الرسوم البيانية للإزاحة-الزمن مقابل الإزاحة-الموضع في فيزياء HSC
تعلّم كيفية التمييز بين الرسوم البيانية للإزاحة-الزمن والإزاحة-الموضع للموجات، وقراءة الزمن الدوري والطول الموجي بصورة صحيحة، وتجنّب الأخطاء الشائعة في تفسير الرسوم البيانية.
تمر موجة عبر نقطة على حبل. تسجّل إزاحة الحبل وترسم منحنى جيبيًا سلسًا. ويُكتب على المحور الأفقي إما الزمن أو الموضع.
قد يبدو هذان الرسمان البيانيان متطابقين تقريبًا.
وهذا بالضبط ما يجعل التمييز بينهما صعبًا.
قبل المتابعة، توقّع الإجابة عن السؤال الآتي: إذا كانت المسافة بين قمتين متجاورتين على المحور الأفقي تساوي 0.80 وحدة، فهل قست الطول الموجي؟
فقط إذا كان المحور الأفقي يمثّل الموضع. أما إذا كان يمثّل الزمن، فقد قست الزمن الدوري بدلًا من ذلك. لا يكفي شكل المنحنى وحده. بل يجب أن تسأل نفسك عمّا يعنيه الانتقال من اليسار إلى اليمين على الرسم البياني.
01السؤال الوحيد الذي يميّز بين الرسمين البيانيين
عندما تنتقل من اليسار إلى اليمين على رسم بياني لموجة، اسأل نفسك:
هل أراقب موضعًا واحدًا عند أزمنة مختلفة، أم مواضع مختلفة عند زمن واحد؟
هذا هو أساس التمييز:
| الرسم البياني | المحور الأفقي | ما الذي يبقى ثابتًا؟ | الكمية الأساسية المستنتجة من التباعد الأفقي |
|---|---|---|---|
| الإزاحة-الزمن | الزمن، \(t\)، ويُقاس عادةً بالثواني | الموضع | الزمن الدوري، \(T\) |
| الإزاحة-الموضع | الموضع، \(x\)، ويُقاس عادةً بالأمتار | الزمن | الطول الموجي، \(\lambda\) |
يحتوي كلا الرسمين البيانيين على الإزاحة على المحور الرأسي. وتبيّن الإزاحة مدى ابتعاد جسيم من الوسط عن موضع اتزانه.
في حالة موجة مستعرضة على حبل، قد تعني الإزاحة مقدار ارتفاع الحبل فوق موضع سكونه أو انخفاضه عنه.
المحور الأفقي هو ما يغيّر معنى الرسم البياني.
02تتبّع الرسوم البيانية للإزاحة-الزمن حركة جسيم واحد
تخيّل أنك وضعت نقطة بيضاء صغيرة على حبل عند \(x = 2.0\text{ m}\). تنتقل موجة على طول الحبل، لكنك تُبقي الكاميرا موجّهة نحو تلك النقطة وحدها.
عند \(t=0\)، قد تكون النقطة عند موضع الاتزان. وبعد قليل، تتحرك إلى الأعلى، وتصل إلى أقصى إزاحة، ثم تعبر موضع الاتزان عائدةً، وتتحرك إلى الأسفل، ثم تعود مرة أخرى.
يسجّل الرسم البياني للإزاحة-الزمن هذه الحركة.
أنت تسأل:
كيف تتغيّر إزاحة هذه النقطة الواحدة مع مرور الزمن؟
لذلك، يمثّل الإحداثي الأفقي الزمن \(t\)، المقاس بالثواني.
ما الذي يمكنك قياسه من رسم بياني للإزاحة-الزمن؟
أهم الكميات التي يمكنك قياسها هي:
- السعة، \(A\)، من المحور الرأسي
- الزمن الدوري، \(T\)، من المحور الأفقي
- التردد، \(f\)، المحسوب من الزمن الدوري
- إزاحة الجسيم عند زمن محدد
- سرعة الجسيم من ميل الرسم البياني
السعة هي أكبر مقدار للإزاحة عن موضع الاتزان. إذا وصل الرسم البياني إلى \(+0.040\text{ m}\) و\(-0.040\text{ m}\)، فإن \(A=0.040\text{ m}\)، وليس \(0.080\text{ m}\).
