مخططات السرعة-الزمن: شرح الميل والمساحة والحركة

قد يبدو مخطط السرعة-الزمن بسيطًا على نحو خادع: خط يصعد أو يهبط أو يمتد أفقيًا. لكن مخططًا واحدًا يمكن أن يخبرك ما إذا كان جسم ما يزداد سرعة، أو يتباطأ، أو يعكس اتجاهه، أو يتسارع، وكذلك مقدار تغير موضعه.

لكن هناك نقطة مهمة. عليك قراءة المخطط بطريقتين مختلفتين. يخبرك الميل عن التسارع. أما المساحة الموقَّعة بين المخطط ومحور الزمن فتخبرك عن الإزاحة. والخلط بين هاتين الفكرتين من أسهل الطرق لفقدان فهم ما يقوله المخطط فعليًا.

افترض أن سرعة سيارة تزداد بانتظام من \(2\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(8\ \text{m s}^{-1}\). قبل إجراء أي حساب، توقّع الآتي: هل تنظر إلى ارتفاع المخطط، أم ميله، أم المساحة تحته لإيجاد تسارع السيارة؟

الإجابة هي الميل. ارتفاع المخطط يعطي السرعة نفسها. أما ميله فيخبرك بمدى سرعة تغير تلك السرعة.

01ما الذي يوضحه مخطط السرعة-الزمن فعليًا

يحتوي مخطط السرعة-الزمن على:

• الزمن \(t\) على المحور الأفقي، ويُقاس عادةً بالثواني
• السرعة المتجهة \(v\) على المحور الرأسي، وتُقاس عادةً بالمتر لكل ثانية، \(\text{m s}^{-1}\)

تخبرك كل نقطة بسرعة الجسم المتجهة عند لحظة معينة.

إذا مر المخطط بالنقطة \((3,5)\)، فهذا يعني أنه عند \(t=3\ \text{s}\)، تكون السرعة المتجهة \(5\ \text{m s}^{-1}\).

للإشارة أهمية. فالسرعة المتجهة \(+5\ \text{m s}^{-1}\) تعني الحركة في الاتجاه الذي جرى تعريفه على أنه موجب. أما السرعة المتجهة \(-5\ \text{m s}^{-1}\) فتعني الحركة في الاتجاه المعاكس.

إذا كانت الكميات ذات الإشارة لا تزال مربكة بعض الشيء، فمن المفيد مراجعة السرعة والسرعة المتجهة قبل المتابعة.

النموذج الذهني الأول: تخيّل أنك تراقب عداد السرعة

تخيّل سيارة مزودة بعداد سرعة يمكنه أيضًا إظهار الاتجاه.

يعني الخط الأفقي عند \(+6\ \text{m s}^{-1}\) أن القراءة تظل عند \(+6\ \text{m s}^{-1}\). أي أن السيارة تتحرك بسرعة متجهة ثابتة.

الخط المائل إلى أعلى يعني أن قراءة السرعة المتجهة تزداد.

والخط المائل إلى أسفل يعني أن قراءة السرعة المتجهة تنخفض.

هذا النموذج مفيد، لكنه غير كامل. فعبارة “السرعة المتجهة تنخفض” لا تعني دائمًا أن “السرعة القياسية تنخفض”. فإذا أصبحت السرعة المتجهة أكثر سلبية، فإن قيمتها العددية تنخفض بينما قد تزداد السرعة القياسية للجسم فعليًا.

سنعود إلى هذا الفخ لاحقًا.

02الميل يخبرك بالتسارع

يقيس التسارع مدى سرعة تغير السرعة المتجهة مع الزمن.

بالنسبة إلى جزء مستقيم من مخطط السرعة-الزمن،

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

حيث:

• \(a\) هو التسارع بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) هو التغير في السرعة المتجهة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) هو الفترة الزمنية بالثواني

وهذه هي بالضبط صيغة الميل في الرياضيات:

\[
\text{الميل}=\frac{\text{التغير الرأسي}}{\text{التغير الأفقي}}
\]

في مخطط السرعة-الزمن، يكون “التغير الرأسي” تغيرًا في السرعة المتجهة، ويكون “التغير الأفقي” تغيرًا في الزمن. لذلك تكون وحدات الميل

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

وهي وحدات التسارع.

