根据同位素组成计算相对原子质量

自然界中的氯原子并不总是具有相同的质量。有些氯原子含有 18 个中子，而另一些含有 20 个。然而，元素周期表给出的氯的相对原子质量约为 35.45。

那么，质量为 35.45 的氯原子是什么样的？实际上并不存在这样的氯原子。

这个数值是一个平均值，但并不是每个数值权重都相同的普通平均值。较常见的同位素对平均值的贡献必须大于较稀有的同位素。这里需要掌握的技能，就是根据同位素质量和天然丰度计算这种加权相对原子质量。

继续阅读之前，先预测一下：某元素有两种同位素，质量分别为 20 和 22。如果其中 90% 的原子都是较轻的同位素，它的相对原子质量会更接近 20、21，还是 22？

它应该更接近 20。加权平均值会被出现得更频繁的数值拉向一侧。

01从原子出发，而不是从公式出发

想象你收集了某元素的 100 个原子。

假设：

• 80 个原子的同位素质量为 10
• 20 个原子的同位素质量为 11

你可以把这 100 个原子的质量贡献相加，从而求出它们的平均质量：

\[
\frac{(80)(10)+(20)(11)}{100}
=
\frac{1020}{100}
=
10.2
\]

因此，相对原子质量为 10.2。

注意这里发生了什么。我们并没有简单地计算：

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

这种计算会错误地假设两种同位素的丰度相同。

核心思想是：

一种同位素对相对原子质量的贡献，同时取决于它的质量以及它有多常见。

如果你需要复习同位素之间为什么会不同，请参阅 HSC 化学：稳定同位素与不稳定同位素详解。

02相对原子质量究竟表示什么

元素的相对原子质量 \(A_r\)，是其天然存在的原子的加权平均质量，相对于一个碳-12 原子质量的十二分之一而言。

这个定义包含两个重要概念。

第一，它是一个加权平均值，因为不同同位素可以具有不同的天然丰度。

第二，它是相对的。相对原子质量是一个比值，因此没有单位。

对于大多数 HSC 计算，最重要的公式是：

\[
A_r=\sum (\text{同位素质量})(\text{小数形式的丰度})
\]

其中：

• \(A_r\) 是相对原子质量
• 同位素质量是某一种特定同位素的相对质量
• 小数形式的丰度是属于该同位素的原子所占的比例，并用小数表示

例如，72% 可写为：

\[
72\% = 0.72
\]

如果丰度以百分数给出，也可以这样计算：

\[
A_r=
\frac{\sum(\text{同位素质量})(\text{百分比丰度})}{100}
\]

这两种方法是等价的。

03为什么答案通常不是整数

学生有时会看到元素周期表中的原子质量，例如 24.305 或 63.546，并感到疑惑，因为原子中的质子数和中子数都是整数。

这有两个原因。

其中一个原因是对不同同位素进行加权平均。

另一个原因是，实际的同位素质量本身通常也不是精确的整数。例如，镁-24 原子的同位素质量接近 24，但并不恰好等于 24。

在许多 HSC 题目中，题目可能会给出 24、25 和 26 这样的质量数，并让你把它们作为近似的同位素质量。如果题目提供了更精确的同位素质量，就应使用这些更精确的数值。

题目本身决定了你所使用模型的精确程度。

04理解加权平均值的一种直观方法

假设两个人坐在跷跷板的两端。一种同位素在左边，另一种同位素在右边。

相对原子质量位于它们之间的某个位置。

但丰度有点像额外的影响力。如果一种同位素占全部原子的 95%，那么平均值就会被强烈拉向这种同位素的质量。

这个类比并不完全精确。这里并没有真正的力，也没有真正的跷跷板。它只是帮助你理解为什么平均值会更接近丰度较高的同位素。

这也给了你一个非常有用的检验方法：

相对原子质量必须位于最小和最大同位素质量之间，而且通常应该更接近丰度较高的同位素的质量。

如果一种元素只含有质量为 35 和 37 的同位素，那么 38.1 这个答案是不可能的。

21 也同样不可能。

06最常见的错误：直接对同位素质量取平均值

假设某元素中 99% 是 X-10 同位素，1% 是 X-11 同位素。

学生可能会计算：

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

为什么这看起来似乎合理？因为当我们听到“平均值”时，通常会想到“把所有数值相加，再除以数值的个数”。

但这种方法回答的是错误的问题。它求的是两种同位素质量的平均值，并把两种同位素视为具有相同丰度。

正确的计算是：

\[
A_r=(10)(0.99)+(11)(0.01)=10.01
\]

