sentido. Esto es mucho más útil que escribir «No entendí la pregunta» en toda la página.

Tu laguna normalmente encajará en una de estas categorías:

• Concepto: No entiendes el principio que fundamenta el paso.
• Selección del método: Conoces varias técnicas, pero no puedes decidir cuál corresponde aplicar.
• Condición: Has pasado por alto una hipótesis, una restricción o un cambio en la situación.
• Ejecución: Sabes qué hacer, pero cometes un error algebraico, aritmético, de signo o de unidades.
• Interpretación: Puedes calcular un resultado, pero no explicar qué significa ni si es razonable.

Son problemas diferentes, por lo que necesitan soluciones diferentes.

Además, no des por hecho que la primera línea que difiere de tu intento es necesariamente incorrecta. Dos métodos pueden ser válidos. Encuentra el primer paso que no puedes justificar, no simplemente el primero que parece diferente.

3. Estudia el razonamiento, no solo la secuencia

Ahora lee la solución paso a paso. Para cada paso importante, identifica cuatro elementos:

• El principio o la regla que permite realizar ese paso.
• La razón por la que ese principio se aplica a esta pregunta.
• Cualquier condición que deba cumplirse.
• Qué cambiaría si esa condición fuera diferente.

Supongamos que una solución matemática divide ambos lados de una ecuación entre una expresión que contiene \(x\). No te limites a anotar la división. Comprueba si esa expresión podría ser igual a cero, porque dividir entre cero no está definido y dividir entre una expresión que podría ser cero puede hacer que se pierda una solución válida.

En Física, si una solución utiliza una ecuación del movimiento, identifica si sus hipótesis se cumplen durante todo el intervalo de tiempo. En Química, si una solución utiliza una proporción molar, identifica de dónde procede esa proporción en la ecuación química ajustada.

Deberías poder completar la frase «Este paso es válido porque…» sin limitarte a repetir la propia línea.

4. Oculta la solución y reconstruye el procedimiento

Cierra la pestaña, tapa la página o dale la vuelta al libro. Empieza de nuevo en una hoja en blanco.

Reconstruye el método a partir de la pregunta original. Escribe los pasos importantes y explica brevemente por qué cada uno se deriva del anterior.

No intentes reproducir la redacción original. Tu desarrollo puede ser diferente si el razonamiento es válido.

Si te atascas, muestra únicamente la parte que necesitas corregir. Estúdiala, vuelve a ocultarla y continúa. Evita copiar las líneas restantes solo porque ya has visto la respuesta.

Este es el momento en el que descubres si la explicación se ha convertido en algo que puedes utilizar de forma independiente.

5. Pon a prueba el método con una pregunta ligeramente diferente

Resolver correctamente la pregunta original después de estudiar su solución es alentador, pero no es suficiente.

Intenta resolver una pregunta nueva que cambie una característica significativa. Por ejemplo:

• Cambia el coeficiente de una expresión cuadrática.
• Haz que la incógnita sea una magnitud diferente.
• Invierte el sentido de la aceleración en un problema de Física.
• Cambia las cantidades de una reacción química para que otro reactivo limite la cantidad de producto.
• Introduce una restricción sobre los valores permitidos de una variable.

Cambiar únicamente los números comprueba si puedes ejecutar el mismo método. Cambiar una condición comprueba si sabes cuándo y cómo adaptarlo.

Antes de hacer cálculos, indica qué se mantiene igual y qué debe cambiar. Después, resuelve la nueva pregunta sin consultar la solución original.

Por último, vuelve a practicar el método después de un intervalo, por ejemplo, al día siguiente. Si puedes reconstruirlo y aplicarlo a una pregunta nueva sin indicaciones, tendrás pruebas mucho más sólidas de haber aprendido que si simplemente lo relees inmediatamente.

• Velocidad del carrito

05Diagnostica el fallo antes de repetir la pregunta

Cuando tu reconstrucción o tu intento de resolver una pregunta modificada sale mal, utiliza el resultado para decidir qué hacer a continuación.

