Aplicações do movimento circular: prova de treino de Física HSC

Esta prova de treino original do tutorgum avalia os conteúdos de Física de 2017 indicados para aplicações do movimento circular. Irá decompor as forças que atuam sobre uma massa que se move num círculo horizontal presa a um fio, analisar as componentes da força normal em pistas inclinadas e calcular o atrito necessário para carros que percorrem curvas planas. A prova centra-se na identificação das forças reais que atuam num sistema e na determinação da sua resultante dirigida para o centro.

Esta é uma prova de revisão focada, não um exame de todo o curso. Trata-se de uma prova de treino original do tutorgum, não de uma prova oficial, endossada, de anos anteriores ou prevista pela NESA.

01Instruções do exame

• Tempo de resolução sugerido: 50 minutos.
• Tempo de leitura sugerido: 5 minutos.
• Total de pontos: 40.
• Material permitido: Calculadora científica, régua e material de escrita. Não é permitida a consulta de apontamentos.
• Intensidade do campo gravitacional: Utilize \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) ao longo de toda a prova.
• Resolução e precisão: Apresente os cálculos, inclua as unidades e dê as respostas numéricas com um número adequado de algarismos significativos.

Conteúdos avaliados

Esta prova abrange:

• Decomposição da tensão e do peso de uma massa que se move num círculo horizontal presa a um fio.
• Decomposição da força normal numa pista inclinada e cálculo da velocidade de projeto.
• Análise do atrito estático como fonte da força centrípeta numa curva circular plana.
• Interpretação da relação entre a força resultante dirigida para o centro e a velocidade.

O movimento circular vertical, os cálculos de pistas inclinadas com recurso ao atrito e outros tópicos relacionados com o movimento circular estão excluídos.

Nas pistas inclinadas, meça o ângulo de inclinação em relação à horizontal. Para uma massa presa a um fio, meça o ângulo do fio em relação à vertical. Considere desprezável a resistência do ar. Quando uma pista for descrita como sem atrito, despreze completamente o atrito.

02Perguntas

Pergunta 1 (7 pontos)

Uma massa de \(0.500\,\text{kg}\) está presa a um fio leve e move-se a uma velocidade constante de \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) num círculo horizontal de raio \(0.600\,\text{m}\). O fio faz um ângulo \(\theta\) com a vertical.

(a) Identifique as forças que atuam sobre a massa e indique a direção da sua aceleração. (2 pontos)

(b) Calcule a força resultante dirigida para o centro que atua sobre a massa. (2 pontos)

(c) Decomponha a tensão nas componentes vertical e horizontal. Calcule a tensão no fio e o ângulo \(\theta\). (3 pontos)

Pergunta 2 (7 pontos)

Um carro percorre uma pista circular inclinada, sem atrito, de raio \(85.0\,\text{m}\). A pista está inclinada num ângulo de \(12.0^\circ\) em relação à horizontal.

Nesta pergunta, a velocidade de projeto é a velocidade à qual o carro consegue seguir a trajetória circular sem depender do atrito.

(a) Identifique as forças que atuam sobre o carro e descreva como as componentes da força normal se relacionam com o movimento vertical e o movimento dirigido para o centro. (2 pontos)

(b) Decompondo as forças, deduza uma expressão para a velocidade de projeto \(v\) em função do raio \(r\), do ângulo de inclinação \(\theta\) e da intensidade do campo gravitacional \(g\). (3 pontos)

(c) Calcule a velocidade de projeto para esta pista. (2 pontos)

Pergunta 3 (8 pontos)

Um carro de massa \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) percorre uma curva plana e horizontal de raio \(55.0\,\text{m}\) a uma velocidade de \(14.0\,\text{m s}^{-1}\). O atrito estático é a única força horizontal que atua sobre o carro.

(a) Calcule a força resultante dirigida para o centro necessária para o carro percorrer a curva. (2 pontos)

(b) Identifique a direção da força de atrito e calcule o coeficiente mínimo de atrito estático necessário para evitar que o carro derrape a esta velocidade. (3 pontos)

(c) O carro percorre depois a mesma curva a \(16.8\,\text{m s}^{-1}\). O coeficiente de atrito estático disponível é \(0.450\). Determine se o carro consegue manter a trajetória circular. Justifique a sua resposta com um cálculo. (3 pontos)

Pergunta 4 (5 pontos)

Uma massa de \(0.750\,\text{kg}\) está presa a um fio. Num determinado instante, a tensão no fio é \(12.0\,\text{N}\), e o fio faz um ângulo de \(25.0^\circ\) com a vertical. A tensão e o peso são as únicas forças que atuam sobre a massa.

