Física do 12.º ano: Exame de treino sobre a natureza da luz e soluções

Este é um exame de treino original da tutorgum para Física do 12.º ano: Natureza da Luz, que abrange a área de conteúdos fornecida do programa de 2025. Combina cálculos, análise de dados, evidências experimentais e explicações sobre o comportamento ondulatório, a física quântica, as ondas eletromagnéticas e a relatividade especial. Trata-se de um recurso original de revisão, não de uma prova oficial, aprovada ou preditiva da NESA.

01Instruções do exame

• Pontuação total: 90 pontos
• Tempo de resolução sugerido: 110 minutos
• Tempo de leitura: 5 minutos
• Material permitido: Calculadora científica, régua e papel milimétrico. Não são permitidas notas.
• Resolução: Apresenta os cálculos, as substituições, as unidades e um número adequado de algarismos significativos. Explica o teu raciocínio nas respostas escritas.

O tempo e as condições desta prova são condições de treino sugeridas, não afirmações sobre as regras oficiais dos exames.

Âmbito da avaliação

A prova avalia os conteúdos fornecidos de Natureza da Luz do 12.º ano, correspondentes à edição de 2025 do programa de Física, incluindo os modelos ondulatório e quântico da luz, a produção e a medição de ondas eletromagnéticas e a relatividade especial. Não avalia conteúdos de outros módulos nem combina material de diferentes edições do programa.

Constantes e conversões

Utiliza os seguintes dados quando necessário.

Salvo indicação em contrário numa questão, considera que a luz se propaga no ar aproximadamente à sua velocidade no vácuo, que são utilizados filtros polarizadores ideais e que as respostas numéricas devem ser arredondadas de forma adequada.

02Questões

Questão 1 (8 pontos)

(a) Enuncia os dois postulados da relatividade especial de Einstein. Nesta questão, um referencial inercial é um referencial que não está em aceleração. (2 pontos)

(b) As equações de Maxwell permitem prever a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo através da expressão

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

em que \(c\) é a velocidade da onda, \(\mu_0\) é a permeabilidade magnética do vácuo e \(\epsilon_0\) é a permissividade elétrica do vácuo.

Calcula a velocidade prevista para a onda. (2 pontos)

(c) Descreve como uma carga elétrica em aceleração pode produzir uma onda eletromagnética. Inclui a orientação do campo elétrico, do campo magnético e da direção de propagação da energia. (2 pontos)

(d) Uma experiência do tipo Michelson-Morley não deteta qualquer diferença mensurável no tempo de propagação da luz em direções perpendiculares, enquanto a Terra se move. Explica o que este resultado apoiou e apresenta uma razão pela qual constituiu uma evidência relevante para a relatividade especial, em vez de uma prova de toda a teoria. (2 pontos)

Questão 2 (6 pontos)

Heinrich Hertz utilizou um transmissor com uma abertura de faísca e um circuito recetor separado, que continha uma pequena abertura. Quando o transmissor produzia uma faísca, também era possível observar uma faísca no recetor, apesar de não existir um fio condutor entre ambos.

(a) Explica por que razão esta observação apoiou a existência de ondas eletromagnéticas. (2 pontos)

(b) Uma onda eletromagnética refletida produz um padrão de onda estacionária. Os nós adjacentes estão separados por \(0.30\ \mathrm{m}\). Calcula o comprimento de onda. (1 ponto)

(c) A frequência de oscilação do transmissor é \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\). Utilizando a tua resposta à alínea (b), calcula a velocidade da onda. (2 pontos)

(d) Indica um pressuposto ou uma limitação que deva ser considerado ao utilizar esta técnica para estimar a velocidade das ondas eletromagnéticas. (1 ponto)

Questão 3 (6 pontos)

(a) Um laser pulsado é dirigido para um refletor situado a \(1.50\ \mathrm{km}\) de distância. O tempo medido entre a emissão de um pulso e a deteção do seu retorno é \(10.0\ \mathrm{\mu s}\).

Calcula a velocidade da luz utilizando estas medições. (2 pontos)

(b) Descreve resumidamente como o método da roda dentada de Fizeau utilizava um feixe de luz refletido e a rotação de uma roda para estimar a velocidade da luz. (2 pontos)

(c) Compara o método moderno do laser pulsado com o método histórico de Fizeau. Indica uma vantagem do método moderno e uma limitação que ainda seja necessário controlar. (2 pontos)

Questão 4 (10 pontos)

(a) Um corpo negro ideal emite um espetro contínuo de radiação eletromagnética. Descreve em que difere o seu espetro observado da previsão da física clássica para comprimentos de onda muito curtos e explica como a quantização da energia proposta por Planck resolveu este problema. (3 pontos)

(b) O comprimento de onda correspondente ao máximo do espetro de um corpo negro é \(580\ \mathrm{nm}\). Utiliza a lei do deslocamento de Wien,

\[ \lambda_{\max}T=b \]

em que \(\lambda_{\max}\) é o comprimento de onda correspondente ao máximo do espetro, \(T\) é a temperatura absoluta em kelvin e \(b\) é a constante de deslocamento de Wien.

