المعادلة v = u + at: التسارع الثابت في فيزياء HSC
تعلّم كيفية استخدام v = u + at عند التسارع الثابت، بما في ذلك إشارات الاتجاه، وعكس الحركة، وإعادة ترتيب المعادلة، والأخطاء الشائعة في فيزياء HSC.
تتحرك سيارة بسرعة \(12\ \text{m s}^{-1}\). وبعد ثلاث ثوانٍ، تصبح سرعتها المتجهة \(21\ \text{m s}^{-1}\). يمكنك التعامل مع هاتين القيمتين على أنهما قياسان منفصلان لا علاقة بينهما للسرعة المتجهة. لكن إذا ظل التسارع ثابتًا بينهما، فيمكنك التنبؤ بكل قيمة للسرعة المتجهة بينهما باستخدام معادلة قصيرة واحدة:
\[
v = u + at
\]
قبل القلق بشأن معنى الرموز، حاول أن تتنبأ بالنتيجة. إذا كانت السيارة تكتسب \(3\ \text{m s}^{-1}\) من السرعة المتجهة كل ثانية، فما الذي ينبغي أن يحدث بعد 3 ثوانٍ؟
ينبغي أن تزداد سرعتها المتجهة بمقدار \(9\ \text{m s}^{-1}\). وبالبدء من \(12\ \text{m s}^{-1}\)، تصبح \(21\ \text{m s}^{-1}\).
هذا هو كل ما تفعله المعادلة \(v = u + at\). فهي تتتبع سرعة متجهة ابتدائية، ثم تضيف التغير في السرعة المتجهة الناتج عن تسارع ثابت.
01ابدأ بالتغير في السرعة المتجهة
يخبرك التسارع بمدى سرعة تغير السرعة المتجهة.
إذا كان لجسم تسارع مقداره \(2\ \text{m s}^{-2}\)، فإن سرعته المتجهة تتغير بمقدار \(2\ \text{m s}^{-1}\) كل ثانية.
لذلك، إذا بدأ بسرعة متجهة مقدارها \(5\ \text{m s}^{-1}\):
| الزمن المنقضي | السرعة المتجهة |
|---|---|
| \(0\ \text{s}\) | \(5\ \text{m s}^{-1}\) |
| \(1\ \text{s}\) | \(7\ \text{m s}^{-1}\) |
| \(2\ \text{s}\) | \(9\ \text{m s}^{-1}\) |
| \(3\ \text{s}\) | \(11\ \text{m s}^{-1}\) |
النمط هو:
\[
\text{السرعة المتجهة الجديدة} = \text{السرعة المتجهة الابتدائية} + \text{التغير في السرعة المتجهة}
\]
عند ثبات التسارع، يكون التغير في السرعة المتجهة:
\[
\Delta v = at
\]
حيث:
- \(\Delta v\) هو التغير في السرعة المتجهة، ويُقاس بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(a\) هو التسارع الثابت، ويُقاس بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)
- \(t\) هو الزمن المنقضي، ويُقاس بالثواني
إذا كانت السرعة المتجهة الابتدائية هي \(u\)، والسرعة المتجهة النهائية هي \(v\)، فإن:
\[
v = u + at
\]
هنا:
- \(u\) هي السرعة المتجهة الابتدائية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(v\) هي السرعة المتجهة النهائية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(a\) هو التسارع الثابت، بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)
- \(t\) هو الزمن المنقضي، بالثواني
الرموز أقل أهمية من بنية المعادلة نفسها:
\[
\boxed{\text{السرعة المتجهة النهائية} = \text{السرعة المتجهة الابتدائية} + \text{التغير في السرعة المتجهة}}
\]
02لماذا يعطي \(at\) تغيرًا في السرعة المتجهة؟
الوحدات توضّح ذلك.
وحدة التسارع هي \(\text{m s}^{-2}\). وعند ضربه في الزمن نحصل على:
\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]
إذن، لـ \(at\) وحدات السرعة المتجهة.
