受控與非受控連鎖反應：HSC 物理指南

了解倍增因子 \(k\) 如何決定核連鎖反應是逐漸衰減、維持穩定，還是迅速增長。內容包括詳細解題範例及具挑戰性的 HSC 考試風格題目。

假設兩個核系統一開始的裂變次數完全相同。其中一個系統每一代產生的裂變次數大致與上一代相同。另一個系統則每一代都有多出 5% 的中子成功延續連鎖反應。

哪一個系統比較令人擔憂？

第二個。這個微小的差異會一再累積放大。第一個系統可以維持穩定功率，而第二個系統的裂變率則可能迅速上升。

控制核連鎖反應的整個問題，歸根究柢取決於一個問題：一代裂變會在下一代產生多少次裂變？

01從連鎖反應本身開始，而不是從反應爐開始

核裂變是指重原子核吸收一個中子後發生分裂。一次裂變事件會釋放能量，通常也會釋放數個中子。

一個簡化的裂變方程式如下：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} +{}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} +{}^{92}_{36}\mathrm{Kr} +3{}^{1}_{0}\mathrm{n} +\text{能量} \]

實際產生的裂變產物可能有所不同，因此不要將這一組特定產物視為所有裂變反應都會產生的產物。這裡的重點是新產生的中子。

這些中子可以繼續撞擊其他可裂變原子核，引發更多裂變。這些裂變又會釋放更多中子，進而引發更多裂變。

這一連串過程稱為核連鎖反應。

如果你對裂變方程式已經不太熟悉，值得重新閱讀 tutorgum 的核裂變指南。

一次裂變不一定會自動形成連鎖反應

裂變可能發生，但連鎖反應隨後仍可能停止。

例如，假設一次裂變釋放三個中子。其中一個可能逃離反應爐，一個可能被其他物質吸收，而只有一個可能引發另一次裂變。

因此，不要作出以下預測：

「釋放了三個中子，所以連鎖反應會增長三倍。」

這是一個很容易令人信以為真的錯誤。真正重要的不是有多少中子被釋放，而是有多少中子成功延續連鎖反應。

可以把這個過程想像成接力賽。幾名跑者可能同時開始跑，但只有成功把接力棒交給下一名跑者的人，才能讓比賽繼續。這個比喻並不完全準確，因為中子的行為具有機率性，並且取決於中子能量、幾何形狀、吸收情況及周圍存在的材料等因素。

02倍增因子 \(k\)

令 \(F_n\) 表示第 \(n\) 代的裂變次數。

在簡化的世代模型中：

\[ F_{n+1}=kF_n \]

其中，\(k\) 是有效倍增因子。

因此，\(k\) 可以告訴你連鎖反應從一代到下一代會如何變化。

• \(k<1\)：每一代發生的裂變較少，因此連鎖反應會逐漸衰減。
• \(k=1\)：每一代產生相同數量的裂變，因此連鎖反應維持穩定。
• \(k>1\)：每一代產生更多裂變，因此連鎖反應會增長。

這些情況各有名稱：

在這裡，臨界並不代表「危險」，而是指連鎖反應能以恆定速率自行持續。

解題範例：判斷連鎖反應的狀態

某個簡化的連鎖反應在第 1 代有 800 次裂變，第 2 代有 720 次裂變。假設之後的條件保持不變。

求 \(k\)，預測第 3 代及第 4 代的裂變次數，並判斷連鎖反應的狀態。

步驟 1：求倍增因子。

\[ k=\frac{F_2}{F_1} =\frac{720}{800} =0.90 \]

因此，每一代的裂變次數是上一代的 90%。

步驟 2：計算第 3 代。

\[ F_3=kF_2 =0.90(720) =648 \]

步驟 3：計算第 4 代。

\[ F_4=kF_3 =0.90(648) =583.2 \]

