Vận tốc trung bình và vận tốc tức thời trong Vật lí HSC

Một chiếc ô tô đi được 20 m trong 4,0 s. Vận tốc trung bình của nó rất dễ tính. Nhưng chính xác 2,0 s sau khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của nó là bao nhiêu?

Câu hỏi đó khó hơn vẻ bề ngoài. Vận tốc được xác định bằng độ dời chia cho thời gian, nhưng một thời điểm tức thời không có khoảng thời gian. Nếu khoảng thời gian bằng không, phép tính dường như trở thành \(0/0\), và điều đó không cho ta thông tin gì.

Cách giải quyết là một trong những ý tưởng quan trọng nhất của động học: đo vận tốc trong một khoảng thời gian ngắn, làm cho khoảng thời gian đó ngày càng ngắn hơn, rồi xem giá trị đo được tiến đến giá trị nào. Trên đồ thị độ dời-thời gian, cùng ý tưởng đó được thể hiện về mặt hình học qua độ dốc của tiếp tuyến.

Vì vậy, vận tốc trung bình, vận tốc tức thời, độ dốc của đồ thị và các phép đo thực nghiệm không phải là bốn chủ đề riêng biệt. Chúng là những cách khác nhau để trả lời cùng một câu hỏi: độ dời đang thay đổi theo thời gian nhanh đến mức nào?

01Bắt đầu với vận tốc trung bình

Giả sử một học sinh đi bộ 12 m về phía đông trong 6,0 s.

Trước khi tính toán, hãy dự đoán vận tốc trung bình.

Có lẽ bạn sẽ dự đoán \(2,0\text{ m s}^{-1}\) về phía đông. Điều đó đúng:

\[
v_{\text{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{12}{6,0}
=2,0\text{ m s}^{-1}\text{ về phía đông}
\]

Trong đó:

• \(v_{\text{av}}\) là vận tốc trung bình, tính bằng mét trên giây, \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta x\) là độ dời, tính bằng mét, m
• \(\Delta t\) là khoảng thời gian, tính bằng giây, s
• \(\Delta\) có nghĩa là “độ thay đổi của”

Từ trung bình rất quan trọng. Phép tính cho ta biết độ dời thay đổi nhanh đến mức nào trong toàn bộ khoảng thời gian. Nó không cho ta biết liệu học sinh có thực sự chuyển động với \(2,0\text{ m s}^{-1}\) tại mọi thời điểm hay không.

Bạn ấy có thể bắt đầu chậm, tăng tốc, dừng lại để buộc dây giày, rồi chạy nước rút trong vài mét cuối.

Nếu bạn vẫn thấy độ dời và vận tốc có vẻ có thể dùng thay cho nhau, hãy ôn lại quãng đường và độ dời trước. Vận tốc phụ thuộc vào độ dời, chứ không phải tổng quãng đường đã đi.

Kiểm tra mức độ hiểu

Một vận động viên chạy từ \(x=-3\text{ m}\) đến \(x=9\text{ m}\) trong 4,0 s. Vận tốc trung bình là bao nhiêu?

02Vì sao vận tốc trung bình đôi khi chưa đủ

Hãy tưởng tượng bạn đang nhìn bảng đồng hồ của một chiếc ô tô.

Tại một thời điểm, đồng hồ tốc độ chỉ 35 km/h. Một giây sau, nó chỉ 42 km/h. Sau đó, nó chỉ 57 km/h.

Rõ ràng chiếc ô tô không có một vận tốc duy nhất trong suốt hành trình. Vận tốc của nó đang thay đổi.

Vậy giả sử ta muốn biết vận tốc chính xác tại \(t=3,0\text{ s}\).

Một cách tiếp cận có thể là đo độ dời của ô tô từ \(2,0\text{ s}\) đến \(4,0\text{ s}\), rồi tính vận tốc trung bình trong hai giây đó.

Cách này cho ta một giá trị ước lượng của vận tốc gần \(3,0\text{ s}\).

Ta có thể cải thiện giá trị đó không?

Có. Hãy đo trong một khoảng nhỏ hơn.

Thay vì từ \(2,0\text{ s}\) đến \(4,0\text{ s}\), hãy dùng từ \(2,9\text{ s}\) đến \(3,1\text{ s}\).

