向心加速度與合力：HSC 物理練習考卷

這份 tutorgum 原創練習考卷著重於 NSW HSC 物理科 2017 年版課程綱要中的向心加速度與合力。這是一份針對特定主題設計的複習考卷，並非涵蓋整個課程的完整試卷，也不是官方考試或經 NESA 認可的考試。題目將測試你是否能將速度方向的改變與向內加速度連結起來、計算所需的合力、辨認提供該合力的實際作用力，以及預測向內作用力消失後會發生的情況。

01考試說明

• 建議閱讀時間： 5 分鐘。
• 建議作答時間： 50 分鐘。
• 總分： 40 分。
• 允許使用的器材： 科學計算機、原子筆或鉛筆，以及直尺。不得使用筆記或網際網路。
• 解題過程： 請寫出方程式、代入過程及單位。適當情況下，最終答案請取至 2-3 位有效數字。
• 假設： 除非另有說明，否則假設物體進行等速圓周運動。題目有明確指示時，忽略空氣阻力及其他阻力。

以上是這份 tutorgum 練習考卷的作答條件，並非對 NESA 官方考試規則的描述或聲明。

考查主題

• 向心加速度，以及為什麼向心加速度的方向指向圓周路徑的圓心。
• 計算向心加速度及向內合力。
• 速率、質量及半徑如何影響加速度與力。
• 區分向內合力與提供該合力的實際作用力。
• 預測向內作用力消失後的運動情況。

未涵蓋的主題： 重力軌道、傾斜彎道、垂直平面圓周運動、角量，以及其他課程模組。

02試題

第 1 題（4 分）

一個圓盤在光滑的水平桌面上，以固定速率沿水平圓周運動。一條輕繩將圓盤連接至圓周中心的一個固定點。忽略空氣阻力。

(a) 說明圓盤在該瞬間的瞬時速度相對於圓周的方向。（1 分）

(b) 說明圓盤在該瞬間的加速度方向。（1 分）

(c) 指出提供向內合力的實際水平作用力。（1 分）

(d) 解釋為什麼即使圓盤的速率保持不變，它仍然具有加速度。（1 分）

第 2 題（5 分）

一輛測試車輛以 \(v=6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半徑為 \(r=4.0\ \mathrm{m}\) 的圓形路徑行駛。其向心加速度以 \(a_c\) 表示，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)。

(a) 計算向心加速度的大小。（2 分）

(b) 車輛的速率增加至 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，而半徑保持不變。計算新的向心加速度。（2 分）

(c) 說明向心加速度相較於初始值改變了多少倍。（1 分）

第 3 題（5 分）

一輛質量為 \(m=1200\ \mathrm{kg}\) 的汽車，以 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半徑為 \(50\ \mathrm{m}\) 的水平圓形彎道行駛。以 \(F_c\) 表示所需向內合力的大小，單位為牛頓（N）。輪胎沒有打滑。

(a) 計算汽車沿著彎道行駛所需的向內合力大小。（2 分）

(b) 一輛質量為 \(1800\ \mathrm{kg}\) 的廂型車，以相同速率通過同一彎道。計算所需的向內合力，並說明它與汽車所需的力有何比較結果。（2 分）

(c) 指出提供汽車向內合力的實際水平作用力。（1 分）

第 4 題（3 分）

一個物體沿著半徑固定為 \(r\) 的圓周運動。改變其速率 \(v\)，並測量其向心加速度 \(a_c\)。圖 1 繪出 \(a_c\)（單位為 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)）相對於 \(v^2\)（單位為 \(\mathrm{m^2\,s^{-2}}\)）的關係圖。

• 向心加速度

(a) 求出圖表的斜率，並寫出其單位。（2 分）

(b) 利用斜率求出圓周路徑的半徑。（1 分）

第 5 題（5 分）

一輛機車與騎士的總質量為 \(250\ \mathrm{kg}\)。在第一個彎道上，他們的速率為 \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半徑為 \(25\ \mathrm{m}\)。在第二個彎道上，他們的速率為 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半徑為 \(45\ \mathrm{m}\)。

