متوسط السرعة المتجهة والسرعة المتجهة اللحظية في فيزياء HSC
تعرّف على العلاقة بين متوسط السرعة المتجهة والسرعة المتجهة اللحظية وميل المنحنيات والمماسات والبوابات الضوئية ومؤقتات الشريط النقطي وحساسات الحركة في فيزياء HSC.
تقطع سيارة مسافة 20 m خلال 4.0 s. من السهل حساب متوسط سرعتها المتجهة. ولكن ما سرعتها المتجهة بالضبط بعد 2.0 s من بدء حركتها؟
هذا السؤال أصعب مما يبدو. تُعرَّف السرعة المتجهة باستخدام الإزاحة مقسومة على الزمن، لكن اللحظة ليس لها فترة زمنية. وإذا كانت الفترة الزمنية تساوي صفرًا، فيبدو أن الحساب يصبح \(0/0\)، وهذا لا يخبرنا بشيء.
الحل هو إحدى أهم الأفكار في علم الحركة: نقيس السرعة المتجهة خلال فترة قصيرة، ثم نجعل هذه الفترة أقصر فأقصر، ونرى القيمة التي يقترب منها القياس. وعلى منحنى الإزاحة-الزمن، تظهر الفكرة نفسها هندسيًا على صورة ميل المماس.
لذلك، فإن متوسط السرعة المتجهة، والسرعة المتجهة اللحظية، وميل المنحنيات، والقياسات العملية ليست أربعة موضوعات منفصلة. بل هي طرق مختلفة للإجابة عن السؤال نفسه: ما مدى سرعة تغيّر الإزاحة مع الزمن؟
01ابدأ بمتوسط السرعة المتجهة
لنفترض أن طالبًا يمشي 12 m شرقًا خلال 6.0 s.
قبل إجراء أي حساب، توقّع متوسط السرعة المتجهة.
من المحتمل أن تتوقع \(2.0\text{ m s}^{-1}\) شرقًا. وهذا صحيح:
\[
v_{\text{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{12}{6.0}
=2.0\text{ m s}^{-1}\text{ شرقًا}
\]
هنا:
- \(v_{\text{av}}\) هو متوسط السرعة المتجهة بوحدة المتر لكل ثانية، \(\text{m s}^{-1}\)
- \(\Delta x\) هي الإزاحة بوحدة المتر، m
- \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية بوحدة الثانية، s
- \(\Delta\) تعني “التغيّر في”
كلمة متوسط مهمة. يخبرنا الحساب بمدى سرعة تغيّر الإزاحة خلال الفترة الزمنية بأكملها. لكنه لا يخبرنا ما إذا كان الطالب يتحرك فعلًا بسرعة متجهة مقدارها \(2.0\text{ m s}^{-1}\) في كل لحظة.
ربما بدأ ببطء، ثم زاد سرعته، وتوقف لربط رباط حذائه، ثم ركض بسرعة في الأمتار القليلة الأخيرة.
إذا كان لا يزال من السهل عليك الخلط بين الإزاحة والسرعة المتجهة، فراجع أولًا المسافة والإزاحة. تعتمد السرعة المتجهة على الإزاحة، لا على المسافة الكلية المقطوعة.
مثال محلول: راكب دراجة يغيّر اتجاهه
كان راكب دراجة في البداية عند \(x=5\text{ m}\). وبعد ثلاث ثوانٍ، أصبح عند \(x=-7\text{ m}\). أوجد متوسط سرعته المتجهة.
الخطوة 1احسب الإزاحة
الإزاحة تساوي الموضع النهائي ناقص الموضع الابتدائي:
\[
\Delta x=x_f-x_i=-7-5=-12\text{ m}
\]
الخطوة 2اقسم الإزاحة على الفترة الزمنية
\[
v_{\text{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{-12}{3.0}
=-4.0\text{ m s}^{-1}
\]
الخطوة 3فسّر الإشارة
متوسط السرعة المتجهة هو \(-4.0\text{ m s}^{-1}\).
إذا عُرِّف اتجاه \(x\) الموجب بأنه نحو الشرق، فإن متوسط سرعة راكب الدراجة المتجهة كان \(4.0\text{ m s}^{-1}\) غربًا.
الإشارة السالبة لا تعني “بطيئًا”. بل تخبرنا باتجاه السرعة المتجهة بالنسبة إلى نظام الإحداثيات المختار.
تحقّق من فهمك
يتحرك عدّاء من \(x=-3\text{ m}\) إلى \(x=9\text{ m}\) خلال 4.0 s. ما متوسط سرعته المتجهة؟
الإجابة
\[
\Delta x=9-(-3)=12\text{ m}
\]
\[
v_{\text{av}}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
متوسط السرعة المتجهة للعدّاء هو \(+3.0\text{ m s}^{-1}\).
