放射性衰變常數與半衰期：HSC 物理詳解
了解衰變常數與半衰期之間的關係、為甚麼大量樣本的放射性衰變可以預測，以及如何解答 HSC 物理題目。
放射性衰變常數與半衰期：HSC 物理詳解
一個放射性樣本可能在一段時間內看起來完全沒有變化，接著突然剩下少得多的不穩定原子核。這帶來了一個難以理解的預測問題：如果一個鈾原子核今天發生衰變的機率與明天一樣，那麼我們究竟如何預測這個樣本何時會耗盡？
假設你有 1,000,000 個不穩定原子核。你可能會預期，經過一段時間後，其中一半會衰變；再經過相同的時間，剩下的一半又會衰變。為甚麼會出現這種規律？即使我們無法預測單一次個別衰變，為甚麼仍然能夠預測大量原子核的整體行為？
關鍵概念是：對個別原子核而言，放射性衰變是隨機的；但對大量原子核而言，其整體行為是可以預測的。衰變常數將這兩個概念連繫起來。它告訴我們每個原子核在指定時間內發生衰變的可能性有多大。
01建立放射性衰變的概念
想像一大群人正離開體育場。
如果每個人在下一分鐘內離開的機率都相同，而且這個機率很小，你就無法準確預測下一個離開的人是誰。然而，由於人數眾多，你仍然能夠相當準確地預測每分鐘會有多少人離開。
放射性原子核的行為也很相似。
每個不穩定原子核都有一定的衰變機率。它不會「等到」某個特定的年齡才發生衰變。一個已存在 1 秒的原子核，在接下來 1 秒內發生衰變的機率，與一個已存在 1000 年的原子核相同。
這稱為無記憶過程（memoryless process）。
一個常見的預測是：
「如果一半的原子核發生衰變，剩下的原子核應該會變得更穩定，因為它們已經存活了更久。」
這個想法聽起來很合理，因為許多日常物品確實會隨時間老化。手機電池使用多年後會逐漸變弱，汽車零件也會隨時間磨損。
放射性原子核則不同。剩下的原子核並不是「更強韌的倖存者」。它們發生衰變的機率與之前完全相同。
02從機率到衰變常數
衰變常數以符號 \(\lambda\)（lambda）表示，用來量度每單位時間內發生衰變的機率。
較大的 \(\lambda\) 代表：
- 個別原子核在指定時間內更有可能發生衰變，
- 樣本的數量減少得更快，
- 半衰期更短。
較小的 \(\lambda\) 代表：
- 個別原子核發生衰變的可能性較低，
- 樣本的數量減少得更慢，
- 半衰期更長。
衰變常數與半衰期之間的關係為：
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
其中：
- \(\lambda\) 是衰變常數，單位為 \(\text{s}^{-1}\)（或其他倒數時間單位），
- \(\ln 2\) 是 2 的自然對數，約為 \(0.693\)，
- \(t_{1/2}\) 是半衰期，單位為秒（或與 \(\lambda\) 所使用的時間單位相同）。
為甚麼會出現 \(0.693\)？
放射性物質的數量會以指數方式減少。經過一個半衰期後，剩餘的物質數量為：
\[ \frac{1}{2} \]
指數衰變模型為：
\[ N = N_0 e^{-\lambda t} \]
其中：
- \(N\) 是經過時間 \(t\) 後尚未衰變的原子核數目，
- \(N_0\) 是原本的原子核數目，
- \(e\) 是歐拉數，約為 \(2.718\)，
- \(t\) 是時間。
經過一個半衰期時：
\[ \frac{N}{N_0}=\frac{1}{2} \]
因此：
\[ \frac{1}{2}=e^{-\lambda t_{1/2}} \]
解出這個方程式可得：
\[ \lambda t_{1/2}=\ln 2 \]
因此：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
這條方程式並不是一條關於個別原子的全新規則，而是以數學方式描述大量隨機事件所形成的規律。
03將半衰期視為簡便方法
與衰變常數相比，半衰期通常更容易理解和想像。
如果一個樣本最初含有 \(N_0\) 個原子核：
- 經過一個半衰期：\(N=\frac{N_0}{2}\)
- 經過兩個半衰期：\(N=\frac{N_0}{4}\)
- 經過三個半衰期：\(N=\frac{N_0}{8}\)
原子核數目並不是每次都減少相同的數量，而是每次都減少相同比例。
例如，一個樣本的變化可以如下表示：
