السرعة الزاوية والخطية والزمن الدوري والتردد: اختبار تدريبي

هذه ورقة تدريبية أصلية من tutorgum تتناول الترابط بين الوصفين الزاوي والخطي للحركة الدائرية المنتظمة. وهي تقيّم نطاق الموضوعات المحدد في إصدار 2017 من منهج الفيزياء، والمتعلق بالسرعة الزاوية والسرعة الخطية والزمن الدوري والتردد. هذه ورقة تركز على موضوع محدد، وليست امتحانًا تجريبيًا شاملًا للمقرر، كما أنها ليست ورقة امتحان رسمية صادرة عن NESA أو معتمدة منها، ولا ورقة سابقة أو متوقعة.

01تعليمات الامتحان

• زمن الحل المقترح: 50 دقيقة.
• وقت القراءة: 5 دقائق.
• الدرجات الكلية: 36 درجة.
• الأدوات المسموح بها: آلة حاسبة علمية، وقلم حبر، وقلم رصاص. لا يُسمح باستخدام الملاحظات.
• الظروف: هذه شروط ورقة تدريبية، وليست ادعاءات بشأن قواعد امتحانات NESA الرسمية.

نطاق الموضوعات التي يشملها التقييم

تغطي هذه الورقة ما يلي:

• التحويل بين عدد الدورات والراديانات والتردد والزمن الدوري.
• حساب السرعة الزاوية من الإزاحة الزاوية والزمن المنقضي.
• الربط بين السرعة الزاوية والتردد والزمن الدوري والسرعة الخطية.
• مقارنة النقاط الواقعة على أنصاف أقطار مختلفة من الجسم الدوّار نفسه.
• التمييز بين تساوي السرعات الزاوية وتساوي السرعات الخطية.
• تفسير البيانات العددية المتعلقة بالحركة الدائرية المنتظمة.

تستبعد الورقة التسارع المركزي والقوة المركزية وعزم الدوران والتسارع الزاوي والحركة الدائرية غير المنتظمة، وكذلك المواد الواردة في إصدارات أخرى من المنهج.

الرموز والوحدات

استخدم الرموز التالية في جميع أجزاء الورقة.

• الإزاحة الزاوية، \(\Delta\theta\)، هي التغير في الموضع الزاوي، وتُقاس بالراديان (rad).
• السرعة الزاوية، \(\omega\)، تصف معدل تغير الإزاحة الزاوية، وتُقاس بالراديان في الثانية (\(\text{rad s}^{-1}\)).
• نصف القطر، \(r\)، يُقاس بالأمتار (m).
• السرعة الخطية، \(v\)، تُقاس بالأمتار في الثانية (\(\text{m s}^{-1}\)).
• الزمن المنقضي، \(t\)، يُقاس بالثواني (s).
• الزمن الدوري، \(T\)، هو الزمن اللازم لإكمال دورة واحدة، ويُقاس بالثواني (s).
• التردد، \(f\)، هو عدد الدورات في الثانية، ويُقاس بالهرتز (Hz).

افترض أن الحركة دائرية منتظمة كلما وُصف الدوران بأنه منتظم. استخدم \(\pi\) أو القيمة التي توفرها آلتك الحاسبة، وأدرج الوحدات، وقرّب الإجابات إلى ثلاثة أرقام معنوية ما لم تكن البيانات المعطاة تبرر استخدام عدد أقل.

ترد جميع الأسئلة قبل الحلول المفصلة. حاول حل الورقة ضمن الزمن المحدد قبل الرجوع إلى دليل التصحيح.

02الأسئلة

السؤال 1 (4 درجات)

يكمل قرص دوّار 15 دورة خلال 10.0 s.

(a) أوجد التردد والزمن الدوري للقرص. (درجتان)

(b) أوجد الإزاحة الزاوية للقرص الدوّار خلال الفترة الزمنية 10.0 s، بوحدة الراديان. (درجة واحدة)

(c) احسب متوسط السرعة الزاوية خلال هذه الفترة. (درجة واحدة)

السؤال 2 (5 درجات)

يدور عمود نقل الحركة بانتظام بمعدل 120.0 دورة في الدقيقة (rpm).

