استخدام معادلة s = ut + 1/2 at² في فيزياء HSC

تتحرك سيارة شرقًا بسرعة \(12\text{ m s}^{-1}\). يضغط السائق على المكابح بمعدل ثابت لمدة \(3.0\text{ s}\). أنت تعرف السرعة الابتدائية والتسارع والزمن، لكنك لا تعرف المسافة التي تتحركها السيارة.

قد تميل إلى حساب \(12 \times 3 = 36\text{ m}\). لكن هذا يفترض أن السيارة تستمر في التحرك بسرعة \(12\text{ m s}^{-1}\) طوال الثواني الثلاث. وهذا لا يحدث، لأنها تتباطأ.

المعادلة

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

تحل هذه المشكلة تحديدًا، بشرط أن يكون التسارع ثابتًا.

الجزء الأصعب في أسئلة HSC لا يكون عادةً التعويض في المعادلة. بل يكون تحديد ما إذا كانت المعادلة تنطبق أصلًا، واختيار إشارات \(u\) و\(a\) و\(s\) بصورة صحيحة.

01ما المشكلة التي تحلها المعادلة؟

افترض أن جسمًا يبدأ بسرعة متجهة \(u\)، ثم يتسارع بمعدل ثابت \(a\).

يمكننا تصور حركته على أنها تتكون من جزأين.

أولًا، تخيل أن الجسم استمر في الحركة بسرعته المتجهة الابتدائية لمدة \(t\). عندها سيقطع إزاحة مقدارها

\[
ut.
\]

لكن التسارع يغير سرعة الجسم المتجهة أثناء حركته. ويسهم هذا التغير في إزاحة إضافية، أو يقلل الإزاحة إذا كان اتجاه التسارع معاكسًا لاتجاه الحركة الابتدائية.

مساهمة التسارع في الإزاحة هي

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

إذن الإزاحة الكلية هي

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

حيث:

• \(s\) هي الإزاحة، وتقاس بالأمتار (\(\text{m}\))
• \(u\) هي السرعة المتجهة الابتدائية، وتقاس بالأمتار لكل ثانية (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(a\) هو التسارع الثابت، ويقاس بالأمتار لكل ثانية مربعة (\(\text{m s}^{-2}\))
• \(t\) هو الزمن المنقضي، ويقاس بالثواني (\(\text{s}\))

لاحظ أن \(s\) تمثل الإزاحة، لا المسافة. يصبح هذا الفرق مهمًا كلما غيّر الجسم اتجاهه. إذا كان هذا الفرق لا يزال غير واضح، فراجع المسافة والإزاحة في فيزياء HSC قبل المتابعة.

02لماذا يوجد العامل \(\frac{1}{2}\)؟

قد يبدو العامل \(\frac{1}{2}\) وكأنه شيء عليك حفظه فقط. لكنه ليس اعتباطيًا.

تخيل جسمًا يبدأ من السكون ويتسارع بمعدل ثابت قدره \(2\text{ m s}^{-2}\) لمدة \(4\text{ s}\).

تزداد سرعته المتجهة على النحو الآتي:

• عند \(0\text{ s}\): \(0\text{ m s}^{-1}\)
• عند \(1\text{ s}\): \(2\text{ m s}^{-1}\)
• عند \(2\text{ s}\): \(4\text{ m s}^{-1}\)
• عند \(3\text{ s}\): \(6\text{ m s}^{-1}\)
• عند \(4\text{ s}\): \(8\text{ m s}^{-1}\)

توقّع الإزاحة. هل ستكون \(8 \times 4 = 32\text{ m}\)؟

لا. لا يصل الجسم إلى \(8\text{ m s}^{-1}\) إلا في النهاية. وخلال معظم الثواني الأربع يكون متحركًا بسرعة أقل.