ماذا تعني الميول المختلفة

كن حذرًا مع عبارتي التسارع الموجب وازدياد السرعة. فهما ليستا مترادفتين.

إذا كانت سرعة جسم متجهة سالبة وتسارعه موجبًا، فقد يكون الجسم في حالة تباطؤ.

يخبرك التسارع بكيفية تغير السرعة المتجهة، وليس بالضرورة بكيفية تغير السرعة القياسية.

03لماذا تعطي المساحة الإزاحة

افترض الآن أن جسمًا يتحرك بسرعة متجهة ثابتة مقدارها \(5\ \text{m s}^{-1}\) لمدة \(4\ \text{s}\).

أنت تعرف بالفعل كيفية إيجاد إزاحته:

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

انظر إلى ما تكوّنه الأعداد نفسها على مخطط السرعة-الزمن. يشكّل المخطط مستطيلًا له:

• ارتفاع \(5\ \text{m s}^{-1}\)
• عرض \(4\ \text{s}\)

ومساحته هي

\[
A=(5)(4)=20
\]

أما الوحدات فهي

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

إذن للمساحة وحدات الإزاحة.

وهذا ليس مصادفة. ففي أي مخطط للسرعة-الزمن، فإن المساحة الموقَّعة بين المخطط ومحور الزمن تعطي الإزاحة.

إذا كانت السرعة المتجهة ثابتة،

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

وإذا تغيرت السرعة المتجهة، تظل الفكرة نفسها صحيحة. فتقسّم المنطقة إلى أشكال مناسبة، أو، كما ستفعل لاحقًا في الرياضيات والفيزياء، تنظر إلى المساحة على أنها تراكم كثير من المساهمات الصغيرة \(v\Delta t\).

04كلمة “موقَّعة” مهمة

تخيّل أن جسمًا يتحرك بسرعة متجهة \(+3\ \text{m s}^{-1}\) لمدة \(2\ \text{s}\)، ثم بسرعة متجهة \(-3\ \text{m s}^{-1}\) لمدة \(2\ \text{s}\).

يعطي الجزء الأول

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

ويعطي الجزء الثاني

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

لذلك،

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

لقد قطع الجسم مسافة، لكنه ينتهي عند النقطة التي بدأ منها.

على المخطط، تكون المساحة فوق محور الزمن \(+6\ \text{m}\)، بينما تكون المساحة تحت محور الزمن \(-6\ \text{m}\). فتُلغي إحداهما الأخرى.

ولهذا لا يمكنك ببساطة جمع كل المساحات الهندسية باعتبارها أعدادًا موجبة عند إيجاد الإزاحة.

وهذا يرتبط مباشرة بالفرق بين المسافة والإزاحة.

تشبيه طريف قليلًا

فكّر في الإزاحة كما لو كنت تتتبع مالًا مستحقًا بينك وبين صديقك.

أن تكون عند \(+\$20\) يعني أن صديقك مدين لك. وأن تكون عند \(-\$20\) يعني أنك مدين لصديقك. فإذا تجاهلت الإشارات لأن “العشرين هي العشرين”، فستصبح حساباتك غير منطقية بسرعة.

تعمل مساحات مخطط السرعة-الزمن بالطريقة نفسها. فالمساحات فوق المحور وتحته تمثل إزاحات في اتجاهين متعاكسين.

وينهار هذا التشبيه عند نقطة معينة، لأن المال يمكن نقله بين الأشخاص بطرق كثيرة، بينما يصف المخطط حركة على طول محور مختار. لكن طريقة تتبع الإشارات متشابهة.

05عبور محور الزمن يعني تغير الاتجاه

ماذا يحدث عندما يعبر مخطط السرعة-الزمن الخط \(v=0\)؟

عند تلك اللحظة، تكون السرعة المتجهة صفرًا.

إذا استمر المخطط من سرعة متجهة موجبة إلى سرعة متجهة سالبة، فإن الجسم يعكس اتجاهه.

على سبيل المثال:

• قبل العبور، \(v>0\)، لذلك يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب
• عند العبور، \(v=0\)، لذلك يكون ساكنًا لحظيًا
• بعد العبور، \(v<0\)، لذلك يتحرك في الاتجاه السالب

من الأخطاء الشائعة افتراض أن \(v=0\) يعني أن \(a=0\).