Sau đó có thể dùng từ \(2,99\text{ s}\) đến \(3,01\text{ s}\).

Khi khoảng thời gian ngày càng nhỏ, vận tốc trung bình mô tả chuyển động ngày càng gần với thời điểm ta quan tâm.

Giá trị mà nó tiến đến chính là vận tốc tức thời.

Về mặt hình thức,

\[
v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

Trong Vật lí HSC, thông thường bạn không cần thực hiện phép tính giới hạn một cách hình thức. Ý tưởng vật lí quan trọng thì đơn giản hơn:

Vận tốc tức thời là giá trị mà vận tốc trung bình tiến đến khi khoảng thời gian đo trở nên cực kỳ nhỏ.

Ta không tìm nó bằng cách đặt trực tiếp \(\Delta t=0\). Ta xem điều gì xảy ra khi \(\Delta t\) tiến đến không.

03Phiên bản trên đồ thị của cùng một ý tưởng

Đồ thị độ dời-thời gian biểu diễn độ dời \(x\) trên trục tung và thời gian \(t\) trên trục hoành.

Giả sử ta chọn hai điểm trên đồ thị:

\[
(t_1,x_1)
\]

và

\[
(t_2,x_2)
\]

Độ dốc giữa chúng là

\[
\text{độ dốc}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
\]

Nhưng đó chính là

\[
\frac{\Delta x}{\Delta t}
\]

vì vậy độ dốc của đường thẳng nối hai điểm trên đồ thị độ dời-thời gian chính là vận tốc trung bình giữa hai thời điểm đó.

Đường thẳng đó được gọi là cát tuyến.

Bạn không cần quá bận tâm về thuật ngữ này. Cát tuyến đơn giản là một đường thẳng nối hai điểm trên một đường cong.

04Từ cát tuyến đến tiếp tuyến

Giả sử đồ thị độ dời-thời gian là một đường cong vì vật đang gia tốc.

Chọn một điểm tại \(t=4,0\text{ s}\). Ta muốn tìm vận tốc tại đúng thời điểm đó.

Trước tiên, nối điểm tại \(t=4,0\text{ s}\) với một điểm tại \(t=6,0\text{ s}\). Tính độ dốc.

Bây giờ đưa điểm thứ hai lại gần hơn, chẳng hạn đến \(t=5,0\text{ s}\).

Sau đó là \(4,5\text{ s}\).

Rồi \(4,1\text{ s}\).

Cát tuyến xoay dần về phía một đường thẳng cụ thể.

Trong giới hạn, nó trở thành tiếp tuyến của đường cong tại \(t=4,0\text{ s}\).

Do đó:

Độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị độ dời-thời gian cho biết vận tốc tức thời.

Đây là phiên bản đồ thị của việc thu nhỏ khoảng thời gian đo dần về không.

Một hình dung hữu ích

Hãy tưởng tượng bạn chụp ảnh một con đường cong từ trên cao.

Nhìn từ xa, rõ ràng con đường bị cong. Nhưng nếu phóng to vào một đoạn rất nhỏ, đoạn đó bắt đầu trông gần như thẳng.

Vận tốc tức thời cũng tương tự. Trong một khoảng thời gian lớn, chuyển động có thể thay đổi đáng kể. Trong một khoảng đủ nhỏ, chuyển động gần một thời điểm cụ thể sẽ gần giống chuyển động với vận tốc không đổi.

Phép so sánh này có giới hạn. Đường cong độ dời-thời gian thực tế không thật sự trở thành đường thẳng. Ta đang xét độ dốc cục bộ của nó.

Kiểm tra mức độ hiểu

Một đồ thị độ dời-thời gian ngày càng dốc hơn khi thời gian tăng. Bạn có thể nói gì về vận tốc của vật?

06Ước lượng vận tốc tức thời bằng một khoảng thời gian ngắn

Bây giờ vẫn xét chuyển động đó,

\[
x=2t^2
\]

nhưng hãy ước lượng vận tốc tức thời tại \(t=3,0\text{ s}\).

Ta có thể đo vận tốc trung bình từ \(2,9\text{ s}\) đến \(3,1\text{ s}\).