ولأن السرعة المتجهة تزداد بانتظام من \(0\) إلى \(8\text{ m s}^{-1}\)، فإن متوسط سرعته المتجهة هو

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

إذن إزاحته هي

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

ويعطي استخدام \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) النتيجة نفسها:

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

يظهر العامل \(\frac{1}{2}\) لأن السرعة المتجهة، في حالة التسارع الثابت، تتغير تدريجيًا بدلًا من أن تقفز فورًا إلى قيمتها النهائية.

وهناك طريقة أخرى لرؤية ذلك باستخدام رسم بياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن. يمثل الحد \(ut\) المساحة المستطيلة الناتجة عن السرعة المتجهة الابتدائية. ويمثل الحد \(\frac{1}{2}at^2\) المساحة المثلثة الناتجة عن تغير السرعة المتجهة.

هذه الصورة مفيدة، لكن لها حدود: لا يظهر المثلث المنتظم إلا عندما يكون التسارع ثابتًا. إذا تغير التسارع مع الزمن، فلن يكون الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن خطًا مستقيمًا عمومًا، ولا يمكن ببساطة استخدام هذه المعادلة على الفترة الزمنية كلها.

03الشرط الذي ينساه الطلاب: يجب أن يكون التسارع ثابتًا

تنتمي هذه المعادلة إلى معادلات التسارع الثابت.

وهذا يعني أن \(a\) يجب أن تبقى بالقيمة نفسها طوال الفترة الزمنية التي تحللها.

على سبيل المثال، يمكن بصورة معقولة نمذجة الحالات الآتية باستخدام تسارع ثابت إذا نص السؤال على ذلك:

• جسم في سقوط حر بالقرب من سطح الأرض، مع إهمال مقاومة الهواء
• سيارة تتسارع بانتظام على طريق مستقيم
• قطار يكبح بمعدل ثابت
• عربة تتحرك بتسارع ثابت على مسار

لكن افترض أن سيارة تتسارع بمقدار \(2\text{ m s}^{-2}\) لمدة ثانيتين، ثم بمقدار \(5\text{ m s}^{-2}\) لمدة ثانيتين أخريين.

هل يمكنك وضع \(t = 4\text{ s}\) في

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

باستخدام قيمة واحدة ملائمة للتسارع \(a\)؟

ليس إلا إذا كانت تلك القيمة تمثل بالفعل تسارعًا ثابتًا طوال الفترة كلها. وفي هذا المثال، لا تفعل ذلك.

بدلًا من ذلك، قسّم الحركة إلى فترات. احسب الإزاحة خلال فترة التسارع الثابت الأولى، وحدد السرعة المتجهة الجديدة، ثم حلل الفترة الثانية.

يمكن أن يساعدك الرسم البياني للتسارع مقابل الزمن على تمييز الحالات التي يكون فيها التسارع ثابتًا والحالات التي يجب فيها تقسيم الحركة إلى أجزاء.

04اختيار الإشارات: اختر اتجاهًا موجبًا أولًا

هنا تنهار كثير من الحلول التي تكون صحيحة في ما عدا ذلك.

السرعة المتجهة والتسارع كميتان متجهتان. وفي الحركة أحادية البعد، تخبرك إشارتاهما بالاتجاه الذي تشير إليه كل منهما.

قبل التعويض بأي شيء، اختر اتجاهًا موجبًا.

بالنسبة إلى الحركة الأفقية، قد تختار:

\[
\text{الشرق} = +
\]

وهذا يعني تلقائيًا أن

\[
\text{الغرب} = -.
\]

وبالنسبة إلى الحركة الرأسية، قد تختار:

\[
\text{أعلى} = +
\]

وهذا يعني أن

\[
\text{أسفل} = -.
\]

يمكنك اختيار الاصطلاح المعاكس وستظل تحصل على الفيزياء الصحيحة. المهم هو الاتساق.

فكّر في اختيار الاتجاه الموجب كما لو كنت تحدد أي طرف من ممر سيحمل أرقام الغرف الموجبة. لا يهم الفيزياء أي طرف تختار. ما يهم هو ألا تغيّر اختيارك في منتصف الممر.