假設兩個彎道上的總質量保持不變，而且機車在兩個彎道上均進行等速圓周運動。

(a) 計算第一個彎道上的向心加速度。（1 分）

(b) 計算第二個彎道上的向心加速度。（2 分）

(c) 計算通過第二個彎道所需的向內合力大小。（1 分）

(d) 計算從第一個彎道到第二個彎道，向心加速度的百分比變化。說明這是增加還是減少。（1 分）

第 6 題（4 分）

一個圓盤在光滑的水平桌面上沿圓周運動，並由一條繩子提供向內作用力。在某一瞬間，繩子突然斷裂。忽略任何殘餘的水平作用力。

(a) 描述繩子斷裂後圓盤立即發生的運動，包括它最初行進的方向。（2 分）

(b) 解釋為什麼圓盤不會繼續沿圓周運動，也不會直接朝遠離圓心的方向移動。（2 分）

第 7 題（6 分）

一個質量為 \(m=0.30\ \mathrm{kg}\) 的物體，以固定速率 \(v=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，沿著半徑為 \(r=1.2\ \mathrm{m}\) 的水平圓周運動。繩子的張力 \(T\)（單位為牛頓）是唯一提供水平作用力的力。

(a) 計算物體的向心加速度。（2 分）

(b) 計算繩子的張力。（2 分）

(c) 物體的速率與質量保持不變，但半徑增加至 \(1.8\ \mathrm{m}\)。計算新的張力。（2 分）

第 8 題（8 分）

一個質量為 \(m=2.0\ \mathrm{kg}\) 的物體，以 \(v=10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，沿著半徑為 \(r=5.0\ \mathrm{m}\) 的圓周運動。以 \(a_c\) 表示其向心加速度，以 \(F_c\) 表示其向內合力的大小。

(a) 計算物體最初的向心加速度。（2 分）

(b) 計算最初的向內合力大小。（1 分）

(c) 將質量加倍至 \(4.0\ \mathrm{kg}\)，將速率減半至 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，並將半徑減半至 \(2.5\ \mathrm{m}\)。計算新的向心加速度及新的向內合力。（3 分）

(d) 一名學生聲稱，質量加倍必定會使向心力加倍。解釋新的條件是否支持這項說法。在解釋中，請運用質量、速率及半徑之間的關係。（2 分）

03詳細解答與評分標準

第 1 題解答

(a) 瞬時速度的方向沿著圓盤所在位置的圓周切線方向。

評分標準：指出切線方向得 1 分。

(b) 加速度直接指向圓周的圓心。

評分標準：指出向內的方向得 1 分。

(c) 繩子的張力提供向內的水平合力。

評分標準：指出張力得 1 分。

(d) 速率描述圓盤移動的快慢，而速度則同時描述其速率與方向。即使速率保持不變，當圓盤沿著圓周運動時，其速度方向仍會持續改變。速度發生改變就代表存在加速度。

評分標準：解釋即使速率保持不變，速度方向的改變仍會產生加速度，得 1 分。

總分：4 分。

第 2 題解答

(a) 向心加速度使用以下公式計算：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

代入初始速率及半徑：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(6.0)^2}{4.0}\\ &=\frac{36}{4.0}\\ &=9.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

初始向心加速度為 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 答案正確且附上單位，得 1 分。

(b) 新速率為 \(9.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半徑仍保持為 \(4.0\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(9.0)^2}{4.0}\\ &=\frac{81}{4.0}\\ &=20.25\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

取至三位有效數字，新的加速度為 \(20.3\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確代入數值，得 1 分。
• 答案正確且附上單位，得 1 分。

(c) 變化倍數為：

\[ \frac{20.25}{9.0}=2.25 \]

向心加速度增加至原來的 \(2.25\) 倍。

評分標準（1 分）：正確求出變化倍數 \(2.25\)。

請注意，速率增加了 \(1.5\) 倍，但加速度增加了 \(1.5^2=2.25\) 倍。速率的平方這一點非常重要。

總分：5 分。

第 3 題解答

(a) 所需向內合力的大小為：

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入汽車的質量、速率及半徑：

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{1200(15)^2}{50}\\ &=\frac{1200(225)}{50}\\ &=5400\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