أما الزمن الدوري، \(T\)، فهو الزمن اللازم لإكمال دورة واحدة.
يمكنك قياسه بين أي نقطتين متماثلتين في دورتين متتاليتين، مثل:
- من قمة إلى القمة التالية
- من قاع إلى القاع التالي
- من عبور موضع الاتزان باتجاه الأعلى إلى العبور التالي لموضع الاتزان بالاتجاه نفسه
بمجرد معرفة \(T\)، يصبح التردد:
\[ f=\frac{1}{T} \]
حيث:
- \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، \(\text{Hz}\)
- \(T\) هو الزمن الدوري بوحدة الثانية، \(\text{s}\)
يبيّن التردد عدد الاهتزازات الكاملة التي تحدث في كل ثانية.
مثال محلول: قراءة الزمن الدوري والتردد
تهتز نقطة على وتر بسعة \(2.5\text{ cm}\). يظهر رسمها البياني للإزاحة-الزمن قمتين متتاليتين عند \(t=0.15\text{ s}\) و\(t=0.55\text{ s}\). أوجد الزمن الدوري والتردد.
الخطوة 1
\[ T=0.55-0.15=0.40\text{ s} \]
الخطوة 2
\[ f=\frac{1}{0.40}=2.5\text{ Hz} \]
الخطوة 3
تكمل النقطة اهتزازة كاملة كل \(0.40\text{ s}\)، ولذلك تكمل \(2.5\) اهتزازة في كل ثانية. وتبلغ سعتها \(2.5\text{ cm}\).
لاحظ ما لا يمكننا إيجاده من هذا الرسم البياني وحده: الطول الموجي. لقد راقبنا موضعًا واحدًا بمرور الزمن، لذا لا توجد معلومات أفقية عن المسافات على طول الوتر.
03الرسوم البيانية للإزاحة-الموضع هي لقطات لحظية
غيّر التجربة الآن.
بدلًا من مراقبة نقطة واحدة محددة لعدة ثوانٍ، التقط صورة للحبل كله في لحظة واحدة.
قد تُظهر الصورة بعض الجسيمات فوق موضع الاتزان، وبعضها تحته، وبعضها الآخر عند موضع الاتزان تمامًا.
يمثّل الرسم البياني للإزاحة-الموضع هذه اللقطة اللحظية.
أنت تسأل:
كيف تتغيّر الإزاحة من موضع إلى آخر في هذه اللحظة المحددة؟
لذلك، يمثّل الإحداثي الأفقي الموضع \(x\)، المقاس بالأمتار.
قد يسهل أحيانًا إساءة قراءة هذا الرسم البياني لأنه قد يشبه حرفيًا شكل موجة مستعرضة على حبل. وفي حالة الموجة المستعرضة على الحبل، تكون هذه الصورة مفيدة.
لكن الرسم البياني يظل تمثيلًا لـ الإزاحة بدلالة الموضع، وليس سجلًا لجسيم يتحرك على طول مسار متموّج.
ما الذي يمكنك قياسه من رسم بياني للإزاحة-الموضع؟
يمكنك تحديد:
- السعة، \(A\)، من المحور الرأسي
- الطول الموجي، \(\lambda\)، من المحور الأفقي
- الإزاحة عند موضع محدد
- فرق الطور النسبي بين جسيمات عند مواضع مختلفة
- التدرّج المكاني للموجة عند موضع محدد
الطول الموجي، \(\lambda\)، هو أقصر مسافة بين نقطتين لهما الطور نفسه في الموجة.