02لماذا لا يكون متوسط السرعة المتجهة كافيًا أحيانًا؟
تخيّل أنك تنظر إلى لوحة عدادات سيارة.
في لحظة ما، يشير عداد السرعة إلى 35 km/h. وبعد ثانية واحدة يشير إلى 42 km/h. ثم يشير لاحقًا إلى 57 km/h.
من الواضح أن السيارة لا تمتلك سرعة متجهة واحدة طوال الرحلة. فسرعتها المتجهة تتغير.
لنفترض إذن أننا نريد معرفة السرعة المتجهة عند \(t=3.0\text{ s}\) بالضبط.
إحدى الطرق الممكنة هي قياس إزاحة السيارة بين \(2.0\text{ s}\) و\(4.0\text{ s}\)، ثم حساب متوسط السرعة المتجهة خلال هاتين الثانيتين.
يعطينا ذلك تقديرًا للسرعة المتجهة بالقرب من \(3.0\text{ s}\).
هل يمكننا تحسين هذا التقدير؟
نعم. نقيس خلال فترة أصغر.
فبدلًا من استخدام الفترة من \(2.0\text{ s}\) إلى \(4.0\text{ s}\)، نستخدم من \(2.9\text{ s}\) إلى \(3.1\text{ s}\).
ثم ربما من \(2.99\text{ s}\) إلى \(3.01\text{ s}\).
كلما صغرت الفترة الزمنية، أصبح متوسط السرعة المتجهة يصف الحركة عند أزمنة أقرب فأقرب إلى اللحظة التي نهتم بها.
والقيمة التي يقترب منها هي السرعة المتجهة اللحظية.
رياضيًا،
\[
v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
لا تحتاج عادةً إلى إجراء حساب النهايات بصورة رسمية في فيزياء HSC. الفكرة الفيزيائية المهمة أبسط من ذلك:
السرعة المتجهة اللحظية هي القيمة التي يقترب منها متوسط السرعة المتجهة عندما تصبح فترة القياس صغيرة للغاية.
ولا نجدها بوضع \(\Delta t=0\) حرفيًا. بل نفحص ما يحدث عندما تقترب \(\Delta t\) من الصفر.
03التمثيل البياني للفكرة نفسها
يضع منحنى الإزاحة-الزمن الإزاحة \(x\) على المحور الرأسي والزمن \(t\) على المحور الأفقي.
لنفترض أننا اخترنا نقطتين على المنحنى:
\[
(t_1,x_1)
\]
و
\[
(t_2,x_2)
\]
الميل بينهما هو
\[
\text{الميل}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
\]
لكن هذا يساوي تمامًا
\[
\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
ومن ثم فإن ميل الخط الواصل بين نقطتين على منحنى الإزاحة-الزمن هو متوسط السرعة المتجهة بين هذين الزمنين.
يسمى هذا الخط قاطعًا.
ولا تحتاج إلى التعلّق كثيرًا بهذا المصطلح. فالقاطع هو ببساطة خط مستقيم يصل بين نقطتين على منحنى.
04من القاطع إلى المماس
لنفترض أن منحنى الإزاحة-الزمن منحنٍ لأن الجسم يتسارع.
اختر نقطة عند \(t=4.0\text{ s}\). نريد معرفة السرعة المتجهة في تلك اللحظة.
أولًا، صِل النقطة عند \(t=4.0\text{ s}\) بنقطة عند \(t=6.0\text{ s}\). واحسب الميل.
والآن حرّك النقطة الثانية لتصبح أقرب، مثلًا إلى \(t=5.0\text{ s}\).
ثم \(4.5\text{ s}\).
ثم \(4.1\text{ s}\).
يدور القاطع مقتربًا من خط معين.
وفي النهاية، يصبح مماسًا للمنحنى عند \(t=4.0\text{ s}\).
لذلك:
ميل المماس لمنحنى الإزاحة-الزمن يعطي السرعة المتجهة اللحظية.
وهذه هي الصورة البيانية لفكرة تقليص فترة القياس باتجاه الصفر.
صورة ذهنية مفيدة
تخيّل أنك تلتقط صورة لطريق منحنٍ من ارتفاع كبير.
من مسافة بعيدة، يبدو انحناء الطريق واضحًا. لكن إذا قرّبت الصورة إلى جزء صغير جدًا منه، يبدأ ذلك الجزء الصغير في الظهور وكأنه خط مستقيم تقريبًا.
