원운동의 응용: HSC 물리 연습 시험

이 tutorgum 오리지널 연습 시험지는 제공된 Physics 2017 범위 중 원운동의 응용을 평가합니다. 줄에 연결된 물체가 수평 원운동을 할 때 힘을 성분별로 분해하고, 경사진 트랙에서 수직항력의 성분을 분석하며, 평평한 곡선 도로를 주행하는 자동차에 필요한 마찰력을 계산하게 됩니다. 이 시험지는 계에 작용하는 실제 힘을 식별하고, 그 힘들의 합력이 안쪽 방향으로 어떻게 작용하는지 판단하는 데 중점을 둡니다.

이 시험지는 특정 내용의 복습에 초점을 맞춘 시험지이며, 전체 교육과정을 다루는 시험은 아닙니다. 또한 tutorgum이 독자적으로 제작한 연습 시험지로, 공식 NESA 시험지이거나 NESA의 승인을 받은 시험지, 기출 시험지 또는 출제 예측 시험지가 아닙니다.

01시험 안내

• 권장 풀이 시간: 50분.
• 권장 문제 읽기 시간: 5분.
• 총점: 40점.
• 허용 도구: 공학용 계산기, 자, 필기구. 참고 자료는 사용할 수 없습니다.
• 중력장 세기: 모든 문항에서 \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\)를 사용합니다.
• 풀이 과정 및 정밀도: 풀이 과정을 제시하고, 단위를 포함하며, 수치 답은 적절한 유효숫자로 나타내세요.

평가 내용

이 시험지는 다음 내용을 다룹니다.

• 줄에 연결된 물체가 수평 원운동을 할 때 장력과 무게를 성분별로 분해하기.
• 경사진 트랙에서 수직항력을 성분별로 분해하고 설계 속도를 계산하기.
• 평평한 원형 곡선 도로에서 정지 마찰력이 구심력의 역할을 하는 상황 분석하기.
• 안쪽 방향 합력과 속도 사이의 관계 해석하기.

수직면에서의 원운동, 마찰력이 작용하는 경사 트랙의 계산 및 기타 원운동 관련 주제는 시험 범위에 포함되지 않습니다.

경사진 트랙의 경사각은 수평면을 기준으로 측정합니다. 줄에 매달린 물체의 경우, 줄과 수직선 사이의 각도를 사용합니다. 공기 저항은 무시할 수 있다고 가정합니다. 트랙에 마찰이 없다고 명시된 경우에는 마찰력을 완전히 무시합니다.

02문제

문제 1 (7점)

질량이 \(0.500\,\text{kg}\)인 물체가 가벼운 줄에 연결되어 있으며, 반지름 \(0.600\,\text{m}\)인 수평 원을 따라 \(4.00\,\text{m s}^{-1}\)의 일정한 속력으로 움직입니다. 줄은 수직선과 \(\theta\)의 각도를 이룹니다.

(a) 물체에 작용하는 힘을 식별하고 가속도의 방향을 서술하세요. (2점)

(b) 물체에 작용하는 안쪽 방향 합력을 계산하세요. (2점)

(c) 장력을 수직 성분과 수평 성분으로 분해하세요. 줄의 장력과 각도 \(\theta\)를 계산하세요. (3점)

문제 2 (7점)

자동차가 반지름 \(85.0\,\text{m}\)인 마찰이 없는 경사진 원형 트랙을 주행합니다. 트랙은 수평면에 대해 \(12.0^\circ\) 기울어져 있습니다.

이 문항에서 설계 속도란 자동차가 마찰력에 의존하지 않고 원형 경로를 따라 주행할 수 있는 속도를 의미합니다.