这在物理意义上是合理的。如果每 100 个原子中有 99 个都是较轻的同位素，那么平均值应该非常接近 10。

一个有用的判断规则是：

08当某个丰度缺失时

通常并不需要题目明确给出每一种同位素的丰度。

如果一种元素只有两种天然存在的同位素，其中一种的丰度为 73%，那么另一种一定是：

\[
100\%-73\%=27\%
\]

对于三种或更多同位素，同样的原则也适用。只要题目包含样品中存在的全部同位素，天然丰度之和就必须为 100%。

但要小心这个假设。如果题目说明列出的三种同位素就是全部天然存在的同位素，那么你可以放心地用 100% 去减。如果列表并不完整，就不能这样做。

在难度较高的题目中，这类隐藏的假设会变得非常重要。

09相对丰度并不总是以百分数给出

质谱图中可能会用相对强度来表示同位素峰。

假设两个同位素峰的相对强度分别为 3 和 1。这并不表示 3% 和 1%。

它表示它们的丰度比为：

\[
3:1
\]

总共有四份，因此它们的小数形式丰度分别为：

\[
\frac{3}{4}=0.75
\]

以及

\[
\frac{1}{4}=0.25
\]

如果它们的同位素质量分别为 34 和 36，那么加权相对原子质量为：

\[
A_r=(34)(0.75)+(36)(0.25)=34.5
\]

重要的思想不是“永远除以 100”，而是“把每一种丰度转换成它占总量的比例”。

10也可以反向计算

有时同位素质量和相对原子质量是已知的，但某个丰度未知。

假设某元素有两种同位素，质量分别为 79 和 81，而它的相对原子质量为 79.6。

设质量为 79 的同位素所占比例为 \(x\)。

因为只有两种同位素，所以质量为 81 的同位素所占比例一定是 \(1-x\)。

于是：

\[
79x+81(1-x)=79.6
\]

展开：

\[
79x+81-81x=79.6
\]

\[
-2x=-1.4
\]

\[
x=0.70
\]

因此，两种同位素的丰度为：

• 质量为 79 的同位素：70%
• 质量为 81 的同位素：30%

这个结果同样通过了物理意义上的检查。79.6 更接近 79，所以质量为 79 的同位素应该更丰富。

11相对原子质量与质量数

这些量很容易混淆。

例如，氯-35 的质量数为 35，因为它的原子核中共有 35 个核子。

这并不意味着氯的相对原子质量必须是 35。氯在自然界中以不止一种同位素存在，因此元素周期表中的数值是一个加权平均值。

电子排布是另一个概念。改变中子数会产生不同的同位素，而改变电子数会产生离子。如果你需要复习这一差别，可以接着阅读 HSC 化学电子排布：原子与离子。

12题目与解答

问题 1

某元素有两种同位素，质量分别为 50.0 和 52.0。它们的天然丰度分别为 84.0% 和 16.0%。计算该元素的相对原子质量。

解答 1

相对原子质量为 \(\boxed{50.32}\)。

相对原子质量是加权平均值，因此每种同位素的质量都必须乘以对应的小数形式丰度。

将百分比转换为小数：

\[
84.0\%=0.840,\qquad16.0\%=0.160
\]

然后：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(50.0)(0.840)+(52.0)(0.160)\\
&=42.0+8.32\\
&=50.32
\end{aligned}
\]

答案更接近 50.0，因为质量为 50 的同位素丰度高得多。

如果只是简单地对 50.0 和 52.0 取平均得到 51.0，就会错误地把两种同位素视为具有相同丰度。

问题 2

某元素含有三种同位素，其组成如下：

计算其相对原子质量。

解答 2

相对原子质量约为 \(\boxed{70.03}\)。

将丰度转换为小数：

\[
0.600,\qquad0.250,\qquad0.150
\]

它们的总和为 1.000，因此这些丰度数据在内部是一致的。

现在计算加权平均值：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(68.93)(0.600)+(70.92)(0.250)+(71.92)(0.150)\\
&=41.358+17.730+10.788\\
&=69.876
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{A_r=69.88}
\]

平均值更接近 68.93，而不是另外两种较重的同位素，因为最轻的同位素占样品的 60%。

问题 3

某元素恰好有两种天然存在的同位素。其中一种同位素的质量为 106.9，丰度为 51.8%。第二种同位素的质量为 108.9。

计算相对原子质量。

解答 3

相对原子质量约为 \(\boxed{107.86}\)。

因为恰好有两种同位素，所以它们的丰度之和必须为 100%。因此第二种同位素的丰度为：

\[
100.0\%-51.8\%=48.2\%
\]