Calcula a temperatura do corpo negro. (2 pontos)

(c) Um fotão tem um comprimento de onda de \(400\ \mathrm{nm}\). Utiliza a expressão

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

em que \(E\) é a energia do fotão, \(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) é a constante de Planck, \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) é a velocidade da luz e \(\lambda\) é o comprimento de onda.

Calcula a energia do fotão em joules e em eletrões-volt. (3 pontos)

(d) Explica como uma célula fotovoltaica converte luz em energia elétrica. Identifica outra aplicação que dependa da energia quantizada dos fotões e descreve brevemente o seu funcionamento. (2 pontos)

Questão 5 (10 pontos)

O efeito fotoelétrico ocorre quando a luz incidente num metal provoca a emissão de eletrões. A função trabalho, \(\phi\), é a energia mínima necessária para libertar um eletrão do metal. A energia cinética máxima de um eletrão emitido é \(K_{\max}\).

Um aluno mede a energia cinética máxima dos fotoeletrões emitidos por um determinado metal, utilizando diferentes frequências de luz incidente.

(a) Explica como a existência de uma frequência limiar e a emissão imediata de fotoeletrões desafiam o modelo ondulatório clássico da luz. (2 pontos)

(b) Representa graficamente \(K_{\max}\) em função da frequência, utilizando papel milimétrico. Identifica o eixo horizontal como \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\), representa os dados e traça uma reta de melhor ajuste adequada.

Utiliza o gráfico para estimar a frequência limiar e explica o seu significado físico. (3 pontos)

(c) Utiliza o declive do teu gráfico para estimar a constante de Planck em \(\mathrm{J\,s}\). Faz corretamente a conversão das unidades de energia. (2 pontos)

(d) Utiliza a equação do efeito fotoelétrico

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

para calcular:

• a função trabalho do metal, em eletrões-volt;
• a energia cinética máxima dos fotoeletrões emitidos quando a frequência da luz incidente é \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\).

Utiliza o valor da constante de Planck obtido a partir do teu gráfico. (3 pontos)

Questão 6 (9 pontos)

(a) Explica como ocorre a emissão termiónica, por que razão o material emissor é habitualmente colocado no vácuo e apresenta uma diferença entre a emissão termiónica e a emissão fotoelétrica. (3 pontos)

(b) Uma luz não polarizada, com intensidade \(I_0\), atravessa um polarizador ideal e, em seguida, um analisador ideal. O ângulo entre os eixos de transmissão dos dois filtros é \(30^\circ\).

Para luz linearmente polarizada incidente no analisador, a lei de Malus é

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

em que \(I\) é a intensidade transmitida, \(I_{\max}\) é a intensidade incidente no analisador quando o seu eixo está alinhado com a direção de polarização da luz e \(\theta\) é o ângulo entre a direção de polarização e o eixo de transmissão do analisador.

Calcula a intensidade final transmitida em função de \(I_0\). (3 pontos)

(c) Explica por que razão a polarização apoia o modelo da luz como onda transversal. Por que motivo um polarizador ideal não consegue selecionar uma direção específica de oscilação lateral numa onda longitudinal? (2 pontos)

(d) Indica uma condição necessária para que a lei de Malus seja aplicada corretamente. (1 ponto)

Questão 7 (8 pontos)

(a) Uma luz monocromática atravessa uma única fenda estreita. A largura da fenda é reduzida de \(5\lambda\) para \(\lambda\), sendo \(\lambda\) o comprimento de onda da luz.

Descreve como se altera o padrão de difração e explica porquê. (2 pontos)

(b) Numa experiência de dupla fenda, a separação entre as duas fendas é \(d=0.25\ \mathrm{mm}\). As fendas são iluminadas por luz de comprimento de onda \(\lambda=500\ \mathrm{nm}\).

A condição para uma franja brilhante é

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

em que \(\theta\) é o ângulo em relação ao eixo central e \(m\) é a ordem inteira da franja brilhante.