في الموجة الجيبية، تشمل الخيارات المناسبة:
- من قمة إلى القمة التالية
- من قاع إلى القاع التالي
- من عبور موضع الاتزان باتجاه الأعلى إلى العبور التالي لموضع الاتزان بالاتجاه نفسه
وحدته في النظام الدولي للوحدات هي المتر، \(\text{m}\).
نصف دورة لا يساوي طولًا موجيًا واحدًا
لنفترض أن قمة تقع عند \(x=1.2\text{ m}\)، وأن القاع المجاور لها يقع عند \(x=1.7\text{ m}\).
قد تميل إلى القول إن الطول الموجي يساوي \(0.5\text{ m}\).
لكن القمة والقاع المجاور لها يفصل بينهما نصف دورة فقط.
لذلك،
\[ \frac{\lambda}{2}=1.7-1.2=0.5\text{ m} \]
ومن ثم،
\[ \lambda=1.0\text{ m} \]
ولهذا يكون القياس بين نقاط متماثلة أكثر أمانًا في العادة.
مثال محلول: إيجاد الطول الموجي وسرعة الموجة
يُظهر رسم بياني للإزاحة-الموضع لموجة منتقلة قمتين متتاليتين عند \(x=0.60\text{ m}\) و\(x=2.10\text{ m}\). ويُظهر رسم بياني للإزاحة-الزمن لنقطة على الموجة نفسها زمنًا دوريًا مقداره \(0.30\text{ s}\). أوجد الطول الموجي والتردد وسرعة الموجة.
الخطوة 1
المسافة من قمة إلى القمة التالية تساوي طولًا موجيًا واحدًا:
\[ \lambda=2.10-0.60=1.50\text{ m} \]
الخطوة 2
\[ f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.30} =3.33\text{ Hz} \]
الخطوة 3
بالنسبة إلى موجة دورية،
\[ v=f\lambda \]
حيث:
- \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(f\) هو التردد بوحدة \(\text{Hz}\)
- \(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة \(\text{m}\)
بالتعويض،
\[ v=(3.33)(1.50)=5.0\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 4
ينتقل نمط الموجة على طول الوسط بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\). لكن الجسيمات نفسها لا تتحرك على طول الحبل بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\). بل تهتز حول مواضع اتزانها بينما ينتشر الاضطراب.
هذا التمييز الأخير من أهم الأفكار في فيزياء الموجات.
04الزمن الدوري والطول الموجي مرتبطان، لكنهما ليسا الشيء نفسه
قد يكون للرسم البياني الجيبي للإزاحة-الزمن والرسم البياني الجيبي للإزاحة-الموضع الشكل المرئي نفسه تمامًا.
على الرسم البياني الزمني، تمثّل دورة أفقية كاملة الزمن الدوري \(T\).
أما على الرسم البياني المكاني، فتمثّل دورة أفقية كاملة الطول الموجي \(\lambda\).
يمكنك تصوّر الفرق باستخدام تشبيه طريف بعض الشيء.
تخيّل صفًا من الأشخاص يؤدّون موجة جماهيرية في ملعب.
يشبه الرسم البياني للإزاحة-الموضع التقاط صورة واحدة للصف كله. يمكنك رؤية من يجلس ومن يقف، وقياس المسافات بين الأجزاء المتكررة من النمط.
أما الرسم البياني للإزاحة-الزمن فيشبه تصوير شخص واحد فقط. ترى كيف يتغيّر ارتفاعه مع الزمن، لكنك لا تستطيع معرفة المسافات بين الأشخاص الآخرين في الصف.
لا ينطبق التشبيه تمامًا لأن جسيمات الموجة الجيبية المثالية تتحرك باستمرار بدلًا من اختيار الوقوف، ولأن الموجات الحقيقية قد تتضمن أنواعًا متعددة من حركة الجسيمات. لكن التمييز بين لقطة عبر المكان وتاريخ الحركة عند موضع واحد هو الجزء المفيد تمامًا من هذا التشبيه.