(a) 자동차에 작용하는 힘을 식별하고, 수직항력의 성분들이 자동차의 수직 방향 운동 및 안쪽 방향 운동과 어떤 관계가 있는지 설명하세요. (2점)

(b) 힘을 성분별로 분해하여 반지름 \(r\), 경사각 \(\theta\), 중력장 세기 \(g\)로 설계 속도 \(v\)를 나타내는 식을 유도하세요. (3점)

(c) 이 트랙의 설계 속도를 계산하세요. (2점)

문제 3 (8점)

질량이 \(1.20\times10^3\,\text{kg}\)인 자동차가 반지름 \(55.0\,\text{m}\)인 평평하고 수평인 곡선 도로를 \(14.0\,\text{m s}^{-1}\)의 속력으로 주행합니다. 자동차에 작용하는 수평 방향의 힘은 정지 마찰력뿐입니다.

(a) 자동차가 곡선 도로를 따라 주행하는 데 필요한 안쪽 방향 합력을 계산하세요. (2점)

(b) 마찰력의 방향을 밝히고, 이 속력에서 자동차가 미끄러지는 것을 방지하는 데 필요한 최소 정지 마찰 계수를 계산하세요. (3점)

(c) 이후 자동차가 같은 곡선 도로를 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\)의 속력으로 주행합니다. 이용 가능한 정지 마찰 계수는 \(0.450\)입니다. 자동차가 원형 경로를 유지할 수 있는지 판단하세요. 계산을 통해 답을 뒷받침하세요. (3점)

문제 4 (5점)

질량이 \(0.750\,\text{kg}\)인 물체가 줄에 연결되어 있습니다. 특정 순간에 줄의 장력은 \(12.0\,\text{N}\)이며, 줄은 수직선과 \(25.0^\circ\)의 각도를 이룹니다. 물체에 작용하는 힘은 장력과 무게뿐입니다.

(a) 장력의 수직 성분을 계산하세요. (2점)

(b) 한 학생은 주어진 힘의 크기에서 물체가 일정한 높이를 유지하며 수평 원운동을 하고 있다고 주장합니다. 이 주장을 평가하세요. 주어진 값이 맞다면 물체의 초기 수직 가속도를 방향과 함께 계산하세요. (3점)

문제 5 (6점)

물체가 반지름이 일정한 수평 원을 따라 움직입니다. 물체의 속력을 변화시키면서 안쪽 방향 합력 \(F_{\text{in}}\)을 측정합니다. 결과는 다음과 같습니다.

다음 그래프는 제공된 측정값을 나타냅니다.

• 측정 데이터
• 최적합 직선

(a) 안쪽 방향 합력과 속력의 제곱 사이의 관계를 설명하세요. (2점)

(b) 그래프의 기울기를 계산하고, 이 기울기가 원형 경로의 질량 \(m\) 및 반지름 \(r\)과 관련하여 무엇을 나타내는지 서술하세요. (2점)

(c) 원형 경로의 반지름이 \(1.50\,\text{m}\)라면 물체의 질량을 계산하세요. (2점)

문제 6 (7점)

마찰이 없는 경사 시험 트랙은 반지름이 \(120.0\,\text{m}\)인 원형 구간에서 속력 \(20.0\,\text{m s}^{-1}\)에 맞춰 설계되었습니다. 질량이 \(900.0\,\text{kg}\)인 자동차가 이 설계 속도로 주행합니다.

(a) 필요한 경사각을 계산하세요. (3점)

(b) 자동차에 작용하는 수직항력의 크기를 계산하세요. (2점)

(c) 수직항력의 안쪽 방향 성분을 계산하세요. 계산 결과를 자동차의 원운동에 필요한 안쪽 방향 합력과 비교하여 검증하세요. (2점)

03풀이 및 채점 기준

풀이 1

(a) 힘과 가속도의 방향 식별. (2점)

물체에 작용하는 두 힘은 다음과 같습니다.

• 장력 \(T\): 줄을 따라 지지점 방향으로 작용합니다.
• 무게 \(mg\): 수직 아래쪽으로 작용합니다.

물체는 원의 중심을 향해 수평 방향으로 가속됩니다. 물체는 일정한 높이를 유지하므로 수직 가속도는 0이며, 따라서 힘들의 수직 성분은 서로 평형을 이룹니다.