Calcula o ângulo da franja brilhante de segunda ordem, \(m=2\). (3 pontos)

(c) Coloca-se um ecrã a \(2.0\ \mathrm{m}\) das fendas. Utiliza a aproximação dos pequenos ângulos para calcular o deslocamento da franja brilhante de segunda ordem em relação ao máximo central. (2 pontos)

(d) Explica o que as franjas brilhantes e escuras alternadas demonstram acerca do comportamento da luz. (1 ponto)

Questão 8 (6 pontos)

Uma rede de difração tem 600 linhas por milímetro. É iluminada perpendicularmente por luz monocromática de comprimento de onda \(500\ \mathrm{nm}\).

(a) Calcula o espaçamento \(d\) entre linhas adjacentes da rede e o ângulo do máximo de segunda ordem. Utiliza a expressão

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

em que \(m\) é a ordem do máximo e \(\theta\) é o seu ângulo em relação à normal. (3 pontos)

(b) Determina a ordem de difração mais elevada possível para este comprimento de onda. (1 ponto)

(c) Explica por que razão uma rede com muitas fendas consegue distinguir dois comprimentos de onda muito próximos de forma mais eficaz do que uma disposição com duas fendas. (2 pontos)

Questão 9 (10 pontos)

(a) Define um referencial inercial e explica o significado da relatividade da simultaneidade. (2 pontos)

(b) Dois acontecimentos, A e B, ocorrem nas posições \(x_A=0\) e \(x_B=+600\ \mathrm{m}\) no referencial da plataforma. São simultâneos nesse referencial, pelo que \(\Delta t=t_B-t_A=0\).

Um referencial ligado a um comboio move-se no sentido \(+x\) a \(0.60c\) em relação à plataforma, em que \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utiliza a transformação de Lorentz

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

em que \(\Delta t'=t'_B-t'_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\), \(v\) é a velocidade relativa e

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

é o fator de Lorentz.

Calcula \(\Delta t'\) no referencial do comboio e indica qual dos acontecimentos ocorre primeiro nesse referencial. (3 pontos)

(c) Um relógio em repouso numa nave espacial regista \(2.00\ \mathrm{\mu s}\) entre dois acontecimentos que ocorrem no mesmo ponto da nave. Um observador na Terra mede a velocidade da nave como \(0.80c\).

Calcula o intervalo de tempo medido pelo observador na Terra. (3 pontos)

(d) Uma nave espacial tem um comprimento próprio de \(120\ \mathrm{m}\), medido no seu próprio referencial de repouso. Calcula o comprimento medido por um observador na Terra quando a nave se move a \(0.80c\). (2 pontos)

Questão 10 (5 pontos)

(a) Uma partícula tem uma massa em repouso de \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\) e move-se a \(0.90c\), em que \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utiliza a equação relativística da quantidade de movimento

\[ p=\gamma mv \]

em que \(p\) é a quantidade de movimento, \(m\) é a massa em repouso, \(v\) é a velocidade e \(\gamma\) é o fator de Lorentz.

Calcula a quantidade de movimento relativística da partícula. (3 pontos)

(b) Explica por que razão uma partícula com massa não pode ser acelerada até à velocidade da luz através do fornecimento de uma quantidade finita de energia. (2 pontos)

Questão 11 (8 pontos)

(a) Os muões cósmicos são produzidos nas camadas superiores da atmosfera terrestre. O tempo de vida médio de um muão no seu próprio referencial de repouso é \(2.20\ \mathrm{\mu s}\), e este desloca-se em direção à superfície terrestre a \(0.998c\).

Supõe que o muão se desloca verticalmente a velocidade constante e despreza a perda de energia e outras interações. A altitude a que é produzido é \(10.0\ \mathrm{km}\).

Calcula:

• o fator de Lorentz;
• o tempo de vida médio medido no referencial da Terra;
• a distância média percorrida antes do decaimento.

Utiliza os teus resultados para explicar por que razão muitos muões conseguem atingir a superfície terrestre. (5 pontos)

(b) Numa experiência do tipo Hafele-Keating, relógios atómicos são transportados de avião em voos para este e para oeste à volta da Terra. Após os voos, as suas indicações são comparadas com as de um relógio de referência mantido em terra.

Explica o que está a ser testado, por que razão os desvios previstos dos relógios podem depender da direção e das condições do voo e o que seria apoiado pela concordância entre os desvios medidos e os previstos. Considera tanto os efeitos dependentes da velocidade como os efeitos relacionados com a altitude. (3 pontos)

Questão 12 (4 pontos)

Um aluno faz a seguinte afirmação:

“A difração e a interferência mostram que a luz é uma onda, pelo que o efeito fotoelétrico não pode ser explicado pelo mesmo modelo físico da luz.”