汽車需要 \(5400\ \mathrm{N}\) 的向內合力。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 力的答案正確且附上單位，得 1 分。

(b) 廂型車的質量為 \(1800\ \mathrm{kg}\)，其速率及半徑保持不變。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{1800(15)^2}{50}\\ &=8100\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

比較兩者所需的力：

\[ \frac{8100}{5400}=1.5 \]

廂型車需要 \(8100\ \mathrm{N}\) 的向內合力，是汽車所需力的 \(1.5\) 倍。

當速率及半徑相同時，所需的向內合力與質量成正比。廂型車的質量是汽車的 \(1.5\) 倍，因此它需要 \(1.5\) 倍的向內合力。

評分標準（2 分）：

• 正確求出 \(8100\ \mathrm{N}\) 的力，得 1 分。
• 正確比較兩個力，並指出它們與質量之間的關係，得 1 分。

(c) 實際的水平作用力是輪胎與路面之間的靜摩擦力，其方向指向彎道的圓心。

即使輪胎沒有在路面上滑動，靜摩擦力仍然可以發揮作用。由於汽車沒有打滑，因此提供向內合力的適當作用力就是靜摩擦力。

評分標準（1 分）：指出輪胎與路面之間的靜摩擦力。

總分：5 分。

第 4 題解答

(a) 斜率是縱軸數值的變化量除以橫軸數值的變化量。

使用座標點 \((4,2)\) 及 \((36,18)\)：

\[ \begin{aligned} \text{斜率} &=\frac{\Delta a_c}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{18-2}{36-4}\\ &=\frac{16}{32}\\ &=0.50 \end{aligned} \]

縱軸的單位是 \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)，而橫軸的單位是 \(\mathrm{m^2\,s^{-2}}\)。因此，

\[ \text{斜率} =\frac{\mathrm{m\,s^{-2}}} {\mathrm{m^2\,s^{-2}}} =\mathrm{m^{-1}} \]

斜率為 \(0.50\ \mathrm{m^{-1}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確計算斜率，得 1 分。
• 正確寫出單位，得 1 分。

(b) 向心加速度的關係式為：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

將此關係式與圖表比較可知，以 \(v^2\) 為橫軸、\(a_c\) 為縱軸的圖表，其斜率為 \(1/r\)。

因此，

\[ \begin{aligned} r&=\frac{1}{\text{斜率}}\\ &=\frac{1}{0.50}\\ &=2.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

半徑為 \(2.0\ \mathrm{m}\)。

評分標準（1 分）：正確使用斜率的倒數，求得 \(2.0\ \mathrm{m}\)。

總分：3 分。

第 5 題解答

(a) 在第一個彎道上，速率為 \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半徑為 \(25\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_{c,1}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{10^2}{25}\\ &=4.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

評分標準（1 分）：加速度計算正確且附上單位。

(b) 在第二個彎道上，速率為 \(15\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，半徑為 \(45\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} a_{c,2}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{15^2}{45}\\ &=\frac{225}{45}\\ &=5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

第二個彎道上的向心加速度為 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 答案正確且附上單位，得 1 分。

(c) 向內合力與質量及加速度之間的關係為 \(F_c=ma_c\)。

\[ \begin{aligned} F_c&=250(5.0)\\ &=1250\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

所需的向內合力為 \(1250\ \mathrm{N}\)。

評分標準（1 分）：力的計算正確且附上單位。

(d) 百分比變化是相對於初始加速度計算的。

\[ \begin{aligned} \%\text{變化} &=\frac{5.0-4.0}{4.0}\times100\\ &=25\% \end{aligned} \]

