圆周运动的应用：HSC 物理练习试卷

这份原创的 tutorgum 练习试卷评量所提供的 Physics 2017 范围中，圆周运动应用的相关内容。你将学习如何对以细线连接、在水平圆周上运动的物体进行受力分解，分析倾斜弯道上正向力的各个分量，并计算汽车行经平坦弯道时所需的摩擦力。本试卷著重于辨识作用在系统上的实际力，并求出指向圆心的合力。

这是一份针对特定内容的复习试卷，并非完整课程考试。这是 tutorgum 原创的练习试卷，并非 NESA 官方发布、认可、过往考题或预测试卷。

01考试说明

• 建议作答时间： 50 分钟。
• 建议阅读时间： 5 分钟。
• 总分： 40 分。
• 允许使用的器材： 科学计算机、直尺及书写文具。不得使用笔记。
• 重力场强度： 全程使用 \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\)。
• 计算过程与精确度： 请列出计算过程、标示单位，并将数值答案取至适当的有效数字位数。

评量内容

本试卷涵盖以下内容：

• 分解以细线连接、在水平圆周上运动的物体所受的张力与重力。
• 分解倾斜弯道上的正向力，并计算设计速率。
• 分析平坦圆形弯道上作为向心力来源的静摩擦力。
• 解读指向圆心的合力与速率之间的关系。

本试卷不包含垂直圆周运动、涉及摩擦力的倾斜弯道计算，以及其他圆周运动主题。

对于倾斜弯道，倾斜角以水平方向为基准测量。对于以细线连接的物体，细线与铅直方向的夹角即为细线角度。假设空气阻力可忽略不计。若题目指出赛道无摩擦，则完全忽略摩擦力。

02试题

第 1 题（7 分）

一个质量为 \(0.500\,\text{kg}\) 的物体以一条轻质细线连接，并以 \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) 的固定速率，在半径为 \(0.600\,\text{m}\) 的水平圆周上运动。细线与铅直方向的夹角为 \(\theta\)。

(a) 指出作用于物体的力，并说明其加速度的方向。（2 分）

(b) 计算作用于物体、指向圆心的合力。（2 分）

(c) 将张力分解为铅直分量与水平分量。计算细线的张力及角度 \(\theta\)。（3 分）

第 2 题（7 分）

一辆汽车沿著半径为 \(85.0\,\text{m}\) 的无摩擦倾斜圆形赛道行驶。赛道相对于水平方向的倾斜角为 \(12.0^\circ\)。

在本题中，设计速率是指汽车无须依靠摩擦力，就能沿著圆形路径行驶的速率。

(a) 指出作用于汽车的力，并说明正向力的各个分量与汽车的铅直运动及朝向圆心的运动有何关系。（2 分）

(b) 透过分解各个作用力，推导以半径 \(r\)、倾斜角 \(\theta\) 及重力场强度 \(g\) 表示设计速率 \(v\) 的公式。（3 分）

(c) 计算此赛道的设计速率。（2 分）

第 3 题（8 分）

一辆质量为 \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) 的汽车，以 \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) 的速率，行驶在半径为 \(55.0\,\text{m}\) 的平坦水平弯道上。静摩擦力是作用于汽车的唯一水平力。

(a) 计算汽车沿著弯道行驶所需、指向圆心的合力。（2 分）

(b) 指出摩擦力的方向，并计算汽车以此速率行驶时，为避免打滑所需的最小静摩擦系数。（3 分）

(c) 接著，汽车以 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\) 的速率通过同一个弯道。可用的静摩擦系数为 \(0.450\)。判断汽车是否能维持圆周运动，并以计算结果支持你的答案。（3 分）

第 4 题（5 分）

一个质量为 \(0.750\,\text{kg}\) 的物体以细线连接。在某一瞬间，细线的张力为 \(12.0\,\text{N}\)，且细线与铅直方向的夹角为 \(25.0^\circ\)。作用于物体的力只有张力与重力。

(a) 计算张力的铅直分量。（2 分）

(b) 一名学生声称，在这些力的数值下，物体正以固定高度在水平圆周上运动。评估此说法。若题目所述的力值成立，请计算物体初始时刻的铅直加速度，并指出其方向。（3 分）

第 5 题（6 分）

一个物体在半径固定的水平圆周上运动。改变物体的速率，并测量指向圆心的合力 \(F_{\text{in}}\)。测量结果如下。

下图呈现所提供的测量数据。

• 测量数据
• 最佳拟合直线

(a) 描述指向圆心的合力与速率平方之间的关系。（2 分）

(b) 计算图表的斜率，并说明此斜率以圆周路径的质量 \(m\) 与半径 \(r\) 表示时，代表什么物理量。（2 分）

(c) 若圆周路径的半径为 \(1.50\,\text{m}\)，计算物体的质量。（2 分）

第 6 题（7 分）

一条无摩擦的倾斜测试赛道，设计速率为 \(20.0\,\text{m s}^{-1}\)，其圆形路段的半径为 \(120.0\,\text{m}\)。一辆质量为 \(900.0\,\text{kg}\) 的汽车以此设计速率行驶。