على سبيل المثال، إذا أثّر تسارع مقداره \(4\ \text{m s}^{-2}\) لمدة \(2.5\ \text{s}\)، فإنه ينتج:
\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]
هذا لا يعني أن السرعة المتجهة النهائية تساوي تلقائيًا \(10\ \text{m s}^{-1}\). بل يعني أن السرعة المتجهة قد تغيرت بمقدار \(10\ \text{m s}^{-1}\).
إذا بدأ الجسم بسرعة متجهة مقدارها \(6\ \text{m s}^{-1}\)، فإنه ينتهي بسرعة متجهة مقدارها \(16\ \text{m s}^{-1}\).
وإذا بدأ بسرعة متجهة مقدارها \(-8\ \text{m s}^{-1}\)، فإنه ينتهي بسرعة متجهة مقدارها \(2\ \text{m s}^{-1}\).
هذا الفرق بين السرعة المتجهة والتغير في السرعة المتجهة من أهم النقاط التي يفقد عندها الطلاب فهم ما تقوله المعادلة.
03من أين تأتي المعادلة؟
يُعرَّف متوسط التسارع خلال فترة زمنية كما يلي:
\[
a = \frac{v-u}{t}
\]
إذا كان التسارع ثابتًا، فإن القيمة نفسها لـ \(a\) تنطبق طوال الفترة الزمنية.
اضرب الطرفين في \(t\):
\[
at = v-u
\]
ثم أضف \(u\) إلى الطرفين:
\[
v = u+at
\]
إذن، \(v=u+at\) ليست قاعدة منفصلة يجب حفظها من دون فهم. إنها مجرد إعادة ترتيب لتعريف التسارع الثابت.
وهذا يوضح أيضًا قيد استخدامها: لا يجوز استخدامها مباشرة إلا عندما يكون التسارع ثابتًا خلال الفترة الزمنية التي تدرسها.
إذا تغير التسارع مع الزمن، فلن يعطي حاصل الضرب البسيط \(at\) بالضرورة التغير في السرعة المتجهة. في هذه الحالة، تحتاج إلى النظر في المساحة الواقعة تحت منحنى التسارع-الزمن. ويُشرح ذلك بمزيد من التفصيل في دليل tutorgum حول منحنيات التسارع-الزمن.
04أهم قرار عند إعداد المسألة: اختر اتجاهًا موجبًا
افترض أن راكب دراجة يتحرك شرقًا ويبطئ.
من الأخطاء الشائعة أن تقول:
“إنه يبطئ، إذن لا بد أن تكون سرعته المتجهة سالبة.”
ليس بالضرورة.
إشارة السرعة المتجهة تخبرك بالاتجاه. ولا تخبرك ما إذا كان الجسم يتسارع في الحركة أم يتباطأ.
أنت تختار الاتجاه الذي سيُعد موجبًا قبل إجراء الحساب.
على سبيل المثال، اختر الشرق اتجاهًا موجبًا. عندها تكون السرعة المتجهة لراكب دراجة يتحرك شرقًا موجبة. وإذا كان راكب الدراجة يبطئ مع استمراره في الحركة شرقًا، فإن التسارع يكون نحو الغرب، ولذلك يكون التسارع سالبًا.
قد تكون لديك القيم:
\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]
بعد \(3.0\ \text{s}\):
\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]
تشير السرعة المتجهة النهائية الموجبة إلى أن راكب الدراجة لا يزال يتحرك شرقًا. أما انخفاض مقدارها فيدل على أنه تباطأ.
إذا لم تكن مرتاحًا بعد في التعامل مع السرعات المتجهة ذات الإشارات، فمن المفيد أولًا تثبيت الفرق بين السرعة والسرعة المتجهة. راجع السرعة والسرعة المتجهة: شرح واضح لفيزياء HSC.
05طريقة موثوقة لإعداد المسألة
عندما ترى سؤالًا عن تسارع ثابت يتضمن السرعة المتجهة الابتدائية والسرعة المتجهة النهائية والتسارع والزمن، استخدم الخطوات التالية.
- اختر اتجاهًا موجبًا.
- اكتب الكميات المعطاة مع إشاراتها ووحداتها.
- حدّد المجهول.
- استخدم \(v=u+at\)، أو أعد ترتيبها عند الحاجة.
