القوى على المستويات المائلة: المركبات والقوة العمودية والاحتكاك

يستقر صندوق كتلته \(10\text{ kg}\) على منحدر مائل بزاوية \(30^\circ\). تسحبه الجاذبية عموديًا إلى الأسفل بقوة مقدارها \(98\text{ N}\)، لكن الصندوق لا يستطيع التسارع مباشرةً إلى الأسفل عبر سطح المنحدر.

فما مقدار القوة التي تحاول فعليًا جعل الصندوق ينزلق إلى أسفل المنحدر من هذه القوة البالغة \(98\text{ N}\)؟

توقّع الإجابة قبل متابعة القراءة. هل هي القوة كاملةً، أي \(98\text{ N}\)، أم نصفها، أم مقدار آخر؟

الإجابة هي \(49\text{ N}\). لم تتغير الجاذبية، ولم نخترع قوة جديدة. كل ما فعلناه هو تحليل الوزن إلى مركبتين: إحداهما موازية للمنحدر، والأخرى عمودية عليه.

هذه هي الخطوة الأساسية في مسائل المستوى المائل.

01اختيار محاور تتوافق مع المنحدر

على سطح أفقي، يكون استخدام المحورين الأفقي والرأسي مناسبًا. أما على سطح مائل، فعادةً ما يجعل استخدامهما الرياضيات أصعب مما يلزم.

بدلًا من ذلك، أدر محوري الإحداثيات بحيث:

• يمتد أحد المحورين موازيًا للمنحدر.
• يمتد المحور الآخر عموديًا على المنحدر.

القوى نفسها لا تدور. فما زالت الجاذبية تتجه رأسيًا إلى الأسفل. نحن نغيّر فقط الاتجاهات التي نقيس على امتدادها كل قوة.

تخيّل الأمر كما لو أنك تصف سيرك داخل مركز تجاري. يمكنك القول إنك مشيت مسافة \(20\text{ m}\) باتجاه الشمال الشرقي، أو يمكنك تقسيم الحركة نفسها إلى جزء باتجاه الشمال وجزء باتجاه الشرق. تصف المركبتان حركة واحدة، ولا تمثلان رحلتين إضافيتين.

وتعمل مركبات القوة بالطريقة نفسها.

02تحليل قوة الوزن إلى مركبات

يكون وزن جسم كتلته \(m\) مساويًا لما يأتي:

\[ W = mg \]

حيث:

• \(W\) هو الوزن بوحدة النيوتن، \(\text{N}\).
• \(m\) هي الكتلة بوحدة الكيلوغرام، \(\text{kg}\).
• \(g\) هو تسارع الجاذبية، ويساوي تقريبًا \(9.8\text{ m s}^{-2}\).

لنفترض أن المنحدر يصنع زاوية \(\theta\) مع الأفقي.

للوزن مركبتان مفيدتان:

\[ W_\parallel = mg\sin\theta \]

وتكون هذه المركبة متجهة إلى أسفل المنحدر، بينما تكون المركبة الأخرى

\[ W_\perp = mg\cos\theta \]

متجهة إلى داخل المنحدر.

لماذا تكون المركبة الموازية مرتبطة بجيب الزاوية؟

يصنع الاتجاه العمودي إلى داخل السطح الزاوية نفسها \(\theta\) مع الاتجاه الرأسي. في مثلث القوى القائم الزاوية، يمثّل \(mg\) الوتر. وتقع المركبة العمودية على الضلع المجاور للزاوية \(\theta\)، لذا تساوي \(mg\cos\theta\). أما المركبة الموازية فتقع مقابل الزاوية \(\theta\)، لذا تساوي \(mg\sin\theta\).

إذا كان تذكّر هذا الرسم غير موثوق بالنسبة إليك، فاستخدم الحالات الحدية للتحقق من الإجابة.

عندما يكون السطح أفقيًا، فإن \(\theta=0^\circ\):

\[ mg\sin 0^\circ = 0 \]

وهذا يعني أن الجاذبية لا تمتلك مركبة تحاول جعل الجسم ينزلق على امتداد السطح. وهذا منطقي.