(a) Indica o que a difração ou a interferência demonstram acerca do comportamento da luz e explica por que razão um modelo puramente clássico de partículas não é suficiente para o explicar. (1 ponto)

(b) Indica o que a frequência limiar e a emissão imediata observadas no efeito fotoelétrico demonstram acerca da forma como a luz transfere energia. (1 ponto)

(c) Avalia a afirmação do aluno utilizando os dois conjuntos de evidências. Explica como um modelo moderno da luz consegue conciliar as observações. (2 pontos)

03Resoluções detalhadas e critérios de classificação

Métodos equivalentes e respostas numéricas corretamente arredondadas devem receber a mesma pontuação. Nas questões de cálculo, devem ser atribuídos pontos de continuidade quando um aluno utiliza de forma consistente um resultado numérico anterior, mesmo que esse resultado contenha um pequeno erro.

Resolução 1

(a) Postulados de Einstein

1. As leis da física são iguais em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial privilegiado no qual as leis da física assumam uma forma diferente.
2. A velocidade da luz no vácuo é igual para todos os observadores inerciais, independentemente do movimento da fonte ou do observador.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por cada postulado enunciado corretamente.

(b) Previsão de Maxwell

Substitui as constantes eletromagnéticas fornecidas na expressão da velocidade da onda.

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

A velocidade prevista para a onda eletromagnética coincide com o valor aceite para a velocidade da luz no vácuo.

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela substituição correta.
• 1 ponto pela velocidade correta e pelas unidades.

(c) Produção e propagação de ondas eletromagnéticas

Uma carga elétrica em aceleração produz campos elétricos e magnéticos variáveis. Estes campos propagam-se para longe da carga sob a forma de uma onda eletromagnética.

O campo elétrico e o campo magnético são perpendiculares entre si e ambos são perpendiculares à direção de propagação. A onda transporta energia através do espaço.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por relacionar as cargas em aceleração com campos eletromagnéticos variáveis.
• 1 ponto por indicar a disposição transversal dos campos e a propagação da energia.

(d) Evidências do tipo Michelson-Morley

O resultado nulo apoiou a conclusão de que não existia uma alteração detetável no tempo de propagação da luz causada pelo movimento da Terra através de um éter estacionário hipotético. Isto contribuiu para enfraquecer o modelo do éter e apoiou a ideia de que a velocidade da luz não depende da direção da medição na configuração experimental testada.

No entanto, um resultado nulo está limitado pela sensibilidade e pela configuração da experiência. Por si só, não estabelece todas as consequências da relatividade especial nem testa diretamente todos os referenciais inerciais.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar corretamente o que o resultado nulo apoiou.
• 1 ponto por apresentar uma limitação válida ou uma razão pela qual não constitui uma prova completa da teoria.

Resolução 2

(a) Evidências de Hertz

O recetor produziu uma faísca apesar de não estar ligado ao transmissor por um fio condutor. Isto demonstrou que a energia podia deslocar-se através do espaço desde o transmissor até ao recetor, de forma consistente com a propagação de ondas eletromagnéticas.

A observação apoiou o modelo das ondas eletromagnéticas, embora a configuração experimental também tivesse de permitir distinguir a radiação propagada do acoplamento eletromagnético direto indesejado.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por identificar a transferência de energia sem uma ligação condutora.
• 1 ponto por relacionar a observação com as ondas eletromagnéticas.

(b) Comprimento de onda a partir da separação entre nós

Os nós adjacentes de uma onda estacionária estão separados por metade do comprimento de onda.

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo comprimento de onda correto.

(c) Velocidade da onda

A velocidade da onda \(v\) é o produto da frequência \(f\) pelo comprimento de onda \(\lambda\).

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela relação e substituição corretas.
• 1 ponto pelo resultado correto com unidades.

(d) Pressuposto ou limitação

Uma resposta válida é que a frequência do transmissor tem de ser conhecida com precisão. Outra é que as posições dos nós da onda estacionária têm de ser medidas com precisão. O acoplamento de campo próximo entre o transmissor e o recetor também pode dificultar a interpretação da observação.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por um pressuposto ou uma limitação pertinente.

Resolução 3

(a) Medição moderna da velocidade da luz pelo tempo de voo

A luz desloca-se até ao refletor e regressa, pelo que a distância total é o dobro da distância de ida.

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

O tempo de ida e volta é

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

Assim,

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto por utilizar corretamente a distância de ida e volta.
• 1 ponto pela velocidade correta e pelas unidades.