- عوّض بالقيم فقط بعد ترتيب المعادلة بالشكل المناسب.
- فسّر إشارة الإجابة فيزيائيًا.
الخطوة الأخيرة ليست مجرد إضافة شكلية. ففي مسائل السرعة المتجهة، قد تخبرك الإشارة بما إذا كان الجسم قد عكس اتجاه حركته.
مثال محلول: إيجاد السرعة المتجهة النهائية
يتحرك قطار شمالًا بسرعة متجهة مقدارها \(18\ \text{m s}^{-1}\). ويتسارع بانتظام شمالًا بمقدار \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) لمدة \(4.0\ \text{s}\). أوجد سرعته المتجهة النهائية.
الخطوة 1
لذلك تكون السرعة المتجهة الابتدائية والتسارع كلاهما موجبين:
\[
u=+18\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]
الخطوة 2
\[
v=u+at
\]
الخطوة 3
\[
v=18+(1.5)(4.0)
\]
\[
v=18+6.0=24\ \text{m s}^{-1}
\]
الخطوة 4
السرعة المتجهة النهائية للقطار هي:
\[
\boxed{24\ \text{m s}^{-1}\text{ شمالًا}}
\]
زاد التسارع السرعة المتجهة بمقدار \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).
06التسارع السالب لا يعني دائمًا التباطؤ
تخيّل شخصين يسيران باتجاه بعضهما في ممر. وقررت أن يكون الاتجاه نحو اليمين موجبًا.
أحدهما يتحرك نحو اليمين، لذا تكون سرعته المتجهة موجبة. والآخر يتحرك نحو اليسار، لذا تكون سرعته المتجهة سالبة. لا تخبرك هذه الإشارات أيهما تزداد سرعته.
وينطبق الأمر نفسه على التسارع.
تزداد سرعة الجسم عندما يكون تسارعه في الاتجاه نفسه لسرعته المتجهة.
وتنخفض سرعته عندما يكون التسارع في الاتجاه المعاكس لسرعته المتجهة.
لذلك، فإن الحالات الأربع كلها ممكنة:
| السرعة المتجهة \(v\) | التسارع \(a\) | ماذا يحدث للسرعة؟ |
|---|---|---|
| موجبة | موجب | تزداد السرعة |
| موجبة | سالب | تنخفض السرعة |
| سالبة | سالب | تزداد السرعة |
| سالبة | موجب | تنخفض السرعة |
غالبًا ما يبدو الصف الثالث غريبًا. فإذا كانت السرعة المتجهة والتسارع كلاهما سالبين، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب ويتسارع أكثر في الاتجاه نفسه. قد تتغير سرعته المتجهة من \(-3\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(-7\ \text{m s}^{-1}\). أصبحت القيمة العددية “أكثر سلبية”، لكن السرعة ازدادت من \(3\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(7\ \text{m s}^{-1}\).
إشارة السالب تتعلق بالاتجاه، وليست مؤشرًا على أن شيئًا سيئًا يحدث.
مثال محلول: التباطؤ وعكس الاتجاه
تتحرك عربة صغيرة نحو اليمين بسرعة \(5.0\ \text{m s}^{-1}\). ثم تتعرض لتسارع ثابت مقداره \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) نحو اليسار لمدة \(4.0\ \text{s}\). أوجد سرعتها المتجهة النهائية، وصف اتجاه حركتها النهائي.
الخطوة 1
تتحرك العربة في البداية نحو اليمين، لذا:
\[
u=+5.0\ \text{m s}^{-1}
\]
يتجه التسارع نحو اليسار، لذا:
\[
a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]
والزمن هو:
\[
t=4.0\ \text{s}
\]
الخطوة 2
\[
v=5.0+(-2.0)(4.0)
\]
\[
v=5.0-8.0=-3.0\ \text{m s}^{-1}
\]
الخطوة 3
النتيجة هي:
\[
\boxed{v=-3.0\ \text{m s}^{-1}}
\]
بما أن اليمين اختير اتجاهًا موجبًا، فإن الإشارة السالبة تعني أن العربة تنتهي وهي تتحرك نحو اليسار. وسرعتها النهائية هي \(3.0\ \text{m s}^{-1}\).
