陰極射線與電荷質量比實驗：練習試卷

這份原創 tutorgum 練習試卷著重於陰極射線所提供的帶負電粒子證據，以及湯姆森的電荷質量比實驗。本試卷評估學生對偏轉現象的觀察、交叉電磁場中的速度篩選、磁場中的圓周運動，以及實驗結果詮釋的理解。這是一份針對特定主題的練習試卷，並非完整課程考試，也不是官方試卷、歷屆試卷、預測試卷或經 NESA 認可的試卷。

01考試指示

• 建議閱讀時間： 5 分鐘。
• 作答時間： 50 分鐘。
• 總分： 40 分。
• 允許使用的設備： 計算機。不允許使用筆記。
• 請展示完整計算過程，包括方程式、代入數值、單位及最終答案。
• 計算時請使用 SI 單位，並以適當的有效數字給出數值答案。
• 如果題目需要使用前一題的結果，請使用你在前一題得出的結果。在適當情況下，即使前題的答案有誤，後續正確的計算方法仍可獲得延續給分。

假設與符號

除非另有說明，假設電場和磁場均為均勻場、邊緣效應可以忽略，而且粒子束的速度遠低於光速。粒子束的速度方向與磁場垂直。當電場關閉時，粒子束的速度保持不變。

本試卷使用以下符號：

• \(E\)：電場強度，單位為伏特每米（\(\mathrm{V\,m^{-1}}\)）。
• \(B\)：磁通密度，單位為特斯拉（\(\mathrm{T}\)）。
• \(v\)：粒子速度，單位為米每秒（\(\mathrm{m\,s^{-1}}\)）。
• \(r\)：曲線路徑的半徑，單位為米（\(\mathrm{m}\)）。
• \(q\)：粒子電荷，單位為庫侖（\(\mathrm{C}\)）。
• \(m\)：粒子質量，單位為千克（\(\mathrm{kg}\)）。
• \(|q|\)：粒子電荷的大小。
• \(|q|/m\)：電荷質量比的大小，單位為 \(\mathrm{C\,kg^{-1}}\)。

評核範圍： 陰極射線中帶負電粒子的證據；湯姆森的交叉電磁場方法；計算粒子速度及電荷質量比；詮釋偏轉、曲率及實驗結果的一致性。

不包括的內容： 其他原子模型、獨立測量電子電荷的方法，以及與本主題無關的電學和磁學內容。

02題目

第 1 題（6 分）

在一支放電管中，一束狹窄的粒子束由陰極朝陽極移動。當兩塊極板之間施加電場時，粒子束會偏向連接正極端的極板。磁場亦能使粒子束彎曲。

使用不同陰極材料及不同殘留氣體進行的實驗，都產生相同的定性行為。

(a) 判斷粒子束中的粒子所帶電荷的正負。利用電力的方向說明你的答案。（2 分）

(b) 解釋為甚麼粒子束對電場及磁場的反應，支持陰極射線是帶電粒子流，而不是中性輻射的解釋。（2 分）

(c) 不同陰極材料及殘留氣體所產生的相同反應，對這些粒子的本質有甚麼啟示？（2 分）

第 2 題（6 分）

湯姆森的電荷質量比實驗使用互相垂直的電場和磁場，兩者亦均與粒子束的初始速度方向垂直。場的方向經過安排，使作用於粒子束中粒子的電力和磁力方向相反。

(a) 說明實驗者如何利用這兩個場來篩選出具有特定速度的粒子。（2 分）

(b) 當粒子束筆直地通過交叉電磁場時，這代表橫向作用力有甚麼關係？請以 \(q\)、\(E\)、\(v\) 和 \(B\) 表示這個條件。（2 分）

(c) 達到上述條件後，實驗者需要作出甚麼改變，以及需要測量甚麼數據，才能求出電荷質量比？（2 分）

第 3 題（6 分）

在一項交叉電磁場實驗中，兩塊平行極板之間施加了 \(480\ \mathrm{V}\) 的電位差，極板間距為 \(2.0\ \mathrm{cm}\)。磁場強度為 \(3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T}\)。