Estas son hipótesis que debes investigar, no conclusiones automáticas. Una respuesta incorrecta no demuestra que carezcas de comprensión. Encuentra el primer punto en el que falla tu razonamiento.

Si el mismo error se repite, registra su causa concreta en un registro de errores del HSC. Escribe «Supuse que la aceleración seguía siendo constante después de la primera etapa» en lugar de limitarte a escribir «Error por descuido». La primera anotación te indica qué debes corregir.

También puedes convertir las lagunas recurrentes en preguntas para el repaso activo. En lugar de crear una tarjeta que te pida enunciar una fórmula, utiliza una que te pregunte cuándo es válida esa fórmula o qué haría que no fuera apropiada. La guía sobre cómo crear tarjetas de estudio para el HSC que evalúen la comprensión explica cómo elaborar estas preguntas.

06Comprobación rápida: ¿Realmente has aprendido el método?

Antes de dar por terminado el estudio de un ejemplo resuelto, comprueba cada afirmación.

• [ ] Intenté resolver la pregunta antes de leer la solución.
• [ ] Puedo identificar el primer paso que no supe justificar.
• [ ] Puedo explicar por qué cada paso importante es válido, incluidas sus hipótesis y restricciones.
• [ ] Puedo reconstruir el método desde una hoja en blanco sin copiar.
• [ ] Puedo resolver una pregunta modificada y explicar qué se mantiene igual y qué cambia.
• [ ] Todavía puedo recuperar el método después de un intervalo.

Las pruebas más sólidas de aprendizaje consisten en poder justificar, reconstruir y transferir el método. No necesitas hacerlo todo perfectamente en el primer intento, pero sí debes comprender qué te ha revelado ese intento.

07Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Lees una solución resuelta y entiendes cada línea mientras está a la vista. ¿Qué deberías hacer a continuación y qué proporcionaría pruebas más sólidas de aprendizaje que el simple hecho de entender lo que aparece en la página?

Solución 1

Oculta la solución, reconstruye el método desde una hoja en blanco y, después, ponlo a prueba con una pregunta modificada.

Seguir las líneas visibles no te obliga a elegir el siguiente paso de forma independiente. Reconstruir la solución comprueba si puedes recuperar el método y justificar el razonamiento. Una pregunta modificada permite comprobar si puedes aplicar ese razonamiento más allá del ejemplo exacto que has estudiado.

Si te atascas, identifica el primer paso que no puedes justificar y vuelve a consultar esa parte de la solución.

Pregunta 2

Una solución resuelta aborda

\[ (x-2)(x+3)=0 \]

dividiendo ambos lados entre \(x-2\), obteniendo \(x+3=0\) y dando como respuesta \(x=-3\).

Explica el error, proporciona la solución completa e identifica qué deberías aprender de este fallo.

Solución 2

La solución está incompleta porque dividir entre \(x-2\) puede hacer que se pierda la solución válida \(x=2\).

La ecuación original ya está factorizada. Como el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero:

\[ x-2=0 \quad \text{o} \quad x+3=0 \]

Por tanto,

\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=-3 \]

El procedimiento tentador supone que \(x-2\ne0\), aunque \(x=2\) es una solución de la ecuación original. La división solo es válida si se ha establecido esa restricción, y no se ha hecho.

La lección es que debes comprobar las condiciones que hacen válido cada paso algebraico. Una solución resuelta es algo que debes analizar y razonar, no algo que debas aceptar sin comprobarlo.

Pregunta 3

Un estudiante estudia la ecuación

\[ \ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln 8 \]

y aprende a combinar los logaritmos antes de resolver la ecuación cuadrática resultante.

Después resuelve

\[ \ln(x-2)+\ln(x+2)=\ln 5 \]

y obtiene \(x=\pm3\). Afirma que ambos valores son válidos porque el álgebra es correcta.

Encuentra la solución válida e identifica el paso que falta en su reconstrucción.