因此，第 4 代約有 583 次裂變。

步驟 4：判斷連鎖反應的狀態。

由於 \(k=0.90<1\)，因此連鎖反應處於次臨界狀態。

重要的物理結論是，連鎖反應正在逐漸衰減。它並沒有立即停止，但每一代發生的裂變越來越少。

03反應爐如何使 \(k\) 維持在接近 1 的水平

發電反應爐並不會試圖完全停止裂變。它需要持續的裂變反應，才能產生大量且穩定的熱能。

關鍵在於控制能夠成功延續連鎖反應的中子數量。

簡化的反應爐包含四個重要概念：

• 核燃料含有能夠發生裂變的可裂變原子核。
• 慢化劑會降低快速中子的速度，增加它們在熱中子反應爐中引發進一步裂變的可能性。
• 控制棒會吸收中子，減少可用來延續連鎖反應的中子數量。
• 冷卻劑會將熱能從反應爐核心帶走。

NESA HSC 物理評分指引曾明確考核核燃料、慢化劑及控制棒如何共同作用，以產生受控的核反應。

控制棒是理解受控連鎖反應與迅速倍增的連鎖反應之間差異的關鍵。

進一步插入控制棒：

\[ \text{更多中子被吸收} \rightarrow \text{較少中子得以延續反應} \rightarrow \text{較低的 }k \]

抽出控制棒：

\[ \text{較少中子被吸收} \rightarrow \text{更多中子得以延續反應} \rightarrow \text{較高的 }k \]

因此，控制棒並不是直接充當「裂變開關」，而是改變中子繼續留存並引發進一步裂變的機率。

為甚麼不盡可能吸收更多中子？

因為這樣會令 \(k\) 降至 1 以下，連鎖反應便會逐漸衰減。

要使反應爐維持穩定功率，需要大致滿足：

\[ k=1 \]

因此，目標是適量吸收中子，而不是吸收最多的中子。

在簡化的 HSC 模型中，慢化劑的作用可能令人困惑，因為它的效果幾乎與控制棒相反。降低中子的速度可以提高中子引發裂變的機率，而控制棒則會將中子從連鎖反應中移除。

在這個模型中，冷卻劑的主要工作則有所不同：它負責移除裂變反應產生的熱量。不要自動把冷卻劑描述成控制連鎖反應的主要裝置。

04受控並不代表「裂變次數始終保持完全相同」

這是一個重要的區別。

以穩定功率運作的反應爐具有 \(k\approx1\)，因此裂變率大致保持恆定。

但如果操作人員希望提高功率，連鎖反應可以暫時進入輕微超臨界狀態。裂變次數會增加，功率隨之上升，之後便可以將反應爐調整回接近 \(k=1\) 的狀態。

如果要降低功率，連鎖反應則可以暫時進入次臨界狀態。

因此，受控描述的是管理連鎖反應的能力，而不是聲稱 \(k\) 永遠固定在恰好 1。

還有另一個微妙之處：\(k=1\) 並不能告訴你絕對功率是多少。

每秒發生一百萬次裂變的系統，以及每秒發生一萬億次裂變的系統，都可能具有 \(k=1\)。在兩種情況下，裂變次數都維持穩定。兩者的差異在於穩定裂變率的大小。

這表示：

\(k\) 告訴你裂變率是否正在改變，但單憑 \(k\) 並不能告訴你裂變率的實際數值。

在難度較高的題目中，這個區別尤其有用。

解題範例：調整控制棒實際上會造成甚麼影響？

某反應爐的 \(k=1.06\)。調整控制棒後，原本會引發下一代裂變的中子中，有 5% 被吸收。

初始時，某一代有 \(2.00\times10^5\) 次裂變。假設這 5% 的減少直接作用於倍增因子，而所有其他條件保持不變。

求新的 \(k\)、接下來兩代的裂變次數，並判斷連鎖反應的狀態。

步驟 1：將 5% 的損失轉換成剩餘的比例。

\[ 1-0.05=0.95 \]

因此，原本能延續反應的部分有 95% 得以保留。

步驟 2：求新的倍增因子。

\[ k_{\text{new}} =1.06(0.95) =1.007 \]

注意，新的 \(k\) 並不是 0.95。原本的連鎖反應已經具有 1.06 的倍增因子，因此控制棒的效果是將這個數值降低 5%。

步驟 3：計算下一代。

\[ F_2=(1.007)(2.00\times10^5) \]

\[ F_2=2.014\times10^5 \]

因此，裂變次數約為 \(2.01\times10^5\)。

步驟 4：計算再下一代。

\[ F_3=(1.007)(2.014\times10^5) \]

\[ F_3=2.0281\times10^5 \]