将两种丰度都转换为小数：

\[
0.518,\qquad0.482
\]

现在计算：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(106.9)(0.518)+(108.9)(0.482)\\
&=55.3742+52.4898\\
&=107.864
\end{aligned}
\]

因此：

\[
\boxed{A_r\approx107.86}
\]

答案几乎位于两个同位素质量的中间，因为它们的丰度相当接近。它略微更接近 106.9，因为这种同位素的丰度稍高。

问题 4

某元素的质谱显示两个同位素峰，质量分别为 84 和 86。它们的相对强度分别为 5 和 3。

计算该元素的相对原子质量。

解答 4

相对原子质量为 \(\boxed{84.75}\)。

数字 5 和 3 表示的是比例，而不是百分数。它们合起来表示：

\[
5+3=8
\]

份相等的丰度。

因此，小数形式的丰度分别为：

\[
\frac{5}{8}=0.625
\]

以及

\[
\frac{3}{8}=0.375
\]

现在计算加权平均值：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(84)(0.625)+(86)(0.375)\\
&=52.5+32.25\\
&=84.75
\end{aligned}
\]

一个很容易犯的错误，是把 5 和 3 当成 5% 和 3%。它们是相对强度，因此必须先转换成它们各自占总强度的比例。

问题 5

某元素恰好有两种天然存在的同位素，同位素质量分别为 112.0 和 115.0。测得其相对原子质量为 114.1。

求每种同位素的百分比丰度。

解答 5

质量为 112.0 的同位素丰度为 \(\boxed{30.0\%}\)，质量为 115.0 的同位素丰度为 \(\boxed{70.0\%}\)。

设质量为 112 的同位素的小数形式丰度为 \(x\)。

因为只有两种同位素，所以质量为 115 的同位素的小数形式丰度为 \(1-x\)。

使用加权平均公式：

\[
112.0x+115.0(1-x)=114.1
\]

展开并求解：

\[
\begin{aligned}
112.0x+115.0-115.0x&=114.1\\
-3.0x&=-0.9\\
x&=0.300
\end{aligned}
\]

因此：

\[
112.0:\quad0.300\times100\%=30.0\%
\]

以及：

\[
115.0:\quad100.0\%-30.0\%=70.0\%
\]

即使在进行代数计算之前，这个结果也是合理的。相对原子质量 114.1 更接近 115.0，而不是 112.0，因此较重的同位素应该具有更高的丰度。

问题 6

一名学生被告知，某元素有三种天然存在的同位素，质量分别为 40、42 和 44。测得其中质量为 40 的同位素丰度为 70%，质量为 42 的同位素丰度为 20%。

学生计算出质量为 44 的同位素丰度为 10%，然后得到：

\[
A_r=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(44)(0.10)=40.8
\]

后来，第二次实验表明，样品中还含有少量质量为 43 的第四种同位素，而原始数据中遗漏了这种同位素。

解释为什么该学生的数值计算不能再被接受，即使其算术运算本身是正确的。

解答 6

这个计算不能被接受，因为用来得到 10% 丰度的假设已经不再成立。

学生的推理是：

\[
100\%-70\%-20\%=10\%
\]

只有在质量为 40、42 和 44 的同位素代表样品中全部同位素时，这个计算才是正确的。

一旦确认质量为 43 的同位素也存在，剩余的 10% 丰度中就必须有一部分属于这种同位素。因此，原先分配给质量为 44 的同位素的丰度就变成了未知量。

例如，如果质量为 43 的同位素丰度为 2%，那么质量为 44 的同位素丰度就只有：

\[
100\%-70\%-20\%-2\%=8\%
\]

此时，加权平均值将为：

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(43)(0.02)+(44)(0.08)\\
&=40.78
\end{aligned}
\]

修正后的精确数值取决于质量为 43 的同位素的丰度。

这里的重要陷阱在于：即使某一步算术运算完全正确，如果数字背后的假设是错误的，仍然可能得出无效的科学结论。

13这一计算接下来会引向什么

加权相对原子质量把同位素这一微观概念，与一个贯穿化学学习的重要数值联系起来。

一旦你能熟练地在同位素质量、丰度和 \(A_r\) 之间进行转换，质谱图就会更容易理解。你可以利用峰的位置确定同位素质量，利用峰的大小推断相对丰度，并将这两类信息结合起来，解释为什么元素周期表会给某元素列出相应的原子质量。

同样的原子结构知识还会进一步联系到电子排布、化学键和周期性趋势。原子核决定你所研究的是哪一种元素，同位素会改变其中子数和质量，而电子则决定了该元素很大一部分化学性质。