تعمل السرعة المتجهة اللحظية بطريقة مشابهة. خلال فترة زمنية كبيرة، قد تتغير الحركة بدرجة كبيرة. أما خلال فترة صغيرة بما يكفي، فإن الحركة بالقرب من لحظة واحدة تتصرف تقريبًا كحركة بسرعة متجهة ثابتة.
لكن لهذا التشبيه حدوده. فمنحنى الإزاحة-الزمن الفعلي لا يصبح مستقيمًا حرفيًا. نحن نفحص ميله المحلي.
تحقّق من فهمك
يصبح منحنى الإزاحة-الزمن أكثر انحدارًا مع زيادة الزمن. ماذا يمكنك أن تقول عن سرعة الجسم المتجهة؟
الإجابة
تزداد السرعة المتجهة لأن ميل منحنى الإزاحة-الزمن يزداد.
إذا ظل الميل موجبًا بينما يصبح المنحنى أكثر انحدارًا، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب وتزداد سرعته.
ولهذا أيضًا تصبح أشكال المنحنيات مفيدة للغاية عند دراسة الحركة المنتظمة والحركة ذات التسارع المنتظم.
05مثال محلول: متوسط السرعة المتجهة في حركة منحنية
تُوصف إزاحة جسم بالعلاقة
\[
x=2t^2
\]
حيث تُقاس \(x\) بالمتر و\(t\) بالثانية.
أوجد متوسط السرعة المتجهة بين \(t=2.0\text{ s}\) و\(t=5.0\text{ s}\).
الخطوة 1أوجد الإزاحة الابتدائية
عند \(t=2.0\text{ s}\):
\[
x_1=2(2.0)^2=8.0\text{ m}
\]
الخطوة 2أوجد الإزاحة النهائية
عند \(t=5.0\text{ s}\):
\[
x_2=2(5.0)^2=50\text{ m}
\]
الخطوة 3أوجد التغيرين في الإزاحة والزمن
\[
\Delta x=50-8.0=42\text{ m}
\]
\[
\Delta t=5.0-2.0=3.0\text{ s}
\]
الخطوة 4احسب متوسط السرعة المتجهة
\[
v_{\text{av}}
=\frac{42}{3.0}
=14\text{ m s}^{-1}
\]
متوسط السرعة المتجهة للجسم خلال تلك الثواني الثلاث هو \(14\text{ m s}^{-1}\).
لاحظ ما لم نُثبته هنا. لم نُثبت أن الجسم كان يتحرك بسرعة متجهة مقدارها \(14\text{ m s}^{-1}\) في كل لحظة.
في الواقع، لأن منحنى \(x=2t^2\) يكون منحنياً عند رسمه مقابل الزمن، فإن السرعة المتجهة تتغير.
06تقدير السرعة المتجهة اللحظية باستخدام فترة قصيرة
لنستخدم الحركة نفسها الآن،
\[
x=2t^2
\]
لكن لتقدير السرعة المتجهة اللحظية عند \(t=3.0\text{ s}\).
يمكننا قياس متوسط السرعة المتجهة بين \(2.9\text{ s}\) و\(3.1\text{ s}\).
مثال محلول: تقدير السرعة المتجهة عند لحظة واحدة
الخطوة 1أوجد الإزاحة عند \(2.9\text{ s}\)
\[
x_1=2(2.9)^2=16.82\text{ m}
\]
الخطوة 2أوجد الإزاحة عند \(3.1\text{ s}\)
\[
x_2=2(3.1)^2=19.22\text{ m}
\]
الخطوة 3احسب التغيرات
\[
\Delta x=19.22-16.82=2.40\text{ m}
\]
\[
\Delta t=3.1-2.9=0.20\text{ s}
\]
الخطوة 4احسب متوسط السرعة المتجهة خلال هذه الفترة القصيرة
\[
v_{\text{av}}
=\frac{2.40}{0.20}
=12.0\text{ m s}^{-1}
\]
إذن السرعة المتجهة اللحظية عند \(3.0\text{ s}\) تساوي تقريبًا \(12.0\text{ m s}^{-1}\).
بالنسبة إلى هذه المعادلة تحديدًا، يعطي حساب التفاضل دالة السرعة المتجهة الدقيقة
\[
v=4t
\]
وعند \(t=3.0\text{ s}\)،
\[
v=4(3.0)=12.0\text{ m s}^{-1}
\]
وقد صادف أن تقديرنا باستخدام الفترة القصيرة طابق القيمة الدقيقة لأننا اخترنا فترة متناظرة حول \(3.0\text{ s}\) لهذه الدالة التربيعية تحديدًا.