07Phép tính bằng tiếp tuyến thực tế trông như thế nào?

Học sinh thường được yêu cầu “vẽ tiếp tuyến” rồi lập tức chuyển sang tính độ dốc. Sẽ hữu ích hơn nếu thực hiện quá trình đó chậm lại.

Giả sử bạn có một đồ thị độ dời-thời gian dạng cong và cần tìm vận tốc tức thời tại \(t=6\text{ s}\).

Trước tiên, vẽ một đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại điểm tương ứng với \(6\text{ s}\) và có hướng trùng với hướng của đường cong tại điểm đó.

Sau đó chọn hai điểm thuận tiện trên đường tiếp tuyến.

Chúng không nhất thiết phải là các điểm nằm trên đường cong dữ liệu ban đầu.

Ví dụ, giả sử tiếp tuyến đi qua:

\[
(2\text{ s},4\text{ m})
\]

và

\[
(10\text{ s},28\text{ m})
\]

Khi đó

\[
v=\text{độ dốc}
=\frac{28-4}{10-2}
=\frac{24}{8}
=3,0\text{ m s}^{-1}
\]

Vì vậy, vận tốc tức thời tại \(t=6\text{ s}\) xấp xỉ \(3,0\text{ m s}^{-1}\).

Vì sao nên dùng các điểm cách xa nhau trên tiếp tuyến?

Bạn có thể nghĩ rằng phương pháp tốt nhất là dùng hai điểm cực kỳ gần điểm tiếp xúc.

Thông thường, điều đó lại làm phép đo kém chính xác hơn.

Giả sử vị trí đọc trên thước của bạn có độ bất định khoảng \(1\text{ mm}\). Nếu hai điểm được chọn chỉ cách nhau vài milimét, độ bất định nhỏ đó sẽ chiếm một phần lớn so với độ tăng theo phương đứng và độ tăng theo phương ngang được đo.

Dùng hai điểm cách xa nhau trên cùng một tiếp tuyến sẽ làm giảm ảnh hưởng theo phần trăm của độ bất định khi đọc số liệu.

Điều này không có nghĩa là dùng các điểm cách xa nhau trên đường cong ban đầu. Làm như vậy sẽ cho vận tốc trung bình. Các điểm phải nằm trên đường tiếp tuyến thẳng mà bạn đã vẽ.

Kiểm tra mức độ hiểu

Một tiếp tuyến với đồ thị độ dời-thời gian đi qua \((1,0\text{ s},2,0\text{ m})\) và \((7,0\text{ s},20,0\text{ m})\). Hãy ước lượng vận tốc tức thời tại điểm mà tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong.

08Làm thế nào để đo vận tốc tức thời trong một thí nghiệm thực tế?

Đây là vấn đề trong thực nghiệm.

Giả sử một xe đẩy đang lăn xuống một mặt phẳng nghiêng. Bạn muốn biết vận tốc của nó tại một điểm cụ thể.

Bạn không thể đặt đồng hồ bấm giờ tại một thời điểm tức thời và đo “không giây” chuyển động. Thiết bị thực luôn cần một quãng đường hữu hạn hoặc một khoảng thời gian hữu hạn.

Vì vậy, trong thí nghiệm thực tế, ta xấp xỉ vận tốc tức thời bằng cách làm cho khoảng đó nhỏ.

09Phương pháp 1: Cổng quang và tấm chắn sáng

Một thiết lập phổ biến sử dụng cổng quang.

Hãy hình dung thiết bị từ trái sang phải.

Một xe đẩy chuyển động dọc theo đường ray. Gắn trên xe đẩy là một tấm hình chữ nhật có chiều dài đã biết. Ở phía trước trên đường ray là một cổng quang chứa nguồn sáng và bộ dò.

Khi xe đẩy đi qua cổng:

1. mép trước của tấm chắn chặn chùm sáng
2. bộ đếm thời gian bắt đầu
3. tấm chắn tiếp tục chuyển động qua cổng
4. mép sau của tấm chắn đi khỏi chùm sáng
5. bộ đếm thời gian dừng

Giả sử tấm chắn có chiều dài \(L\), và chặn ánh sáng trong thời gian \(\Delta t\).