(a) Calcule a componente vertical da tensão. (2 pontos)

(b) Um aluno afirma que, com estes valores das forças, a massa se move num círculo horizontal a uma altura constante. Avalie esta afirmação. Se os valores indicados se mantiverem, calcule a aceleração vertical inicial da massa, incluindo a respetiva direção. (3 pontos)

Pergunta 5 (6 pontos)

Um objeto move-se num círculo horizontal de raio fixo. A sua velocidade é alterada e mede-se a força resultante \(F_{\text{in}}\) dirigida para o centro. Os resultados estão registados abaixo.

O gráfico seguinte representa as medições fornecidas.

• Dados medidos
• Reta de melhor ajuste

(a) Descreva a relação entre a força resultante dirigida para o centro e o quadrado da velocidade. (2 pontos)

(b) Calcule o declive do gráfico e indique o que este representa em termos da massa \(m\) e do raio \(r\) da trajetória circular. (2 pontos)

(c) Se o raio da trajetória circular for \(1.50\,\text{m}\), calcule a massa do objeto. (2 pontos)

Pergunta 6 (7 pontos)

Uma pista de testes inclinada, sem atrito, foi concebida para uma velocidade de \(20.0\,\text{m s}^{-1}\) num troço circular de raio \(120.0\,\text{m}\). Um carro de massa \(900.0\,\text{kg}\) percorre a pista a esta velocidade de projeto.

(a) Calcule o ângulo de inclinação necessário. (3 pontos)

(b) Calcule o módulo da força normal que atua sobre o carro. (2 pontos)

(c) Calcule a componente da força normal dirigida para o centro. Verifique o resultado comparando-o com a força resultante dirigida para o centro necessária para o movimento circular do carro. (2 pontos)

03Resoluções detalhadas e guia de classificação

Resolução 1

(a) Identificar as forças e a aceleração. (2 pontos)

As duas forças que atuam sobre a massa são:

• A tensão, \(T\), dirigida ao longo do fio, em direção ao ponto de apoio.
• O peso, \(mg\), dirigido verticalmente para baixo.

A massa acelera horizontalmente em direção ao centro do círculo. Como permanece à mesma altura, a sua aceleração vertical é nula, pelo que as componentes verticais das forças se equilibram.

Guia de classificação:

• 1 ponto por identificar a tensão e o peso.
• 1 ponto por indicar a direção da aceleração, para o centro.

(b) Calcular a força resultante dirigida para o centro. (2 pontos)

No movimento circular uniforme, a força resultante dirigida para o centro é

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

em que \(m\) é a massa em quilogramas, \(v\) é a velocidade em metros por segundo e \(r\) é o raio em metros.

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

A força resultante dirigida para o centro é \(13.3\,\text{N}\).

Guia de classificação:

• 1 ponto pela equação correta e pela substituição dos valores.
• 1 ponto pela resposta correta, com unidades.

(c) Calcular a tensão e o ângulo. (3 pontos)

Seja \(\theta\) o ângulo entre o fio e a vertical.

A componente vertical da tensão equilibra o peso:

\[ T\cos\theta=mg \]

A componente horizontal fornece a força resultante dirigida para o centro:

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

Primeiro, calcule a tensão utilizando as duas componentes perpendiculares:

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

Em seguida, divida a equação da componente horizontal pela equação da componente vertical:

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

Assim,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

A tensão é \(14.2\,\text{N}\), e o fio está inclinado \(69.8^\circ\) em relação à vertical.

Guia de classificação:

• 1 ponto por decompor corretamente a tensão nas componentes vertical e horizontal.
• 1 ponto por calcular a tensão.
• 1 ponto por calcular o ângulo.

Atribua pontos de continuidade para a tensão e o ângulo se um erro numérico anterior for propagado de forma consistente.

Resolução 2

(a) Identificar as forças e as suas componentes. (2 pontos)

As forças que atuam sobre o carro são o seu peso, \(mg\), dirigido verticalmente para baixo, e a força normal, \(F_N\), exercida pela pista perpendicularmente à sua superfície.