05يعني ميل الرسم البياني أشياء مختلفة أيضًا
لا يغيّر المحور الأفقي ما تقيسه بين القمم فحسب، بل يغيّر أيضًا معنى الميل.
ميل الرسم البياني للإزاحة-الزمن
إذا كانت الإزاحة هي \(y\)، فإن الميل يساوي
\[ \frac{\Delta y}{\Delta t} \]
وفي حدّ الفاصل الزمني الصغير جدًا،
\[ \frac{dy}{dt} \]
وهذا هو سرعة الجسيم في اتجاه الإزاحة.
على سبيل المثال، في حالة حبل يهتز عرضيًا:
- الميل الموجب يعني أن الجسيم يتحرك إلى الأعلى
- الميل السالب يعني أن الجسيم يتحرك إلى الأسفل
- الميل الصفري عند أقصى إزاحة أو أدناها يعني أن الجسيم ساكن لحظيًا
هذه هي سرعة الجسيم، وليست سرعة الموجة.
وهذا التمييز مهم.
فقد تنتقل موجة بسرعة كبيرة نحو اليمين، بينما تتحرك قطعة منفردة من الحبل ببطء إلى الأعلى في تلك اللحظة.
ميل الرسم البياني للإزاحة-الموضع
هنا يصبح الميل
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
أو، بصورة أدق،
\[ \frac{\partial y}{\partial x} \]
وهو يصف مدى سرعة تغيّر الإزاحة من موضع إلى الموضع التالي في تلك اللحظة.
إنه تدرّج مكاني، ولا يمثّل تلقائيًا سرعة الموجة أو سرعة الجسيم.
لذلك، لا يعني الرسم البياني الحاد للإزاحة-الموضع أن «الموجة تتحرك بسرعة كبيرة». فالرسم البياني لا يتضمن فترة زمنية يمكن استخدامها مباشرةً لإيجاد السرعة.
06قاعدة بسيطة لاتخاذ القرار
عندما ترى رسمًا بيانيًا لموجة في مسألة فيزياء HSC، لا تبدأ بقياس المسافة بين القمم.
اقرأ المحاور أولًا.
ثم استخدم هذه القاعدة:
| إذا كان المحور الأفقي يمثّل… | فإن دورة كاملة تعطي… | ويمكنك بعد ذلك حساب… |
|---|---|---|
| الزمن \(t\) | الزمن الدوري \(T\) | \(f=1/T\) |
| الموضع \(x\) | الطول الموجي \(\lambda\) | سرعة الموجة إذا كان \(f\) أو \(T\) معلومًا أيضًا |
يمكن قراءة السعة من كلا النوعين لأن الإزاحة تقع على المحور الرأسي في الحالتين.
لحساب سرعة الموجة،
\[ v=f\lambda=\frac{\lambda}{T} \]
تحتاج إلى مقياس مكاني ومقياس زمني معًا. يوفّر رسم بياني واحد للإزاحة-الموضع المقياس المكاني، بينما يوفّر رسم بياني واحد للإزاحة-الزمن المقياس الزمني.
07أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: «تتحرك الموجة على طول المنحنى»
لنفترض أن رسمًا بيانيًا للإزاحة-الموضع يحتوي على قمة عند \(x=3.0\text{ m}\).
قد يتخيّل أحد الطلاب أن جسيمًا من الحبل بدأ من موضع ما إلى اليسار، ثم تحرك إلى الأعلى على طول المنحنى، ووصل إلى القمة، وسيواصل لاحقًا الحركة إلى الأسفل على الجانب الآخر.
يبدو هذا التفسير منطقيًا لأن الرسم البياني يشبه مسارًا.
لكن الإحداثي الأفقي يمثّل الموضع في الوسط، وليس الموضع الأفقي لجسيم متحرك واحد أثناء رحلته.
في لحظة واحدة:
- للجسيم عند \(x=2.9\text{ m}\) إزاحة معينة
- وللجسيم عند \(x=3.0\text{ m}\) إزاحة أخرى
- وللجسيم عند \(x=3.1\text{ m}\) إزاحة مختلفة
فهذه جسيمات مختلفة.