(b) Método da roda dentada de Fizeau

A luz passava por uma abertura de uma roda dentada em rotação, viajava até um espelho distante e regressava. A uma velocidade de rotação adequada da roda, um dente bloqueava o feixe de retorno.

A velocidade de rotação da roda e a distância conhecida até ao espelho permitiam estimar o tempo de propagação da luz. Dividindo a distância de ida e volta por esse tempo, obtinha-se a velocidade da luz.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por descrever a roda, o feixe de saída e o feixe de retorno.
• 1 ponto por relacionar a rotação da roda e a distância de ida e volta com a estimativa do tempo de propagação e, consequentemente, da velocidade.

(c) Comparação

Uma vantagem do método moderno do laser pulsado é que a medição eletrónica do tempo permite medir intervalos de propagação muito curtos com elevada precisão, sem recorrer a uma roda dentada em rotação.

Uma limitação é que o tempo de propagação pode ser extremamente curto, exigindo sistemas eletrónicos de cronometragem e calibração dos detetores precisos. As incertezas na distância, os efeitos atmosféricos e o alinhamento do refletor também podem afetar a medição.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por uma vantagem válida.
• 1 ponto por uma limitação válida.

Resolução 4

(a) Radiação do corpo negro e quantização de Planck

O espetro observado de um corpo negro aumenta até atingir um máximo e depois diminui para comprimentos de onda mais curtos. A física clássica previa um aumento ilimitado da intensidade emitida para comprimentos de onda muito curtos, conduzindo à catástrofe ultravioleta.

Planck resolveu o problema propondo que a energia podia ser trocada em pacotes discretos, ou quanta, em vez de quantidades arbitrárias e contínuas. A energia de um quantum é proporcional à frequência:

\[ E=hf \]

em que \(E\) é a energia do quantum, \(h\) é a constante de Planck e \(f\) é a frequência. Esta quantização permitiu explicar o espetro observado.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por descrever o espetro observado.
• 1 ponto por identificar a catástrofe ultravioleta da física clássica.
• 1 ponto por explicar o papel da energia quantizada.

• Mais frio
• Mais quente

(b) Lei do deslocamento de Wien

Converte o comprimento de onda correspondente ao máximo para metros:

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

Reorganiza a lei de Wien para determinar a temperatura.

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

A temperatura do corpo negro é aproximadamente \(5000\ \mathrm{K}\).

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela conversão e substituição corretas.
• 1 ponto pela temperatura correta e pelas unidades.

(c) Energia do fotão

Calcula primeiro a energia em joules.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

Converte para eletrões-volt dividindo pela energia equivalente a um eletrão-volt.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

A energia do fotão é \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\), ou aproximadamente \(3.11\ \mathrm{eV}\).

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela equação e substituição corretas.
• 1 ponto pela energia em joules.
• 1 ponto pela energia em eletrões-volt.

(d) Energia fotovoltaica e outra aplicação quântica

Numa célula fotovoltaica, um fotão com energia suficiente pode promover um eletrão para um estado de energia superior num semicondutor, deixando uma lacuna. O campo elétrico interno da célula separa estas cargas, permitindo a passagem de corrente elétrica por um circuito externo.

Outro exemplo é um LED. Quando um eletrão se recombina com uma lacuna, pode ser libertada energia sob a forma de um fotão. A energia do fotão está relacionada com a diferença de energia entre os estados.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar corretamente a absorção de fotões e a separação de cargas numa célula fotovoltaica.
• 1 ponto por identificar outra aplicação quântica e explicar o seu princípio de funcionamento.

Resolução 5

(a) Frequência limiar e emissão imediata

A frequência limiar \(f_0\) é a frequência mínima da luz incidente que permite a emissão de fotoeletrões. Abaixo desta frequência, aumentar a intensidade não provoca emissão, porque os fotões individuais não têm energia suficiente para vencer a função trabalho do metal.

Acima da frequência limiar, a emissão ocorre sem um atraso mensurável. Isto contraria a previsão clássica de que os eletrões deveriam acumular gradualmente energia da onda incidente antes de conseguirem escapar.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar a frequência limiar em termos da energia dos fotões.
• 1 ponto por explicar a emissão imediata e o conflito com a previsão clássica.

(b) Gráfico e frequência limiar

O gráfico deve apresentar os cinco pontos de dados próximos de uma linha reta.