(a) حوّل معدل الدوران إلى تردد بوحدة الهرتز. (درجة واحدة)

(b) احسب السرعة الزاوية للعمود بوحدة الراديان في الثانية. (درجتان)

(c) احسب الإزاحة الزاوية للعمود خلال فترة زمنية مقدارها 3.50 s. (درجتان)

السؤال 3 (5 درجات)

تتحرك علامة على منصة دوّارة بحركة دائرية منتظمة على مسار نصف قطره 0.400 m. وتكمل دورة واحدة كل 1.60 s.

(a) احسب السرعة الخطية للعلامة. (درجتان)

(b) احسب السرعة الزاوية للعلامة. (درجة واحدة)

(c) احسب المسافة التي تقطعها العلامة خلال 12.0 s. (درجتان)

السؤال 4 (5 درجات)

يدور قرص دوّار صلب بسرعة زاوية ثابتة مقدارها \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\).

تقع النقطة A على بُعد 0.10 m من المركز، بينما تقع النقطة B على بُعد 0.30 m من المركز.

(a) قارن بين السرعتين الزاويتين للنقطتين A وB. وضّح إجابتك. (درجتان)

(b) احسب السرعة الخطية لكل نقطة. (درجتان)

(c) أوجد نسبة السرعة الخطية للنقطة B إلى السرعة الخطية للنقطة A. (درجة واحدة)

السؤال 5 (6 درجات)

يتحرك جسمان، X وY، بحركة دائرية منتظمة. يتحرك الجسم X في دائرة نصف قطرها 0.200 m ويكمل دورة واحدة كل 0.500 s. أما الجسم Y فيتحرك في دائرة نصف قطرها 0.350 m.

يمتلك الجسمان السرعة الخطية نفسها.

(a) احسب السرعة الخطية للجسم X. (درجتان)

(b) أوجد الزمن الدوري للجسم Y. (درجتان)

(c) أي الجسمين يمتلك سرعة زاوية أكبر؟ برّر إجابتك باستخدام العلاقة بين السرعة الخطية ونصف القطر والسرعة الزاوية. (درجتان)

السؤال 6 (5 درجات)

يسجل مستشعر دوّار إزاحته الزاوية من موضع البداية عند أزمنة متعددة. ويظل الدوران منتظمًا طوال فترة القياس.

(a) احسب السرعة الزاوية باستخدام القياسات من 0.00 s إلى 1.50 s. (درجتان)

(b) احسب الإزاحة الزاوية بعد 6.0 s. وعبّر عن هذه الإزاحة على شكل عدد من الدورات. (درجتان)

(c) تقع نقطة على المستشعر على بُعد 0.250 m من محور الدوران. احسب سرعتها الخطية. (درجة واحدة)

السؤال 7 (6 درجات)

تعمل منصة دوّارة للفحص بمعدل 45.0 rpm. ويُثبّت المستشعر A على بُعد 0.120 m من المركز، بينما يُثبّت المستشعر B على بُعد 0.280 m من المركز.

(a) حوّل معدل دوران المنصة إلى سرعة زاوية بوحدة الراديان في الثانية. (درجتان)

(b) احسب السرعة الخطية لكل مستشعر. (درجتان)

(c) يُنقل المستشعر B إلى نصف قطر مقداره 0.200 m. ويُعدّل معدل دوران المنصة بحيث تظل السرعة الخطية للمستشعر مساوية لقيمتها الأصلية. احسب السرعة الزاوية الجديدة بوحدة الراديان في الثانية، وعبّر عن معدل الدوران الجديد بوحدة rpm. (درجتان)

03الحلول المفصلة ودليل التصحيح

تُمنح الدرجات مقابل الخطوات الموضّحة أدناه. تُقبل الطرق المكافئة رياضيًا وعمليات التقريب المناسبة. وينبغي منح درجات المتابعة عندما يستخدم الطالب نتيجة عددية سابقة استخدامًا صحيحًا، حتى لو كانت تلك النتيجة تتضمن خطأ سابقًا.