كذلك،

\[ mg\cos 0^\circ = mg \]

أي إن الوزن بأكمله يؤثر نحو داخل السطح.

والآن تخيّل زيادة الزاوية تدريجيًا حتى تقترب من \(90^\circ\). ستقترب المركبة المتجهة إلى أسفل السطح من \(mg\)، بينما ستقترب المركبة المتجهة إلى داخل السطح من الصفر. وهذا أيضًا ما نتوقعه تمامًا.

يُعد هذا التحقق أكثر أمانًا بكثير من الاعتماد على حفظ قاعدة «جيب هنا، وجيب تمام هناك».

03القوة العمودية ليست دائمًا \(mg\cos\theta\)

القوة العمودية \(N\) هي قوة التلامس التي يؤثر بها السطح، ويكون اتجاهها عموديًا على السطح.

من الاختصارات الشائعة كتابة

\[ N = mg\cos\theta \]

لكن هذه العلاقة صحيحة في حالة محددة فقط: أن يبقى الجسم ملامسًا للمنحدر، وألا توجد قوى أخرى لها مركبات عمودية على السطح.

أما القاعدة الفعلية فهي قانون نيوتن الثاني في الاتجاه العمودي:

\[ \sum F_\perp = ma_\perp \]

إذا بقي الجسم على منحدر مستقيم، فعادةً لا يكون له تسارع يخترق السطح أو يبتعد عنه، ولذلك

\[ a_\perp=0 \]

ومن ثم يجب أن تتوازن القوى العمودية.

فإذا سحب حبل الجسم جزئيًا بعيدًا عن السطح، مثلًا، فإن الحبل يقلل القوة العمودية. أما إذا دفع شخص الجسم جزئيًا نحو السطح، فإن القوة العمودية تزداد.

يؤثر السطح بقوة الدفع اللازمة لمنع الجسم من اختراقه. لكنه لا يستطيع سحب الجسم نحوه، ولذلك لا يمكن أن تصبح القوة العمودية سالبة.

04تحليل القوى الأخرى غير الوزن إلى مركبات

لنفترض أن قوة \(F\) تؤثر بزاوية \(\phi\) فوق المنحدر.

قبل استخدام الجيب أو جيب التمام، اسأل نفسك: أي مركبة تقع على الضلع المجاور للزاوية \(\phi\)؟

بما أن الزاوية \(\phi\) مقاسة من اتجاه المنحدر، فإن المركبة الموازية تقع على الضلع المجاور:

\[ F_\parallel = F\cos\phi \]

أما المركبة العمودية فتقع على الضلع المقابل:

\[ F_\perp = F\sin\phi \]

إذا كانت القوة تسحب الجسم باتجاه أعلى المنحدر وفوق سطحه، فإن المركبة العمودية تتجه بعيدًا عن السطح.

أما إذا كانت القوة نفسها موجهة أسفل خط المنحدر، فإن المركبة العمودية تتجه نحو داخل السطح.

لاحظ أن الجدول لا يتضمن إشارات موجبة أو سالبة. تختار الإشارات بعد تحديد الاتجاهات التي ستعتبرها موجبة.

فمثلًا، يمكنك تعريف الاتجاه إلى أعلى المنحدر على أنه الاتجاه الموجب. عندئذٍ ستكون المركبة الموازية لأي قوة متجهة إلى أسفل المنحدر سالبة.

05طريقة موثوقة لحل مسائل المستوى المائل

في معظم أسئلة المستوى المائل في شهادة HSC، اتبع التسلسل نفسه.

1. ارسم القوى الفعلية المؤثرة في الجسم.
2. اختر محورين، أحدهما موازٍ للمنحدر والآخر عمودي عليه.
3. حلّل أي قوة لا تقع أصلًا على امتداد أحد هذين المحورين إلى مركبات.
4. طبّق \(\sum F_\perp=ma_\perp\). إذا بقي الجسم على السطح، فعادةً تصبح هذه المعادلة \(\sum F_\perp=0\).
5. طبّق \(\sum F_\parallel=ma_\parallel\).

لا تحلّل القوة العمودية إلى مركبات إذا كانت محاورك متوافقة أصلًا مع المنحدر، فهي تقع بالكامل على المحور العمودي.