في الموجة المستعرضة، يتحرك كل جسيم من هذه الجسيمات أساسًا في اتجاه عمودي على اتجاه انتشار الموجة. ينتقل نمط الموجة عبر الوسط، لكن المادة لا تتبع ببساطة المنحنى الذي تتخذه الموجة.
08يوفّر الطور طريقة أدق لمقارنة النقاط
تكون نقطتان متفقتين في الطور عندما تكونان في المرحلة نفسها من اهتزازهما.
في الموجة الجيبية المنتقلة، تكون الجسيمات التي تفصل بينها مسافة طول موجي واحد متفقة في الطور. وينطبق الأمر نفسه على الجسيمات التي تفصل بينها أي مضاعفات صحيحة للطول الموجي.
أما الجسيمات التي تفصل بينها مسافة نصف طول موجي، فيكون فرق الطور بينها \(180^\circ\).
وهذا يعني أن الرسم البياني للإزاحة-الموضع يمكن أن يخبرك بأكثر من الطول الموجي وحده. إذ يمكنه مساعدتك على مقارنة حالة الاهتزاز للجسيمات عند مواضع مختلفة.
على سبيل المثال، إذا كانت المسافة بين نقطتين تساوي
\[ \frac{\lambda}{4} \]
فإن فرق الطور بينهما يساوي
\[ \frac{1}{4}\times360^\circ=90^\circ \]
وينطبق المنطق نفسه على الرسم البياني للإزاحة-الزمن. فاللحظتان اللتان يفصل بينهما زمن دوري واحد تقابلان الطور نفسه من الاهتزاز.
يجدر تذكّر هذا التناظر:
\[ \text{طول موجي واحد في المكان} \longleftrightarrow \text{زمن دوري واحد في الزمن} \]
يمثّل كلاهما دورة كاملة واحدة، لكن على متغيرين أفقيين مختلفين.
09الأسئلة والحلول
السؤال 1
يحتوي رسم بياني للإزاحة-الزمن لنقطة واحدة على وتر على قاعين متتاليين عند \(t=0.20\text{ s}\) و\(t=0.70\text{ s}\). وتبلغ السعة \(4.0\text{ cm}\).
أوجد الزمن الدوري والتردد. هل يمكن تحديد الطول الموجي من هذا الرسم البياني وحده؟
الحل 1
الزمن الدوري هو \(0.50\text{ s}\)، والتردد هو \(2.0\text{ Hz}\)، ولا يمكن تحديد الطول الموجي من هذا الرسم البياني وحده.
يمثّل القاعان المتتاليان نقطتين متماثلتين تفصل بينهما دورة كاملة، لذا
\[ T=0.70-0.20=0.50\text{ s} \]
ثم
\[ f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.50} =2.0\text{ Hz} \]
السعة هي \(4.0\text{ cm}\)، لكنها لا تساعدنا على إيجاد الطول الموجي. فالمحور الأفقي يمثّل الزمن، ولذلك لا يوفّر الرسم البياني أي قياس للمسافة على طول الوتر.
الخطأ الشائع هنا هو اعتبار التباعد الأفقي البالغ \(0.50\) طولًا موجيًا. وحدته هي الثواني، وليست الأمتار، لذا فهو يمثّل الزمن الدوري.
السؤال 2
يُظهر رسم بياني للإزاحة-الموضع قمة عند \(x=1.4\text{ m}\)، والقاع المجاور لها عند \(x=2.0\text{ m}\).
حدّد الطول الموجي.
الحل 2
الطول الموجي هو \(1.2\text{ m}\).
تفصل بين القمة والقاع المجاور لها نصف طول موجي، لذا
\[ \frac{\lambda}{2}=2.0-1.4=0.60\text{ m} \]
وعليه،
\[ \lambda=2(0.60)=1.2\text{ m} \]
الخطأ المغري هو تسجيل \(0.60\text{ m}\) بوصفه الطول الموجي. لكن هذه المسافة تغطي نصف دورة فقط، من أقصى إزاحة موجبة إلى أقصى إزاحة سالبة.