وهذا غير صحيح.

ارتفاع المخطط يخبرك بالسرعة المتجهة. أما الميل فيخبرك بالتسارع. يمكن لمخطط أن يعبر \(v=0\) بميل حاد، ولذلك يمكن أن تكون سرعة الجسم المتجهة صفرًا بينما يكون تسارعه غير صفري في اللحظة نفسها.

وتُعد الكرة المقذوفة رأسيًا إلى أعلى مثالًا مألوفًا. فعند أعلى نقطة في مسارها، تكون سرعتها المتجهة اللحظية صفرًا، لكن تسارعها بسبب الجاذبية يظل متجهًا إلى أسفل.

06ازدياد السرعة أم التباطؤ: قارن الإشارات

إليك اختبارًا مفيدًا.

يكون الجسم في حالة ازدياد في السرعة عندما تكون للسرعة المتجهة والتسارع الإشارة نفسها.

ويكون الجسم في حالة تباطؤ عندما تكون إشارتا السرعة المتجهة والتسارع متعاكستين.

لماذا؟

السرعة القياسية هي مقدار السرعة المتجهة. فإذا كان لجسم \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\) و\(a=+2\ \text{m s}^{-2}\)، فإن سرعته المتجهة تصبح أكثر إيجابية، فتزداد سرعته القياسية.

لكن إذا كان

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

و

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

فإن سرعته المتجهة تصبح أكثر سلبية، وربما تأخذ القيم \(-5,-7,-9,\ldots\). ويزداد مقدارها، لذلك يكون الجسم أيضًا في حالة ازدياد في السرعة.

غالبًا ما تربك هذه الحالة الثانية الطلاب لأن المخطط يميل إلى أسفل.

جدول سريع لاتخاذ القرار

تعمل هذه القاعدة ما دامت أي من الإشارتين لا تتغير خلال الفترة التي تدرسها.

08ماذا لو كان المخطط منحنيًا؟

يمتلك الجزء المستقيم من مخطط السرعة-الزمن ميلًا ثابتًا، ولذلك فهو يمثل تسارعًا ثابتًا.

أما الجزء المنحني فيعني أن الميل يتغير. ولذلك يتغير التسارع أيضًا.

وعند لحظة معينة، يُعطى التسارع بواسطة ميل المماس لمنحنى السرعة-الزمن عند تلك النقطة.

وهذه هي الفكرة نفسها المستخدمة للسرعة المتجهة اللحظية في مخطط الإزاحة-الزمن. هناك، يعطي ميل المماس السرعة المتجهة. وهنا، بعد مشتقة إضافية واحدة، يعطي ميل المماس التسارع.

بالنسبة إلى فيزياء HSC، الفكرة الفيزيائية المهمة هي:

\[
\text{ميل مخطط السرعة-الزمن}=\text{التسارع}
\]

كلما كان المماس أشد انحدارًا، كان مقدار التسارع أكبر.

ماذا عن الإزاحة تحت مخطط منحني؟

تظل قاعدة المساحة صحيحة.

بالنسبة إلى الأجزاء البسيطة ذات الخطوط المستقيمة، يمكنك استخدام المستطيلات والمثلثات وأشباه المنحرف. أما بالنسبة إلى منحنى تجريبي غير منتظم، فقد تحتاج المساحة إلى تقدير عددي من المخطط أو البيانات.

لم تتغير الفيزياء. فما زلت تجمع كثيرًا من الكميات الصغيرة من الصورة

\[
v\Delta t
\]

على امتداد الفترة الزمنية.

09أشباه المنحرف ليست سوى السرعة المتجهة المتوسطة بصورة أخرى

افترض أن السرعة المتجهة تتغير بانتظام من \(v_i\) إلى \(v_f\) خلال زمن \(\Delta t\).

المساحة تحت خط السرعة-الزمن المستقيم هي شبه منحرف:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

والكمية

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

هي السرعة المتجهة المتوسطة في حالة التسارع الثابت. لذلك يمكن أيضًا كتابة ذلك على الصورة

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

وهذا مفيد لأنه يربط المخطط بمعادلات التسارع الثابت، بدلًا من أن تبدو مسائل المخططات كأنها موضوع منفصل تمامًا.