وينطبق الأمر نفسه على الاحتكاك. فقوة الاحتكاك تؤثر على امتداد سطح التلامس، ولذلك تقع أصلًا على المحور الموازي.

06القوة المؤثرة فوق المنحدر تغيّر القوة العمودية

تخيّل الآن أنك تسحب حقيبة إلى أعلى منحدر باستخدام مقبض يميل قليلًا فوق السطح.

توقّع ما سيحدث للقوة العمودية. هل يؤدي السحب بقوة أكبر إلى زيادتها أم تقليلها أم إبقائها دون تغيير؟

إنها تقل.

إذ تؤثر مركبة من قوة السحب بعيدًا عن السطح، ولذلك لا تحتاج الأرض إلى الدفع إلى الخارج بالقوة نفسها التي كانت ستحتاج إليها لولا ذلك.

تكتسب هذه النقطة أهمية عند وجود الاحتكاك، لأن قوة الاحتكاك الحركي تُعطى بالعلاقة

\[ f_k=\mu_kN \]

حيث \(\mu_k\) هو معامل الاحتكاك الحركي.

لذلك، يمكن لقوة سحب مائلة أن تؤثر في الحركة بطريقتين: فهي توفر مركبة إلى أعلى المنحدر، وتقلل \(N\)، مما قد يقلل قوة الاحتكاك أيضًا.

07ثلاثة أخطاء مغرية ينبغي تجنبها

الخطأ 1: اعتبار \(mg\sin\theta\) قوة إضافية

ما زالت قوة الجاذبية الفعلية هي \(mg\)، وتتجه رأسيًا إلى الأسفل.

إن الكميتين \(mg\sin\theta\) و\(mg\cos\theta\) هما مركبتان لهذه القوة الواحدة. فلا ترسم \(mg\) و\(mg\sin\theta\) و\(mg\cos\theta\) على أنها ثلاث قوى منفصلة في مخطط الجسم الحر نفسه.

الخطأ 2: افتراض أن \(N=mg\cos\theta\) في جميع الحالات

لا تصح هذه العلاقة إلا عندما لا تؤثر القوى العمودية الأخرى في اتزان القوى.

فالحبل الذي يسحب الجسم بعيدًا عن المنحدر يقلل \(N\)، بينما تؤدي قوة الدفع نحو المنحدر إلى زيادتها.

ابدأ دائمًا من العلاقة

\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]

بدلًا من التعامل مع \(N=mg\cos\theta\) على أنها تعريف للقوة العمودية.

الخطأ 3: افتراض أن الاحتكاك يؤثر دائمًا إلى أعلى المنحدر

يقاوم الاحتكاك الحركة النسبية بين السطوح، أو الميل إلى حدوث حركة نسبية بينها.

إذا انزلق جسم إلى أسفل منحدر، فإن الاحتكاك يؤثر إلى أعلى المنحدر.

أما إذا سُحب جسم إلى أعلى المنحدر، فإن الاحتكاك يؤثر إلى أسفل المنحدر.

وبالنسبة إلى الاحتكاك السكوني، لا تكتب تلقائيًا

\[ f_s=\mu_sN \]

فالعلاقة الصحيحة هي

\[ f_s\leq\mu_sN \]

إذ تتكيف قوة الاحتكاك السكوني مع المقدار المطلوب، حتى تصل إلى قيمتها القصوى.

08الأسئلة والحلول

السؤال 1

يُترك جسم كتلته \(5.0\text{ kg}\) على منحدر عديم الاحتكاك يميل بزاوية \(35^\circ\) مع الأفقي. احسب ما يأتي:

• مركبة وزنه المتجهة إلى أسفل المنحدر.
• مركبة وزنه المتجهة نحو داخل المنحدر.
• تسارعه.

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 1

مركبتا الوزن هما \(28.1\text{ N}\) إلى أسفل المنحدر و\(40.1\text{ N}\) نحو داخل المنحدر، والتسارع هو \(5.62\text{ m s}^{-2}\) إلى أسفل المنحدر.