حل السؤال 1

(a) أوجد التردد والزمن الدوري. (درجتان)

التردد هو عدد الدورات المكتملة في الثانية. يكمل القرص الدوّار 15 دورة خلال 10.0 s، لذا

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

الزمن الدوري هو الزمن اللازم لإكمال دورة واحدة، وهو مقلوب التردد:

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

الإجابتان: \(f=1.50\ \text{Hz}\) و\(T=0.667\ \text{s}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب التردد بشكل صحيح.
• درجة واحدة لحساب الزمن الدوري بشكل صحيح.

(b) أوجد الإزاحة الزاوية. (درجة واحدة)

تعادل الدورة الكاملة \(2\pi\) راديان. لذلك، تعادل 15 دورة

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب الإزاحة الزاوية الصحيحة بوحدة الراديان.

(c) احسب متوسط السرعة الزاوية. (درجة واحدة)

تساوي السرعة الزاوية الإزاحة الزاوية مقسومة على الزمن المنقضي:

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الزاوية الصحيحة مع كتابة الوحدة.

المجموع: 4 درجات.

حل السؤال 2

(a) حوّل rpm إلى تردد. (درجة واحدة)

توجد 60 ثانية في الدقيقة الواحدة. اقسم معدل الدوران على 60 للحصول على عدد الدورات في الثانية:

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب التردد الصحيح بوحدة الهرتز.

(b) احسب السرعة الزاوية. (درجتان)

تمثل كل دورة إزاحة زاوية مقدارها \(2\pi\) راديان. وبما أن العمود يكمل \(f\) دورة في الثانية، فإن سرعته الزاوية تساوي

\[ \omega=2\pi f \]

بالتعويض عن التردد:

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لكتابة العلاقة الصحيحة بين السرعة الزاوية والتردد.
• درجة واحدة للإجابة العددية الصحيحة مع الوحدة.

(c) احسب الإزاحة الزاوية خلال 3.50 s. (درجتان)

في حالة الدوران المنتظم، تساوي الإزاحة الزاوية السرعة الزاوية مضروبة في الزمن المنقضي:

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لاستخدام العلاقة الصحيحة للإزاحة الزاوية.
• درجة واحدة للإجابة العددية الصحيحة مع الوحدة.

المجموع: 5 درجات.

حل السؤال 3

(a) احسب السرعة الخطية. (درجتان)

تقطع العلامة محيط دائرة واحد، \(2\pi r\)، خلال كل زمن دوري \(T\). والسرعة الخطية هي المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن، وبالتالي

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

بالتعويض عن \(r=0.400\ \text{m}\) و\(T=1.60\ \text{s}\):

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

الإجابة: \(1.57\ \text{m s}^{-1}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لكتابة القانون الصحيح.
• درجة واحدة للإجابة العددية الصحيحة مع الوحدة.

(b) احسب السرعة الزاوية. (درجة واحدة)

تعادل الدورة الواحدة \(2\pi\) راديان، لذا تكون السرعة الزاوية

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الزاوية الصحيحة مع الوحدة.

(c) احسب المسافة المقطوعة خلال 12.0 s. (درجتان)

تتحرك العلامة بسرعة خطية ثابتة. لذلك، تساوي المسافة السرعة الخطية مضروبة في الزمن المنقضي:

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

الإجابة: \(18.8\ \text{m}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لاستخدام العلاقة \(d=vt\).
• درجة واحدة لحساب المسافة الصحيحة مع الوحدة.

المجموع: 5 درجات.