| 經過的時間 | 剩餘比例 |
|---|---|
| 0 個半衰期 | \(1\) |
| 1 個半衰期 | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 個半衰期 | \(\frac{1}{4}\) |
| 3 個半衰期 | \(\frac{1}{8}\) |
這正是學生經常犯錯的地方。他們看到「半衰期」一詞，就以為樣本每次都會失去原始數量的一半。
這是不正確的。
經過第一個半衰期後，原始樣本的一半已經衰變。經過第二個半衰期後，額外衰變的只有原始樣本的四分之一。
04將衰變常數與活度連繫起來
放射性活度是原子核發生衰變的速率。
活度的單位是貝可（Bq），其中：
\[ 1\text{ Bq}=1\text{ 次衰變每秒} \]
活度 \(A\) 與尚未衰變的原子核數目之間的關係為：
\[ A=\lambda N \]
其中：
- \(A\) 是活度，單位為貝可，
- \(\lambda\) 是衰變常數，
- \(N\) 是尚未衰變的原子核數目。
這條方程式賦予了 \(\lambda\) 一個重要的物理意義。
如果兩個樣本含有相同數目的放射性原子核，衰變常數較大的樣本便具有較高的活度，因為每個原子核發生衰變的機率較高。
然而，一個快速衰變同位素的小樣本，其活度可能低於一個緩慢衰變同位素的大樣本。因此，原子核的數目同樣重要。
05計算示例：根據半衰期求衰變常數
某放射性同位素的半衰期為 8.0 天。計算其衰變常數，並以 \(\text{day}^{-1}\) 為單位表示。
步驟 1
公式為：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
已知半衰期為：
\[ t_{1/2}=8.0\text{ 天} \]
步驟 2
\[ \lambda=\frac{0.693}{8.0} \]
步驟 3
\[ \lambda=0.0866\text{ day}^{-1} \]
步驟 4
衰變常數為 \(\,0.0866\text{ day}^{-1}\)。這表示每個原子核每天發生衰變的機率可由這個衰變常數描述，而整個樣本則遵循這種平均衰變規律。
06計算示例：利用衰變常數求活度
某樣本含有 \(3.0\times10^{20}\) 個放射性原子核，其衰變常數為 \(2.0\times10^{-6}\text{ s}^{-1}\)。計算其活度。
步驟 1
\[ A=\lambda N \]
其中：
- \(A\) 是活度，單位為 Bq，
- \(\lambda=2.0\times10^{-6}\text{ s}^{-1}\)，
- \(N=3.0\times10^{20}\)。
步驟 2
\[ A=(2.0\times10^{-6})(3.0\times10^{20}) \]
步驟 3
\[ A=6.0\times10^{14}\text{ Bq} \]
步驟 4
平均而言，這個樣本每秒發生 \(6.0\times10^{14}\) 次衰變。個別原子核仍然是隨機地發生衰變，但大量原子核的存在使活度變得可以預測。
07簡單模型需要更謹慎處理的情況
以上方程式假設：
- 樣本沒有被添加物質或移除物質，
- 同位素正在自然衰變，
- 衰變常數維持不變，
- 原子核的數目足夠多，使統計規律具有可靠性。
對單一原子核而言，說「衰變的機率是 \(\lambda\)」並不完全準確。機率取決於所考慮的時間間隔。衰變常數是一個速率，而不是預測某個特定原子會在某個特定時刻發生衰變。
這個區別正是放射性衰變既隨機又可以預測的原因。
你不能說：
「那個原子核明天就會衰變。」
你可以說：
「在大量相似的原子核中，我們預期有一個可預測的比例會在這段時間內發生衰變。」
08與核反應方程式的連繫
衰變常數與半衰期描述放射性樣本變化的速度。要理解樣本會轉變成甚麼，你需要研究輻射的種類以及核反應本身。
例如，阿爾法衰變會透過釋放一個阿爾法粒子來改變原子核。這些反應背後的守恆規則，會在阿爾法衰變：核反應方程式與輻射特性中進一步解釋。
09問題與解答
問題 1
某放射性同位素的半衰期為 12 小時。計算其衰變常數，並以 \(\text{hour}^{-1}\) 為單位表示。
解答 1
