為甚麼運動中的時鐘會走得較慢

兩個完全相同的時鐘已經同步。其中一個留在地球上，另一個以 \(0.80c\) 的速度飛掠而過，其中 \(c\) 是光速。如果飛行中的時鐘記錄了 \(6.0\) s，地球上的時鐘應該記錄多少時間：少於 \(6.0\) s、剛好 \(6.0\) s，還是多於 \(6.0\) s？

根據古典物理學，兩個時鐘的讀數應該一致。但根據狹義相對論，地球上測得的時間間隔較長，為 \(10.0\) s。飛行中的時鐘並沒有故障，其內部機制也沒有發生任何異常。兩者讀數不同的原因更為根本：處於相對運動狀態的觀察者，對同一對事件所測得的時間間隔並不相同。

01為甚麼運動中的時鐘會走得較慢

想像一個非常簡單的時鐘，由兩面鏡子組成。一束光脈衝在兩面鏡子之間來回反射。每完成一次往返，就代表時鐘跳動一次。

如果你與時鐘一起移動，你會看到光線沿直線上下往返。現在，想像你看到同一個時鐘沿水平方向從你面前飛過。試預測從你的角度看，光線會沿甚麼路徑移動。

光線不可能仍然只沿垂直方向上下移動。當光線朝上方的鏡子前進時，整個時鐘也正在橫向移動。因此，你會看到光線沿斜線路徑前進。

這就產生了一個問題。觀察運動中時鐘的人會看到，光線在兩次跳動之間行經更長的距離，但愛因斯坦的第二公設指出，每位慣性參考系中的觀察者所測得的光速都相同，均為 \(c\)。

速度相同，但行經的距離更長，就代表需要更多時間。

這就是時間膨脹背後的基本物理圖像。

不過，這個模型有一項重要限制。現實中的時鐘並非全都依靠光線在鏡子之間反射來運作。光鐘是一個思想實驗，目的是讓我們能夠直觀地理解其中的幾何關係。時間膨脹影響的是時間的流逝本身，因此，理想的原子鐘、生物過程，以及不穩定粒子的衰變，都會呈現相同的相對論效應。

從圖像推導出方程式

設在時鐘旁邊測得的一次完整跳動所需時間為 \(\Delta t_0\)。

在半次跳動期間，光線從其中一面鏡子傳到另一面。如果兩面鏡子之間的距離為 \(L\)，則

\[ L=\frac{c\Delta t_0}{2} \]

現在，觀察時鐘以速度 \(v\) 從你面前經過。你測得較長的跳動時間間隔 \(\Delta t\)。

在半次跳動期間：

• 時鐘沿水平方向移動了 \(\frac{v\Delta t}{2}\)，
• 光線沿斜線移動了 \(\frac{c\Delta t}{2}\)，
• 垂直方向的鏡面間距仍然是 \(L=\frac{c\Delta t_0}{2}\)。

這三段長度組成一個直角三角形。根據畢氏定理，

\[ \left(\frac{c\Delta t}{2}\right)^2 = \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2 + \left(\frac{c\Delta t_0}{2}\right)^2 \]

約去共同因子並重新整理：

\[ c^2\Delta t^2 = v^2\Delta t^2+c^2\Delta t_0^2 \]

\[ \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = \Delta t_0^2 \]

因此，

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

這個看起來有點複雜的因子在相對論中經常出現，因此有一個專屬名稱。

02洛倫茲因子

洛倫茲因子（Lorentz factor）為

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

其中：

• \(\gamma\) 是洛倫茲因子，沒有單位，
• \(v\) 是時鐘與觀察者之間的相對速率，
• \(c\) 是光速，數值為 \(3.00\times10^8\) m s\(^{-1}\)。

這樣，時間膨脹方程式就變得簡潔得多：

\[ \Delta t=\gamma\Delta t_0 \]

理解這兩個時間間隔的意義，比掌握代數運算更重要。

\(\Delta t_0\) 是固有時間（proper time）。它由一個在兩個事件發生時都位於事件發生位置的時鐘測得。在該時鐘的參考系中，兩個事件發生在同一位置。