الفكرة المهمة في HSC ليست حساب التفاضل، بل العلاقة:
\[
\text{فترة أقصر}
\rightarrow
\text{تقدير محلي أفضل}
\rightarrow
\text{السرعة المتجهة اللحظية}
\]
07كيف يبدو حساب المماس فعليًا؟
يُطلب من الطلاب كثيرًا “رسم مماس” ثم الانتقال مباشرةً إلى حساب الميل. ومن المفيد أن نبطئ هذه العملية قليلًا.
لنفترض أن لديك منحنى إزاحة-زمن منحنياً وتحتاج إلى إيجاد السرعة المتجهة اللحظية عند \(t=6\text{ s}\).
أولًا، ارسم خطًا مستقيمًا يلامس المنحنى عند النقطة المقابلة لـ\(6\text{ s}\)، ويتبع اتجاه المنحنى عند تلك النقطة.
ثم اختر نقطتين مناسبتين على خط المماس.
ولا يشترط أن تكونا نقطتين على منحنى البيانات الأصلي.
على سبيل المثال، لنفترض أن المماس يمر بالنقطتين:
\[
(2\text{ s},4\text{ m})
\]
و
\[
(10\text{ s},28\text{ m})
\]
إذن
\[
v=\text{الميل}
=\frac{28-4}{10-2}
=\frac{24}{8}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
وبالتالي فإن السرعة المتجهة اللحظية عند \(t=6\text{ s}\) تساوي تقريبًا \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
لماذا ينبغي استخدام نقطتين متباعدتين على المماس؟
قد تظن أن أفضل طريقة هي استخدام نقطتين قريبتين للغاية من نقطة التماس.
لكن ذلك يجعل القياس أسوأ عادةً.
لنفترض أن موضع المسطرة غير مؤكد بنحو \(1\text{ mm}\). فإذا كانت النقطتان المختارتان تبعدان عن بعضهما بضعة مليمترات فقط، فإن عدم اليقين الصغير هذا يصبح نسبة كبيرة من التغير الرأسي والتغير الأفقي المقاسَين.
أما استخدام نقطتين متباعدتين جيدًا على المماس نفسه فيقلل الأثر النسبي لعدم اليقين في القراءة.
وهذا لا يعني استخدام نقطتين متباعدتين على المنحنى الأصلي. فذلك سيعطي متوسط السرعة المتجهة. يجب أن تقع النقطتان على خط المماس المستقيم الذي رسمته.
تحقّق من فهمك
يمر مماس لمنحنى الإزاحة-الزمن بالنقطتين \((1.0\text{ s},2.0\text{ m})\) و\((7.0\text{ s},20.0\text{ m})\). قدّر السرعة المتجهة اللحظية عند النقطة التي يلامس فيها المماس المنحنى.
الإجابة
\[
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{20.0-2.0}{7.0-1.0}
=\frac{18.0}{6.0}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
السرعة المتجهة اللحظية تساوي تقريبًا \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
08كيف تقيس السرعة المتجهة اللحظية في تجربة حقيقية؟
إليك المشكلة التجريبية.
لنفترض أن عربة تتحرك إلى أسفل منحدر. وتريد معرفة سرعتها المتجهة عند نقطة معينة.
لا يمكنك وضع ساعة إيقاف عند لحظة واحدة وقياس حركة تستغرق “صفر ثانية”. فالمعدات الحقيقية تحتاج دائمًا إلى مسافة محدودة أو فترة زمنية محدودة.
لذلك، تقرّب التجارب العملية السرعة المتجهة اللحظية بجعل هذه الفترة صغيرة.
09الطريقة 1: بوابة ضوئية وبطاقة حجب
يستخدم أحد الإعدادات الشائعة بوابة ضوئية.
تخيّل الجهاز من اليسار إلى اليمين.
تتحرك عربة على مسار. وتُثبَّت على العربة بطاقة مستطيلة معلومة الطول. وفي موضع أبعد على المسار توجد بوابة ضوئية تحتوي على مصدر ضوء وكاشف.
عندما تمر العربة عبر البوابة:
- تحجب الحافة الأمامية للبطاقة شعاع الضوء
- يبدأ المؤقت
- تواصل البطاقة حركتها عبر البوابة
- تتجاوز الحافة الخلفية للبطاقة الشعاع
- يتوقف المؤقت
لنفترض أن طول البطاقة هو \(L\)، وأنها تحجب الضوء لمدة \(\Delta t\).
تكون السرعة المتجهة المقاسة
\[
v\approx\frac{L}{\Delta t}
\]
لماذا لا تكون هذه إلا تقريبًا للسرعة المتجهة اللحظية؟
لأن العربة تتحرك عبر مسافة صغيرة لكنها غير صفرية مقدارها \(L\). لذلك يعطي الحساب متوسط السرعة المتجهة أثناء مرور البطاقة عبر البوابة.