當兩個場同時運作時，粒子束能筆直地通過該區域。

(a) 計算兩塊極板之間的電場強度大小。（3 分）

(b) 計算通過交叉電磁場的粒子速度。（3 分）

第 4 題（8 分）

在第 3 題選定粒子速度後，關閉電場。磁場保持在 \(3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T}\)，而粒子束沿著半徑為 \(1.50\ \mathrm{cm}\) 的圓形路徑移動。

假設粒子束的速度保持不變，而且磁力提供向心力。

(a) 從磁力及向心力的表達式出發，推導以 \(v\)、\(B\) 和 \(r\) 表示的電荷質量比大小 \(|q|/m\) 的公式。（4 分）

(b) 使用你推導出的公式，以及第 3 題和第 4 題的數據，計算 \(|q|/m\)。請以 SI 單位及適當的有效數字給出答案。（4 分）

第 5 題（6 分）

一名實驗者使用不同的陰極材料及殘留氣體，重複進行電荷質量比測量。實驗結果如下。

每次實驗所標示的不確定度為 \(\pm0.04\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}\)。

(a) 判斷這三次測量結果在其標示的不確定度範圍內是否一致。請說明你的理由。（2 分）

(b) 說明這些結果支持甚麼關於陰極射線中粒子的結論。（2 分）

(c) 在每次實驗中同時改變陰極材料及殘留氣體，會對研究這兩個因素各自是否影響結果造成甚麼限制？指出其中一項限制。（2 分）

第 6 題（8 分）

在一項速度篩選實驗中，電力和磁力最初處於平衡狀態。兩個場的方向保持不變。

(a) 磁場強度增加，而電場強度及粒子速度保持不變。指出哪一種力會變得較大，並說明粒子的合力相對於磁力的方向。（2 分）

(b) 之後，只有磁場作用於相同的粒子。粒子速度保持不變，但磁場強度增加至原來的兩倍。預測圓形路徑的半徑會如何改變。請使用第 4 題推導出的關係說明理由。（3 分）

(c) 一名學生聲稱，測量 \(|q|/m\) 就能直接得出粒子的質量。解釋為甚麼這個說法不正確，並指出還需要甚麼額外資訊才能確定粒子的質量。（3 分）

03詳細解答與評分指引

第 1 題解答

(a) 粒子帶負電。

電場的方向由帶正電的極板指向帶負電的極板。負電荷所受的電力方向與電場方向相反，因此粒子會受到推動而朝正極板移動。

因此，觀察到的偏轉現象與粒子帶負電的情況一致。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出粒子帶負電。
• 1 分：解釋負電荷所受的電力方向與電場方向相反。

(b) 粒子的行為如同一束移動中的帶電粒子。

電場會對帶有非零電荷的粒子施加作用力。磁場亦能使移動中的帶電粒子發生偏轉。在題目所述的實驗條件下，中性輻射不會受到這些電力和磁力作用。

因此，粒子束在這兩種場中的偏轉現象，支持陰極射線由移動中的帶電粒子組成這個結論。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出電場及磁場中的偏轉現象與帶電粒子的行為有關。
• 1 分：解釋為甚麼中性輻射不會出現觀察到的、由場引起的偏轉。

(c) 這些粒子似乎是物質中普遍存在的組成部分。

即使改變陰極材料及殘留氣體，仍然會出現相同的定性行為。這表示陰極射線並非某一種特定電極或氣體獨有的性質。相反，它們包含一種存在於不同物質中的共同粒子。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出在不同材料及氣體中，粒子的行為仍然保持一致。
• 1 分：將這種一致性與物質具有共同組成粒子的概念聯繫起來。

第 2 題解答

(a) 調整兩個場，直至粒子束筆直地通過。

實驗者調整電場及磁場的強度，同時保持兩者的方向不變。這兩個場便能篩選出具有特定速度的粒子：只有當兩個橫向作用力互相平衡時，粒子才會不發生偏轉地通過。

評分標準（2 分）：

• 1 分：說明調整兩個場，直至粒子束不再發生偏轉。
• 1 分：指出這個條件能篩選出具有特定速度的粒子。

(b) 兩個橫向作用力的大小相等，方向相反。

對於帶電粒子，電力的大小為

\[ F_E=|q|E \]