(a) 计算所需的倾斜角。（3 分）

(b) 计算作用于汽车的正向力大小。（2 分）

(c) 计算正向力指向圆心的分量。将此结果与汽车进行圆周运动所需的向内合力比较，以验证你的答案。（2 分）

03详解与评分指引

第 1 题详解

(a) 指出作用力与加速度。（2 分）

作用于物体的两个力为：

• 张力 \(T\)，沿著细线指向支撑点。
• 重力 \(mg\)，方向铅直向下。

物体的加速度水平指向圆心。由于物体维持固定高度，其铅直加速度为零，因此各个力的铅直分量互相平衡。

评分指引：

• 1 分：正确指出张力与重力。
• 1 分：正确指出加速度朝向圆心。

(b) 计算指向圆心的合力。（2 分）

对于等速圆周运动，指向圆心的合力为

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(m\) 是以公斤为单位的质量，\(v\) 是以公尺每秒为单位的速率，而 \(r\) 是以公尺为单位的半径。

代入数值：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

指向圆心的合力为 \(13.3\,\text{N}\)。

评分指引：

• 1 分：列出正确公式并代入数值。
• 1 分：答案正确且附有单位。

(c) 计算张力与角度。（3 分）

令 \(\theta\) 为细线与铅直方向的夹角。

张力的铅直分量与重力平衡：

\[ T\cos\theta=mg \]

张力的水平分量提供指向圆心的合力：

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

首先，利用两个互相垂直的分量计算张力：

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

接著，将水平分量的方程式除以铅直分量的方程式：

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

张力为 \(14.2\,\text{N}\)，细线与铅直方向的夹角为 \(69.8^\circ\)。

评分指引：

• 1 分：正确将张力分解为铅直分量与水平分量。
• 1 分：正确计算张力。
• 1 分：正确计算角度。

若前面出现数值计算错误，但后续计算一致地沿用该数值，张力与角度仍可获得后续步骤分数。

第 2 题详解

(a) 指出作用力及其分量。（2 分）

作用于汽车的力包括铅直向下的重力 \(mg\)，以及赛道施加、垂直于赛道表面的正向力 \(F_N\)。

正向力有两个相关分量：

• 铅直分量 \(F_N\cos\theta\)，用来平衡重力。
• 水平分量 \(F_N\sin\theta\)，方向指向圆形路径的圆心。

由于题目指定赛道无摩擦，因此不存在摩擦力。

评分指引：

• 1 分：正确指出重力与正向力。
• 1 分：正确说明正向力的铅直分量与指向圆心的分量。

(b) 推导设计速率公式。（3 分）

由于汽车维持固定高度，铅直方向的力互相平衡：

\[ F_N\cos\theta=mg \]

正向力指向圆心的分量提供向心力：

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

将指向圆心方向的方程式除以铅直方向的方程式：

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

消去共同因子，并利用 \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\)：

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

重新整理以求出速率：

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

此公式显示，设计速率取决于赛道半径、倾斜角及重力场强度。

评分指引：

• 1 分：列出正确的铅直方向受力方程式。
• 1 分：列出正确的指向圆心方向受力方程式。
• 1 分：将两个方程式相除，并推导出设计速率公式。

(c) 计算设计速率。（2 分）

使用 \(r=85.0\,\text{m}\)、\(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) 及 \(\theta=12.0^\circ\)：

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

设计速率为 \(13.3\,\text{m s}^{-1}\)。

评分指引：

• 1 分：正确将数值代入设计速率公式。
• 1 分：数值答案正确且附有单位。

第 3 题详解

(a) 计算指向圆心的合力。（2 分）

所需的向内合力为

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

代入汽车的质量、速率及弯道半径：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

汽车需要大小为 \(4.28\times10^3\,\text{N}\) 的向内合力。

评分指引：

• 1 分：列出正确公式并代入数值。
• 1 分：答案正确且附有单位。

(b) 计算最小静摩擦系数。（3 分）

在平坦的水平道路上，静摩擦力指向弯道的圆心，并提供向内合力。

铅直方向的力互相平衡，因此

\[ F_N=mg \]