إذا كان \(L\) قصيرًا بما يكفي، ولم تتغير سرعة العربة المتجهة كثيرًا أثناء مرور البطاقة، فإن هذا المتوسط يكون تقريبًا جيدًا للسرعة المتجهة عند البوابة.
مثال محلول: قياس باستخدام بوابة ضوئية
تحجب بطاقة حجب طولها \(4.00\text{ cm}\) ومثبتة بعربة بوابة ضوئية لمدة \(0.0185\text{ s}\). قدّر السرعة المتجهة للعربة عند البوابة.
الخطوة 1حوّل طول البطاقة إلى أمتار
\[
4.00\text{ cm}=0.0400\text{ m}
\]
الخطوة 2طبّق علاقة السرعة المتجهة
\[
v\approx\frac{L}{\Delta t}
=\frac{0.0400}{0.0185}
=2.16\text{ m s}^{-1}
\]
السرعة المتجهة للعربة عند البوابة الضوئية تساوي تقريبًا \(2.16\text{ m s}^{-1}\).
وبصورة أدق، فإن \(2.16\text{ m s}^{-1}\) هي متوسط السرعة المتجهة أثناء مرور البطاقة التي طولها \(4.00\text{ cm}\) عبر البوابة. ونتعامل معها بوصفها السرعة المتجهة اللحظية عند البوابة لأن الفترة قصيرة.
10لماذا لا نجعل البطاقة قصيرة بلا حدود؟
إذا كانت البطاقة الأقصر تعطي قياسًا أكثر محلية، فقد يبدو أنه ينبغي جعل البطاقة أقصر ما يمكن عمليًا.
لكن هناك موازنة بين عاملين.
تقلل البطاقة القصيرة جدًا الفترة الزمنية، مما قد يجعل التقريب للسرعة المتجهة اللحظية أفضل. لكنها تجعل أيضًا عدم اليقين في قياس الزمن أكثر أهمية.
لنفترض أن عدم اليقين في المؤقت هو \(0.001\text{ s}\).
إذا حجبت البطاقة البوابة لمدة \(0.100\text{ s}\)، فإن عدم اليقين الزمني يبلغ نحو 1% من الفترة المقاسة.
أما إذا حجبت البوابة لمدة \(0.005\text{ s}\) فقط، فإن عدم اليقين نفسه البالغ \(0.001\text{ s}\) يصبح 20% من القياس.
لذلك يوازن التصميم التجريبي العملي بين هدفين متنافسين:
- جعل الفترة قصيرة بما يكفي بحيث تتغير السرعة المتجهة تغيرًا طفيفًا جدًا
- إبقاء الفترة كبيرة بما يكفي لقياسها بدقة
هذه فكرة تجريبية عامة، وليست مجرد حيلة لقياس السرعة المتجهة.
11الطريقة 2: قياسات مؤقت الشريط النقطي
قبل أن تصبح حساسات الحركة الإلكترونية شائعة، قدمت مؤقتات الشريط النقطي طريقة أخرى لتقدير السرعة المتجهة.
يمر شريط ورقي ضيق عبر مؤقت للشريط النقطي. ويكون الشريط مثبتًا بعربة متحركة. وبينما تسحب العربة الشريط عبر الجهاز، يضع المؤقت نقاطًا على الشريط على فترات زمنية متساوية.
إذا كان المؤقت يعمل بتردد \(50\text{ Hz}\)، فإنه يصنع 50 نقطة في كل ثانية.
إذن الزمن بين نقطتين متتاليتين هو
\[
\Delta t=\frac{1}{50}=0.020\text{ s}
\]
انظر الآن إلى المسافات بين النقاط.
تعني النقاط المتقاربة أن العربة قطعت مسافة صغيرة فقط خلال كل فترة مقدارها \(0.020\text{ s}\)، ولذلك كانت سرعتها منخفضة نسبيًا.
أما النقاط المتباعدة فتعني إزاحة أكبر خلال الزمن نفسه، ولذلك تكون السرعة أكبر.
إذا كانت الفجوات تزداد تدريجيًا، فإن العربة تتسارع.
مشكلة قياس تاريخية
تكمن الصعوبة في أن فجوة واحدة لا تزال تعطي متوسط السرعة المتجهة خلال \(0.020\text{ s}\)، لا السرعة المتجهة عند لحظة رياضية.
ومن التحسينات المفيدة أن نقيس عبر عدة فترات متجاورة تتمركز حول النقطة التي نهتم بها.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت نقطة معينة تمثل الزمن الذي نهتم به، يمكننا القياس من نقطة تسبقها مباشرة إلى نقطة تليها مباشرة.
ينتج عن ذلك متوسط خلال فترة صغيرة متمركزة تقريبًا حول اللحظة المطلوبة.