\(\Delta t\) 是膨脹後的時間間隔（dilated time），由一個觀察到該時鐘正在運動的參考系測得。

由於 \(\gamma\geq1\)，

\[ \Delta t\geq\Delta t_0 \]

因此，在一般的時間膨脹計算中，固有時間是較短的時間間隔。

\(\gamma\) 可以有多大？

在日常生活中的速率下，\(\gamma\) 非常接近 \(1\)，所以時間膨脹效應極其微小。只有當 \(v\) 達到 \(c\) 的相當大比例時，效應才會變得顯著。

留意當速率接近光速時，這個效應增強得有多快。從 \(0.60c\) 增加至 \(0.80c\)，並不代表時間膨脹效應只是增加三分之一。兩者之間並非線性關係。

03真正的關鍵技能：辨認固有時間

大部分時間膨脹題目的錯誤都不是計算機操作失誤，而是更早一步就出錯了：把錯誤的時間間隔標記為 \(\Delta t_0\)。

你應該從事件的角度思考。事件是指在某個特定位置和時間發生的事情。

假設一名太空人在出發時啟動秒錶，抵達目的地時再停止同一個秒錶。這個秒錶在兩個事件發生時都位於現場，因此它的讀數就是固有時間。

地球上的觀察者可能會認為出發和抵達發生在地球參考系中的不同位置。因此，地球觀察者測得的是膨脹後的時間間隔。

以下是一套實用的判斷規則：

不要死記「運動時間」和「靜止時間」之類的說法。運動是相對的。你應該明確指出參考系，例如地球參考系、太空船參考系、實驗室參考系等。

04如果速率改變，會怎樣？

方程式 \(\Delta t=\gamma\Delta t_0\) 假設在所考慮的時間間隔內，相對速率保持不變。

如果太空船改變速率，其洛倫茲因子也會改變。一般而言，你不能只求出一個平均速率，計算一個 \(\gamma\)，然後將它套用到整段旅程。

正確做法是將運動分成多個速率保持不變的階段，分別計算每個階段的固有時間，最後將它們相加。

05容易令人誤解的觀念：「運動中的時鐘就是走得較慢的時鐘」

假設你身處地球，一艘太空船以恆定速度飛過。你認為太空船上的時鐘正在運動，因此測得它走得較慢。

但太空人也可以將地球描述為朝相反方向運動。因此，太空人同樣可以說地球上的時鐘走得較慢。

只有當你假設必定存在一個客觀上靜止的參考系時，這才會看起來互相矛盾。狹義相對論並沒有指定這樣的參考系。對於以恆定速度運動的慣性觀察者，沒有任何一個參考系享有特殊地位。

較難理解的部分，在於如何比較相距遙遠的時鐘。彼此相對運動的觀察者，對於不同位置的哪些事件是同時發生的，並不會有一致的判斷。正是這種同時性上的差異，使每位慣性觀察者都可以測得對方運動中的時鐘走得較慢，而不會造成邏輯矛盾。

當題目涉及太空船掉頭，並最終返回地球與地球上的時鐘重聚時，這一點尤其重要。重聚時，兩個時鐘再次並排，因此可以直接比較讀數。旅途中，旅行者曾經轉換慣性參考系，而地球則可以視為一直處於同一個慣性參考系。你不能簡單地將「地球上的時鐘走得較慢」這句話套用到旅行者整段往返旅程，彷彿旅行者從頭到尾都處於同一個慣性參考系。

06相信答案之前，先做幾項快速檢查

以下幾項檢查可以找出大部分常見錯誤。

如果 \(v=0\)，則 \(\gamma=1\)。兩個時鐘的讀數必須一致。

如果你計算出的 \(\gamma\) 小於 \(1\)，就表示某個步驟出了問題。你可能計算了 \(\sqrt{1-v^2/c^2}\)，卻忘記取其倒數。

膨脹後的時間間隔必須大於或等於固有時間：

\[ \Delta t\geq\Delta t_0 \]

