加速度-时间图：面积与速度变化

一辆汽车以 \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度行驶 4 秒，之后加速度降为零。在这 4 秒后，可以确定发生了变化的是它的位置、速度，还是两者都变了？

它的位置发生了变化，但加速度-时间图并不能直接告诉你位置变化了多少。它直接给出的是速度的变化量。在这个例子中，

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

注意我们刚才计算的内容：加速度乘以时间。在加速度-时间图上，这个乘积表现为一个面积。

这就是本指南的核心思想：

加速度-时间图与时间轴之间的有符号面积，等于速度的变化量。

这里的“有符号”很重要。时间轴上方的面积为正，时间轴下方的面积为负。

01加速度-时间图实际表示什么

加速度-时间图中：

• 横轴是时间 \(t\)，单位为秒（s）
• 纵轴是加速度 \(a\)，单位为米每二次方秒（\(\text{m s}^{-2}\)）

假设图像是一条位于 \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\) 的水平直线。

在继续之前，先做一个预测。这是否意味着物体以恒定速度运动？

不是。这意味着它的速度正在以恒定速率变化。

加速度为 \(2.0\ \text{m s}^{-2}\)，意味着速度每秒变化 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。

因此，如果初速度为 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)：

• 1 s 后，速度为 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 2 s 后，速度为 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 3 s 后，速度为 \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

这就是为什么加速度-时间图与速度-时间图关系如此密切。加速度告诉你速度图像正在怎样变化。

02为什么面积等于速度变化量

从匀加速运动中熟悉的公式开始：

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

其中：

• \(a\) 是加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) 是速度变化量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) 是经过的时间，单位为秒

移项得到：

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

现在想象加速度-时间图上有一个恒定加速度。其下方的区域是一个矩形。

这个矩形的：

• 高为 \(a\)
• 宽为 \(\Delta t\)

因此它的面积为

\[
\text{面积} = a\Delta t
\]

而 \(a\Delta t = \Delta v\)。

所以，面积并不只是一个方便的图像技巧，它直接来源于加速度的定义。

单位也能验证这一点：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

这正是速度的单位。

03图像给出的是变化量，而不一定直接给出末速度

这是一个很容易丢分的地方。

假设某加速度-时间图下方的面积为 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)。一名学生写道：

末速度 \(= 8\ \text{m s}^{-1}\)。

只有当物体从静止开始运动时，这才正确。

图像告诉我们的是

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

而不一定是 \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\)。

一般来说，

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

例如，如果 \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\)，那么

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

这段加速度过程使速度改变了 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)，在这个例子中，这足以使物体反向运动。

04时间轴下方的面积为负

假设加速度图位于

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

并持续 2.0 s。

它的有符号面积为

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，速度减少了 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)。

要注意“速度减少”这个说法。它并不总意味着物体减速。

假设一个物体的初速度为

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

并经历了如下速度变化：

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

那么

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

它的速度变得更负，但它的速率却从 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) 增加到 \(13\ \text{m s}^{-1}\)。

负加速度并不等于减速。

物体究竟加速还是减速，取决于速度和加速度两者的符号。如果你需要复习这个区别，可以参阅速率与速度：HSC 物理清晰讲解。

05判断加速和减速的实用规则

比较速度和加速度的符号。

为什么？

速度告诉你物体朝哪个方向运动。加速度告诉你速度正被推向哪个方向。

可以把速度和加速度想象成两个人在争论该往哪里走。如果它们对方向意见一致，速度的大小就会增大。如果它们意见相反，速度的大小一开始会减小。

当速度达到零时，这个类比就不再完全适用。物体随后可能反向运动，而同一个加速度在反向后又可能使它再次加速。

06加速度变化意味着面积形状也会变化

加速度不一定是恒定的。

假设加速度在 4.0 s 内从 \(0\) 均匀增加到 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)。

图像下方的区域是一个三角形，因此

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

其中 \(b\) 是时间间隔，\(h\) 是最大加速度。

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

尽管加速度一直在变化，面积仍然给出了总速度变化量。

更一般地，

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

积分符号表示“把整个时间区间内每一个微小的 \(a\,dt\) 贡献加起来”。对于由直线段组成的 HSC 图像题，通常可以用矩形、三角形和梯形求面积，而不需要实际进行微积分运算。

07正面积和负面积可以相互抵消

现在考虑一个具有以下加速度变化过程的物体：

• 从 \(0\) 到 \(4.0\ \text{s}\)，加速度从 \(0\) 均匀增加到 \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• 从 \(4.0\) 到 \(6.0\ \text{s}\)，加速度为 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

预测一下整个 6.0 s 内速度会怎样变化。它会增加、减少，还是回到初始值？

用有符号面积来计算。

从 \(0\) 到 \(4.0\ \text{s}\)，正的三角形面积为

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

从 \(4.0\) 到 \(6.0\ \text{s}\)，负的矩形面积为

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

最终速度比初始速度高 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)。

负面积部分并没有“抹去运动”。它只是抵消了前面一部分速度增量。

08零加速度并不意味着零速度

加速度-时间图中位于 \(a = 0\) 的水平线段，很容易让人觉得“什么都没有发生”。

实际上仍然可能有运动发生。物体仍然可以在运动。

如果

\[
a = 0
\]

那么速度不发生变化。

因此，在一维模型适用的前提下，一个以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 运动且加速度为零的物体，会继续以 \(18\ \text{m s}^{-1}\) 运动。