لا تُنشئ الطريقة قياسًا حقيقيًا خلال زمن يساوي صفرًا. بل تستخدم الفكرة نفسها التي طوّرناها سابقًا: يمكن لمتوسط محسوب خلال فترة صغيرة أن يقرّب قيمة لحظية.
مثال محلول: تقدير باستخدام مؤقت الشريط النقطي
يعمل مؤقت شريط نقطي بتردد \(50\text{ Hz}\). وتبلغ المسافة من إحدى النقاط إلى النقطة التي تقع بعد فترتين منها \(6.8\text{ cm}\). قدّر السرعة المتجهة بالقرب من النقطة الوسطى.
الخطوة 1أوجد الزمن لكل فترة
\[
\Delta t_{\text{فجوة واحدة}}=\frac{1}{50}=0.020\text{ s}
\]
هناك فترتان، إذن
\[
\Delta t=2(0.020)=0.040\text{ s}
\]
الخطوة 2حوّل الإزاحة إلى أمتار
\[
6.8\text{ cm}=0.068\text{ m}
\]
الخطوة 3احسب متوسط السرعة المتجهة عبر الفترتين
\[
v\approx\frac{0.068}{0.040}
=1.7\text{ m s}^{-1}
\]
السرعة المتجهة للعربة بالقرب من النقطة الوسطى تساوي تقريبًا \(1.7\text{ m s}^{-1}\).
عبارة بالقرب من النقطة الوسطى مهمة. فقد قاس الجهاز الحركة خلال \(0.040\text{ s}\)، لا عند لحظة قصيرة إلى ما لا نهاية.
12حساسات الحركة الحديثة تفعل الشيء نفسه بسرعة أكبر
قد يبدو أن حساس الحركة يعطي الموضع والسرعة المتجهة اللحظية مباشرةً.
لكنه لا يتجاوز مشكلة القياس الأساسية.
يسجل الحساس الموضع عند سلسلة من الأزمنة المنفصلة. ويمكن للبرمجيات بعد ذلك تقدير السرعة المتجهة بمقارنة قياسات الموضع المتقاربة.
فعلى سبيل المثال، لنفترض أن الحساس يسجل:
| الزمن، \(t\) (s) | الموضع، \(x\) (m) |
|---|---|
| 1.98 | 3.42 |
| 2.00 | 3.48 |
| 2.02 | 3.54 |
لتقدير السرعة المتجهة عند \(2.00\text{ s}\)، استخدم القياسين على جانبي هذه اللحظة:
\[
v\approx\frac{3.54-3.42}{2.02-1.98}
=\frac{0.12}{0.04}
=3.0\text{ m s}^{-1}
\]
ومرة أخرى، هذا تقدير خلال فترة قصيرة متمركزة حول الزمن الذي نهتم به.
قد ينفذ برنامج رسم بياني هذا الحساب تلقائيًا، لكن الفيزياء الكامنة تحته لم تتغير.
13الخطأ الذي يرتكبه الطلاب مع منحنيات الإزاحة-الزمن
إليك توقعًا قد يبدو مغريًا:
“إذا كانت الإزاحة كبيرة، فلا بد أن تكون السرعة المتجهة كبيرة.”
يبدو ذلك منطقيًا. فقد تشعر أن الجسم البعيد عن نقطة الأصل لا بد أنه تحرك بسرعة.
لكن الإزاحة تُمثَّل بـارتفاع منحنى الإزاحة-الزمن. أما السرعة المتجهة فتُمثَّل بـميله.
وهاتان خاصيتان مختلفتان.
فكّر في خط أفقي عند \(x=100\text{ m}\).
إزاحة الجسم هي \(100\text{ m}\)، لكن
\[
\text{الميل}=0
\]
إذن
\[
v=0
\]
الجسم على بعد 100 m من نقطة الأصل وهو ساكن تمامًا.
والآن فكّر في منحنى يمر عبر \(x=0\text{ m}\) وله ميل موجب شديد الانحدار.
عند تلك اللحظة، تكون الإزاحة صفرًا، لكن السرعة المتجهة قد تكون كبيرة.
يخبرك الموضع أين يوجد الجسم.
ويخبرك الميل كيف يتغير موضعه.
تحقّق من فهمك
عند \(t=5\text{ s}\)، يقطع منحنى الإزاحة-الزمن لجسم محور الزمن بميل سالب شديد الانحدار. ماذا يخبرك ذلك؟
الإجابة
قطع محور الزمن يعني أن
\[
x=0
\]
لذلك فإن الجسم يمر عبر نقطة الأصل المختارة.
والميل السالب يعني أن
\[
v<0
\]
لذلك فهو يتحرك في الاتجاه السالب.