可提供的最大静摩擦力为

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

其中，\(f_{s,\max}\) 是以牛顿为单位的最大静摩擦力，而 \(\mu_s\) 是静摩擦系数。

在避免打滑所需的最小摩擦系数下，最大静摩擦力恰好等于所需的向内合力：

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

消去质量并重新整理：

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

最小静摩擦系数为 \(0.364\)。

评分指引：

• 1 分：指出静摩擦力是指向圆心的力。
• 1 分：将最大摩擦力与正向力及重力建立正确关系。
• 1 分：正确计算最小摩擦系数。

(c) 判断汽车以较高速率行驶时能否通过弯道。（3 分）

当速率为 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\) 时，所需的摩擦系数为

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

所需的摩擦系数 \(0.524\) 大于可用的摩擦系数 \(0.450\)。

因此，可提供的静摩擦力不足以产生所需的向内合力。汽车无法维持圆周路径，并会向弯道外侧打滑。

评分指引：

• 1 分：列出正确公式并代入数值。
• 1 分：求得所需的摩擦系数约为 \(0.524\)。
• 1 分：比较所需与可用的摩擦系数，并得出正确结论。

第 4 题详解

(a) 计算张力的铅直分量。（2 分）

细线与铅直方向的夹角为 \(25.0^\circ\)。因此，张力的铅直分量为

\[ T_y=T\cos\theta \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

张力的铅直分量为 \(10.9\,\text{N}\)，方向向上。

评分指引：

• 1 分：使用正确的分量公式。
• 1 分：数值答案正确且附有单位。

(b) 评估该说法并计算铅直加速度。（3 分）

物体的重力为

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

若物体要以固定高度在水平圆周上运动，张力的铅直分量必须等于重力。

然而，

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

铅直方向的力并未平衡。因此，学生的说法与题目所提供的力值不一致。

铅直方向的合力向上：

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

根据牛顿第二运动定律，

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

初始铅直加速度为 \(4.70\,\text{m s}^{-2}\)，方向向上。在这些条件下，物体无法维持固定高度。

评分指引：

• 1 分：比较张力的铅直分量与重力，并指出两者不平衡。
• 1 分：正确计算铅直方向的合力。
• 1 分：正确计算加速度并指出其方向。

第 5 题详解

(a) 描述两者之间的关系。（2 分）

图表显示，指向圆心的合力随著速率平方增加而呈线性增长。数据符合一条通过原点的直线，因此

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

换句话说，在质量与半径保持不变的情况下，如果速率加倍，所需的向内合力就会变成原来的四倍。

评分指引：

• 1 分：指出合力与速率平方之间呈线性关系。
• 1 分：指出合力与 \(v^2\) 成正比。

(b) 计算并解释斜率。（2 分）

斜率等于指向圆心的合力变化量除以速率平方的变化量：

\[ \begin{aligned} \text{斜率} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

单位可化简为公斤每公尺。

圆周运动的公式为

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

将公式重新整理为直线方程式的形式：

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

将此式与 \(y=mx\) 比较，可知图表的斜率代表质量与半径的比值：

\[ \boxed{\text{斜率}=\frac{m}{r}} \]

评分指引：

• 1 分：斜率正确且附有单位。
• 1 分：指出斜率代表 \(m/r\)。

(c) 计算质量。（2 分）

根据第 (b) 小题，

\[ \text{斜率}=\frac{m}{r} \]

重新整理，使质量成为等式左侧的主体：

\[ m=(\text{斜率})r \]

代入斜率与半径：

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

物体的质量为 \(0.600\,\text{kg}\)。

评分指引：

• 1 分：正确重新整理斜率关系式，并代入半径。
• 1 分：质量正确且附有单位。

若第 (b) 小题的斜率计算有误，但后续一致地沿用该数值，仍可给予后续步骤分数。

第 6 题详解

(a) 计算倾斜角。（3 分）

对于无摩擦的倾斜弯道，设计速率的关系式为

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

代入题目给定的速率、半径及重力场强度：

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

取反正切得到

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

所需的倾斜角为相对于水平方向的 \(18.8^\circ\)。

评分指引：

• 1 分：使用正确的设计速率关系式。
• 1 分：正确代入数值。
• 1 分：角度计算正确。

(b) 计算正向力。（2 分）

汽车没有铅直加速度，因此正向力的铅直分量与重力平衡：

\[ F_N\cos\theta=mg \]

重新整理：

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

正向力的大小为 \(9.31\times10^3\,\text{N}\)。

评分指引：

• 1 分：正确分解正向力的铅直分量，并使用正确的方程式。
• 1 分：正向力计算正确且附有单位。

(c) 计算并验证指向圆心的分量。（2 分）

正向力指向圆心的分量为

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

利用 \(F_N\cos\theta=mg\)，也可以将其写成

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

接著，计算圆周运动所需、指向圆心的合力：

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

在四舍五入的精度范围内，正向力指向圆心的分量与所需的向内合力一致。这证实，在设计速率下，正向力能够提供所需的向心力。

评分指引：

• 1 分：正确计算正向力指向圆心的分量。
• 1 分：正确计算所需的向内合力，并确认两者数值一致。

若第 (a) 小题的角度有误，但在第 (b) 与第 (c) 小题中一致地使用该角度，且计算方法正确，仍可给予后续步骤分数。