HSC 物理中的匀速运动与匀加速运动

一辆汽车在第 1 秒内行驶了 20 m，在第 2 秒内又行驶了 20 m，在第 3 秒内再行驶了 20 m。另一辆汽车在相同的三个 1 秒时间间隔内，依次行驶了 5 m、15 m 和 25 m。

哪辆汽车在加速？

第一辆汽车在相等的时间内产生相等的位移。它的速度保持不变。第二辆汽车在连续的每一秒内行驶的距离都更大，这说明它的速度正在变化。

这个区别引出了 HSC 物理中两个非常重要的运动模型：

• 匀速运动（uniform motion）：速度保持不变
• 匀加速运动（uniformly accelerated motion）：加速度保持不变

这两个名称听起来很相似，确实容易让人混淆。与其死记定义，不如先问一个问题：

哪个物理量保持不变？

01匀速运动：速度保持不变

想象一辆汽车沿直路以 \(12\text{ m s}^{-1}\) 的速度行驶。

1 秒后，它行驶了 12 m。再过 1 秒，又行驶了 12 m。再过 1 秒，又行驶了 12 m。

继续阅读之前，先预测一下它的速度会发生什么变化。

它仍然保持在 \(12\text{ m s}^{-1}\)。

这就是匀速运动。

更准确地说：

当一个物体的速度保持不变时，它处于匀速运动状态。

这意味着速度的大小和方向都保持不变。

如果你对这个区别还不是完全熟悉，可以先复习 速率与速度，再继续往下学习。

什么保持不变？

对于匀速运动：

因为速度没有变化，

\[
a = 0
\]

其中 \(a\) 是加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)。

对于一维运动，

\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

其中 \(v\) 是速度，\(\Delta x\) 是位移，\(\Delta t\) 是时间间隔。

整理可得：

\[
\Delta x = v\Delta t
\]

这个方程很有用，因为速度恒定意味着物体在每个相等的时间间隔内都会产生相同的位移。

快速预测

一名骑自行车的人以恒定的 \(6.0\text{ m s}^{-1}\) 向东运动。骑车人的加速度是多少？

检查你的理解

一名跑步者以 \(4.0\text{ m s}^{-1}\) 向西运动 15 s。跑步者的位移是多少？

02匀加速运动：加速度保持不变

现在想象一辆汽车，其速度变化如下：

你发现了什么规律？

速度每秒增加 \(3\text{ m s}^{-1}\)。

所以速度显然不是恒定的。但是速度变化的快慢保持不变。

加速度为：

\[
a = 3\text{ m s}^{-2}
\]

这就是匀加速运动。

当物体的加速度保持恒定时，它进行匀加速运动。

也可以换一种方式表达同一个概念：

在相等的时间间隔内，速度发生相等的变化。

在数据表中，第二种说法通常更容易识别。

03相等的时间间隔意味着相等的距离吗？

这里很容易出现一个看似合理的错误。

假设一辆汽车以恒定加速度运动。它先行驶 1 秒，再行驶 1 秒，然后再行驶 1 秒。

它会在每一秒内行驶相同的距离吗？

不会。

如果汽车正在加速，那么每一个新的 1 秒时间间隔开始时，它的速度都比前一个时间间隔开始时更大。因此，在后面的时间间隔内，它会产生更大的位移。

加速度恒定意味着速度发生相等的变化，而不是位置发生相等的变化。

这个区别值得记住。

04四个恒加速度方程

当加速度恒定时，我们可以使用几个非常有用的关系式。

对于一维运动：

\[
v = u + at
\]

\[
\Delta x = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

\[
v^2 = u^2 + 2a\Delta x
\]

\[
\Delta x = \frac{u+v}{2}t
\]

其中：

• \(u\) 是初速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是末速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恒定加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是时间，单位为秒
• \(\Delta x\) 是位移，单位为米

这些方程有时称为恒加速度方程，或 SUVAT 方程。

不要仅仅因为某个方程“看起来很眼熟”就选择它。先看题目给了哪些物理量，以及要求你求什么。

例如，如果题目给出了 \(u\)、\(a\) 和 \(t\)，并要求求 \(v\)，那么

\[
v = u + at
\]

正好包含这四个物理量。

05为什么位移公式中会出现 \(t^2\)

方程

\[
\Delta x = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

看起来可能像是一个只能死记硬背的公式。但它之所以具有这种形式，其实有明确的物理意义。

先考虑一辆初速度为 \(u\) 的汽车。如果它完全没有加速度，那么经过时间 \(t\) 后，它会行驶：

\[
ut
\]

但是随着时间经过，加速度会不断增加额外的速度。由这部分额外速度产生的额外运动为：

\[
\frac{1}{2}at^2
\]

因此总位移为：

\[
\Delta x = \underbrace{ut}_{\text{由初速度产生的运动}} + \underbrace{\frac{1}{2}at^2}_{\text{由加速度产生的额外运动}}
\]

其中的 \(t^2\) 非常重要。如果一个物体从静止开始做匀加速运动，把运动时间加倍，并不会仅仅让位移加倍，而是会让位移变成原来的四倍。

预测

一个物体从静止开始做匀加速运动。它在最初 2 秒内行驶了 10 m。如果保持相同的加速度，总共运动 4 秒，它会行驶 20 m 吗？

不会。

从静止开始意味着 \(u=0\)，所以：

\[
\Delta x = \frac{1}{2}at^2
\]

位移与 \(t^2\) 成正比。

时间从 2 s 增加到 4 s，相当于时间变成原来的 2 倍，因此位移变成原来的：

\[
2^2 = 4
\]

倍。

所以物体会行驶：

\[
4(10\text{ m}) = 40\text{ m}
\]