إزاحته تساوي صفرًا في تلك اللحظة، لكن سرعته المتجهة ليست بالضرورة صفرًا.
14خطأ شائع آخر: السرعة والسرعة المتجهة ليستا متطابقتين
لنفترض أن ميل منحنى الإزاحة-الزمن يساوي
\[
-6.0\text{ m s}^{-1}
\]
تكون السرعة المتجهة اللحظية
\[
-6.0\text{ m s}^{-1}
\]
لكن السرعة اللحظية تكون
\[
6.0\text{ m s}^{-1}
\]
السرعة هي مقدار السرعة المتجهة. أما السرعة المتجهة فتتضمن الاتجاه.
يصبح هذا الفرق مهمًا بصورة خاصة عندما تعبر المنحنيات الصفر أو تتغير إشارة الميل. وتُشرح العلاقة كاملةً في السرعة والسرعة المتجهة.
15قراءة الحركة مباشرةً من منحنيات الإزاحة-الزمن
يمكن أن يخبرك منحنى الإزاحة-الزمن بأكثر بكثير من قيمة واحدة للسرعة المتجهة.
| سمة المنحنى | المعنى الفيزيائي |
|---|---|
| خط أفقي | الجسم ساكن |
| ميل موجب ثابت | سرعة متجهة موجبة ثابتة |
| ميل سالب ثابت | سرعة متجهة سالبة ثابتة |
| منحنى يصبح أكثر انحدارًا في الاتجاه الموجب | السرعة المتجهة الموجبة تزداد |
| منحنى يصبح أقل انحدارًا مع استمراره في الارتفاع | السرعة المتجهة الموجبة تتناقص |
| مماس ميله يساوي صفرًا | السرعة المتجهة اللحظية تساوي صفرًا |
| يتغير الميل من موجب إلى سالب | يغيّر الجسم اتجاهه |
تحتاج الحالة الأخيرة إلى بعض العناية.
لنفترض أن كرة تتحرك إلى أعلى. تزداد إزاحتها، لكن سرعتها المتجهة إلى أعلى تتناقص. وعند أعلى نقطة، يكون المماس لمنحنى الإزاحة-الزمن أفقيًا.
إذن عند تلك اللحظة،
\[
v=0
\]
وبعدها مباشرةً، يميل المنحنى إلى أسفل، ولذلك أصبحت السرعة المتجهة سالبة.
إذن، لا يعني كون السرعة المتجهة اللحظية صفرًا أن الجسم يجب أن يظل ساكنًا. فقد يكون ببساطة عند نقطة انعطاف في اتجاه الحركة.
16يمكن لمتوسط السرعة المتجهة أن يخفي قدرًا كبيرًا من الحركة
تخيّل أنك تمشي 20 m شرقًا ثم 20 m غربًا، وتنتهي عند المكان نفسه الذي بدأت منه.
لنفترض أن الرحلة تستغرق 40 s.
إزاحتك الكلية هي
\[
\Delta x=0
\]
إذن
\[
v_{\text{av}}=\frac{0}{40}=0\text{ m s}^{-1}
\]
هل يعني ذلك أنك كنت ساكنًا لمدة 40 s؟
بالطبع لا.
يقارن متوسط السرعة المتجهة بين موضعي البداية والنهاية فقط خلال الفترة المختارة. ولا يصف كل ما حدث بينهما.
ولهذا فإن الفترة التي تختارها مهمة.
خلال الـ40 s كاملةً، يكون متوسط السرعة المتجهة صفرًا.
خلال النصف الأول، يكون موجبًا.
وخلال النصف الثاني، يكون سالبًا.
وعند لحظات منفردة، قد تأخذ السرعة المتجهة قيمًا مختلفة كثيرة.
تحقّق من فهمك
تكمل سيارة دورة واحدة حول مضمار دائري وتنتهي بالضبط حيث بدأت. هل يساوي متوسط سرعتها المتجهة صفرًا؟
الإجابة
نعم، إذا كانت الفترة تشمل الدورة كاملةً.
فموضعها النهائي يساوي موضعها الابتدائي، ولذلك
\[
\Delta x=0
\]
ومن ثم
\[
v_{\text{av}}=0
\]
لكن متوسط سرعة السيارة ليس صفرًا لأنها قطعت مسافة غير صفرية.
17حساب بياني أصعب
لنفترض أن منحنى الإزاحة-الزمن يوصف بالعلاقة
\[
x=t^2+2t
\]
حيث تُقاس \(x\) بالمتر و\(t\) بالثانية.
قدّر السرعة المتجهة اللحظية عند \(t=4.0\text{ s}\) باستخدام الفترة من \(3.9\text{ s}\) إلى \(4.1\text{ s}\).