الإشارات لا تعني «جيدًا» أو «سيئًا» أو «تسارعًا» أو «تباطؤًا»

التسارع السالب لا يعني تلقائيًا أن الجسم يتباطأ.

بل يعني أن اتجاه التسارع هو الاتجاه السالب.

افترض أن الشرق هو الاتجاه الموجب.

إذا كانت سيارة تتحرك شرقًا، فإن \(u > 0\).

إذا كان تسارعها يشير غربًا، فإن \(a < 0\). يعاكس التسارع اتجاه السرعة المتجهة، ولذلك تتباطأ السيارة.

لكن افترض أن السيارة تتحرك غربًا. عندها \(u < 0\). وإذا كان تسارعها يشير أيضًا غربًا، فإن \(a < 0\)، وتزداد سرعة السيارة.

إذن القاعدة المفيدة هي:

تخبرك الإشارات أولًا بالاتجاه. أما ما إذا كان مقدار السرعة يزداد أو يقل، فيتحدد بمقارنة اتجاهي السرعة المتجهة والتسارع.

05طريقة موثوقة لتحديد الإشارات

قبل استخدام المعادلة، اكتب الاتجاه الموجب الذي اخترته.

ثم حوّل كل كمية متجهة وفق هذا الاصطلاح.

افترض أن كرة قُذفت إلى أعلى بسرعة \(15\text{ m s}^{-1}\)، واخترت الأعلى اتجاهًا موجبًا.

إذن:

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

ويكون تسارع الجاذبية إلى أسفل، لذلك

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

إذا كانت الإزاحة المحسوبة \(s = +6.0\text{ m}\)، فإن الكرة تنتهي عند موضع يبعد \(6.0\text{ m}\) فوق موضع بدايتها.

وإذا كانت \(s = -6.0\text{ m}\)، فإنها تنتهي عند موضع يبعد \(6.0\text{ m}\) تحت موضع بدايتها.

لا تضع إشارة سالبة للتسارع لمجرد أن الجسم «يتباطأ». ضع الإشارة وفق الاتجاه.

08لماذا يهم \(t^2\)؟

يتذكر الطلاب أحيانًا بنية المعادلة على أنها «الحركة الابتدائية زائد الحركة الناتجة عن التسارع»، لكنهم ينسون تربيع الزمن.

تحقق من الوحدات.

الحد الأول له الوحدات

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

والحد الثاني له الوحدات

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

إذن كلا الحدين يمثل إزاحة.

إذا استخدمت بالخطأ \(\frac{1}{2}at\)، فستكون وحداته

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

وهي وحدة سرعة متجهة، وليست إزاحة.

لن يكشف فحص الوحدات كل خطأ في الفيزياء، لكنه يكشف كثيرًا من الأخطاء الجبرية بسهولة.

09لماذا تزداد الإزاحة مع \(t^2\)؟

افترض أن جسمًا يبدأ من السكون بتسارع ثابت.

عندها \(u = 0\)، وبالتالي

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

إذا ضاعفت الزمن، فماذا يحدث للإزاحة؟

قد تتوقع أن تتضاعف الإزاحة. لكن

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

لذلك تصبح الإزاحة أكبر بأربع مرات.

فعلى سبيل المثال، جسم يبدأ من السكون بتسارع \(3.0\text{ m s}^{-2}\) يقطع

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

خلال \(2.0\text{ s}\).

وبعد \(4.0\text{ s}\)،

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

مضاعفة الزمن تعطي أربعة أمثال الإزاحة.

لماذا؟ لأن الجسم لديه وقت أطول للحركة كما أنه يتحرك بسرعة أكبر خلال الجزء المتأخر من تلك الفترة الأطول.

10أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: الإزاحة السالبة تعني التحرك إلى الخلف

ليس بالضرورة.

افترض أن الشرق موجب. إذا كانت إزاحة جسم

\[
s = -5\text{ m},
\]

فهذا يخبرك فقط أن موضعه النهائي يقع على بعد \(5\text{ m}\) غرب نقطة بدايته.