因此，裂變次數約為 \(2.03\times10^5\)。

步驟 5：解釋結果。

由於

\[ k=1.007>1 \]

連鎖反應仍然處於超臨界狀態。

控制棒已使反應爐大幅接近穩定運作的狀態，但還沒有完全達到 \(k=1\)。

此外，說「功率高了 0.7%」會造成誤導。在這個簡化模型中，\(1.007\) 表示下一代的裂變次數比當前一代多 0.7%。它並不是說反應爐的絕對功率相當於某個固定參考值的 0.7%。

05為甚麼迅速倍增的連鎖反應會增長得如此快

如果每一代都適用相同的 \(k\)，反覆相乘便可得：

\[ F_n=F_0k^n \]

其中，\(F_0\) 是初始裂變次數，而 \(n\) 是世代數。

這就是為甚麼 \(k\) 與 1 之間的微小差異也可能造成極大的影響。

例如，假設 \(k=1.20\)，並從 100 次裂變開始：

\[ 100\rightarrow120\rightarrow144\rightarrow173\rightarrow208 \]

每次增加的並不是固定的 20 次裂變，而是每一代都將上一代乘以 1.20。

這就是迅速倍增的連鎖反應的特徵。

一個特別有用的比較是 \(k=0.99\) 與 \(k=1.01\)。

經過 100 代後：

\[ (0.99)^{100}\approx0.366 \]

但：

\[ (1.01)^{100}\approx2.70 \]

因此，與臨界狀態相差 1% 的差異，已令兩個系統之間產生約 7.39 倍的比值。

實際系統的世代時間取決於具體的物理系統，因此不要將這個簡單計算轉化為有關真實反應爐需要多少秒才能改變功率的結論。重點在於反覆相乘的效果。

06受控反應爐與迅速倍增的連鎖反應

有一句話值得記住：

受控連鎖反應並不是沒有裂變的反應，而是將裂變的倍增程度維持在所需水平的反應。

對於穩定運作的反應爐，這個水平約為 \(k=1\)。

07考試判斷準則

當連鎖反應題目提供數據時，請依照以下順序思考：

1. 正在計算甚麼？ 釋放的中子數量不一定等於能引發下一代裂變的中子數量。
2. \(k\) 是多少？ 在簡單的世代模型中，使用 \(k=F_{n+1}/F_n\)。
3. \(k\) 小於、等於還是大於 1？
4. 裂變率會如何變化？ 它會下降、保持穩定或上升。
5. 控制棒正在做甚麼？ 增加中子吸收會降低 \(k\)；減少中子吸收會提高 \(k\)。
6. 題目問的是功率還是 \(k\)？ 功率取決於單位時間內的裂變次數，而 \(k\) 告訴你這個數量如何變化。

對於非受控、迅速倍增的連鎖反應，核心條件是 \(k>1\)。可裂變物質的數量及排列方式必須適當，使足夠的中子得以留存並引發進一步裂變。臨界質量是指在指定條件下，維持自持連鎖反應所需的可裂變物質數量；它並不是一個適用於所有情況的固定質量，因為幾何形狀及中子損失都會產生影響。

08題目與解答

題目 1

某個簡化的連鎖反應在第 1 代產生 600 次裂變，在第 2 代產生 480 次裂變。

計算 \(k\)，判斷連鎖反應屬於次臨界、臨界還是超臨界，並在條件持續不變的情況下，計算預期第 3 代的裂變次數。

解答 1

連鎖反應處於次臨界狀態，\(k=0.80\)，而第 3 代有 384 次裂變。

步驟 1：計算倍增因子。

\[ k=\frac{F_2}{F_1} =\frac{480}{600} =0.80 \]

步驟 2：判斷連鎖反應的狀態。

由於

\[ k=0.80<1 \]

連鎖反應處於次臨界狀態。每一代的規模都比上一代小。

步驟 3：計算第 3 代。

\[ F_3=kF_2 \]

\[ F_3=(0.80)(480) =384 \]