السؤال 3
طول موجة منتقلة هو \(0.80\text{ m}\). وعند نقطة ثابتة، يحدث عبوران متتاليان لموضع الاتزان باتجاه الأعلى بفاصل زمني قدره \(0.25\text{ s}\).
أوجد تردد الموجة وسرعتها.
الحل 3
التردد هو \(4.0\text{ Hz}\)، وسرعة الموجة هي \(3.2\text{ m s}^{-1}\).
يحدث العبوران المتتاليان لموضع الاتزان باتجاه الأعلى بفاصل زمني يساوي زمنًا دوريًا كاملًا، لذا
\[ T=0.25\text{ s} \]
ويكون التردد
\[ f=\frac{1}{T} =\frac{1}{0.25} =4.0\text{ Hz} \]
وباستخدام \(v=f\lambda\)،
\[ v=(4.0)(0.80) =3.2\text{ m s}^{-1} \]
تعني النتيجة أن نمط الموجة يتقدم مسافة \(3.2\text{ m}\) على طول الوسط كل ثانية.
ولا تعني أن جسيمًا منفردًا من الوسط يقطع مسافة \(3.2\text{ m}\) في اتجاه الانتشار كل ثانية.
السؤال 4
رُسم منحنيان بالشكل الجيبي نفسه، وبالتباعد الأفقي العددي نفسه، وهو \(0.40\)، بين كل قمتين متتاليتين.
الرسم البياني A محوره الأفقي هو \(t\) بالثواني. أما الرسم البياني B فمحوره الأفقي هو \(x\) بالأمتار.
يقول أحد الطلاب: «يُظهر كلا الرسمين البيانيين طولًا موجيًا مقداره \(0.40\)، لأن الطول الموجي هو المسافة بين القمم».
اشرح بدقة ما الخطأ في استدلال الطالب، واذكر ما الذي تمثّله القيمة \(0.40\) في كل رسم بياني.
الحل 4
يُظهر الرسم البياني A زمنًا دوريًا مقداره \(0.40\text{ s}\)، بينما يُظهر الرسم البياني B طولًا موجيًا مقداره \(0.40\text{ m}\).
إن عبارة الطالب «الطول الموجي هو المسافة بين القمم» غير مكتملة. فالطول الموجي هو المسافة المكانية بين نقاط متتالية لها الطور نفسه. ويتطلب ذلك أن يمثّل المحور الأفقي الموضع أو المسافة.
بالنسبة إلى الرسم البياني A،
\[ T=0.40\text{ s} \]
لأن الانتقال أفقيًا يعني التقدّم في الزمن مع مراقبة موضع ثابت واحد.
أما بالنسبة إلى الرسم البياني B،
\[ \lambda=0.40\text{ m} \]
لأن الانتقال أفقيًا يعني الانتقال من موضع في الوسط إلى موضع آخر في اللحظة نفسها.
يمكن أن يكون للرسمين البيانيين الشكل نفسه من دون أن يمثّلا القياس الفيزيائي نفسه. فالعناوين والمتغيرات والوحدات على المحاور هي التي تحدّد المعنى.
السؤال 5
في لحظة معينة، يعبر رسم بياني للإزاحة-الموضع لموجة مستعرضة منتقلة موضع الاتزان عند \(x=1.0\text{ m}\)، ويكون ميله موجبًا وحادًا.
يدّعي أحد الطلاب: «لا بد أن الجسيم عند \(x=1.0\text{ m}\) يتحرك إلى الأعلى بسرعة كبيرة لأن ميل الرسم البياني حاد».
هل يمكن تبرير هذا الاستنتاج من الرسم البياني للإزاحة-الموضع وحده؟ اشرح.