Solución 3

Solo \(x=3\) es válido porque los logaritmos originales requieren que \(x>2\).

Antes de aplicar las propiedades de los logaritmos, determina el dominio:

\[ x-2>0 \implies x>2 \]

El segundo logaritmo también exige que \(x+2>0\), es decir, \(x>-2\). Ambas condiciones juntas dan \(x>2\).

Ahora combina los logaritmos:

\[ \begin{aligned} \ln[(x-2)(x+2)]&=\ln5\\ x^2-4&=5\\ x^2&=9\\ x&=\pm3 \end{aligned} \]

El álgebra produce dos candidatos, pero solo \(x=3\) cumple \(x>2\). El valor \(x=-3\) hace que los logaritmos originales no estén definidos.

El paso que falta es comprobar el dominio y descartar los candidatos que no están permitidos. El procedimiento tentador considera que resolver la ecuación cuadrática es el final del problema. En realidad, la ecuación cuadrática es solo un resultado intermedio.

Para aprender de este error, practica la anotación del dominio antes de combinar los logaritmos y comprueba las soluciones finales utilizando la ecuación original.

Pregunta 4

Resuelves correctamente una pregunta sobre el mínimo de una función cuadrática completando el cuadrado. Sin embargo, la solución resuelta utiliza la derivación.

Considera estas dos formulaciones de la pregunta:

• (i) «Encuentra el valor mínimo de \(f(x)=x^2-6x+13\)».
• (ii) «Utiliza la derivación para encontrar el valor mínimo de \(f(x)=x^2-6x+13\)».

¿Tu método satisface ambas instrucciones? ¿Deberías sustituir tus apuntes por la solución resuelta?

Solución 4

Tu método satisface la primera instrucción, siempre que el razonamiento sea correcto, pero no satisface el requisito explícito sobre el método de la segunda instrucción.

Para la primera pregunta, completar el cuadrado da

\[ f(x)=(x-3)^2+4 \]

por lo que el valor mínimo es \(4\), que se alcanza cuando \(x=3\). Este método es válido porque la pregunta no prescribe una técnica concreta.

La segunda pregunta exige específicamente utilizar la derivación. Debes seguir esa instrucción, aunque otro método permita obtener la respuesta correcta.

No deberías descartar automáticamente tu propio método válido ni memorizar palabra por palabra la solución resuelta. En su lugar, comprueba si tu método cumple los requisitos de la pregunta, si cada paso está justificado y si otro método ofrece alguna ventaja útil. Aprende el método alternativo cuando sea obligatorio o cuando mejore tu comprensión.

La distinción importante es la que existe entre un método válido diferente y un método que no satisface lo que pide la pregunta.

Pregunta 5

Ari estudia un problema de Física en el que un carrito parte del reposo, acelera uniformemente a \(+2.0\,\text{m s}^{-2}\) durante \(4.0\,\text{s}\) y después se desplaza a velocidad constante durante \(3.0\,\text{s}\).

Ari puede reconstruir inmediatamente la solución resuelta y resolver correctamente otra pregunta con números diferentes, pero con las mismas dos etapas.

Dos días después, Ari se enfrenta a una pregunta modificada. El carrito sigue acelerando a \(+2.0\,\text{m s}^{-2}\) durante \(4.0\,\text{s}\), pero después desacelera uniformemente a \(-1.0\,\text{m s}^{-2}\) durante \(3.0\,\text{s}\). Ari utiliza el método original de velocidad constante para la segunda etapa y obtiene un desplazamiento incorrecto. Los cálculos son internamente coherentes, pero Ari afirma que el problema debe ser un error de cálculo porque había entendido la solución original.

(a) ¿Qué permite concluir esta evidencia y qué no demuestra?

(b) Propón una breve prueba de diagnóstico que permita distinguir entre olvidar una ecuación y no actualizar el modelo del movimiento. Explica cómo cambiaría el diagnóstico según las distintas respuestas.

(c) Calcula el desplazamiento total correcto y comprueba el resultado utilizando la velocidad final.