قد يكون يتحرك حاليًا غربًا.

وقد يكون أيضًا قد تحرك غربًا، ثم غيّر اتجاهه، وأصبح الآن يتحرك شرقًا مع بقائه على بعد \(5\text{ m}\) غرب نقطة البداية.

تصف الإزاحة تغيرًا في الموضع. أما السرعة المتجهة فتصف معدل تغير الموضع واتجاه هذا التغير في تلك اللحظة.

هاتان الفكرتان مترابطتان، لكنهما ليستا قابلتين للاستبدال إحداهما بالأخرى.

11قاعدة مختصرة لاتخاذ القرار في أسئلة HSC

قبل استخدام

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

تحقق من أربعة أمور.

1. هل الحركة أحادية البعد خلال الفترة التي تحللها؟
   اختر محورًا واحدًا وحدد اتجاهه الموجب.

2. هل التسارع ثابت؟
   إذا لم يكن كذلك، فلا يمكن تطبيق هذه المعادلة على كامل الفترة التي يتغير فيها التسارع.

3. هل تعرف \(u\) و\(a\) و\(t\)، أو يمكنك إيجادها؟
   هذه المعادلة مفيدة بصورة خاصة لأن السرعة المتجهة النهائية لا تظهر فيها.

4. هل عيّنت الإشارات وفق الاتجاه؟
   افعل ذلك قبل التعويض، لا بعده.

من العادات المفيدة أن تكتب سطرًا مثل

\[
\text{الأعلى موجب}
\]

قبل أي حساب يتعلق بالحركة الرأسية. يستغرق ذلك بضع ثوانٍ ويمنع نسبة كبيرة من أخطاء الإشارات.

12الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتحرك متزلج بلوح شمالًا بسرعة \(3.0\text{ m s}^{-1}\)، ويتسارع بانتظام شمالًا بمقدار \(0.80\text{ m s}^{-2}\) لمدة \(5.0\text{ s}\). احسب إزاحة المتزلج خلال هذه الفترة.

الحل 1

يتحرك المتزلج بإزاحة مقدارها \(\boxed{25\text{ m شمالًا}}\).

اعتبر الشمال موجبًا. إذن

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

وباستخدام

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

نحصل على

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

تعني النتيجة الموجبة أن الإزاحة نحو الشمال. وكل من \(u\) و\(a\) موجب لأنهما يشيران في الاتجاه الموجب المختار.

السؤال 2

مصعد يتحرك إلى أعلى بسرعة \(2.4\text{ m s}^{-1}\). ويتسارع بانتظام إلى أسفل بمقدار \(0.60\text{ m s}^{-2}\) لمدة \(3.0\text{ s}\).

احسب إزاحته خلال فترة \(3.0\text{ s}\).

الحل 2

إزاحة المصعد هي \(\boxed{+4.5\text{ m}}\)، ولذلك ينتهي عند موضع أعلى من موضعه الابتدائي بمقدار \(4.5\text{ m}\).

اختر الأعلى اتجاهًا موجبًا. إذن

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

لذلك،

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

التسارع سالب لأنه يشير إلى أسفل، وليس لمجرد أن المصعد يتباطأ.

خلال هذه الثواني الثلاث، تشير السرعة المتجهة إلى أعلى والتسارع إلى أسفل في اتجاهين متعاكسين، ولذلك يقل مقدار سرعة المصعد.

السؤال 3

قُذفت كرة صغيرة رأسيًا إلى أعلى من مستوى سطح الأرض بسرعة \(14.0\text{ m s}^{-1}\). أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).

حسب طالب إزاحتها بعد \(3.00\text{ s}\) على النحو الآتي:

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

وحصل على \(86.1\text{ m}\).

حدد الخطأ، واحسب الإزاحة الصحيحة، واذكر ما تعنيه إشارة النتيجة.