A interseção com o eixo horizontal é aproximadamente

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

Nesta frequência, a energia cinética máxima é nula. A energia de um fotão incidente é apenas suficiente para vencer a função trabalho, pelo que

\[ hf_0=\phi \]

A frequência limiar identifica, portanto, a frequência mínima necessária para libertar eletrões deste metal específico.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por representar e identificar corretamente os dados, incluindo uma reta de melhor ajuste adequada.
• 1 ponto por estimar a interseção com o eixo horizontal.
• 1 ponto por explicar o significado físico da frequência limiar.

• Dados medidos
• Reta de melhor ajuste
• Frequência limiar: 5.0 × 10^14 Hz

(c) Constante de Planck a partir do declive

Utilizando os extremos dos dados, o declive é aproximadamente

\[ \begin{aligned} \text{declive} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

Quando a energia cinética é medida em eletrões-volt, este declive representa a constante de Planck expressa em \(\mathrm{eV\,s}\). Converte-a para \(\mathrm{J\,s}\):

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto por uma estimativa correta do declive, com unidades adequadas.
• 1 ponto pela conversão para joules e pela estimativa correta da constante de Planck.

(d) Função trabalho e energia cinética máxima

Na frequência limiar, a energia cinética máxima é nula. Portanto,

\[ \phi=hf_0 \]

Utilizando o valor de \(h\) obtido a partir do gráfico,

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

Para a frequência incidente \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\),

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

O fotão fornece energia \(hf\). Parte dessa energia é utilizada para vencer a função trabalho, e a restante transforma-se em energia cinética do eletrão emitido. Isto corresponde à conservação da energia aplicada ao efeito fotoelétrico.

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo cálculo da função trabalho.
• 1 ponto pela substituição correta na equação do efeito fotoelétrico para a frequência indicada.
• 1 ponto pela energia cinética máxima com unidades adequadas.

Pontuação por continuidade: aceita cálculos baseados num declive obtido corretamente a partir do gráfico, mesmo que seja ligeiramente diferente.

Resolução 6

(a) Emissão termiónica

A emissão termiónica ocorre quando o aquecimento fornece aos eletrões de um material energia suficiente para escaparem da sua superfície. O material emissor é habitualmente colocado no vácuo para que os eletrões emitidos possam deslocar-se com menos colisões com moléculas de gás.

Na emissão fotoelétrica, os fotões fornecem energia aos eletrões, e a frequência dos fotões determina se a função trabalho pode ser vencida. Na emissão termiónica, a energia é fornecida pelo aquecimento.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar como o aquecimento permite aos eletrões escapar.
• 1 ponto por explicar a finalidade do vácuo.
• 1 ponto por distinguir a emissão termiónica da emissão fotoelétrica.

(b) Lei de Malus

Um polarizador ideal transmite metade da intensidade da luz inicialmente não polarizada.

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

Esta é a intensidade incidente no analisador. Aplica a lei de Malus com \(\theta=30^\circ\):

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

A intensidade final transmitida é \(3I_0/8\).

Critérios de classificação:

• 1 ponto por determinar corretamente a intensidade após o primeiro polarizador.
• 1 ponto por aplicar corretamente a lei de Malus.
• 1 ponto pela expressão final.

(c) Polarização e ondas transversais

Uma onda transversal oscila perpendicularmente à sua direção de propagação. Um polarizador seleciona uma orientação específica do campo elétrico, demonstrando que a luz tem uma direção de oscilação transversal.

Uma onda longitudinal oscila paralelamente à sua direção de propagação. Não possui uma orientação equivalente de oscilação lateral que um polarizador possa selecionar.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por relacionar a polarização com as oscilações transversais.
• 1 ponto por explicar por que razão uma onda longitudinal não pode ser polarizada desta forma.

(d) Condição para a lei de Malus

A luz incidente no analisador tem de estar linearmente polarizada. A lei de Malus relaciona então a intensidade transmitida com o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo de transmissão do analisador.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por indicar uma condição válida.

Resolução 7

(a) Difração através de uma fenda estreita

A difração é o alargamento de uma onda quando esta atravessa uma abertura. Para um comprimento de onda fixo, a dispersão angular aumenta quando a largura da fenda diminui em relação ao comprimento de onda.

Assim, reduzir a largura da fenda de \(5\lambda\) para \(\lambda\) produz uma maior dispersão.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por descrever a difração.
• 1 ponto por relacionar o aumento da dispersão com a redução da largura da fenda em relação ao comprimento de onda.

(b) Franja brilhante de segunda ordem

Converte a separação entre as fendas e o comprimento de onda para metros:

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

Utilizando a condição para uma franja brilhante,

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

Portanto,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela relação correta.
• 1 ponto pela substituição correta.
• 1 ponto pelo ângulo com unidades adequadas.