A força normal tem duas componentes relevantes:

• Uma componente vertical, \(F_N\cos\theta\), que equilibra o peso.
• Uma componente horizontal, \(F_N\sin\theta\), que atua em direção ao centro da trajetória circular.

Não existe força de atrito porque a pista é especificada como sem atrito.

Guia de classificação:

• 1 ponto por identificar o peso e a força normal.
• 1 ponto por descrever corretamente as componentes vertical e dirigida para o centro.

(b) Deduzir a equação da velocidade de projeto. (3 pontos)

Como o carro mantém uma altura constante, as forças verticais equilibram-se:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

A componente da força normal dirigida para o centro fornece a força centrípeta:

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

Divida a equação da força dirigida para o centro pela equação vertical:

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

Simplifique os fatores comuns e utilize \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\):

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

Reorganizando a expressão para obter a velocidade:

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

A equação mostra que a velocidade de projeto depende do raio da pista, do ângulo de inclinação e da intensidade do campo gravitacional.

Guia de classificação:

• 1 ponto pela equação correta das forças verticais.
• 1 ponto pela equação correta da força dirigida para o centro.
• 1 ponto por dividir as equações e deduzir a expressão da velocidade de projeto.

(c) Calcular a velocidade de projeto. (2 pontos)

Utilizando \(r=85.0\,\text{m}\), \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) e \(\theta=12.0^\circ\):

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

A velocidade de projeto é \(13.3\,\text{m s}^{-1}\).

Guia de classificação:

• 1 ponto pela substituição correta na equação da velocidade de projeto.
• 1 ponto pela resposta numérica correta, com unidades.

Resolução 3

(a) Calcular a força resultante dirigida para o centro. (2 pontos)

A força resultante necessária, dirigida para o centro, é

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Substitua a massa do carro, a velocidade e o raio da curva:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

O carro necessita de uma força resultante de \(4.28\times10^3\,\text{N}\) dirigida para o centro.

Guia de classificação:

• 1 ponto pela equação correta e pela substituição dos valores.
• 1 ponto pela resposta correta, com unidades.

(b) Calcular o coeficiente mínimo de atrito estático. (3 pontos)

Numa estrada plana e horizontal, o atrito estático atua em direção ao centro da curva. É ele que fornece a força resultante dirigida para o centro.

As forças verticais equilibram-se, pelo que

\[ F_N=mg \]

O atrito estático máximo disponível é

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

em que \(f_{s,\max}\) é o atrito estático máximo, em newtons, e \(\mu_s\) é o coeficiente de atrito estático.

Para o coeficiente mínimo que permite evitar a derrapagem, o atrito máximo é igual à força necessária dirigida para o centro:

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

Cancele a massa e reorganize a expressão:

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

O coeficiente mínimo de atrito estático é \(0.364\).

Guia de classificação:

• 1 ponto por identificar o atrito estático como a força dirigida para o centro.
• 1 ponto por relacionar o atrito máximo com a força normal e o peso.
• 1 ponto por calcular corretamente o coeficiente mínimo.

(c) Determinar se o carro consegue percorrer a curva à velocidade mais elevada. (3 pontos)

A \(16.8\,\text{m s}^{-1}\), o coeficiente necessário é

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

O coeficiente necessário, \(0.524\), é superior ao coeficiente disponível, \(0.450\).

Assim, o atrito estático disponível é insuficiente para fornecer a força necessária dirigida para o centro. O carro não consegue manter a trajetória circular e irá derrapar em direção ao exterior da curva.

Guia de classificação:

• 1 ponto pela equação correta e pela substituição dos valores.
• 1 ponto pelo coeficiente necessário, aproximadamente \(0.524\).
• 1 ponto por comparar os coeficientes necessário e disponível e chegar à conclusão correta.

Resolução 4

(a) Calcular a componente vertical da tensão. (2 pontos)

O fio faz um ângulo de \(25.0^\circ\) com a vertical. Assim, a componente vertical da tensão é

\[ T_y=T\cos\theta \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

A componente vertical da tensão é \(10.9\,\text{N}\), dirigida para cima.

Guia de classificação:

• 1 ponto por utilizar a equação correta para a componente.
• 1 ponto pela resposta numérica correta, com unidades.

(b) Avaliar a afirmação e calcular a aceleração vertical. (3 pontos)

O peso da massa é

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

Para a massa se mover num círculo horizontal a uma altura constante, a componente vertical da tensão tem de ser igual ao peso.