مثال محلول: تقدير باستخدام فترة قصيرة
الخطوة 1أوجد الإزاحة عند \(3.9\text{ s}\)
\[
x_1=(3.9)^2+2(3.9)
=15.21+7.80
=23.01\text{ m}
\]
الخطوة 2أوجد الإزاحة عند \(4.1\text{ s}\)
\[
x_2=(4.1)^2+2(4.1)
=16.81+8.20
=25.01\text{ m}
\]
الخطوة 3احسب التغير في الإزاحة
\[
\Delta x=25.01-23.01=2.00\text{ m}
\]
الخطوة 4احسب الفترة الزمنية
\[
\Delta t=4.1-3.9=0.20\text{ s}
\]
الخطوة 5احسب تقدير السرعة المتجهة
\[
v\approx\frac{2.00}{0.20}
=10.0\text{ m s}^{-1}
\]
إذن السرعة المتجهة اللحظية عند \(t=4.0\text{ s}\) تساوي تقريبًا
\[
10.0\text{ m s}^{-1}
\]
اختيرت الفترة بصورة متناظرة حول \(4.0\text{ s}\)، وهذا يعطي تقديرًا جيدًا للميل عند المركز.
18ماذا لو كان المماس يميل إلى أسفل؟
لا يحدث شيء خاص من الناحية الرياضية.
لنفترض أن مماسًا يمر بالنقطتين
\[
(3\text{ s},12\text{ m})
\]
و
\[
(8\text{ s},-3\text{ m})
\]
إذن
\[
v=\frac{-3-12}{8-3}
=\frac{-15}{5}
=-3.0\text{ m s}^{-1}
\]
تعني القيمة السالبة أن الحركة في الاتجاه السالب.
يحذف الطلاب أحيانًا الإشارة السالبة لأنهم يعتقدون أن السرعة المتجهة “لا يمكن أن تكون سالبة”. لكن ذلك يحوّل السرعة المتجهة إلى سرعة ويفقد المعلومات المتعلقة بالاتجاه.
19كيف يرتبط متوسط السرعة المتجهة بالسرعة المتجهة اللحظية؟
أسهل طريقة لتنظيم هذا الموضوع هي كالتالي:
| السؤال | الطريقة |
|---|---|
| ما مدى سرعة تغيّر الإزاحة خلال فترة زمنية؟ | متوسط السرعة المتجهة |
| ما الميل بين نقطتين على منحنى الإزاحة-الزمن؟ | متوسط السرعة المتجهة |
| ما مدى سرعة تغيّر الإزاحة عند لحظة محددة؟ | السرعة المتجهة اللحظية |
| ما ميل المماس لمنحنى الإزاحة-الزمن؟ | السرعة المتجهة اللحظية |
| ماذا تقيس البوابة الضوئية خلال مرور بطاقة حجب قصيرة؟ | متوسط خلال فترة قصيرة يُستخدم لتقدير السرعة المتجهة اللحظية |
| ماذا يحسب حساس الحركة من قراءات الموضع المتقاربة؟ | تقدير للسرعة المتجهة اللحظية باستخدام فترة قصيرة |
تظهر الفكرة الأساسية نفسها مرارًا:
\[
\text{السرعة المتجهة}=\text{معدل تغير الإزاحة}
\]
والسؤال الوحيد هو: خلال أي فترة؟
بالنسبة إلى متوسط السرعة المتجهة، تكون الفترة محدودة.
أما بالنسبة إلى السرعة المتجهة اللحظية، فننظر إلى القيمة التي يقترب منها متوسط السرعة المتجهة عندما تصبح تلك الفترة صغيرة للغاية.
20الخطوة التالية: التسارع
بمجرد أن يصبح من الممكن أن تتغير السرعة المتجهة من لحظة إلى أخرى، يظهر سؤال آخر بصورة طبيعية.
ما مدى سرعة تغيّر السرعة المتجهة نفسها؟
هذه الكمية هي التسارع:
\[
a_{\text{av}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]
وهذا التركيب مألوف عن قصد.
يصف متوسط السرعة المتجهة كيف تتغير الإزاحة مع الزمن.
ويصف التسارع كيف تتغير السرعة المتجهة مع الزمن.
ولهذا يصبح علم الحركة أسهل بكثير عندما تتوقف عن التعامل مع كل معادلة بوصفها صيغة منفصلة يجب حفظها. فالمنحنيات، وحسابات الفترات، والمماسات، والبوابات الضوئية، ومؤقتات الشريط النقطي، وحساسات الحركة كلها تقيس صورًا مختلفة من الفكرة نفسها: كيف تتغير كمية فيزيائية بالنسبة إلى كمية أخرى.