(c) Deslocamento da franja

Para ângulos pequenos medidos em radianos,

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

O deslocamento \(y\) em relação ao máximo central é aproximadamente

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

Substituindo a distância ao ecrã \(L=2.0\ \mathrm{m}\),

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

A franja de segunda ordem encontra-se aproximadamente a \(8.0\ \mathrm{mm}\) do máximo central.

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo método correto dos pequenos ângulos.
• 1 ponto pelo deslocamento com unidades.

(d) Evidências do comportamento ondulatório

As franjas brilhantes e escuras resultam, respetivamente, de interferência construtiva e destrutiva. O seu padrão regular constitui uma evidência do comportamento ondulatório da luz.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por relacionar o padrão de franjas com a interferência e o comportamento ondulatório.

Resolução 8

(a) Espaçamento da rede e ângulo de segunda ordem

A rede tem 600 linhas por milímetro. Converte este valor para linhas por metro:

\[ 600\ \mathrm{lines\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{lines\,m^{-1}} \]

O espaçamento \(d\) é o inverso da densidade de linhas:

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Para o máximo de segunda ordem, \(m=2\):

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

Assim,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo espaçamento correto da rede.
• 1 ponto pela substituição correta na equação da rede.
• 1 ponto pelo ângulo com unidades.

(b) Ordem máxima possível

Um máximo só pode ocorrer se

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

Portanto,

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

A ordem tem de ser um número inteiro, pelo que a ordem máxima possível é

\[ m_{\max}=3 \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela ordem máxima correta.

(c) Poder de resolução

Uma rede de difração tem muitas fendas. A interferência entre elas produz máximos principais mais estreitos do que os de uma disposição com duas fendas.

Quando dois comprimentos de onda são muito próximos, os máximos mais estreitos facilitam a distinção entre as suas posições angulares. Isto melhora a resolução espectral da rede.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar que muitas fendas produzem máximos mais estreitos.
• 1 ponto por relacionar os máximos mais estreitos com a distinção entre comprimentos de onda muito próximos.

Resolução 9

(a) Referenciais inerciais e simultaneidade

Um referencial inercial é um referencial que não está em aceleração. Está em repouso ou move-se com velocidade constante em relação a outro referencial inercial.

A relatividade da simultaneidade significa que dois acontecimentos separados espacialmente e simultâneos num referencial inercial podem não ser simultâneos noutro referencial que se mova em relação ao primeiro.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por definir um referencial inercial.
• 1 ponto por explicar a relatividade da simultaneidade.

(b) Diferença temporal entre acontecimentos

Os acontecimentos são simultâneos no referencial da plataforma, pelo que \(\Delta t=0\). A sua separação espacial é

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

Para \(v=0.60c\), o fator de Lorentz é

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

Aplica a transformação de Lorentz fornecida:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

O sinal negativo significa que \(t'_B-t'_A\) é negativo. O acontecimento B ocorre \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) antes do acontecimento A no referencial do comboio.

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo fator de Lorentz correto.
• 1 ponto pela substituição e pelo cálculo corretos.
• 1 ponto pela interpretação correta do sinal negativo.

(c) Dilatação temporal

O relógio mede o tempo próprio porque os dois acontecimentos ocorrem no mesmo ponto do referencial de repouso da nave espacial.

Para um relógio em movimento, o intervalo medido no referencial da Terra é

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

em que \(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) é o tempo próprio.

Para \(v=0.80c\),

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

Portanto,

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

O observador na Terra mede um intervalo de aproximadamente \(3.33\ \mathrm{\mu s}\).

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo fator de Lorentz correto.
• 1 ponto pela relação de dilatação temporal e substituição corretas.
• 1 ponto pelo intervalo final com unidades.

(d) Contração do comprimento

O comprimento próprio \(L_0=120\ \mathrm{m}\) é medido no referencial de repouso da nave espacial. O observador na Terra mede um comprimento menor na direção do movimento.

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

Utilizando \(\gamma=1.667\),

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

O comprimento contraído é aproximadamente \(72.0\ \mathrm{m}\).

Critérios de classificação:

• 1 ponto pela relação correta de contração do comprimento.
• 1 ponto pela resposta correta com unidades.

Resolução 10

(a) Quantidade de movimento relativística

Calcula primeiro o fator de Lorentz para \(v=0.90c\).

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

A velocidade da partícula é

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

Utilizando \(p=\gamma mv\),

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo fator de Lorentz correto.
• 1 ponto pela substituição correta na equação da quantidade de movimento.
• 1 ponto pela quantidade de movimento correta e pelas unidades.