一個容易犯的錯誤是將 480 描述為「比 600 少 80%」。實際上，它是 600 的 80%，代表每一代減少 20%。

題目 2

某反應爐最初在 \(k=1.06\) 的狀態下運作。調整控制棒後，原本會引發下一代裂變的中子中，有 5% 被吸收。

反應爐最初每一代有 \(2.00\times10^5\) 次裂變。

計算：

• 新的 \(k\) 值；
• 接下來兩代的裂變次數；以及
• 連鎖反應是否仍在倍增。

一名學生聲稱，由於新的 \(k\) 是 1.007，因此反應爐功率必定比之前高 0.7%。解釋為甚麼這種理解並不完整。

解答 2

新的倍增因子是 \(k=1.007\)，連鎖反應仍然處於超臨界狀態，而接下來兩代分別約有 \(2.01\times10^5\) 次及 \(2.03\times10^5\) 次裂變。

步驟 1：求仍可供反應使用的中子比例。

\[ 1-0.05=0.95 \]

步驟 2：將這個減少比例套用至原本的倍增因子。

\[ k_{\text{new}}=(1.06)(0.95) \]

\[ k_{\text{new}}=1.007 \]

步驟 3：計算下一代。

\[ F_2=(1.007)(2.00\times10^5) \]

\[ F_2=2.014\times10^5 \]

步驟 4：計算再下一代。

\[ F_3=(1.007)(2.014\times10^5) \]

\[ F_3=2.0281\times10^5 \]

因此，\(F_3\approx2.03\times10^5\) 次裂變。

步驟 5：解釋 \(k\) 的意義。

由於

\[ 1.007>1 \]

連鎖反應仍然處於超臨界狀態，儘管它比最初更接近臨界狀態。

學生對功率的說法並不完整，因為 \(k=1.007\) 描述的是相鄰兩代之間的比值，並沒有指定絕對裂變率。如果反應爐在當前一代有 200,000 次裂變，那麼在這個簡化模型中，下一代的裂變次數就是 200,000 乘以 1.007。\(k\) 是倍增程度的量度，而不是直接的功率讀數。

題目 3

一名學生說：

「只有當控制棒吸收大部分中子時，核反應爐才算受到控制。如果可用的中子較少，反應爐就會更安全。」

解釋這個說法為甚麼不正確。在回答中，請區分核燃料、慢化劑、控制棒及冷卻劑的作用，並說明反應爐要維持穩定功率，需要滿足甚麼條件。

解答 3

這個說法不正確，因為要使反應爐維持穩定功率，需要的是具有 \(k\approx1\) 的自持連鎖反應，而不是盡可能遠低於臨界狀態的連鎖反應。

核燃料含有能夠發生裂變的原子核。裂變發生時，會釋放能量及中子。

慢化劑會降低裂變產生的快速中子的速度。在熱中子反應爐中，這會增加中子引發進一步裂變的可能性。

控制棒會吸收中子。進一步插入控制棒會減少可用來延續連鎖反應的中子數量，從而降低 \(k\)。抽出控制棒則會產生相反的效果。

冷卻劑會將熱能從反應爐核心帶走，以便將熱量傳送到其他地方。在簡化的 HSC 模型中，它的主要作用是移除熱量，而不是直接設定連鎖反應的倍增程度。

如果控制棒吸收了過多中子，\(k\) 就會低於 1，裂變率因而下降。如果吸收的中子太少，\(k\) 就可能高於 1，裂變率因而上升。

因此，在穩定功率下，所需的條件約為：

\[ k=1 \]

關鍵在於不要混淆中子吸收與控制。吸收中子是控制連鎖反應的一種方法，但真正重要的是吸收的適當程度。

題目 4

兩個系統起初具有相同的裂變率，每一代有 1,000 次裂變。

系統 A 的 \(k=0.99\)。

系統 B 的 \(k=1.01\)。

假設在 100 代期間，倍增因子保持不變，計算兩個系統經過 100 代後的裂變率，並求系統 B 的裂變率是系統 A 的多少倍。

解釋為甚麼兩個 \(k\) 值之間的微小差異會造成如此大的差別。

解答 4

經過 100 代後，系統 A 每一代約有 366 次裂變，而系統 B 每一代約有 \(2.70\times10^3\) 次裂變。系統 B 約為系統 A 的 7.39 倍。

對於連續多代的反應：

\[ F_n=F_0k^n \]

步驟 1：計算系統 A。

\[ F_A=1000(0.99)^{100} \]

\[ F_A\approx1000(0.366) \]

\[ F_A\approx366 \]