حدث أمر مهم خلال تلك الثواني الأربع: توقفت العربة لحظةً ثم عكست اتجاهها.
يمكنك إيجاد اللحظة التي توقفت عندها بجعل \(v=0\):
\[
0=5.0+(-2.0)t
\]
\[
2.0t=5.0
\]
\[
t=2.5\ \text{s}
\]
إذن، تحركت العربة نحو اليمين خلال أول \(2.5\ \text{s}\)، وتوقفت للحظة، ثم تحركت نحو اليسار خلال الـ \(1.5\ \text{s}\) المتبقية.
الإجابة السالبة لا تعني أن الحساب فشل. بل كشفت أن الجسم عكس اتجاهه.
07إعادة ترتيب \(v=u+at\)
لن يُطلب منك دائمًا إيجاد \(v\).
يمكن للمعادلة نفسها إيجاد أي واحدة من كمياتها الأربع إذا كانت الكميات الثلاث الأخرى معلومة.
بدءًا من:
\[
v=u+at
\]
يمكنك الحصول على:
\[
u=v-at
\]
\[
a=\frac{v-u}{t}
\]
وكذلك:
\[
t=\frac{v-u}{a}
\]
لا تحاول حفظ أربع معادلات منفصلة. ابدأ من \(v=u+at\) ثم أعد ترتيبها.
وتوجد أيضًا طريقة مفيدة للتحقق الفيزيائي مخفية في الصورة الأخيرة:
\[
t=\frac{\text{التغير في السرعة المتجهة}}{\text{التغير في السرعة المتجهة في كل ثانية}}
\]
وهذا بالضبط ما تتوقع أن يعنيه الزمن.
مثال محلول: إيجاد التسارع
تتحرك طائرة مسيّرة رأسيًا إلى أعلى بسرعة متجهة مقدارها \(3.0\ \text{m s}^{-1}\). وبعد \(2.0\ \text{s}\)، تصبح سرعتها المتجهة \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى أعلى. افترض أن تسارعها ثابت. أوجد التسارع.
الخطوة 1
\[
u=+3.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=+9.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=2.0\ \text{s}
\]
الخطوة 2
\[
a=\frac{v-u}{t}
\]
الخطوة 3
\[
a=\frac{9.0-3.0}{2.0}
=\frac{6.0}{2.0}
=3.0\ \text{m s}^{-2}
\]
الخطوة 4
\[
\boxed{a=3.0\ \text{m s}^{-2}\text{ إلى أعلى}}
\]
تزداد السرعة المتجهة للطائرة المسيّرة بمقدار \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) كل ثانية.
08الفخ المختبئ في عبارة “يصل إلى السكون”
افترض أن سؤالًا يقول إن جسمًا “يصل إلى السكون”.
هذا يعطيك:
\[
v=0
\]
لكنه لا يعني تلقائيًا:
\[
a=0
\]
يمكن أن تكون سرعة جسم متجهة مساوية للصفر في لحظة معينة مع استمرار وجود تسارع لديه.
الكرة المقذوفة رأسيًا إلى أعلى هي المثال المعتاد. عند أعلى نقطة في مسارها، تكون سرعتها المتجهة الرأسية صفرًا للحظة، لكن تسارعها بسبب الجاذبية يظل متجهًا إلى أسفل.
وبالمثل، كانت للعربة في المثال السابق قيمة \(v=0\) بعد \(2.5\ \text{s}\)، لكن تسارعها ظل \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\).
تصف السرعة المتجهة حركة الجسم في لحظة معينة. أما التسارع فيصف كيفية تغير السرعة المتجهة في تلك اللحظة. وهما كميتان مختلفتان.
09متى لا ينبغي استخدام \(v=u+at\)؟
تفترض المعادلة وجود تسارع ثابت.
لننظر إلى سيارة يكون تسارعها:
- \(1\ \text{m s}^{-2}\) خلال الثانية الأولى،
- \(4\ \text{m s}^{-2}\) خلال الثانية الثانية،
- \(0\ \text{m s}^{-2}\) خلال الثانية الثالثة.