當速度方向與磁場垂直時，磁力的大小為

\[ F_B=|q|vB \]

若粒子束要筆直地通過，合橫向力必須為零。因此，

\[ |q|E=|q|vB \]

兩邊同除以非零的電荷量大小，可得

\[ v=\frac{E}{B} \]

利用這個關係，便能根據兩個場的強度計算粒子速度。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出兩個作用力的大小相等，方向相反。
• 1 分：正確寫出力平衡條件，並推導出 \(v=E/B\)。

(c) 關閉電場，並測量曲線路徑的半徑。

實驗者關閉電場，但讓磁場繼續運作。此時，磁力會使移動中的粒子沿圓形路徑彎曲。

實驗者測量半徑 \(r\)，再配合已知的粒子速度及磁場強度，計算電荷質量比。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出需要關閉電場，同時保留磁場。
• 1 分：指出需要測量圓形路徑的半徑，並利用該數值求出 \(|q|/m\)。

第 3 題解答

(a) 電場強度

對於兩塊平行極板之間的均勻電場，電場強度等於電位差除以極板間距：

\[ E=\frac{V}{d} \]

電位差為 \(V=480\ \mathrm{V}\)。極板間距必須轉換為米：

\[ d=2.0\ \mathrm{cm}=0.020\ \mathrm{m} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} E&=\frac{480}{0.020}\\ &=2.4\times10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}} \end{aligned} \]

因此，電場強度為 \(2.4\times10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}}\)。

評分標準（3 分）：

• 1 分：將極板間距轉換為米。
• 1 分：選用並正確套用 \(E=V/d\)。
• 1 分：得出正確的電場強度及單位。

(b) 粒子速度

由於粒子束能筆直地通過，電力及磁力的大小必須相等：

\[ |q|E=|q|vB \]

兩邊同除以電荷量大小，可得

\[ v=\frac{E}{B} \]

代入 (a) 部分所得的電場強度及磁場強度：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2.4\times10^4}{3.0\times10^{-3}}\\ &=8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

因此，經篩選後的粒子速度為 \(8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

評分標準（3 分）：

• 1 分：利用力平衡條件推導出 \(v=E/B\)。
• 1 分：正確代入兩個場的強度。
• 1 分：得出正確的速度、單位及適當的有效數字。

第 4 題解答

(a) 推導電荷質量比的關係式

當只有磁場作用時，磁力會提供維持圓周運動所需的向心力。

磁力的大小為

\[ F_B=|q|vB \]

維持圓周運動所需的向心力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

令兩個表達式相等：

\[ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \]

兩邊同除以 \(mvB\)：

\[ \frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br} \]

因此，所需的公式為

\[ \boxed{\frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br}} \]

這個方程式顯示，如何利用經篩選的粒子速度、磁場強度及曲率半徑，求出電荷質量比。

評分標準（4 分）：

• 1 分：寫出磁力的表達式 \(F_B=|q|vB\)。
• 1 分：寫出向心力的表達式 \(F_c=mv^2/r\)。
• 1 分：正確令兩個作用力相等。
• 1 分：重新排列公式，得出 \(|q|/m=v/(Br)\)。

(b) 計算電荷質量比

根據第 3 題，

\[ v=8.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

磁場強度為

\[ B=3.0\times10^{-3}\ \mathrm{T} \]

將半徑轉換為米：

\[ r=1.50\ \mathrm{cm}=1.50\times10^{-2}\ \mathrm{m} \]

將數值代入已推導的關係式：

\[ \begin{aligned} \frac{|q|}{m} &=\frac{v}{Br}\\[4pt] &=\frac{8.0\times10^6} {(3.0\times10^{-3})(1.50\times10^{-2})}\\[4pt] &=\frac{8.0\times10^6}{4.50\times10^{-5}}\\[4pt] &=1.78\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}} \end{aligned} \]

取兩位有效數字，結果為

\[ \boxed{\frac{|q|}{m}=1.8\times10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}} \]

單位為庫侖每千克，因為電荷以庫侖為單位，而質量以千克為單位。

評分標準（4 分）：

• 1 分：將半徑轉換為米。
• 1 分：正確代入 \(|q|/m=v/(Br)\)。
• 1 分：正確完成數值計算。
• 1 分：使用正確的 SI 單位及適當的有效數字。