حل السؤال 4

(a) قارن بين السرعتين الزاويتين. (درجتان)

تنتمي النقطتان إلى القرص الدوّار الصلب نفسه. وخلال أي فترة زمنية محددة، يدور القرص خلال الإزاحة الزاوية نفسها عند جميع النقاط.

لذلك،

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

تمتلك النقطتان سرعتين زاويتين متساويتين، على الرغم من وقوعهما على بُعدين مختلفين من المركز.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لذكر أن السرعتين الزاويتين متساويتان.
• درجة واحدة لتوضيح أن النقطتين تقطعان الإزاحة الزاوية نفسها خلال الزمن نفسه.

(b) احسب السرعتين الخطيتين. (درجتان)

ترتبط السرعة الزاوية بالسرعة الخطية بالعلاقة

\[ v=\omega r \]

بالنسبة إلى النقطة A:

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

بالنسبة إلى النقطة B:

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

تتحرك النقطة B بسرعة أكبر لأنها أبعد عن محور الدوران. وخلال الزمن نفسه، تقطع قوسًا أطول مع إكمال الإزاحة الزاوية نفسها.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة للنقطة A.
• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة للنقطة B.

(c) أوجد نسبة السرعتين. (درجة واحدة)

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

لذلك،

\[ v_B:v_A=3:1 \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لإيجاد النسبة الصحيحة.

المجموع: 5 درجات.

حل السؤال 5

(a) احسب السرعة الخطية للجسم X. (درجتان)

نصف قطر الجسم X هو \(r_X=0.200\ \text{m}\)، وزمنه الدوري هو \(T_X=0.500\ \text{s}\).

باستخدام محيط الدائرة الذي يقطعه الجسم خلال دورة واحدة،

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

بالتعويض عن القيم:

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لكتابة القانون الصحيح والتعويض بالقيم.
• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة مع الوحدة.

(b) أوجد الزمن الدوري للجسم Y. (درجتان)

يمتلك الجسمان سرعتين خطيتين متساويتين، لذا

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

تساوي السرعة الخطية للجسم Y محيط دائرته مقسومًا على زمنه الدوري:

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

بإعادة ترتيب المعادلة لجعل الزمن الدوري هو المطلوب،

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

بالتعويض عن القيم:

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

الإجابة: \(T_Y=0.875\ \text{s}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لإعادة ترتيب المعادلة والتعويض الصحيح.
• درجة واحدة لحساب الزمن الدوري الصحيح مع الوحدة.

(c) قارن بين السرعتين الزاويتين. (درجتان)

العلاقة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية هي

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

بالنسبة إلى الجسم X:

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

بالنسبة إلى الجسم Y:

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

يمتلك الجسم X السرعة الزاوية الأكبر. فلدى الجسمين السرعة الخطية نفسها، لكن نصف قطر الجسم X أصغر. ولذلك، يجب أن تكون سرعته الزاوية أكبر لتحقيق السرعة الخطية نفسها.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة للتطبيق الصحيح للعلاقة بين السرعة الخطية ونصف القطر والسرعة الزاوية.
• درجة واحدة لتحديد الجسم X على أنه يمتلك السرعة الزاوية الأكبر.

المجموع: 6 درجات.

حل السؤال 6

(a) احسب السرعة الزاوية من القياسات. (درجتان)

تساوي السرعة الزاوية التغير في الإزاحة الزاوية مقسومًا على الزمن المنقضي:

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

باستخدام القياسات عند 0.00 s و1.50 s،

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

الإجابة: \(2.40\ \text{rad s}^{-1}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لاستخدام العلاقة الصحيحة والبيانات المعطاة.
• درجة واحدة لحساب السرعة الزاوية الصحيحة مع الوحدة.

(b) احسب الإزاحة الزاوية وحوّلها إلى عدد من الدورات. (درجتان)

الدوران منتظم، لذا تكون الإزاحة الزاوية بعد 6.0 s

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

تعادل الدورة الواحدة \(2\pi\) راديان. لذلك، يكون عدد الدورات

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{revolutions} \end{aligned} \]

يمثل \(N\) عدد الدورات.