لا توجد قيمة ثابتة واحدة لـ \(a\) تصف فترة الثواني الثلاث بأكملها.
لذلك سيكون من الخطأ اختيار إحدى قيم التسارع تلك وكتابة:
\[
v=u+at
\]
للفترة الزمنية بأكملها.
هل يمكنك استخدام المعادلة بصورة منفصلة خلال كل فترة يكون فيها التسارع ثابتًا؟ نعم. يمكنك حساب التغير في السرعة المتجهة جزءًا بعد جزء.
وبديلًا عن ذلك، فإن التغير الكلي في السرعة المتجهة يساوي المساحة الواقعة تحت منحنى التسارع-الزمن.
يكشف ذلك شيئًا أعمق عن \(v=u+at\). ففي منحنى التسارع-الزمن عند وجود تسارع ثابت، يكون المنحنى خطًا أفقيًا. والمساحة تحته مستطيل:
\[
\text{المساحة}=a\times t
\]
وهذه المساحة تساوي:
\[
\Delta v=at
\]
إذن، فالمعادلة في الحقيقة حالة خاصة من فكرة أوسع تتعلق بالتراكم.
10أسئلة وحلول
السؤال 1
تتحرك متزلجة بلوح إلى الشرق بسرعة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). وتتسارع بانتظام شرقًا بمقدار \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) لمدة \(6.0\ \text{s}\). أوجد سرعتها المتجهة النهائية.
الحل 1
السرعة المتجهة النهائية للمتزلجة هي \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ شرقًا}}\).
اختر الشرق اتجاهًا موجبًا:
\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]
باستخدام:
\[
v=u+at
\]
نحصل على:
\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]
تعني الإشارة الموجبة أن المتزلجة تتحرك شرقًا. وقد زادت سرعتها المتجهة بمقدار \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) خلال الثواني الست.
السؤال 2
يتحرك روبوت على مسار مستقيم بسرعة متجهة مقدارها \(11\ \text{m s}^{-1}\) نحو اليمين. ويتعرض لتسارع ثابت مقداره \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) نحو اليسار.
كم يستغرق الروبوت حتى يصل لحظيًا إلى السكون؟
الحل 2
يصل الروبوت إلى السكون بعد \(\boxed{4.4\ \text{s}}\).
اختر اليمين اتجاهًا موجبًا. عندها:
\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]
تعني عبارة “يصل إلى السكون” أن السرعة المتجهة النهائية في تلك اللحظة هي:
\[
v=0
\]
وباستخدام:
\[
v=u+at
\]
نحصل على:
\[
0=11+(-2.5)t
\]
\[
2.5t=11
\]
\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]
النقطة المهمة هي أن تسارع الروبوت لا يساوي صفرًا عندما يتوقف. سرعته المتجهة تساوي صفرًا للحظة، لكن التسارع نحو اليسار يظل موجودًا، ولذلك سيبدأ بعد ذلك في التحرك نحو اليسار إذا استمر التسارع.
السؤال 3
لجسم سرعة متجهة ابتدائية مقدارها \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) وتسارع ثابت مقداره \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).
يقول أحد الطلاب: “التسارع السالب يعني أن الجسم لا بد أن يكون في حالة تباطؤ.”
حدّد السرعة المتجهة للجسم بعد \(2.0\ \text{s}\)، وقيّم قول الطالب.
الحل 3
السرعة المتجهة النهائية هي \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\)، والطالب مخطئ لأن سرعة الجسم تزداد.
باستخدام:
\[
v=u+at
\]
نحصل على:
\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]
\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]
كانت السرعة الابتدائية \(7.0\ \text{m s}^{-1}\). أما السرعة النهائية فهي \(13\ \text{m s}^{-1}\).
كل من السرعة المتجهة والتسارع سالب، ولذلك فهما يشيران إلى الاتجاه نفسه. ومن ثم يزيد التسارع مقدار السرعة المتجهة.
الفكرة الخاطئة المغرية هنا هي تفسير التسارع السالب على أنه “تباطؤ”. فالإشارة السالبة تحدد الاتجاه فقط بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الذي اخترته.