채점 기준:

• 장력과 무게를 모두 식별하면 1점.
• 가속도가 안쪽 방향임을 식별하면 1점.

(b) 안쪽 방향 합력 계산. (2점)

등속 원운동에서 안쪽 방향 합력은 다음과 같습니다.

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

여기서 \(m\)은 킬로그램 단위의 질량, \(v\)는 초당 미터 단위의 속력, \(r\)은 미터 단위의 반지름입니다.

주어진 값을 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

안쪽 방향 합력은 \(13.3\,\text{N}\)입니다.

채점 기준:

• 올바른 공식과 값의 대입에 1점.
• 단위를 포함한 올바른 답에 1점.

(c) 장력과 각도 계산. (3점)

\(\theta\)를 줄과 수직선 사이의 각도라고 하겠습니다.

장력의 수직 성분은 무게와 평형을 이룹니다.

\[ T\cos\theta=mg \]

장력의 수평 성분은 안쪽 방향 합력을 제공합니다.

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

먼저, 서로 수직인 두 성분을 이용하여 장력을 계산합니다.

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

다음으로, 수평 성분에 대한 식을 수직 성분에 대한 식으로 나눕니다.

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

따라서,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

장력은 \(14.2\,\text{N}\)이며, 줄은 수직선에 대해 \(69.8^\circ\) 기울어져 있습니다.

채점 기준:

• 장력을 수직 성분과 수평 성분으로 올바르게 분해하면 1점.
• 장력을 계산하면 1점.
• 각도를 계산하면 1점.

앞선 계산에서 수치 오류가 발생했더라도 이를 일관되게 이어서 사용했다면 장력과 각도 계산에 후속 점수를 부여합니다.

풀이 2

(a) 힘과 각 성분 식별. (2점)

자동차에 작용하는 힘은 수직 아래쪽으로 작용하는 무게 \(mg\)와 트랙 표면에 수직으로 작용하는 수직항력 \(F_N\)입니다.

수직항력에는 다음 두 가지 관련 성분이 있습니다.

• 수직 성분 \(F_N\cos\theta\): 무게와 평형을 이룹니다.
• 수평 성분 \(F_N\sin\theta\): 원형 경로의 중심을 향해 작용합니다.

트랙에는 마찰이 없다고 명시되어 있으므로 마찰력은 작용하지 않습니다.

채점 기준:

• 무게와 수직항력을 식별하면 1점.
• 수직 성분과 안쪽 방향 성분을 올바르게 설명하면 1점.

(b) 설계 속도 방정식 유도. (3점)

자동차는 일정한 높이를 유지하므로 수직 방향의 힘은 평형을 이룹니다.

\[ F_N\cos\theta=mg \]

수직항력의 안쪽 방향 성분은 구심력을 제공합니다.

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

안쪽 방향 힘에 대한 식을 수직 방향 힘에 대한 식으로 나눕니다.

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

공통 인자를 약분하고 \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\)를 이용하면 다음과 같습니다.

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

속력 \(v\)에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

이 식은 설계 속도가 트랙의 반지름, 경사각 및 중력장 세기에 따라 달라짐을 보여 줍니다.

채점 기준:

• 올바른 수직 방향 힘 방정식에 1점.
• 올바른 안쪽 방향 힘 방정식에 1점.
• 두 방정식을 나누어 설계 속도 식을 유도하면 1점.

(c) 설계 속도 계산. (2점)

\(r=85.0\,\text{m}\), \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\), \(\theta=12.0^\circ\)를 사용하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

설계 속도는 \(13.3\,\text{m s}^{-1}\)입니다.

채점 기준:

• 설계 속도 방정식에 올바르게 값을 대입하면 1점.
• 단위를 포함한 올바른 수치 답에 1점.

풀이 3

(a) 안쪽 방향 합력 계산. (2점)

필요한 안쪽 방향 합력은 다음과 같습니다.