因此，系統 A 處於次臨界狀態，其裂變率已經下降。

步驟 2：計算系統 B。

\[ F_B=1000(1.01)^{100} \]

\[ F_B\approx1000(2.705) \]

\[ F_B\approx2705 \]

因此，系統 B 處於超臨界狀態，其裂變率已經上升。

步驟 3：比較兩者。

\[ \frac{F_B}{F_A} = \frac{2705}{366} \approx7.39 \]

差異之所以如此大，是因為這個 1% 的變化會反覆套用。略低於 1 的數值會一再減少裂變數量，而略高於 1 的數值則會一再增加裂變數量。

一個容易犯的錯誤是認為：「0.99 和 1.01 幾乎相同，所以最終結果應該也幾乎相同。」這忽略了指數的影響。當 \(k\) 的微小差異在許多代中反覆相乘時，就會產生顯著的結果。

題目 5

兩個相同的簡化反應爐核心，最初具有相同的裂變率 \(F_0\)。

核心 A 在 50 代期間維持 \(k=0.98\)。

核心 B 在 50 代期間維持 \(k=1.02\)。

經過這 50 代後，調整核心 B 的控制棒，使其倍增因子恰好變成 \(k=1.00\)。

假設世代間隔及每次裂變釋放的能量保持不變，並忽略其他回饋效應。

1. 比較核心 A 和核心 B 經過最初 50 代後的裂變率。
2. 將核心 B 調整至 \(k=1.00\)，是否會立即使其裂變率回復至 \(F_0\)？
3. 如果不會，需要發生甚麼情況，核心 B 才能回復至 \(F_0\)，並且之後維持在該水平？

解答 5

經過 50 代後，核心 A 的裂變率約為 \(0.364F_0\)，而核心 B 約為 \(2.69F_0\)。將核心 B 調整至 \(k=1.00\)，並不會使其裂變率回復至 \(F_0\)，而是會令新的、較高的裂變率保持穩定。

步驟 1：計算核心 A 經過 50 代後的裂變率。

\[ F_A=F_0(0.98)^{50} \]

\[ F_A\approx0.364F_0 \]

由於 \(k<1\)，核心 A 的裂變率已降至原本的約 36.4%。

步驟 2：計算核心 B 經過 50 代後的裂變率。

\[ F_B=F_0(1.02)^{50} \]

\[ F_B\approx2.69F_0 \]

此時，核心 B 的裂變率約為原本的 2.69 倍。

因此，兩個核心的裂變率相差約：

\[ \frac{2.69}{0.364}\approx7.39 \]

儘管它們最初的條件完全相同，最終仍出現了這樣的差異。

步驟 3：將 \(k\) 調整至 1.00。

當核心 B 的

\[ k=1.00 \]

下一代的裂變次數就會與當前一代相同。

因此，連鎖反應會維持在每一代約

\[ 2.69F_0 \]

的水平。

它不會突然降回 \(F_0\)。

這是整道題目的關鍵所在。學生可能很有把握地認為「臨界就代表正常功率」，但臨界狀態關乎裂變率如何變化，而不是裂變率的絕對值。

在這裡，\(k=1\) 的意思是：

「讓目前的裂變率保持穩定。」

它並不代表：

「讓裂變率回復至原本的數值。」

步驟 4：判斷需要甚麼條件才能回復至 \(F_0\)。

核心 B 必須先進入次臨界狀態，使

\[ k<1 \]

並維持足夠長的時間，讓其裂變率從 \(2.69F_0\) 逐漸下降至 \(F_0\)。

只有當裂變率達到所需水平後，才應將系統調整至

\[ k=1 \]

以維持該水平的穩定。

因此，整個過程如下：

\[ k>1 \rightarrow \text{裂變率上升} \]

接著：

\[ k<1 \rightarrow \text{裂變率下降} \]

最後：

\[ k=1 \rightarrow \text{裂變率保持穩定} \]

這就是控制連鎖反應與單純使連鎖反應達到臨界狀態之間的概念差異。

當你在概念上清楚區分 \(k\) 與裂變率後，下一個值得探討的關聯就是能量：每次裂變都會釋放能量，因為裂變產物的總質量低於原本系統的總質量。這會直接引出質量虧損與核束縛能。