Solución 5

La laguna más evidente que demuestra Ari es la dificultad para transferir el método cuando cambia una condición, no un problema básico de aritmética. La reconstrucción original y la variante que solo cambia los números demuestran que Ari puede reproducir la estructura original, pero no establecen que sepa reconocer cuándo esa estructura deja de ser aplicable.

(a) Interpreta la evidencia.

Ari ha demostrado que puede recuperar inmediatamente el método y ejecutar un procedimiento conocido con números diferentes. El fallo después de un intervalo no demuestra que Ari nunca entendiera la solución original. Muestra que la comprensión demostrada hasta ese momento no era suficiente para abordar de forma independiente la condición modificada.

La conclusión tentadora es que Ari necesita más práctica de aritmética porque la respuesta final es incorrecta. Sin embargo, los cálculos son internamente coherentes con el modelo equivocado. El cambio importante es que la aceleración de la segunda etapa ahora es negativa, en lugar de ser cero.

(b) Realiza una prueba de diagnóstico de dos minutos antes de hacer cálculos.

Pide a Ari que divida el movimiento en dos intervalos, escriba la aceleración de cada uno y seleccione una ecuación de desplazamiento válida para cada intervalo.

Las respuestas permiten distinguir las posibles lagunas:

• Si Ari identifica la aceleración de la segunda etapa como cero, el problema principal consiste en seguir las condiciones físicas. Ari ha mantenido el modelo original en una situación en la que ya no es aplicable.
• Si Ari identifica la aceleración de la segunda etapa como \(-1.0\,\text{m s}^{-2}\), pero no puede seleccionar una ecuación de desplazamiento válida, la laguna está en recuperar o elegir la relación adecuada.
• Si Ari identifica correctamente ambas aceleraciones y selecciona ecuaciones válidas, pero después comete un error numérico, es más probable que el problema esté en la ejecución.

Esta prueba es más útil que pedirle a Ari que vuelva a leer toda la solución. Aísla la primera decisión que debe corregirse.

(c) Calcula el desplazamiento correcto y compruébalo.

Durante la primera etapa, el carrito parte del reposo. Su velocidad después de \(4.0\,\text{s}\) es

\[ \begin{aligned} v_1&=u+at\\ &=0+(2.0)(4.0)\\ &=8.0\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

El desplazamiento durante esta etapa es

\[ \begin{aligned} s_1&=ut+\frac12at^2\\ &=0+\frac12(2.0)(4.0)^2\\ &=16\,\text{m} \end{aligned} \]

Para la segunda etapa, la velocidad inicial es \(8.0\,\text{m s}^{-1}\), la aceleración es \(-1.0\,\text{m s}^{-2}\) y el tiempo es \(3.0\,\text{s}\).

\[ \begin{aligned} s_2&=ut+\frac12at^2\\ &=(8.0)(3.0)+\frac12(-1.0)(3.0)^2\\ &=24-4.5\\ &=19.5\,\text{m} \end{aligned} \]

El desplazamiento total es

\[ \begin{aligned} s_{\text{total}}&=s_1+s_2\\ &=16+19.5\\ &=35.5\,\text{m} \end{aligned} \]

Comprueba la velocidad final:

\[ v_2=8.0+(-1.0)(3.0)=5.0\,\text{m s}^{-1} \]

El carrito sigue avanzando, pero más despacio. Su velocidad media durante la segunda etapa es \((8.0+5.0)/2=6.5\,\text{m s}^{-1}\), lo que da un desplazamiento durante esa etapa de \(6.5\times3.0=19.5\,\text{m}\), de acuerdo con el cálculo anterior.

El desplazamiento total correcto es \(35.5\,\text{m}\).

La decisión de aprendizaje fundamental consiste en corregir el paso de selección del modelo, reconstruir después la solución y comprobar otra condición modificada tras un intervalo. Volver a copiar una solución que ya puedes seguir no corregirá una condición que has aprendido a pasar por alto.