الإجابتان: \(14.4\ \text{rad}\)، أو \(2.29\) دورة.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب الإزاحة الزاوية الصحيحة.
• درجة واحدة للتحويل الصحيح إلى عدد من الدورات.

(c) احسب السرعة الخطية. (درجة واحدة)

تقع النقطة على بُعد \(0.250\ \text{m}\) من محور الدوران. باستخدام العلاقة \(v=\omega r\)،

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة مع الوحدة.

المجموع: 5 درجات.

• الميل = ω = 2.40 rad s⁻¹

حل السؤال 7

(a) حوّل معدل الدوران إلى سرعة زاوية. (درجتان)

تدور المنصة بمعدل \(45.0\) دورة في الدقيقة. وبالتحويل إلى دورات في الثانية نحصل على

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

وبما أن كل دورة تعادل \(2\pi\) راديان،

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

الإجابة: \(4.71\ \text{rad s}^{-1}\).

دليل التصحيح:

• درجة واحدة للتحويل الصحيح من rpm إلى التردد.
• درجة واحدة لحساب السرعة الزاوية الصحيحة مع الوحدة.

(b) احسب السرعتين الخطيتين للمستشعرين. (درجتان)

تُعطى السرعة الخطية لنقطة على جسم دوّار بالعلاقة

\[ v=\omega r \]

بالنسبة إلى المستشعر A:

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

بالنسبة إلى المستشعر B:

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

يمتلك المستشعر B سرعة خطية أكبر لأنه أبعد عن محور الدوران. ويمتلك المستشعران السرعة الزاوية نفسها ما داما مثبتين على المنصة الصلبة نفسها.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة للمستشعر A.
• درجة واحدة لحساب السرعة الخطية الصحيحة للمستشعر B.

(c) احسب السرعة الزاوية الجديدة ومعدل الدوران الجديد. (درجتان)

يجب أن يحافظ المستشعر B على سرعته الخطية الأصلية، التي تبلغ نحو \(1.319\ \text{m s}^{-1}\). ويصبح نصف قطره الجديد \(0.200\ \text{m}\).

بإعادة ترتيب العلاقة \(v=\omega r\)،

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

لتحويل السرعة الزاوية الجديدة إلى دورات في الدقيقة، حوّل أولًا الراديانات في الثانية إلى دورات في الثانية، ثم اضرب الناتج في 60:

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{Rotation rate}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

الإجابتان: \(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\)، ومعدل الدوران \(63.0\ \text{rpm}\).

يكون معدل الدوران الجديد أكبر لأن المستشعر أصبح أقرب إلى محور الدوران. وللحفاظ على السرعة الخطية نفسها عند نصف قطر أصغر، يجب أن تدور المنصة بسرعة أكبر.

دليل التصحيح:

• درجة واحدة لحساب السرعة الزاوية الجديدة بصورة صحيحة باستخدام السرعة الخطية التي لم تتغير.
• درجة واحدة للتحويل الصحيح للسرعة الزاوية إلى rpm.

المجموع: 6 درجات.

التحقق النهائي من الدرجات

العلاقة الأساسية التي تربط موضوعات هذه الورقة هي أن السرعة الزاوية تصف مدى سرعة تغير الموضع الزاوي، بينما تصف السرعة الخطية مدى سرعة تغير المسافة المقطوعة على طول المسار الدائري. وفي الحركة الدائرية المنتظمة، ترتبط الكميتان بالعلاقة

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

تشترك النقاط الواقعة على الجسم الدوّار الصلب نفسه في السرعة الزاوية ذاتها، لكن سرعاتها الخطية تعتمد على بُعدها عن محور الدوران. أما عندما يمتلك جسمان السرعة الخطية نفسها، فإن الجسم الذي يتحرك على نصف قطر أصغر تكون سرعته الزاوية أكبر.