الحل 3

خطأ الطالب هو استخدام الإشارة الخاطئة لتسارع الجاذبية. الإزاحة الصحيحة هي \(\boxed{-2.1\text{ m}}\)، مما يعني أن الكرة ستكون على بعد \(2.1\text{ m}\) أسفل مستوى إطلاقها بعد \(3.00\text{ s}\) إذا سُمح لحركتها بالاستمرار دون عائق.

إذا كان الأعلى موجبًا، فإن

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

لكن الجاذبية تشير إلى أسفل، ولذلك

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

يوجد أيضًا افتراض فيزيائي مهم ضمنيًا في هذا الحساب. ينص السؤال على أن الكرة أُطلقت من مستوى سطح الأرض. وفي الواقع، ستصطدم الكرة بالأرض قبل أن تصل إلى موضع يقع \(2.1\text{ m}\) أسفلها، ما لم توجد حفرة أو منطقة منخفضة أسفل نقطة الإطلاق.

إذن تصف المعادلة المسار الرياضي ذي التسارع الثابت وصفًا صحيحًا، لكن الموقف الفيزيائي قد ينتهي عندما تلامس الكرة الأرض. المعادلات لا تعرف تلقائيًا بوجود العوائق.

السؤال 4

تبدأ مركبة اختبار بسرعة \(+6.0\text{ m s}^{-1}\)، حيث يكون الشرق موجبًا.

خلال أول \(2.0\text{ s}\)، يكون لها تسارع ثابت مقداره \(-2.0\text{ m s}^{-2}\). وخلال \(3.0\text{ s}\) التالية، يكون تسارعها ثابتًا عند \(+1.0\text{ m s}^{-2}\).

يقترح طالب استخدام

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

مرة واحدة على كامل فترة \(5.0\text{ s}\)، مع \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) وتسارع يُحسب بأخذ متوسط \(-2.0\) و\(+1.0\).

اشرح لماذا هذه الطريقة غير صحيحة، ثم احسب الإزاحة الكلية للمركبة.

الحل 4

طريقة استخدام معادلة واحدة غير صحيحة لأن التسارع ليس ثابتًا على كامل فترة \(5.0\text{ s}\). الإزاحة الكلية الصحيحة هي \(\boxed{19.5\text{ m شرقًا}}\).

يجب تقسيم الحركة إلى الفترتين اللتين يكون فيهما التسارع ثابتًا.

للفترة الأولى،

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

الإزاحة هي

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

نحتاج أيضًا إلى السرعة المتجهة عند نهاية هذه الفترة لأنها تصبح السرعة المتجهة الابتدائية للفترة الثانية.

وباستخدام

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

للفترة الثانية،

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

إذن

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

الإزاحة الكلية هي

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

لذلك،

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m شرقًا}}.
\]

الفكرة المهمة هي أن أخذ متوسط قيمتي التسارع لا يعيد تمثيل الحركة الفعلية. فتوقيت كل تسارع مهم لأن الفترة الأولى تغيّر السرعة المتجهة التي تبدأ بها الفترة الثانية.

13ما الذي تهيئك له هذه المعادلة؟

المعادلة

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

ليست مجرد صيغة للتعويض. فهي تربط بين ثلاث أفكار: حركة الجسم الابتدائية، والطريقة التي يغيّر بها التسارع الثابت تلك الحركة، والإزاحة المتراكمة بمرور الزمن.

بمجرد أن تصبح الإشارات واضحة، يصبح تنظيم معادلات التسارع الثابت الأخرى أسهل. ويظل الاصطلاح نفسه مستخدمًا: اختر اتجاهًا موجبًا، وتعامل مع السرعة المتجهة والتسارع على أنهما كميتان لهما إشارات، واسأل عن المعنى الفيزيائي للنتيجة.

الخطوة المفيدة التالية هي تعلم الانتقال بين هذه المعادلات والرسوم البيانية للحركة. يمكن للرسم البياني أن يوضح فورًا متى يكون التسارع ثابتًا، ومتى يغير الجسم اتجاهه، ومتى تتوقف معادلة واحدة للتسارع الثابت عن أن تكون صالحة.