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

자동차의 질량, 속력 및 곡선 도로의 반지름을 대입합니다.

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

자동차가 필요로 하는 안쪽 방향 합력은 \(4.28\times10^3\,\text{N}\)입니다.

채점 기준:

• 올바른 공식과 값의 대입에 1점.
• 단위를 포함한 올바른 답에 1점.

(b) 최소 정지 마찰 계수 계산. (3점)

평평하고 수평인 도로에서 정지 마찰력은 곡선 도로의 중심을 향해 작용합니다. 정지 마찰력은 안쪽 방향 합력을 제공합니다.

수직 방향의 힘은 평형을 이루므로 다음과 같습니다.

\[ F_N=mg \]

이용 가능한 최대 정지 마찰력은 다음과 같습니다.

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

여기서 \(f_{s,\max}\)는 뉴턴 단위의 최대 정지 마찰력이고, \(\mu_s\)는 정지 마찰 계수입니다.

미끄러짐을 방지하는 데 필요한 최소 마찰 계수에서는 최대 마찰력이 필요한 안쪽 방향 힘과 같아집니다.

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

질량을 약분하고 정리하면 다음과 같습니다.

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

값을 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

최소 정지 마찰 계수는 \(0.364\)입니다.

채점 기준:

• 정지 마찰력이 안쪽 방향 힘임을 식별하면 1점.
• 최대 마찰력을 수직항력 및 무게와 관련지으면 1점.
• 최소 마찰 계수를 올바르게 계산하면 1점.

(c) 더 높은 속력에서 자동차가 곡선 도로를 유지할 수 있는지 판단. (3점)

속력이 \(16.8\,\text{m s}^{-1}\)일 때 필요한 마찰 계수는 다음과 같습니다.

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

값을 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

필요한 마찰 계수 \(0.524\)는 이용 가능한 마찰 계수 \(0.450\)보다 큽니다.

따라서 이용 가능한 정지 마찰력은 필요한 안쪽 방향 힘을 제공하기에 충분하지 않습니다. 자동차는 원형 경로를 유지할 수 없으며, 곡선 도로의 바깥쪽으로 미끄러질 것입니다.

채점 기준:

• 올바른 공식과 값의 대입에 1점.
• 약 \(0.524\)라는 필요한 마찰 계수를 구하면 1점.
• 필요한 마찰 계수와 이용 가능한 마찰 계수를 비교하여 올바른 결론을 내리면 1점.

풀이 4

(a) 장력의 수직 성분 계산. (2점)

줄은 수직선과 \(25.0^\circ\)의 각도를 이룹니다. 따라서 장력의 수직 성분은 다음과 같습니다.

\[ T_y=T\cos\theta \]

값을 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

장력의 수직 성분은 \(10.9\,\text{N}\)이며, 위쪽을 향합니다.

채점 기준:

• 올바른 성분 방정식을 사용하면 1점.
• 단위를 포함한 올바른 수치 답에 1점.

(b) 주장을 평가하고 수직 가속도 계산. (3점)

물체의 무게는 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

물체가 일정한 높이를 유지하며 수평 원운동을 하려면 장력의 수직 성분이 무게와 같아야 합니다.

그러나,

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

두 힘은 평형을 이루지 않습니다. 따라서 학생의 주장은 주어진 힘의 값과 일치하지 않습니다.

수직 방향 알짜힘은 위쪽을 향합니다.

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

뉴턴의 제2법칙을 적용하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

초기 수직 가속도는 \(4.70\,\text{m s}^{-2}\)이며, 위쪽을 향합니다. 이러한 조건에서는 물체가 일정한 높이를 유지할 수 없습니다.

채점 기준:

• 장력의 수직 성분과 무게를 비교하고 힘의 불균형을 식별하면 1점.
• 수직 방향 알짜힘을 계산하면 1점.
• 가속도를 계산하고 방향을 명시하면 1점.