الوزن الكلي هو

\[ W=mg=(5.0)(9.8)=49.0\text{ N} \]

المركبة الموازية هي

\[ \begin{aligned} W_\parallel&=mg\sin35^\circ\\ &=(49.0)\sin35^\circ\\ &=28.1\text{ N} \end{aligned} \]

أما المركبة العمودية فهي

\[ \begin{aligned} W_\perp&=mg\cos35^\circ\\ &=(49.0)\cos35^\circ\\ &=40.1\text{ N} \end{aligned} \]

لا يوجد احتكاك، ولذلك فإن محصلة القوى الموازية تساوي \(28.1\text{ N}\).

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}}&=ma\\ 28.1&=(5.0)a\\ a&=5.62\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

لا تجعل المركبة العمودية الجسم يتسارع نحو داخل السطح، لأن القوة العمودية تعادلها.

السؤال 2

يستقر جسم كتلته \(10\text{ kg}\) على منحدر عديم الاحتكاك بزاوية \(30^\circ\). تؤثر فيه قوة مقدارها \(50\text{ N}\) نحو أعلى المنحدر، بزاوية \(20^\circ\) أسفل خط المنحدر، بحيث تتجه القوة جزئيًا نحو داخل السطح.

أوجد القوة العمودية وتسارع الجسم.

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 2

تبلغ القوة العمودية نحو \(102\text{ N}\)، ويتسارع الجسم بمقدار \(0.202\text{ m s}^{-2}\) إلى أسفل المنحدر.

مركبتا الوزن هما

\[ \begin{aligned} W_\parallel&=(10)(9.8)\sin30^\circ=49.0\text{ N}\\ W_\perp&=(10)(9.8)\cos30^\circ=84.9\text{ N} \end{aligned} \]

حلّل القوة المؤثرة. مركبتها المتجهة إلى أعلى المنحدر هي

\[ F_\parallel=50\cos20^\circ=47.0\text{ N} \]

أما مركبتها العمودية فهي

\[ F_\perp=50\sin20^\circ=17.1\text{ N} \]

بما أن القوة موجهة أسفل خط المنحدر، فإن هذه المركبة البالغة \(17.1\text{ N}\) تدفع الجسم نحو داخل السطح.

لا يوجد تسارع عمودي، ولذلك

\[ N-W_\perp-F_\perp=0 \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} N&=84.9+17.1\\ &=102\text{ N} \end{aligned} \]

والآن، اعتبر الاتجاه إلى أعلى المنحدر موجبًا. تصبح محصلة القوى الموازية

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},\parallel} &=47.0-49.0\\ &=-2.02\text{ N} \end{aligned} \]

وبالتالي،

\[ \begin{aligned} a&=\frac{-2.02}{10}\\ &=-0.202\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

تعني الإشارة السالبة أن التسارع يتجه إلى أسفل المنحدر.

يكمن الخطأ المحتمل في أن اتجاه القوة المؤثرة إلى أعلى المنحدر لا يضمن أن يكون التسارع إلى أعلى المنحدر. إذ يجب أن تكون مركبتها الموازية كبيرة بما يكفي للتغلب على القوى المتجهة إلى أسفل المنحدر.

السؤال 3

يبقى جسم كتلته \(6.0\text{ kg}\) ساكنًا على منحدر بزاوية \(32^\circ\) بفضل الاحتكاك السكوني. ولا تؤثر فيه أي قوى أخرى.

أوجد قوة الاحتكاك السكوني والقوة العمودية والحد الأدنى لمعامل الاحتكاك السكوني اللازم لمنع الانزلاق.

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 3

تبلغ قوة الاحتكاك السكوني \(31.2\text{ N}\) إلى أعلى المنحدر، وتبلغ القوة العمودية \(49.9\text{ N}\)، ويبلغ الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك السكوني نحو \(0.625\).

بما أن الجسم ساكن،

\[ \sum F_\parallel=0 \]

فإن مركبة الوزن المتجهة إلى أسفل المنحدر هي

\[ \begin{aligned} W_\parallel &=mg\sin32^\circ\\ &=(6.0)(9.8)\sin32^\circ\\ &=31.2\text{ N} \end{aligned} \]

لذلك يجب أن توفر قوة الاحتكاك السكوني مقدارًا قدره \(31.2\text{ N}\) إلى أعلى المنحدر.