08负加速度并不总是意味着减速

这是运动学中最常见的错误之一。

一名学生看到：

\[
a = -3\text{ m s}^{-2}
\]

然后说：“这个物体正在减速。”

不一定。

负号只告诉我们加速度的方向。

要判断物体是在加速还是减速，需要比较速度和加速度的方向。

这里可以用一个稍微有点搞笑的方式来想象。速度和加速度就像两个正在决定约会要去哪里的两个人。如果两个人都同意往同一个方向走，这段“关系”就会越来越强烈，速率也会增加。如果两个人想往相反方向走，速率就会减小。

这个比喻在哪里不成立？速度和加速度是矢量，并不是有意图的人。这个比喻真正有用的部分，只是帮助你判断它们的方向是否一致。

检查你的理解

一个物体的速度为 \(-8\text{ m s}^{-1}\)，加速度为 \(-2\text{ m s}^{-2}\)。它是在加速还是减速？

09如何从文字描述中识别这两种运动模型

HSC 题目并不总会直接写出“这个物体进行匀速运动”。更多时候，你需要根据题目的描述自己识别所使用的运动模型。

匀速运动的提示词

留意以下类似表述：

• “恒定速度”
• “以 \(15\text{ m s}^{-1}\) 向东运动”
• “在相等时间间隔内产生相等的位移”
• “沿直线以恒定速率运动”

关键概念是：

\[
\boxed{v = \text{常量}}
\]

因此：

\[
\boxed{a=0}
\]

匀加速运动的提示词

留意：

• “恒定加速度”
• “以 \(4.0\text{ m s}^{-2}\) 的加速度运动”
• “以恒定速率减速”
• “速度每秒增加相同的量”
• “自由落体”，前提是忽略空气阻力，并把地球表面附近的重力加速度视为恒定

关键概念是：

\[
\boxed{a = \text{常量}}
\]

速度通常会发生变化。

10如何从图像中识别这两种运动

图像可以非常清楚地显示这两种运动之间的区别。

11位置-时间图像

位置-时间图像的斜率表示速度。

对于匀速运动，速度恒定，因此斜率也恒定。

所以图像是一条直线。

斜率更大的直线表示速度的大小更大。

水平直线表示：

\[
v=0
\]

因此物体处于静止状态。

对于匀加速运动，速度会随时间变化。因此，位置-时间图像的斜率也会不断变化。

所以图像是曲线，而不是直线。

检查你的理解

一个位置-时间图像随着时间推移逐渐变得更陡。这个物体是否处于匀速运动状态？

12速度-时间图像

速度-时间图像的斜率表示加速度：

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

由此可以得到一个非常有用的识别规则。

匀速运动

恒定速度在速度-时间图像上表现为一条水平直线。

它的斜率为零：

\[
a=0
\]

匀加速运动

恒定加速度表现为一条倾斜的直线。

之所以是直线，是因为它的斜率保持不变。

正斜率表示正加速度。

负斜率表示负加速度。

不要把“直线”和“恒定速度”混淆。在速度-时间图像上，一条倾斜的直线表示加速度恒定。

检查你的理解

一个速度-时间图像是一条向上倾斜的直线，在 \(t=0\) 时速度为 \(4\text{ m s}^{-1}\)，在 \(t=6\text{ s}\) 时速度为 \(16\text{ m s}^{-1}\)。求加速度。

13加速度-时间图像

加速度-时间图像就更加直接。

对于匀速运动：

\[
a=0
\]

因此图线位于时间轴上。

对于匀加速运动，加速度保持某个恒定值，因此图像是在时间轴上方或下方的一条水平直线。

由此可以得到一个很有用的比较：

14一个重要的复杂情况：速率恒定并不一定意味着匀速运动

假设一辆汽车以恒定的 \(10\text{ m s}^{-1}\) 沿圆形赛道行驶。

它的速度恒定吗？

不恒定。

速度包含方向。汽车沿圆周行驶时，其运动方向一直在变化。

这意味着它的速度正在变化，因此即使速率保持不变，它仍然具有加速度。

这就是为什么“恒定速率”和“恒定速度”并不总是可以互换。

对于 HSC 中的直线运动问题，如果速率恒定且方向固定，那么确实对应恒定速度。一旦运动变成二维运动，方向的重要性就会大大增加。如果你对这一点还不熟悉，运动学中的标量与矢量 是一个很有用的前置知识资源。

15考试题中的判断规则

遇到一道运动问题时，不要立刻开始寻找公式。

先问：

1. 哪个物理量保持不变？

如果速度恒定：

\[
a=0
\]

你面对的是匀速运动。

如果加速度恒定：

\[
a=\text{常量}
\]

你可以使用恒加速度方程。

2. 我选择哪个方向为正方向？

在代入数值之前，先确定各个物理量的正负号。

3. 我已知哪些物理量？

列出 \(u\)、\(v\)、\(a\)、\(t\) 和 \(\Delta x\)。

4. 哪个方程同时包含我已知的量和我要寻找的量？

例如：

只有当你所分析的时间区间内加速度保持恒定时，恒加速度方程才有效。

这个条件并不是一个无关紧要的技术细节。它正是这些方程能够成立的原因。

16最后检查：你能区分这两种模型吗？

考虑以下四种描述。

A. 一列火车以 \(22\text{ m s}^{-1}\) 向北行驶 30 s。

B. 一辆汽车在 4 s 内将速度从 \(5\text{ m s}^{-1}\) 增加到 \(17\text{ m s}^{-1}\)，每秒增加 \(3\text{ m s}^{-1}\)。

C. 一个球受到阵风吹动，其速度不规则地变化。

D. 一辆汽车以恒定速率驶过一个弯道。

每一种情况分别适用哪种运动模型？