衰變常數為 \(\,0.0578\text{ hour}^{-1}\)。可利用以下公式，將半衰期轉換為衰變速率：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
代入數值：
\[ \lambda=\frac{0.693}{12} \]
\[ \lambda=0.0578\text{ hour}^{-1} \]
這個結果表示，與衰變常數較小的同位素相比，該同位素每小時的衰變機率較高，但這並不代表每個原子核都以這個速率發生衰變。
問題 2
某樣本最初含有 \(8.0\times10^{18}\) 個放射性原子核，半衰期為 5.0 天。經過 15 天後，還剩下多少個原子核？
解答 2
經過 15 天後，樣本還剩下 \(1.0\times10^{18}\) 個原子核。關鍵在於認清 15 天相當於三個半衰期。
首先，計算半衰期的數目：
\[ \text{半衰期數目}=\frac{15}{5.0}=3 \]
套用逐次減半的規律：
\[ N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ N=(8.0\times10^{18})\left(\frac{1}{8}\right) \]
\[ N=1.0\times10^{18} \]
一個容易令人誤入歧途的錯誤，是連續三次減去原始數量的一半。放射性衰變會使剩餘數量減半，而不是使原始數量每次減半。
問題 3
兩個放射性樣本含有相同數目的原子核。樣本 A 的半衰期為 2 天，樣本 B 的半衰期為 20 天。解釋哪個樣本的初始活度較高，以及原因。
解答 3
樣本 A 的初始活度較高，因為它具有較大的衰變常數。活度取決於：
\[ A=\lambda N \]
兩個樣本的 \(N\) 相同，因此比較結果只取決於 \(\lambda\)。
根據：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
半衰期越短，衰變常數就越大。由於樣本 A 的半衰期較短，因此在初始時，每秒發生衰變的原子核數目較多。
容易掉進的陷阱，是以為壽命較長的樣本儲存了更多「放射性」。放射性活度反映的是衰變速率，而不是同位素能存續多久。
問題 4
一位科學家測量某放射性樣本的活度，發現活度在 18 小時內由 \(1600\text{ Bq}\) 降至 \(200\text{ Bq}\)。樣本沒有損失任何物質。求出半衰期，並解釋為甚麼這個結果不代表每個原子核都等待 6 小時才發生衰變。
解答 4
半衰期為 6.0 小時，因為活度經過連續三次減半。
活度的變化如下：
\[ 1600\text{ Bq}\rightarrow800\text{ Bq}\rightarrow400\text{ Bq}\rightarrow200\text{ Bq} \]
這相當於三個半衰期。
\[ 3t_{1/2}=18\text{ h} \]
\[ t_{1/2}=6.0\text{ h} \]
第二部分尤其重要：個別原子核並沒有按照固定時間表發生衰變。有些原子核較早發生衰變，有些則在 18 小時後仍未衰變。半衰期描述的是整個樣本的統計行為。
問題 5
一名學生提出以下論點：
「同位素 X 的半衰期比同位素 Y 短，因此經過非常長的時間後，同位素 X 必定會比同位素 Y 剩下更少尚未衰變的原子核。」
兩個樣本最初含有相同數目的原子核。評估這個說法。
解答 5
這個說法不一定正確，因為結果取決於所考慮的時間。
半衰期較短，代表同位素 X 的衰變常數較大，數量減少得更快。因此，在開始衰變後的許多時間點上，X 會比 Y 剩下更少尚未衰變的原子核。
然而，經過極長的時間後，兩個樣本中剩餘的原子核數目都會趨近於零。這個說法使用了「必定」一詞，因此過於絕對。
兩者之間的確切關係為：
\[ N=N_0e^{-\lambda t} \]
由於同位素 X 的 \(\lambda\) 較大，因此它的曲線下降得更快。然而，兩者的數值都取決於所選擇的時間 \(t\)。當 \(t=0\) 時，兩者相等；當 \(t\) 非常大時，兩者都會極度接近零。
更深一層的概念是：較大的衰變常數會改變過程的速度，而不會改變最終的趨向。放射性衰變並不是一場讓其中一個樣本最終到達不同終點的競賽，而是一個由衰變常數所支配、持續進行的機率過程。這個相同的概念也有助於比較核物理應用中不同的放射性示蹤劑。