تُحسب القوة العمودية من الاتجاه العمودي:

\[ \begin{aligned} N&=mg\cos32^\circ\\ &=(6.0)(9.8)\cos32^\circ\\ &=49.9\text{ N} \end{aligned} \]

عند الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك القادر على منع الانزلاق، تكون قوة الاحتكاك عند قيمتها القصوى:

\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]

وبالتالي،

\[ \begin{aligned} \mu_s &=\frac{f_s}{N}\\ &=\frac{31.2}{49.9}\\ &=0.625 \end{aligned} \]

ويمكن التعبير عن النتيجة نفسها بالعلاقة

\[ \mu_s=\tan32^\circ \]

والتمييز المهم هنا هو أن العلاقة \(f_s=\mu_sN\) صحيحة في هذه المسألة لأننا نوجد الحد الأدنى للمعامل. ففي هذه الحالة الحدية، تكون قوة الاحتكاك السكوني قد بلغت أقصى قيمة ممكنة لها.

السؤال 4

يوجد جسم كتلته \(4.0\text{ kg}\) على منحدر عديم الاحتكاك بزاوية \(25^\circ\). يسحب كابل الجسم إلى أعلى المنحدر بزاوية \(40^\circ\) فوق السطح.

يدّعي أحد الطلاب أن القوة العمودية يجب أن تبقى مساوية لـ \(mg\cos25^\circ\)، مهما كانت قوة شد الكابل.

أوجد قوة شد الكابل التي تجعل الجسم على وشك فقدان التلامس مع المنحدر. وأوجد أيضًا تسارعه الموازي للمنحدر في تلك اللحظة.

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 4

يفقد الجسم تلامسه مع المنحدر عندما تبلغ قوة شد الكابل نحو \(55.3\text{ N}\)، ويبلغ تسارعه الموازي للمنحدر في تلك اللحظة نحو \(6.44\text{ m s}^{-2}\) إلى أعلى المنحدر. وادعاء الطالب غير صحيح لأن للكابل مركبة تسحب الجسم بعيدًا عن المنحدر.

قبل فقدان التلامس، يكون التسارع العمودي صفرًا.

مركبة الوزن المتجهة نحو داخل السطح هي

\[ mg\cos25^\circ \]

أما مركبة الكابل المتجهة إلى الخارج فهي

\[ T\sin40^\circ \]

لذلك تكون معادلة القوى العمودية

\[ N+T\sin40^\circ-mg\cos25^\circ=0 \]

في اللحظة التي يصبح فيها الجسم على وشك فقدان التلامس،

\[ N=0 \]

لأن السطح لا يستطيع مواصلة التأثير بقوة دفع بعد زوال التلامس.

وبالتالي،

\[ T\sin40^\circ=mg\cos25^\circ \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} T &=\frac{(4.0)(9.8)\cos25^\circ}{\sin40^\circ}\\ &=55.3\text{ N} \end{aligned} \]

والآن حلّل القوى الموازية للمنحدر.

توفر قوة الكابل مركبة مقدارها

\[ T\cos40^\circ \]

إلى أعلى المنحدر، بينما توفر الجاذبية مركبة مقدارها

\[ mg\sin25^\circ \]

إلى أسفل المنحدر.

إذن،

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},\parallel} &=(55.3)\cos40^\circ-(4.0)(9.8)\sin25^\circ\\ &=25.8\text{ N} \end{aligned} \]

ثم،

\[ \begin{aligned} a_\parallel &=\frac{25.8}{4.0}\\ &=6.44\text{ m s}^{-2} \end{aligned} \]

لم تبقَ القوة العمودية ثابتة عند \(mg\cos25^\circ\)، بل انخفضت مع زيادة قوة شد الكابل حتى وصلت إلى الصفر.

السؤال 5

يستقر جسم كتلته \(6.0\text{ kg}\) على سطح مائل عديم الاحتكاك بزاوية \(\theta\). تؤثر فيه قوة أفقية \(P\) تدفعه نحو الطرف الأعلى للمنحدر ونحو داخل السطح.