(b) Por que razão uma partícula com massa não pode atingir a velocidade da luz

À medida que a velocidade de uma partícula com massa se aproxima de \(c\), o denominador da expressão

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

aproxima-se de zero. Consequentemente, o fator de Lorentz aumenta sem limite, e a energia necessária para acelerar ainda mais a partícula torna-se cada vez maior.

No limite, atingir a velocidade da luz exigiria uma quantidade infinita de energia. Por conseguinte, uma partícula com massa não pode atingir \(c\) recebendo uma quantidade finita de energia.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar o aumento do fator de Lorentz ou da energia relativística.
• 1 ponto por relacionar este aumento com a impossibilidade de atingir \(c\) com energia finita.

Resolução 11

(a) Muões cósmicos e dilatação temporal

O tempo de vida médio próprio do muão é

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

A sua velocidade é \(v=0.998c\).

Calcula primeiro o fator de Lorentz:

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

O tempo de vida médio medido no referencial da Terra é maior devido à dilatação temporal:

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

Calcula a distância média percorrida:

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

A distância média percorrida é aproximadamente \(10.4\ \mathrm{km}\), valor comparável e ligeiramente superior à altitude de produção indicada, de \(10.0\ \mathrm{km}\). A dilatação temporal explica, portanto, por que razão muitos muões conseguem atingir a superfície terrestre antes de decair.

Este cálculo diz respeito ao tempo de vida médio, não garante que todos os muões sobrevivam à viagem. Os tempos de decaimento individuais variam.

Critérios de classificação:

• 1 ponto pelo fator de Lorentz correto.
• 1 ponto pelo tempo de vida médio no referencial da Terra.
• 1 ponto pelo método correto de cálculo da distância.
• 1 ponto pela distância com unidades.
• 1 ponto por relacionar o resultado com a observação de muões à superfície terrestre.

(b) Testes da relatividade com relógios atómicos

Os relógios são comparados após os voos para medir diferenças no tempo decorrido. Isto permite testar se relógios que seguem trajetórias diferentes no espaço-tempo acumulam intervalos de tempo de acordo com as previsões da relatividade.

A contribuição da relatividade especial depende das velocidades dos relógios em relação à Terra, pelo que os voos para este e para oeste podem produzir resultados diferentes. A altitude também afeta a marcha dos relógios, contribuindo com um efeito relativístico adicional que tem de ser incluído no desvio líquido previsto.

A concordância entre os desvios medidos e as previsões apoia as descrições relativísticas do tempo decorrido. Esta comparação é particularmente útil porque as previsões podem ser calculadas antes de os relógios voltarem a encontrar-se.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por identificar a comparação das indicações dos relógios como a grandeza medida.
• 1 ponto por explicar os efeitos da velocidade e da altitude nos desvios previstos.
• 1 ponto por explicar como a concordância com as previsões apoia a relatividade.

Resolução 12

(a) Evidências do comportamento ondulatório

A difração e a interferência demonstram um comportamento ondulatório. Um modelo puramente clássico de partículas não consegue explicar o padrão regular de interferência produzido pela sobreposição de ondas luminosas.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por relacionar corretamente as evidências com o comportamento ondulatório e com as limitações de um modelo clássico de partículas.

(b) Evidências do efeito fotoelétrico

A frequência limiar demonstra que um fotão tem de fornecer pelo menos a energia correspondente à função trabalho para libertar um eletrão. A emissão imediata apoia a transferência de energia em quantidades individuais quantizadas, em vez da acumulação gradual de energia proveniente de uma onda clássica contínua.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por relacionar as observações com a energia quantizada dos fotões.

(c) Avaliação da afirmação

A conclusão do aluno é demasiado categórica. A difração e a interferência demonstram um comportamento ondulatório, enquanto o efeito fotoelétrico fornece evidências de que a luz transfere energia em quanta discretos.

Uma descrição quântica moderna concilia ambos os conjuntos de observações. A luz pode apresentar um comportamento ondulatório durante a propagação e a interferência, enquanto as suas interações com a matéria envolvem transferências de energia quantizadas. As evidências não podem ser explicadas integralmente nem por um modelo puramente clássico de ondas nem por um modelo puramente clássico de partículas.

Critérios de classificação:

• 1 ponto por explicar como um modelo moderno concilia os dois tipos de evidências.
• 1 ponto por concluir que os modelos clássicos de ondas e de partículas, considerados isoladamente, são insuficientes.