Vận tốc đo được là

\[
v\approx\frac{L}{\Delta t}
\]

Vì sao đây chỉ là giá trị xấp xỉ của vận tốc tức thời?

Vì xe đẩy chuyển động qua một khoảng cách nhỏ nhưng khác không là \(L\). Do đó, phép tính cho vận tốc trung bình trong thời gian tấm chắn đi qua cổng.

Nếu \(L\) đủ ngắn và vận tốc của xe đẩy không thay đổi nhiều trong lúc tấm chắn đi qua, giá trị trung bình này là một xấp xỉ tốt cho vận tốc tại cổng.

10Vì sao không làm tấm chắn ngắn vô hạn?

Nếu tấm chắn ngắn hơn cho phép đo mang tính cục bộ hơn, có vẻ như ta nên làm tấm chắn ngắn nhất có thể về mặt vật lí.

Nhưng có một sự đánh đổi.

Một tấm chắn rất ngắn làm giảm khoảng thời gian đo, điều này có thể giúp xấp xỉ vận tốc tức thời tốt hơn. Tuy nhiên, nó cũng làm độ bất định về thời gian trở nên quan trọng hơn.

Giả sử độ bất định của bộ đếm thời gian là \(0,001\text{ s}\).

Nếu tấm chắn chặn cổng trong \(0,100\text{ s}\), độ bất định về thời gian bằng khoảng 1% khoảng thời gian đo được.

Nếu nó chỉ chặn cổng trong \(0,005\text{ s}\), cùng độ bất định \(0,001\text{ s}\) đó sẽ bằng 20% giá trị đo.

Vì vậy, thiết kế thí nghiệm thực tế phải cân bằng hai mục tiêu cạnh tranh:

• làm khoảng thời gian đủ ngắn để vận tốc thay đổi rất ít
• giữ khoảng thời gian đủ lớn để có thể đo chính xác

Đây là một nguyên tắc thực nghiệm tổng quát, không chỉ là một mẹo để đo vận tốc.

11Phương pháp 2: Phép đo bằng bộ ghi điểm thời gian

Trước khi cảm biến chuyển động điện tử trở nên phổ biến, bộ ghi điểm thời gian là một cách khác để ước lượng vận tốc.

Một dải băng giấy hẹp chạy qua bộ ghi điểm thời gian. Dải băng được gắn với một xe đẩy đang chuyển động. Khi xe đẩy kéo dải băng qua thiết bị, bộ ghi tạo các chấm trên băng ở những khoảng thời gian bằng nhau.

Nếu bộ ghi hoạt động ở \(50\text{ Hz}\), nó tạo 50 chấm mỗi giây.

Do đó, thời gian giữa hai chấm liên tiếp là

\[
\Delta t=\frac{1}{50}=0,020\text{ s}
\]

Bây giờ hãy quan sát khoảng cách giữa các chấm.

Các chấm gần nhau có nghĩa là xe đẩy chỉ đi được một khoảng ngắn trong mỗi khoảng \(0,020\text{ s}\), nên tốc độ của nó tương đối thấp.

Các chấm cách xa nhau có nghĩa là độ dời lớn hơn trong cùng một khoảng thời gian, nên tốc độ cao hơn.

Nếu các khoảng cách tăng dần, xe đẩy đang gia tốc.

Một vấn đề đo lường theo phương pháp truyền thống

Khó khăn là một khoảng cách giữa hai chấm vẫn chỉ cho vận tốc trung bình trong \(0,020\text{ s}\), chứ không phải vận tốc tại một thời điểm toán học tức thời.

Một cách cải thiện hữu ích là đo qua nhiều khoảng liền kề, với điểm cần xét nằm gần chính giữa.

Ví dụ, nếu một chấm cụ thể biểu diễn thời điểm ta quan tâm, ta có thể đo từ một chấm ngay trước nó đến một chấm ngay sau nó.

Cách này tạo ra giá trị trung bình trên một khoảng nhỏ có tâm xấp xỉ tại thời điểm cần tìm.