الحل 5
لا. فالميل الموجب والحاد في الرسم البياني للإزاحة-الموضع لا يخبرنا، بمفرده، أن الجسيم يتحرك إلى الأعلى بسرعة كبيرة.
ميل الرسم البياني هو
\[ \frac{\partial y}{\partial x} \]
وهو يصف كيفية تغيّر الإزاحة مع الموضع في تلك اللحظة. أي إنه تدرّج مكاني.
أما السرعة الرأسية للجسيم، فتعتمد على كيفية تغيّر إزاحته مع الزمن:
\[ \frac{\partial y}{\partial t} \]
ولا يوفّر الرسم البياني للإزاحة-الموضع وحده هذه المعدّلة الزمنية للتغيّر بصورة مباشرة.
في حالة موجة منتقلة محددة ومعروفة، يمكن ربط التدرّج المكاني وسرعة الجسيم رياضيًا باستخدام معلومات إضافية، مثل اتجاه انتشار الموجة وسرعتها. لكن هذه المعلومات ليست موجودة في الرسم البياني المذكور وحده.
يكمن الخطأ في اعتبار كل رسم بياني حاد دليلًا على «حركة سريعة». فلا يُفسَّر ميل الرسم البياني إلا بعد تحديد الكميات الممثّلة على كلا المحورين.
السؤال 6
تنتقل موجة جيبية على طول وتر. وتُظهر لقطة الإزاحة-الموضع طولًا موجيًا مقداره \(1.5\text{ m}\). ويُظهر رسم بياني منفصل للإزاحة-الزمن لنقطة على الوتر أن النقطة تنتقل من أقصى إزاحة موجبة إلى أقصى إزاحة سالبة تالية خلال \(0.20\text{ s}\).
يحسب أحد الطلاب سرعة الموجة على النحو الآتي:
\[ v=\frac{1.5}{0.20}=7.5\text{ m s}^{-1} \]
حدّد الخطأ الخفي، وأوجد سرعة الموجة الصحيحة.
الحل 6
سرعة الموجة الصحيحة هي \(3.75\text{ m s}^{-1}\). والخطأ الخفي هو اعتبار الزمن من قمة إلى القاع التالي زمنًا دوريًا كاملًا.
عندما ينتقل جسيم من أقصى إزاحة موجبة إلى أقصى إزاحة سالبة تالية، فإنه يُكمل نصف اهتزازة فقط. لذلك،
\[ \frac{T}{2}=0.20\text{ s} \]
ومن ثم،
\[ T=0.40\text{ s} \]
والطول الموجي هو
\[ \lambda=1.5\text{ m} \]
وباستخدام
\[ v=\frac{\lambda}{T} \]
نحصل على
\[ v=\frac{1.5}{0.40} =3.75\text{ m s}^{-1} \]
كانت العمليات الحسابية التي أجراها الطالب صحيحة، لكن تفسيره الفيزيائي لم يكن كذلك. فقبل التعويض في معادلة الموجة، يجب أن تحدّد ما إذا كانت الفترة المقاسة تمثّل دورة كاملة، أو نصف دورة، أو جزءًا آخر من الدورة.
10ما الذي يتيح لك هذا التمييز فهمه لاحقًا؟
بمجرد أن تتمكن من قراءة نوعي الرسم البياني قراءة صحيحة، تصبح معادلة الموجة أكثر وضوحًا من حيث المعنى.
يوفّر الرسم البياني للإزاحة-الزمن المقياس الزمني للاهتزاز من خلال \(T\) أو \(f\). أما الرسم البياني للإزاحة-الموضع، فيوفّر المقياس المكاني من خلال \(\lambda\). ويؤدي الجمع بينهما إلى إيجاد سرعة الانتشار:
\[ v=f\lambda=\frac{\lambda}{T} \]
ويشكّل هذا الفصل نفسه بين ما يحدث عند موضع واحد بمرور الزمن وما يوجد عبر مواضع عديدة في لحظة واحدة أساسًا لفهم فروق الطور والموجات المنتقلة والموجات الواقفة والتداخل.