如果速率已給定為 \(0.92c\)，就不必多此一舉地代入 \(v=2.76\times10^8\) m s\(^{-1}\)。因為

\[ \frac{v}{c}=0.92 \]

你可以直接在洛倫茲因子中使用 \(0.92\)。

最後，問問自己計算出的數值代表甚麼。只寫「\(8.4\) s」並不足夠。你應該指出是哪位觀察者測得 \(8.4\) s，以及這個時間間隔對應哪兩個事件。

07練習題與解答

第 1 題

一艘太空船相對於地球以 \(0.60c\) 的速率運動。船上的時鐘測得太空船內發生的兩個事件之間相隔 \(4.00\) s。

計算從地球測得的這兩個事件之間的時間間隔。

第 1 題解答

地球測得兩個事件之間相隔 \(5.00\) s。

太空船上的時鐘在兩個事件發生時都位於現場，因此其 \(4.00\) s 的讀數是固有時間：

\[ \Delta t_0=4.00\text{ s} \]

當 \(v=0.60c\) 時，

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0.60)^2}} = \frac{1}{0.80} = 1.25 \]

因此，

\[ \Delta t = \gamma\Delta t_0 = 1.25(4.00) = 5.00\text{ s} \]

一個容易犯的錯誤是除以 \(\gamma\)。這會使地球測得的時間間隔比固有時間更短。地球觀察者看到太空船上的時鐘正在運動，因此地球測得的是膨脹後、較長的時間間隔。

第 2 題

一個不穩定粒子以 \(0.96c\) 的速率穿過實驗室。實驗室儀器測得，從粒子產生到衰變之間相隔 \(12.0\,\mu\text{s}\)。

計算：

a. 粒子的固有壽命

b. 粒子在實驗室參考系中移動的距離。

使用 \(c=3.00\times10^8\) m s\(^{-1}\)。

第 2 題解答

粒子的固有壽命為 \(3.36\,\mu\text{s}\)，而它在實驗室參考系中移動了 \(3.46\) km。

先計算洛倫茲因子：

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0.96)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.0784}} = 3.571 \]

粒子本身在產生和衰變兩個事件發生時都位於現場，因此其壽命是固有時間。實驗室測得的 \(12.0\,\mu\text{s}\) 則是膨脹後的時間間隔。

對於 a 小題，

\[ \Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{12.0\,\mu\text{s}}{3.571} = 3.36\,\mu\text{s} \]

對於 b 小題，計算距離時必須使用來自同一參考系的物理量。實驗室同時測得 \(v=0.96c\) 和 \(\Delta t=12.0\,\mu\text{s}\)。

\[ d=v\Delta t \]

\[ d = (0.96)(3.00\times10^8)(12.0\times10^{-6}) = 3.46\times10^3\text{ m} \]

\[ d=3.46\text{ km} \]

一個看似合理但錯誤的做法，是在 \(d=vt\) 中使用粒子的固有壽命 \(3.36\,\mu\text{s}\)，卻同時保留實驗室測得的速度 \(0.96c\)。這樣便混用了不同參考系中的測量結果。要計算實驗室參考系中的距離，就必須使用實驗室測得的時間。

第 3 題

一艘太空船相對於地球以恆定速率飛行。地球上的時鐘記錄到，從出發到抵達之間經過了 \(10.0\) h，而太空船上的時鐘記錄了 \(8.50\) h。

計算太空船的速率，以 \(c\) 的倍數表示。

解釋為甚麼「太空船比地球少經歷了 \(15\%\) 的時間，所以它的速率一定是 \(0.15c\)」這個說法不正確。

第 3 題解答

太空船的速率約為 \(0.527c\)，而 \(15\%\) 的時間差異不能直接轉換成光速的百分比。

太空船上的時鐘隨著太空船經歷出發與抵達兩個事件，因此

\[ \Delta t_0=8.50\text{ h} \]