Phương pháp này không tạo ra phép đo với thời gian thật sự bằng không. Thay vào đó, nó sử dụng cùng ý tưởng đã phát triển trước đó: một giá trị trung bình trên khoảng nhỏ có thể xấp xỉ một giá trị tức thời.

12Cảm biến chuyển động hiện đại cũng làm điều tương tự, chỉ nhanh hơn

Một cảm biến chuyển động có thể trông như thể nó cho trực tiếp vị trí tức thời và vận tốc tức thời.

Nhưng nó không tránh được vấn đề đo lường cơ bản.

Cảm biến ghi lại vị trí tại một loạt thời điểm rời rạc. Sau đó, phần mềm có thể ước lượng vận tốc bằng cách so sánh các phép đo vị trí gần nhau.

Ví dụ, giả sử cảm biến ghi:

Để ước lượng vận tốc tại \(2,00\text{ s}\), hãy dùng các phép đo ở hai phía:

\[
v\approx\frac{3,54-3,42}{2,02-1,98}
=\frac{0,12}{0,04}
=3,0\text{ m s}^{-1}
\]

Một lần nữa, đây là phép ước lượng trên một khoảng thời gian ngắn có tâm tại thời điểm cần xét.

Một chương trình vẽ đồ thị có thể tự động thực hiện việc này, nhưng vật lí nền tảng vẫn không thay đổi.

13Sai lầm học sinh thường mắc với đồ thị độ dời-thời gian

Đây là một dự đoán rất dễ mắc phải:

“Nếu độ dời lớn thì vận tốc chắc chắn cũng lớn.”

Nghe có vẻ hợp lí. Một vật ở xa gốc tọa độ có vẻ như hẳn phải chuyển động rất nhanh.

Nhưng độ dời được biểu diễn bằng độ cao của đồ thị độ dời-thời gian. Vận tốc được biểu diễn bằng độ dốc của nó.

Đó là hai tính chất khác nhau.

Hãy xét một đường nằm ngang tại \(x=100\text{ m}\).

Vật có độ dời \(100\text{ m}\), nhưng

\[
\text{độ dốc}=0
\]

nên

\[
v=0
\]

Vật cách gốc tọa độ 100 m và hoàn toàn đứng yên.

Bây giờ xét một đồ thị đi qua \(x=0\text{ m}\) với độ dốc dương rất lớn.

Tại thời điểm đó, độ dời bằng không nhưng vận tốc có thể lớn.

Vị trí cho bạn biết vật đang ở đâu.

Độ dốc cho bạn biết vị trí của vật đang thay đổi như thế nào.

Kiểm tra mức độ hiểu

Tại \(t=5\text{ s}\), đồ thị độ dời-thời gian của một vật cắt trục thời gian với độ dốc âm lớn. Điều này cho biết gì?

14Một sai lầm phổ biến khác: tốc độ và vận tốc không giống nhau

Giả sử đồ thị độ dời-thời gian có độ dốc

\[
-6,0\text{ m s}^{-1}
\]

Vận tốc tức thời là

\[
-6,0\text{ m s}^{-1}
\]

nhưng tốc độ tức thời là

\[
6,0\text{ m s}^{-1}
\]

Tốc độ là độ lớn của vận tốc. Vận tốc bao gồm cả hướng.

Sự khác biệt này đặc biệt quan trọng khi đồ thị đi qua giá trị không hoặc khi dấu của độ dốc thay đổi. Mối quan hệ đầy đủ được trình bày trong tốc độ và vận tốc.

15Đọc chuyển động trực tiếp từ đồ thị độ dời-thời gian

Một đồ thị độ dời-thời gian có thể cho bạn biết nhiều hơn rất nhiều so với chỉ một giá trị vận tốc.

Trường hợp cuối cần được xem xét cẩn thận.

Giả sử một quả bóng chuyển động lên trên. Độ dời của nó tăng, nhưng vận tốc hướng lên giảm. Tại điểm cao nhất, tiếp tuyến với đồ thị độ dời-thời gian nằm ngang.

Vì vậy, tại thời điểm đó,

\[
v=0
\]

Ngay sau đó, đồ thị dốc xuống, nên vận tốc đã trở thành âm.

Do đó, vận tốc tức thời bằng không không có nghĩa là vật phải tiếp tục đứng yên. Nó có thể chỉ đang ở một điểm đổi chiều.