اشتق تعبيرين للقوة \(P\) والقوة العمودية \(N\) اللتين تُبقيان الجسم ساكنًا. ثم احسب القوتين عندما تكون \(\theta=60^\circ\).

وأخيرًا، وضّح ما تتنبأ به معادلاتك عندما تقترب \(\theta\) من \(90^\circ\).

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 5

لإبقاء الجسم ساكنًا، يجب أن تكون \(P=mg\tan\theta\) و\(N=mg\sec\theta\). وعند زاوية \(60^\circ\)، تبلغ \(P\) نحو \(102\text{ N}\)، وتبلغ \(N\) نحو \(118\text{ N}\). وتزداد القوتان دون حد عندما تقترب \(\theta\) من \(90^\circ\).

القوة الأفقية \(P\) ليست موازية للمنحدر.

بما أن المنحدر يصنع زاوية \(\theta\) مع الأفقي، فإن مركبة القوة \(P\) الموازية للمنحدر هي

\[ P_\parallel=P\cos\theta \]

أما المركبة التي تدفع الجسم نحو داخل المنحدر فهي

\[ P_\perp=P\sin\theta \]

لتحقيق الاتزان الموازي للمنحدر،

\[ P\cos\theta-mg\sin\theta=0 \]

وبالتالي،

\[ \begin{aligned} P\cos\theta&=mg\sin\theta\\ P&=mg\tan\theta \end{aligned} \]

والآن، لننظر إلى الاتجاه العمودي.

تدفع كل من \(mg\cos\theta\) و\(P\sin\theta\) الجسم نحو داخل السطح، لذلك

\[ N=mg\cos\theta+P\sin\theta \]

بالتعويض عن \(P=mg\tan\theta\)، نحصل على

\[ N=mg\cos\theta+mg\tan\theta\sin\theta \]

وبما أن

\[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]

فإننا نحصل على

\[ \begin{aligned} N &=mg\cos\theta+mg\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\\ &=mg\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta}\\ &=\frac{mg}{\cos\theta}\\ &=mg\sec\theta \end{aligned} \]

عندما تكون \(m=6.0\text{ kg}\) و\(\theta=60^\circ\)، نحصل على

\[ \begin{aligned} P &=(6.0)(9.8)\tan60^\circ\\ &\approx102\text{ N} \end{aligned} \]

وكذلك،

\[ \begin{aligned} N &=(6.0)(9.8)\sec60^\circ\\ &=117.6\text{ N}\\ &\approx118\text{ N} \end{aligned} \]

عندما تقترب \(\theta\) من \(90^\circ\)، فإن كلًا من \(\tan\theta\) و\(\sec\theta\) يزداد دون حد.

تخبرنا هذه الحالة الحدية بشيء عن الواقع الفيزيائي. فالسطح العديم الاحتكاك الذي يميل بزاوية \(90^\circ\) هو جدار رأسي. ويمكن لدفع أفقي أن يضغط الجسم على الجدار، لكنه لا يستطيع توفير أي قوة إلى أعلى لمعادلة الجاذبية. لذلك لا توجد قوة دفع أفقية محدودة تستطيع إبقاء الجسم ساكنًا على جدار رأسي عديم الاحتكاك تمامًا.

09ما الذي تتيحه هذه الطريقة لاحقًا؟

يحوّل تحليل القوى إلى مركبتين موازية للمنحدر وعمودية عليه معظم مسائل المستوى المائل إلى مسألتين عاديتين أحاديتي البعد باستخدام قانون نيوتن.

تحدد المعادلة العمودية عادةً القوة العمودية. ويصبح ذلك ضروريًا عند وجود الاحتكاك، لأن قوة الاحتكاك تعتمد على \(N\). بعد ذلك، تحدد المعادلة الموازية ما إذا كان الجسم سيبقى في حالة اتزان أم سيتسارع.

لذلك، فإن الخطوة التالية المفيدة ليست تعلّم صيغة أخرى للمستويات المائلة، بل تعلّم كيفية الجمع بين هذه المركبات والاحتكاك السكوني والحركي، حيث يصبح تحديد ما إذا كان الجسم سيتحرك فعلًا مهمًا بقدر أهمية حساب القوى.