向心加速度增加了 \(25\%\)。

評分標準（1 分）：百分比及變化方向均正確。

總分：5 分。

第 6 題解答

(a) 繩子斷裂後，圓盤立即沿著斷裂位置的圓周切線方向，進行直線運動。其最初的行進方向，就是繩子斷裂瞬間的瞬時速度方向。

評分標準（2 分）：

• 指出圓盤會沿著圓周切線方向作直線運動，得 1 分。
• 指出其方向與瞬時速度方向一致，得 1 分。

(b) 繩子斷裂之前，繩子的張力提供向內合力。這個力持續改變圓盤速度的方向，使它能夠沿著圓周路徑運動。

當繩子斷裂時，這個向內作用力便消失。假設沒有其他水平作用力，就不再有向心加速度來持續改變速度的方向。因此，圓盤會沿著該瞬間原本的行進方向繼續運動。

圓盤不會直接朝遠離圓心的方向移動，因為並沒有任何向外的力突然出現。它也無法繼續沿著圓周運動，因為維持圓周運動所需的向內合力已經消失。

評分標準（2 分）：

• 解釋移除向內合力會使向心加速度消失，得 1 分。
• 解釋圓盤會沿著瞬時速度方向繼續運動，而不是沿徑向向外移動或繼續沿曲線運動，得 1 分。

總分：4 分。

第 7 題解答

(a) 向心加速度為：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{(5.0)^2}{1.2}\\ &=20.8\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

取至兩位有效數字，結果為 \(21\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 答案正確且附上單位，得 1 分。

(b) 繩子的張力 \(T\) 提供向內合力，因此其大小等於所需的向心合力。

\[ \begin{aligned} T&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{0.30(5.0)^2}{1.2}\\ &=6.25\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

取至兩位有效數字，張力為 \(6.3\ \mathrm{N}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 張力計算正確且附上單位，得 1 分。

(c) 質量及速率保持不變，但半徑增加至 \(1.8\ \mathrm{m}\)。

\[ \begin{aligned} T_{\text{新}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{0.30(5.0)^2}{1.8}\\ &=4.17\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

取至兩位有效數字，新的張力為 \(4.2\ \mathrm{N}\)。

張力會減小，因為當物體以相同速率沿著半徑較大的圓周運動時，維持其圓周運動所需的向內作用力較小。

評分標準（2 分）：

• 正確代入數值，得 1 分。
• 新的張力計算正確且附上單位，得 1 分。

總分：6 分。

第 8 題解答

(a) 初始向心加速度為：

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{10^2}{5.0}\\ &=20\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

初始向心加速度為 \(20\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確寫出關係式並代入數值，得 1 分。
• 答案正確且附上單位，得 1 分。

(b) 初始向內合力為：

\[ \begin{aligned} F_c&=ma_c\\ &=2.0(20)\\ &=40\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

初始向內合力為 \(40\ \mathrm{N}\)。

評分標準（1 分）：力的計算正確且附上單位。

(c) 新的質量為 \(4.0\ \mathrm{kg}\)，新的速率為 \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，新的半徑為 \(2.5\ \mathrm{m}\)。

首先，計算新的向心加速度：

\[ \begin{aligned} a_{c,\text{新}}&=\frac{v^2}{r}\\ &=\frac{5.0^2}{2.5}\\ &=10\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

接著，計算新的向內合力：

\[ \begin{aligned} F_{c,\text{新}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{4.0(5.0)^2}{2.5}\\ &=40\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

新的向心加速度為 \(10\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，新的向內合力為 \(40\ \mathrm{N}\)。

評分標準（3 分）：

• 新的加速度計算正確，得 1 分。
• 正確寫出合力關係式並代入數值，得 1 分。
• 新的合力計算正確且附上單位，得 1 分。

(d) 在這些條件下，學生的說法並不正確。雖然質量加倍，但速率減半，因此 \(v^2\) 會變成原來的四分之一。半徑減半，則 \(1/r\) 所代表的因子會加倍。

向內合力的整體變化倍數為：

\[ 2\times\frac{1}{4}\times2=1 \]

因此，合力維持不變，仍然是 \(40\ \mathrm{N}\)，而不是增加至 \(80\ \mathrm{N}\)。

評分標準（2 分）：

• 正確解釋質量、速率平方及半徑所造成的綜合影響，得 1 分。
• 得出合力維持在 \(40\ \mathrm{N}\) 的結論，並指出這不支持學生的說法，得 1 分。

總分：8 分。

試卷結束。總分：40 分。