如果學生在第 3 題計算出的速度有誤，但在後續計算中一致地使用該結果及正確方法，仍應給予延續分數。

第 5 題解答

(a) 這些測量結果在標示的不確定度範圍內是一致的。

計算每次實驗在其不確定度範圍內所允許的數值。以下所有數值均以 \(10^{11}\ \mathrm{C\,kg^{-1}}\) 為單位。

• 實驗 A：\(1.74\pm0.04\)，範圍為 \(1.70\) 至 \(1.78\)。
• 實驗 B：\(1.77\pm0.04\)，範圍為 \(1.73\) 至 \(1.81\)。
• 實驗 C：\(1.79\pm0.04\)，範圍為 \(1.75\) 至 \(1.83\)。

三個範圍在 \(1.75\) 至 \(1.78\) 之間有重疊。因此，在所標示的不確定度範圍內，這些結果與一個共同的電荷質量比一致。

評分標準（2 分）：

• 1 分：正確計算或詮釋各次實驗的不確定度範圍。
• 1 分：指出三個範圍的共同重疊部分，並得出結果一致的結論。

(b) 這些結果支持陰極射線中存在一種共同粒子的說法。

儘管陰極材料及殘留氣體有所改變，測得的電荷質量比仍在不確定度範圍內一致。這支持以下結論：在不同的實驗條件下，陰極射線均包含同一類帶負電粒子，而不是只存在於某一種特定材料或氣體中的粒子。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出測得的電荷質量比彼此一致。
• 1 分：將不同材料及氣體下測量結果的一致性，與存在共同粒子的結論聯繫起來。

(c) 同時改變兩個因素，會使兩者各自的影響無法獨立分辨。

由於每次實驗中的陰極材料及殘留氣體都同時改變，實驗者單憑這些結果，無法判斷其中任何一個因素是否會對測量結果產生獨立影響。

若要研究這個問題，實驗者可以每次只改變一個因素，同時控制其他條件不變。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出兩個變數同時改變。
• 1 分：建議每次只改變一個變數，以便獨立研究其影響。

第 6 題解答

(a) 磁力會變得較大，因此合力方向與磁力方向相同。

磁力的大小為

\[ F_B=|q|vB \]

由於粒子速度及電荷保持不變，增加 \(B\) 會使磁力增大。電場 \(E\) 保持不變，因此電力亦保持不變。

因此，磁力會大於電力，合力方向與磁力方向相同。粒子束會朝該方向偏轉。

評分標準（2 分）：

• 1 分：指出磁力會增加，並且變得大於電力。
• 1 分：指出合力及粒子束的偏轉方向均與磁力方向相同。

(b) 磁場強度加倍時，半徑會減半。

根據第 4 題，

\[ \frac{|q|}{m}=\frac{v}{Br} \]

重新排列可得

\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]

對於相同粒子及相同速度而言，\(m\)、\(v\) 和 \(|q|\) 均保持不變。因此，

\[ r\propto\frac{1}{B} \]

半徑與磁場強度成反比。如果磁場強度加倍，半徑便會變成原來的一半。

評分標準（3 分）：

• 1 分：正確使用或重新排列電荷質量比的關係式。
• 1 分：指出 \(r\) 與 \(B\) 成反比。
• 1 分：正確預測半徑會減半。

• 反比關係：r ∝ 1/B

(c) 測得的比值不能直接得出粒子的質量。

電荷質量比表示電荷量大小除以質量。如果已知這個比值，但電荷量大小及質量兩者都未知，單憑這個比值無法分別確定兩個量。

要計算粒子的質量，還需要獨立測量粒子的電荷量大小。如果電荷量大小已知，便可以使用

\[ m=\frac{|q|}{|q|/m} \]

這就是為甚麼湯姆森的實驗確立的是電荷質量比，而不是分別獨立測定粒子的電荷量及質量。

評分標準（3 分）：

• 1 分：指出單憑比值無法確定粒子的質量。
• 1 分：解釋只知道電荷量與質量的比值，無法分別確定兩者。
• 1 分：指出需要獨立測量電荷量大小。