السؤال 4
تتحرك عربة نحو اليمين بسرعة \(8.0\ \text{m s}^{-1}\). ويؤثر عليها تسارع ثابت نحو اليسار. وبعد \(3.0\ \text{s}\)، تكون العربة متحركة نحو اليسار بسرعة \(1.0\ \text{m s}^{-1}\).
أوجد تسارع العربة. ثم حدّد متى غيّرت اتجاهها خلال الفترة البالغة \(3.0\ \text{s}\).
الحل 4
تسارع العربة هو \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\)، وهي تغيّر اتجاهها بعد نحو \(\boxed{2.7\ \text{s}}\).
اختر اليمين اتجاهًا موجبًا:
\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]
أوجد التسارع أولًا:
\[
a=\frac{v-u}{t}
\]
\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]
تعني الإشارة السالبة أن التسارع يتجه نحو اليسار.
لإيجاد اللحظة التي تغيّر فيها العربة اتجاهها، لاحظ أنها لا بد أن تمر أولًا بسرعة متجهة تساوي صفرًا. اجعل \(v=0\):
\[
0=8.0+(-3.0)t
\]
\[
3.0t=8.0
\]
\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]
إذن، تصل العربة لحظيًا إلى السكون بعد نحو:
\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]
ثم تقضي الـ \(0.33\ \text{s}\) المتبقية وهي تتحرك نحو اليسار.
النقطة غير الواضحة هنا هي أن السرعة المتجهة النهائية السالبة تخبرك بأكثر من مجرد أن “الجسم تباطأ”. فهي تثبت أن الجسم مر بالقيمة \(v=0\) ثم عكس اتجاهه، بشرط أن تكون السرعة المتجهة قد تغيرت بصورة مستمرة.
السؤال 5
تبدأ عربتان متماثلتان بالسرعة المتجهة نفسها، وهي \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) نحو اليمين.
للعربة A تسارع ثابت مقداره \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) لمدة \(4.0\ \text{s}\).
أما العربة B فلها تسارع مقداره \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) خلال أول \(2.0\ \text{s}\)، يليه تسارع مقداره \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) خلال الـ \(2.0\ \text{s}\) التالية.
يطبق أحد الطلاب \(v=u+at\) على العربتين مستخدمًا \(t=4.0\ \text{s}\). اشرح لماذا تنجح هذه الطريقة مباشرة مع العربة A، ولكنها لا تنجح مباشرة مع العربة B. ثم احسب السرعة المتجهة النهائية لكل عربة.
الحل 5
تنتهي العربة A بسرعة متجهة مقدارها \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\)، بينما تنتهي العربة B بسرعة متجهة مقدارها \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\). ينجح استخدام \(v=u+at\) مرة واحدة مباشرة مع العربة A لأن تسارعها ثابت طوال فترة \(4.0\ \text{s}\) كاملة، أما تسارع العربة B فيتغير.
بالنسبة إلى العربة A:
\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]
إذن:
\[
v=u+at
\]
\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]
بالنسبة إلى العربة B، احسب كل فترة ذات تسارع ثابت على حدة.
خلال أول \(2.0\ \text{s}\):
\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]
وتصبح هذه القيمة هي السرعة المتجهة الابتدائية للفترة الثانية.
خلال الـ \(2.0\ \text{s}\) التالية:
\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]
لذلك:
\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]
الفخ هنا هو التعامل مع التسارع كما لو كان رقمًا ثابتًا واحدًا كلما احتوت المعادلة على الرمز \(a\). تفترض المعادلة \(v=u+at\) أن قيمة \(a\) المختارة تظل ثابتة طوال الفترة الزمنية.
بالنسبة إلى العربة B، تنتج مرحلتا التسارع تغيرين في السرعة المتجهة مقدارهما:
\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]
و:
\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]
مما يعطي تغيرًا كليًا في السرعة المتجهة مقداره:
\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]
وهذا الاستدلال نفسه يقود بصورة طبيعية إلى منحنيات التسارع-الزمن، حيث يُوجد التغير في السرعة المتجهة من المساحة الكلية الموقعة تحت المنحنى، بدلًا من مستطيل واحد \(at\).