一个原本静止的物体也会继续保持静止。

除非你还知道物体在某一时刻的速度，否则仅凭加速度图无法判断属于上述哪一种情况。

09加速度-时间图不能直接给出位移

学生经常把两种不同的“面积规则”混淆：

为什么加速度-时间图下方的面积不能给出位移？

检查单位：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

这是速度的单位，而不是位移的单位。

要从加速度随时间的变化求位移，首先需要有足够的信息来确定速度随时间的变化。然后再求相应速度-时间图下方的面积。

这也说明了为什么初速度很重要。两个物体可以具有完全相同的加速度-时间图，却因为初速度不同而产生完全不同的位移。

10如何在加速度-时间图和速度-时间图之间转换

加速度-时间图告诉你速度-时间图的斜率变化情况。

记住：

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

因此，加速度就是速度-时间图的斜率。

由此可以得到以下对应关系：

这里有一个细微但重要的区别。加速度-时间图的高度告诉你速度-时间图的斜率，而加速度-时间图的面积告诉你速度本身改变了多少。

这两者的作用不同。

11解答 HSC 图像题的可靠方法

当题目给出一张加速度-时间图时，按以下顺序处理：

1. 选定正方向。 通常图像已经通过正负号规定了这一点。
2. 记录初速度。 如果没有给出，就要谨慎判断究竟哪些量可以确定。
3. 把图像分成简单区域。 根据情况使用矩形、三角形或梯形。
4. 给每个面积标上符号。 时间轴上方为正，下方为负。
5. 把所有有符号面积相加。 得到 \(\Delta v\)。
6. 使用 \(v_f = v_i + \Delta v\)。
7. 如果题目问速率或方向，应分析速度，而不能只看加速度。
8. 检查单位。 加速度-时间图下方的面积单位必须是 \(\text{m s}^{-1}\)。

最后这一步单位检查能发现相当多的错误。

12问题与解答

问题 1

一名骑自行车的人以 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度运动 4.0 s。该时间段开始时，骑车人的速度为 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求 4.0 s 后骑车人的速度。

解答 1

骑车人的末速度为 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)。

加速度-时间图下方的面积给出速度变化量：

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

现在把这个变化量加到初速度上：

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

常见陷阱是把面积 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 当作末速度。它只是速度的变化量。

问题 2

一个物体最初以 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速度运动。随后，它以恒定加速度 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) 运动 5.0 s。

计算它的末速度，并说明它的运动方向是否发生了改变。

解答 2

末速度为 \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\)，因此物体改变了运动方向。

速度变化量为

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

由于速度从负变为正，它在这一时间段内必然经过零。在那一瞬间，物体短暂停止，随后反向运动。

一个容易犯的错误是认为正加速度意味着物体在整个 5.0 s 内都沿正方向运动。加速度描述的是速度如何变化，而不一定表示当前的运动方向。

问题 3

一个物体的加速度从 \(t=0\) 时的 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) 均匀变化到 \(t=4.0\ \text{s}\) 时的 \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\)。

它的初速度为 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求 \(t=4.0\ \text{s}\) 时的速度。

解答 3

该物体在 \(4.0\ \text{s}\) 时的速度为 \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\)。

由于加速度线性变化，图像下方的面积是一个梯形。其面积为

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

其中 \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\)、\(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\)，且 \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\)。

代入可得：

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

然后，

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

加速度并不是始终等于 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)，因此如果直接用 \(6.0\) 乘以完整的 4.0 s，就会高估速度变化量。

问题 4

一个机器人沿直线导轨运动。从 \(t=0\) 到 \(t=3.0\ \text{s}\)，它的加速度为 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\)。从 \(t=3.0\) 到 \(t=7.0\ \text{s}\)，它的加速度为 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)。

一名学生说：

“正、负两部分产生的效果相同，因为 \(4\times3 = 3\times4\)，所以机器人最后一定回到了出发位置。”

机器人的初速度为 \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

求机器人的末速度，并评价该学生关于最终位置的结论。

解答 4

机器人的末速度为 \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\)，但“它一定回到了出发位置”这一说法是不正确的。

在第一个时间段内，

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

在第二个时间段内，

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

并且

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

所以，这名学生关于速度恢复到初始值这一点是正确的。

但是，速度的净变化量为零，并不意味着位移为零。机器人在整个时间段内一直在运动，而且在运动过程中的大部分时间里，其速度都大于 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。

加速度-时间图下方的面积给出速度变化量，而不是位移。要确定机器人的位置变化量，我们需要构建它的速度-时间图，或根据其速度随时间的变化进行计算。

问题 5

两辆小车 A 和 B 沿两条平行的直线轨道运动。

从 \(t=0\) 到 \(t=8.0\ \text{s}\)，两辆小车具有完全相同的加速度-时间图。该图下方的总有符号面积为 \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\)。

小车 A 的初速度为 \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\)，而小车 B 的初速度为 \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\)。

一名学生声称，由于两辆小车具有相同的加速度图，所以它们一定具有相同的末速度，并且经过相同的位移。

评价这一说法的两个部分。

解答 5

这一说法的两个部分都不正确。小车 A 的末速度为 \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\)，小车 B 的末速度为 \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\)，而且它们在这 8.0 s 内的位移也不相等。

相同的加速度变化过程使两辆小车具有相同的速度变化量：

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

对于小车 A，

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

对于小车 B，

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，除非初速度也相同，否则相同的加速度变化过程不会产生相同的末速度。

它们的位移也不同。在任意时刻，小车 B 的速度都比小车 A 大 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)，因为它们一开始的速度就相差 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)，随后又经历了完全相同的加速度。

在 8.0 s 内，这个恒定的速度差产生的位移差为

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

因此，在这一时间段内，小车 B 沿正方向比小车 A 多移动了 \(64\ \text{m}\)。

更深层的一点是：加速度-时间图告诉你速度如何变化。要知道实际速度，还需要一个初速度。一旦知道了速度随时间的变化，就可以利用速度-时间图下方的面积求位移。从加速度到速度，再到位置，这一联系是解读运动图像时下一步值得掌握的重要内容。