لمزيد من المعلومات عن هذا الارتباط، راجع السرعة المتجهة المتوسطة واللحظية.

10أكثر أخطاء المخططات إغراءً

الخطأ 1: اعتبار ارتفاع المخطط هو التسارع

في مخطط السرعة-الزمن، يمثل الإحداثي الرأسي السرعة المتجهة.

تعني النقطة المرتفعة فوق المحور سرعة متجهة موجبة كبيرة، وليس تسارعًا كبيرًا.

ويمثل الخط الأفقي عند \(20\ \text{m s}^{-1}\) تسارعًا يساوي صفرًا لأن ميله يساوي صفرًا.

الخطأ 2: القول إن الميل إلى أسفل يعني دائمًا التباطؤ

تخيّل مخططًا أسفل محور الزمن ينخفض من \(-2\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(-8\ \text{m s}^{-1}\).

يميل إلى أسفل، ولذلك يكون التسارع سالبًا.

لكن السرعة القياسية ازدادت من \(2\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(8\ \text{m s}^{-1}\).

إذن الجسم يزداد سرعة في الاتجاه السالب.

الخطأ 3: استخدام مساحة غير موقَّعة للإزاحة

تساهم المساحات تحت المحور بإزاحة سالبة.

إذا جعلت كل مساحة موجبة، فأنت بذلك تجد المسافة الكلية المقطوعة بدلًا من الإزاحة.

الخطأ 4: الاعتقاد أن العودة إلى \(v=0\) تعني العودة إلى موضع البداية

تخبرك السرعة المتجهة \(v=0\) بأن الجسم ساكن لحظيًا.

ولا تخبرك وحدها بأي شيء عن موضعه.

ولمعرفة ما إذا كان الجسم قد عاد إلى نقطة البداية، افحص صافي المساحة الموقَّعة منذ زمن البداية. ولا يعود إلى موضعه الأصلي إلا عندما تكون الإزاحة الكلية صفرًا.

الخطأ 5: الخلط بين مخطط السرعة-الزمن ومخطط الإزاحة-الزمن

يجدر توضيح الفرق صراحةً:

إذا كنت تخلط بين نوعي المخططات، فستساعدك مراجعة مخططات الإزاحة-الزمن.

11طريقة موثوقة لقراءة أي مخطط للسرعة-الزمن

عندما يُعطى لك مخطط غير مألوف، اتبع هذا الترتيب:

1. اقرأ القيم الرأسية. هذه هي السرعات المتجهة.
2. تحقق من الإشارات. السرعة المتجهة الموجبة والسالبة تمثلان اتجاهين متعاكسين.
3. انظر إلى الميل. فهو يعطي إشارة التسارع ومقداره.
4. لاحظ أي عبور لـ \(v=0\). تغير إشارة السرعة المتجهة يعني تغيرًا في الاتجاه.
5. استخدم المساحة الموقَّعة للإزاحة. المساحة فوق المحور موجبة والمساحة تحته سالبة.
6. استخدم القيم المطلقة للمساحات لإيجاد المسافة المقطوعة.
7. قارن إشارات \(v\) و\(a\) إذا احتجت إلى تحديد ما إذا كان الجسم يزداد سرعة أم يتباطأ.

يمنع هذا التسلسل معظم أخطاء التفسير الشائعة.

12الأسئلة والحلول

السؤال 1

تتحرك عربة بسرعة متجهة ثابتة مقدارها \(3.5\ \text{m s}^{-1}\) لمدة \(8.0\ \text{s}\).

ما تسارعها، وما إزاحتها خلال هذه الفترة؟

الحل 1

التسارع هو \(0\ \text{m s}^{-2}\)، والإزاحة هي \(28\ \text{m}\) في الاتجاه الموجب.

لأن السرعة المتجهة ثابتة، يكون مخطط السرعة-الزمن أفقيًا. ولذلك يكون ميله صفرًا:

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

الإزاحة هي مساحة المستطيل تحت المخطط:

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

إذن تستمر العربة في الحركة رغم أن تسارعها يساوي صفرًا. فالتسارع الصفري لا يعني سرعة متجهة صفرية.