풀이 5

(a) 관계 설명. (2점)

그래프는 안쪽 방향 합력이 속력의 제곱에 따라 선형적으로 증가함을 보여 줍니다. 데이터는 원점을 지나는 직선과 일치하므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

즉, 질량과 반지름이 일정하게 유지된다면 속력이 두 배가 될 때 필요한 안쪽 방향 합력은 네 배가 됩니다.

채점 기준:

• 속력의 제곱과 선형적인 관계가 있음을 식별하면 1점.
• 힘이 \(v^2\)에 정비례한다고 서술하면 1점.

(b) 기울기 계산 및 해석. (2점)

기울기는 안쪽 방향 합력의 변화량을 속력 제곱의 변화량으로 나눈 값입니다.

\[ \begin{aligned} \text{기울기} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

단위는 킬로그램을 미터로 나눈 단위로 단순화됩니다.

원운동 방정식은 다음과 같습니다.

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

이를 직선 방정식 형태로 정리하면 다음과 같습니다.

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

이 식을 \(y=mx\)와 비교하면 그래프의 기울기는 질량과 반지름의 비를 나타냅니다.

\[ \boxed{\text{기울기}=\frac{m}{r}} \]

채점 기준:

• 단위를 포함한 올바른 기울기를 구하면 1점.
• 기울기가 \(m/r\)임을 식별하면 1점.

(c) 질량 계산. (2점)

(b)에서 다음 관계를 얻었습니다.

\[ \text{기울기}=\frac{m}{r} \]

질량 \(m\)을 구하도록 식을 정리하면 다음과 같습니다.

\[ m=(\text{기울기})r \]

기울기와 반지름을 대입합니다.

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

물체의 질량은 \(0.600\,\text{kg}\)입니다.

채점 기준:

• 기울기 관계식을 올바르게 정리하고 반지름을 대입하면 1점.
• 단위를 포함한 올바른 질량을 구하면 1점.

(b)에서 구한 기울기가 일관되게 사용되었다면 후속 계산 점수를 부여합니다.

풀이 6

(a) 경사각 계산. (3점)

마찰이 없는 경사 트랙에서 설계 속도 관계식은 다음과 같습니다.

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

주어진 속력, 반지름 및 중력장 세기를 대입합니다.

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

역탄젠트를 취하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

필요한 경사각은 수평면에 대해 \(18.8^\circ\)입니다.

채점 기준:

• 올바른 설계 속도 관계식을 사용하면 1점.
• 값을 올바르게 대입하면 1점.
• 올바른 각도를 구하면 1점.

(b) 수직항력 계산. (2점)

자동차에는 수직 가속도가 없으므로 수직항력의 수직 성분은 자동차의 무게와 평형을 이룹니다.

\[ F_N\cos\theta=mg \]

식을 정리하면 다음과 같습니다.

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

값을 대입합니다.

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

수직항력의 크기는 \(9.31\times10^3\,\text{N}\)입니다.

채점 기준:

• 수직항력을 수직 방향으로 분해하고 올바른 방정식을 사용하면 1점.
• 단위를 포함한 올바른 수직항력을 구하면 1점.

(c) 안쪽 방향 성분 계산 및 검증. (2점)

수직항력의 안쪽 방향 성분은 다음과 같습니다.

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

\(F_N\cos\theta=mg\)를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

값을 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

이제 원운동에 필요한 안쪽 방향 합력을 계산합니다.

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

반올림 오차 범위 내에서 수직항력의 안쪽 방향 성분은 필요한 안쪽 방향 합력과 일치합니다. 이는 설계 속도에서 수직항력이 필요한 구심력을 제공할 수 있음을 확인해 줍니다.

채점 기준:

• 수직항력의 안쪽 방향 성분을 계산하면 1점.
• 필요한 안쪽 방향 합력을 계산하고 두 값이 일치함을 확인하면 1점.

(a)에서 구한 각도를 일관되게 사용했고 풀이 방법이 올바르다면 (b)와 (c)에 후속 계산 점수를 부여합니다.