而地球測得

\[ \Delta t=10.0\text{ h} \]

由

\[ \Delta t=\gamma\Delta t_0 \]

可得洛倫茲因子：

\[ \gamma = \frac{10.0}{8.50} = 1.176 \]

現在使用

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

兩邊取倒數：

\[ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1.176} = 0.850 \]

兩邊平方：

\[ 1-\frac{v^2}{c^2}=0.850^2=0.7225 \]

因此，

\[ \frac{v^2}{c^2}=0.2775 \]

所以，

\[ \frac{v}{c} = \sqrt{0.2775} = 0.527 \]

因此，

\[ v=0.527c \]

上述錯誤說法的問題，在於將時間膨脹當成與速率成正比的效應。但實際上並非如此。速率出現在

\[ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

之中，因此，經過時間相差 \(15\%\)，並不代表 \(v=0.15c\)。

第 4 題

三個完全相同的時鐘最初一起位於地球上。

時鐘 A 立即以 \(0.80c\) 的速率離開地球。根據地球時鐘，它向外飛行 \(5.00\) 年後瞬間掉頭，再以 \(0.80c\) 的速率返回，回程在地球參考系中又經過 \(5.00\) 年。

時鐘 B 在最初的 \(4.00\) 年留在地球上。之後，它以 \(0.96c\) 的速率向外飛行 \(3.00\) 個地球年，瞬間掉頭，再以 \(0.96c\) 的速率返回，回程又經過 \(3.00\) 個地球年。

時鐘 C 則一直留在地球上。

假設掉頭所需的時間可以忽略。

a. 當三個時鐘再次重聚時，每個時鐘分別經過了多少時間？

b. 在完整的 \(10.0\) 個地球年內，時鐘 B 的平均路程速率比時鐘 A 低。這是否代表 B 必定比 A 記錄更多時間？請解釋。

第 4 題解答

重聚時，時鐘 A 顯示 \(6.00\) 年，時鐘 B 顯示 \(5.68\) 年，而時鐘 C 顯示 \(10.0\) 年。儘管時鐘 B 的平均路程速率較低，它記錄的時間仍然比 A 少。

時鐘 C 一直留在地球上，因此

\[ \Delta t_C=10.0\text{ y} \]

對於時鐘 A，\(v=0.80c\)，所以

\[ \gamma_A = \frac{1}{\sqrt{1-(0.80)^2}} = 1.667 \]

地球測得的總運動時間為 \(10.0\) 年，因此 A 記錄

\[ \Delta t_A = \frac{10.0}{1.667} = 6.00\text{ y} \]

時鐘 B 首先與地球一起靜止了 \(4.00\) 年。在這段期間，它同樣累積了 \(4.00\) 年。

對於其高速運動階段，

\[ \gamma_B = \frac{1}{\sqrt{1-(0.96)^2}} = 3.571 \]

地球測得 B 的往返運動共持續 \(6.00\) 年，因此 B 在這段期間累積了

\[ \Delta t_{B,\text{moving}} = \frac{6.00}{3.571} = 1.68\text{ y} \]

所以其總時間為

\[ \Delta t_B = 4.00+1.68 = 5.68\text{ y} \]

因此，

\[ \Delta t_B<\Delta t_A<\Delta t_C \]

令人意外的是時鐘 B。在完整的 \(10.0\) 個地球年內，B 只有六年處於運動狀態，因此其平均路程速率為

\[ \frac{(0.96c)(6.00)}{10.0}=0.576c \]

這比 A 的 \(0.80c\) 更低。

我們很容易因此認為，較低的平均速率必定產生較小的時間膨脹效應。問題在於 \(\gamma\) 與速率之間並非線性關係。以 \(0.96c\) 運動六年，不能用以平均速率 \(0.576c\) 運動十年來取代。