السؤال 2

يتحرك متزلج على لوح في الاتجاه الموجب. تنخفض سرعته المتجهة بانتظام من \(12\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) خلال \(4.0\ \text{s}\).

احسب التسارع والإزاحة خلال هذه الفترة. وحدد ما إذا كان المتزلج يزداد سرعة أم يتباطأ.

الحل 2

التسارع هو \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\)، والإزاحة هي \(32\ \text{m}\)، والمتزلج يتباطأ.

احسب التسارع أولًا:

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

تظل السرعة المتجهة موجبة بينما يكون التسارع سالبًا. ولأن السرعة المتجهة والتسارع لهما إشارتان متعاكستان، تنخفض السرعة القياسية للمتزلج.

الإزاحة هي مساحة شبه المنحرف:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

تعني الإزاحة الموجبة أن الموضع النهائي للمتزلج يقع على بعد \(32\ \text{m}\) إضافية في الاتجاه الموجب مقارنة بموضع البداية.

السؤال 3

يتحرك روبوت على مسار مستقيم. عند \(t=0\)، تكون سرعته المتجهة \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\). وتتغير سرعته المتجهة بانتظام إلى \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) عند \(t=2.0\ \text{s}\).

يقول طالب: “الروبوت يتباطأ لأن سرعته المتجهة تصبح أصغر.”

حدد تسارع الروبوت وإزاحته والتغير في سرعته القياسية. واشرح الخطأ في استدلال الطالب.

الحل 3

تسارع الروبوت هو \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)، وإزاحته \(-12\ \text{m}\)، وتزداد سرعته القياسية بمقدار \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). الروبوت يزداد سرعة، ولا يتباطأ.

التسارع هو

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

الإزاحة هي مساحة شبه المنحرف الموقَّعة:

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

السرعة القياسية الابتدائية هي

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

والسرعة القياسية النهائية هي

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

إذن

\[
\Delta(\text{السرعة القياسية})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

خطأ الطالب هو أنه اعتبر أن “الأكثر سلبية” يعني “أبطأ”. لقد انخفضت السرعة المتجهة عدديًا من \(-3.0\) إلى \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\)، لكن السرعة القياسية تعتمد على مقدار السرعة المتجهة. وهذا المقدار قد ازداد.

كل من السرعة المتجهة والتسارع سالب، ولذلك فلهما الإشارة نفسها. الروبوت يزداد سرعة في الاتجاه السالب.

السؤال 4

تتغير السرعة المتجهة لجسم خطيًا من \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\) عند \(t=0\) إلى \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\) عند \(t=6.0\ \text{s}\).

أوجد:

1. التسارع
2. الزمن الذي يغير عنده الجسم اتجاهه
3. الإزاحة الكلية
4. المسافة الكلية المقطوعة

الحل 4

التسارع هو \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\)، ويغير الجسم اتجاهه عند \(4.0\ \text{s}\)، وإزاحته \(12\ \text{m}\)، والمسافة الكلية التي قطعها \(20\ \text{m}\).

أولًا، احسب التسارع:

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

يغير الجسم اتجاهه عندما \(v=0\). باستخدام

\[
v=v_i+at,
\]

نحصل على

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

إذن

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

من \(0\) إلى \(4.0\ \text{s}\)، يشكل المخطط مثلثًا فوق المحور:

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

ومن \(4.0\) إلى \(6.0\ \text{s}\)، يشكل مثلثًا تحت المحور:

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

لذلك تكون الإزاحة

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

أما بالنسبة إلى المسافة، فتُعامل المساهمتان على أنهما موجبتان:

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

يظهر الفرق بين \(12\ \text{m}\) و\(20\ \text{m}\) لأن الجسم يقطع \(4.0\ \text{m}\) عائدًا في الاتجاه السالب بعد انعكاس اتجاهه.

السؤال 5

يبدأ جسمان، A وB، من الموضع نفسه عند \(t=0\).

للجسم A سرعة متجهة ثابتة مقدارها \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) لمدة \(6.0\ \text{s}\).

أما الجسم B فتزداد سرعته المتجهة خطيًا من \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\) عند \(t=0\) إلى \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) عند \(t=6.0\ \text{s}\).