16Vận tốc trung bình có thể che khuất rất nhiều chuyển động

Hãy tưởng tượng bạn đi bộ 20 m về phía đông rồi 20 m về phía tây, kết thúc đúng tại nơi bạn bắt đầu.

Giả sử chuyến đi mất 40 s.

Tổng độ dời của bạn là

\[
\Delta x=0
\]

nên

\[
v_{\text{av}}=\frac{0}{40}=0\text{ m s}^{-1}
\]

Điều đó có nghĩa là bạn đã đứng yên trong 40 s sao?

Rõ ràng là không.

Vận tốc trung bình chỉ so sánh vị trí đầu và vị trí cuối trong khoảng thời gian đã chọn. Nó không mô tả mọi điều xảy ra ở giữa.

Đây là lý do khoảng thời gian bạn chọn rất quan trọng.

Trong toàn bộ 40 s, vận tốc trung bình bằng không.

Trong nửa đầu, nó dương.

Trong nửa sau, nó âm.

Tại từng thời điểm riêng lẻ, vận tốc có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.

Kiểm tra mức độ hiểu

Một chiếc ô tô hoàn thành một vòng trên đường đua hình tròn và kết thúc chính xác tại nơi nó bắt đầu. Vận tốc trung bình của nó có bằng không không?

17Một phép tính đồ thị khó hơn

Giả sử một đồ thị độ dời-thời gian được mô tả bởi

\[
x=t^2+2t
\]

trong đó \(x\) được đo bằng mét và \(t\) bằng giây.

Hãy ước lượng vận tốc tức thời tại \(t=4,0\text{ s}\) bằng khoảng từ \(3,9\text{ s}\) đến \(4,1\text{ s}\).

18Nếu tiếp tuyến dốc xuống thì sao?

Về mặt toán học, không có gì đặc biệt xảy ra.

Giả sử một tiếp tuyến đi qua

\[
(3\text{ s},12\text{ m})
\]

và

\[
(8\text{ s},-3\text{ m})
\]

Khi đó

\[
v=\frac{-3-12}{8-3}
=\frac{-15}{5}
=-3,0\text{ m s}^{-1}
\]

Giá trị âm có nghĩa là chuyển động theo chiều âm.

Học sinh đôi khi bỏ dấu âm vì nghĩ rằng vận tốc “không thể âm”. Làm vậy sẽ biến vận tốc thành tốc độ và làm mất thông tin về hướng.

19Vận tốc trung bình và vận tốc tức thời liên hệ với nhau như thế nào

Cách dễ nhất để hệ thống hóa chủ đề này là như sau:

Cùng một ý tưởng cốt lõi liên tục xuất hiện:

\[
\text{vận tốc}=\text{tốc độ thay đổi của độ dời}
\]

Câu hỏi duy nhất là xét trên khoảng nào?

Đối với vận tốc trung bình, khoảng thời gian là hữu hạn.

Đối với vận tốc tức thời, ta xét giá trị mà vận tốc trung bình tiến đến khi khoảng thời gian đó trở nên cực kỳ nhỏ.

20Bước tiếp theo: gia tốc

Khi vận tốc có thể thay đổi từ thời điểm này sang thời điểm khác, một câu hỏi khác tự nhiên xuất hiện.

Chính vận tốc đang thay đổi nhanh đến mức nào?

Đại lượng đó là gia tốc:

\[
a_{\text{av}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Cấu trúc này có chủ ý giống với cấu trúc trước.

Vận tốc trung bình mô tả độ dời thay đổi theo thời gian như thế nào.

Gia tốc mô tả vận tốc thay đổi theo thời gian như thế nào.

Đó là lý do động học trở nên dễ hiểu hơn nhiều khi bạn ngừng xem mỗi phương trình là một công thức riêng biệt cần học thuộc. Các đồ thị, phép tính theo khoảng thời gian, tiếp tuyến, cổng quang, bộ ghi điểm thời gian và cảm biến chuyển động đều đang đo những phiên bản khác nhau của cùng một ý tưởng: một đại lượng vật lí thay đổi theo một đại lượng khác như thế nào.