No entanto,

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

As forças não se equilibram verticalmente. A afirmação do aluno é incompatível com os valores das forças indicados.

A força vertical resultante é dirigida para cima:

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

Aplicando a segunda lei de Newton,

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

A aceleração vertical inicial é \(4.70\,\text{m s}^{-2}\), dirigida para cima. Nestas condições, a massa não consegue manter uma altura constante.

Guia de classificação:

• 1 ponto por comparar a componente vertical da tensão com o peso e identificar o desequilíbrio.
• 1 ponto por calcular a força vertical resultante.
• 1 ponto por calcular a aceleração e indicar a sua direção.

Resolução 5

(a) Descrever a relação. (2 pontos)

O gráfico mostra que a força resultante dirigida para o centro aumenta linearmente com o quadrado da velocidade. Os dados são compatíveis com uma reta que passa pela origem, pelo que

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

Por outras palavras, se a velocidade duplicar, a força resultante necessária dirigida para o centro torna-se quatro vezes maior, desde que a massa e o raio permaneçam constantes.

Guia de classificação:

• 1 ponto por identificar a relação linear com o quadrado da velocidade.
• 1 ponto por indicar que a força é diretamente proporcional a \(v^2\).

(b) Calcular e interpretar o declive. (2 pontos)

O declive corresponde à variação da força resultante dirigida para o centro dividida pela variação do quadrado da velocidade:

\[ \begin{aligned} \text{declive} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

As unidades simplificam-se para quilogramas por metro.

A equação do movimento circular é

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Reorganize-a na forma de uma equação de uma reta:

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

Comparando esta expressão com \(y=mx\), o declive do gráfico representa a razão entre a massa e o raio:

\[ \boxed{\text{declive}=\frac{m}{r}} \]

Guia de classificação:

• 1 ponto pelo declive correto, com unidades.
• 1 ponto por identificar o declive como \(m/r\).

(c) Calcular a massa. (2 pontos)

Da alínea (b),

\[ \text{declive}=\frac{m}{r} \]

Reorganize a expressão para isolar a massa:

\[ m=(\text{declive})r \]

Substituindo o declive e o raio:

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

A massa do objeto é \(0.600\,\text{kg}\).

Guia de classificação:

• 1 ponto por reorganizar corretamente a relação do declive e substituir o raio.
• 1 ponto pela massa correta, com unidades.

Atribua pontos de continuidade utilizando um declive consistente com o obtido na alínea (b).

Resolução 6

(a) Calcular o ângulo de inclinação. (3 pontos)

Para uma pista inclinada sem atrito, a relação da velocidade de projeto é

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

Substitua a velocidade, o raio e a intensidade do campo gravitacional fornecidos:

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

Aplicando a função inversa da tangente, obtém-se

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

O ângulo de inclinação necessário é \(18.8^\circ\) em relação à horizontal.

Guia de classificação:

• 1 ponto por utilizar a relação correta da velocidade de projeto.
• 1 ponto pela substituição correta dos valores.
• 1 ponto pelo ângulo correto.

(b) Calcular a força normal. (2 pontos)

O carro não tem aceleração vertical, pelo que a componente vertical da força normal equilibra o seu peso:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

Reorganizando a expressão:

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

O módulo da força normal é \(9.31\times10^3\,\text{N}\).

Guia de classificação:

• 1 ponto por decompor a força normal na direção vertical e utilizar a equação correta.
• 1 ponto pela força normal correta, com unidades.

(c) Calcular e verificar a componente dirigida para o centro. (2 pontos)

A componente da força normal dirigida para o centro é

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

Utilizando \(F_N\cos\theta=mg\), esta expressão também pode ser escrita como

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

Substituindo os valores:

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

Calcule agora a força resultante dirigida para o centro necessária para o movimento circular:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

A componente da força normal dirigida para o centro coincide com a força resultante necessária dirigida para o centro, dentro dos limites do arredondamento. Isto confirma que a força normal consegue fornecer a força centrípeta necessária à velocidade de projeto.

Guia de classificação:

• 1 ponto por calcular a componente da força normal dirigida para o centro.
• 1 ponto por calcular a força resultante necessária dirigida para o centro e confirmar que os dois valores coincidem.

Atribua pontos de continuidade nas alíneas (b) e (c) se for utilizado de forma consistente um ângulo obtido na alínea (a), desde que o método esteja correto.