يجادل طالب بأن B لا بد أن ينتهي متقدمًا على A لأن سرعته المتجهة النهائية أكبر بكثير.

حدد ما إذا كان الجسمان ينتهيان عند الموضع نفسه، أم أن أحدهما ينتهي متقدمًا. واشرح لماذا لا تكفي مقارنة السرعتين المتجهتين النهائيتين وحدهما للإجابة عن السؤال.

الحل 5

ينتهي الجسمان عند الموضع نفسه، على بعد \(24\ \text{m}\) من حيث بدآ.

بالنسبة إلى الجسم A، السرعة المتجهة ثابتة:

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

بالنسبة إلى الجسم B، تتغير السرعة المتجهة بانتظام، ولذلك تكون إزاحته هي مساحة شبه المنحرف:

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

لذلك،

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

ومن ثم ينتهيان عند الموضع نفسه.

يفشل استدلال الطالب لأن السرعة المتجهة النهائية تصف الحركة عند لحظة واحدة. أما تغير الموضع فيعتمد على السرعة المتجهة المتراكمة على امتداد الفترة الزمنية كلها، وهو ما تمثله المساحة تحت مخطط السرعة-الزمن.

يتحرك الجسم B لفترة وجيزة في الاتجاه السالب، ثم يتسارع مارًا بالصفر ويصل إلى سرعة متجهة موجبة أكبر بكثير. ومع ذلك، تنتج هذه المراحل المختلفة صافي المساحة نفسه الناتج عن سرعة A المتجهة الثابتة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\).

السؤال 6

يتكون مخطط السرعة-الزمن لمركبة من جزأين مستقيمين.

من \(t=0\) إلى \(t=5.0\ \text{s}\)، ترتفع السرعة المتجهة بانتظام من \(0\) إلى \(10.0\ \text{m s}^{-1}\).

ومن \(t=5.0\) إلى \(t=9.0\ \text{s}\)، تنخفض السرعة المتجهة بانتظام من \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

تتحرك مركبة ثانية بسرعة متجهة ثابتة طوال مدة \(9.0\ \text{s}\)، ولها الإزاحة نفسها تمامًا التي للمركبة الأولى.

أوجد السرعة المتجهة الثابتة للمركبة الثانية. ثم اشرح لماذا لا تخبرك هذه القيمة بأن المركبتين كان لهما في أي وقت التسارع نفسه.

الحل 6

السرعة المتجهة الثابتة للمركبة الثانية تساوي تقريبًا \(5.89\ \text{m s}^{-1}\)، وتساوي الإزاحة لا يعني تساوي التسارع.

خلال أول \(5.0\ \text{s}\)، تكون إزاحة المركبة الأولى هي مساحة المثلث:

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

وخلال \(4.0\ \text{s}\) التالية، تكون إزاحتها هي مساحة شبه المنحرف:

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

لذلك تكون إزاحتها الكلية

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

إذا كانت للمركبة الثانية سرعة متجهة ثابتة \(v\)، فإن

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

إذن

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

لذلك فإن السرعة المتجهة الثابتة للمركبة الثانية تساوي تقريبًا

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

ولأن سرعتها المتجهة ثابتة، فإن تسارعها هو

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

أما المركبة الأولى فلها تسارع غير صفري خلال كلا الجزأين. فمن \(0\) إلى \(5.0\ \text{s}\)،

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

ومن \(5.0\) إلى \(9.0\ \text{s}\)،

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

للمركبتين الإزاحة نفسها لأن مخططي السرعة-الزمن لهما المساحة الموقَّعة نفسها، وليس لأن ميولهما متساوية.

وهذا الفرق هو مصدر القوة الأساسي في مخطط السرعة-الزمن: الميل والمساحة يجيبان عن سؤالين فيزيائيين مختلفين. يخبرك الميل بكيفية تغير السرعة المتجهة. وتخبرك المساحة الموقَّعة بكيفية تغير الموضع. وبمجرد أن يصبح هذان الأسلوبان في القراءة راسخين لديك، تصبح معادلات التسارع الثابت أسهل بكثير في الفهم، لأنك تستطيع رؤية مصدر العلاقات الجبرية بدلًا من التعامل مع كل معادلة على أنها صيغة يجب حفظها.