經過的固有時間取決於運動如何分布在整段旅程中，而不只是取決於單一平均速率。B 的高速相對論運動階段產生了足夠大的時間膨脹效應，使 B 累積的總時間比 A 更少。

第 5 題

一艘太空船從地球出發，前往一顆在地球參考系中距離地球 \(4.00\) 光年的恆星。它以 \(0.80c\) 的速率飛行，到達恆星後立即掉頭，再以 \(0.80c\) 的速率返回。

一名地球觀察者計算出，地球上經過了 \(10.0\) 年，而太空船上經過了 \(6.00\) 年。

一名學生提出異議：

「在去程中，太空人可以說地球正在運動，因此地球上的時鐘走得較慢。回程也是一樣。所以地球經歷的時間應該比太空人少，而不是更多。」

解釋如何化解這個表面上的矛盾。你的解釋應指出雙方經過的時間、說明為甚麼在勻速運動期間雙向的時間膨脹描述都成立，以及指出掉頭時發生了甚麼改變。

第 5 題解答

地球經過了 \(10.0\) 年，而太空人經過了 \(6.00\) 年。這並不矛盾，因為太空人在掉頭時轉換了慣性參考系，所以不能在維持同一套遠距同時性定義的情況下，直接將去程與回程的描述連接起來。

首先檢查地球參考系中的計算。

每段單程距離為 \(4.00\) 光年，速率為 \(0.80c\)。由於光在一年內行進一光年，

\[ t_{\text{one way}} = \frac{4.00\text{ ly}}{0.80\text{ ly y}^{-1}} = 5.00\text{ y} \]

因此，地球記錄

\[ \Delta t_{\text{Earth}}=10.0\text{ y} \]

當速率為 \(0.80c\) 時，

\[ \gamma=1.667 \]

所以太空人記錄

\[ \Delta t_{\text{ship}} = \frac{10.0}{1.667} = 6.00\text{ y} \]

學生的第一句話並沒有錯。在去程的恆速運動階段，太空人可以將太空船視為靜止，而將地球視為運動。在這個慣性參考系中，地球上的時鐘確實會出現時間膨脹。

同樣的雙向描述也適用於回程的恆速運動階段。

真正的錯誤，是將去程的太空船參考系與回程的太空船參考系視為同一個沒有改變的慣性參考系。但它們並不相同。太空船的速度方向反轉，因此太空人從一個慣性參考系轉換到另一個慣性參考系。

這種轉換會改變太空人認為哪些遙遠的地球事件與掉頭事件同時發生。在狹義相對論中，處於相對運動狀態的觀察者，通常不會對不同位置事件的同時性有一致的判斷。

這正是學生的論證中遺漏的關鍵。只說在每段恆速航程中「地球上的時鐘走得較慢」，並不足以計算地球經過的總時間，除非同時考慮掉頭時慣性參考系的轉換。

另一個容易產生的誤解，是認為加速度本身以某種方式令太空船時鐘突然少了四年。這並不是正確的解釋。即使掉頭過程非常短暫，最終的時間差仍會接近相同的數值。真正重要的是穿越時空的完整路徑：地球在出發與重聚之間沿著一條慣性路徑前進，而太空船先沿著向外的路徑前進，再沿另一條向內的路徑返回。

重聚時，兩個時鐘終於再次位於同一位置，因此不再涉及遠距事件的同時性問題。我們可以直接將兩個時鐘並排比較：

\[ 10.0\text{ y（地球）},\qquad 6.00\text{ y（太空船）} \]

08理解時間膨脹後，下一步可以學到甚麼

當你能夠準確辨認固有時間，並熟練運用洛倫茲因子時，理解長度收縮就會容易得多。同一段旅程可以用兩種相互一致的方式描述：地球測得較長的距離和膨脹後的旅行時間，而旅行者則測得較短的固有時間和收縮後的距離。

因此，下一個重要概念並不是另一條公式，而是同時性（simultaneity）。時間膨脹、長度收縮，以及對不同位置的哪些事件「同時」發生所產生的分歧，並不是三種互不相關的技巧。它們都是同一項要求所帶來的不同結果：每一位慣性觀察者都必須測得相同的光速。