速度-時間圖：斜率、面積與運動解析

學習如何讀懂速度-時間圖，利用斜率求加速度，並以有向面積求位移。內容包括完整例題、常見錯誤與 HSC 風格練習題。

2026年9月18日 6 分鐘閱讀

A速度-時間圖看起來可能簡單得有點騙人：一條線向上、向下，或水平延伸。但一張圖就可以告訴你物體是否正在加速、減速、改變運動方向、具有加速度，以及它的位置改變了多少。

關鍵在於，你需要用兩種不同方式讀圖。圖線的斜率告訴你加速度。圖線與時間軸之間的有向面積告訴你位移。把這兩個概念混在一起，是最容易誤解圖表實際含義的方式之一。

假設一輛汽車的速度穩定地從 $2\ \text{m s}^{-1}$ 增加到 $8\ \text{m s}^{-1}$。在進行任何計算之前，先預測一下：要找出汽車的加速度，你應該看圖線的高度、斜率，還是圖線下方的面積？

答案是斜率。圖線的高度表示速度本身，而斜率則告訴你速度改變得有多快。

01速度-時間圖實際上表示甚麼

速度-時間圖具有：

水平軸表示時間 $t$，通常以秒為單位
垂直軸表示速度 $v$，通常以米每秒，即 $\text{m s}^{-1}$ 為單位

圖上的每一點都表示物體在某一瞬間的速度。

如果圖線通過 $(3,5)$，那麼在 $t=3\ \text{s}$ 時，速度就是 $5\ \text{m s}^{-1}$。

正負號很重要。速度 $+5\ \text{m s}^{-1}$ 表示物體朝被定義為正方向的方向運動。速度 $-5\ \text{m s}^{-1}$ 則表示物體朝相反方向運動。

如果你對帶正負號的物理量仍然不太熟悉，繼續之前值得先複習速率與速度。

第一個心智模型：想像你正在看車速錶

想像一輛汽車的車速錶也能顯示運動方向。

位於 $+6\ \text{m s}^{-1}$ 的水平線表示讀數一直保持在 $+6\ \text{m s}^{-1}$。汽車以恆定速度運動。

向上傾斜的線表示速度讀數正在增加。

向下傾斜的線表示速度讀數正在減少。

這個模型很有用，但並不完整。「速度減少」不一定代表「速率減少」。如果速度變得更負，其數值會下降，但物體的速率其實可能正在增加。

我們稍後會再談這個常見陷阱。

02斜率告訴你加速度

加速度衡量速度隨時間改變得有多快。

對速度-時間圖中的直線部分而言，

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

其中：

$a$ 是加速度，單位為 $\text{m s}^{-2}$
$\Delta v$ 是速度的變化量，單位為 $\text{m s}^{-1}$
$\Delta t$ 是時間間隔，單位為秒

這正是數學中的斜率公式：

\[
\text{斜率}=\frac{\text{垂直變化量}}{\text{水平變化量}}
\]

在速度-時間圖中，「垂直變化量」是速度的變化，而「水平變化量」是時間的變化。因此斜率的單位為

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

也就是加速度的單位。

不同斜率代表甚麼

速度-時間圖的形狀	加速度
水平線	$a=0$
向上傾斜的直線	恆定的正加速度
向下傾斜的直線	恆定的負加速度
曲線	加速度正在改變

要小心正加速度和速率增加這兩個說法。它們不是同義詞。

如果物體的速度為負，而加速度為正，它可能正在減速。

加速度告訴你速度如何改變，並不會自動告訴你速率如何改變。

範例：由斜率求加速度

一名單車手的速度均勻地從 $t=2.0\ \text{s}$ 時的 $4.0\ \text{m s}^{-1}$ 增加到 $t=5.0\ \text{s}$ 時的 $10.0\ \text{m s}^{-1}$。求加速度。

步驟 1：求速度的變化量。

\[
\Delta v=10.0-4.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

步驟 2：求經過的時間。

\[
\Delta t=5.0-2.0=3.0\ \text{s}
\]

步驟 3：利用速度-時間圖的斜率。

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{6.0}{3.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

單車手的加速度為 $2.0\ \text{m s}^{-2}$。

這表示在這段時間內，單車手的速度每秒增加 $2.0\ \text{m s}^{-1}$。

03為甚麼面積代表位移

現在假設一個物體以恆定速度 $5\ \text{m s}^{-1}$ 運動 $4\ \text{s}$。

你已經知道如何求它的位移：

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

看看這些相同的數值在速度-時間圖上形成甚麼。圖線形成一個長方形，其：

高度為 $5\ \text{m s}^{-1}$
寬度為 $4\ \text{s}$

它的面積為

\[
A=(5)(4)=20
\]

單位是

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

因此，面積的單位就是位移的單位。

這並不是巧合。對任何速度-時間圖而言，圖線與時間軸之間的有向面積就是位移。

如果速度恆定，

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

如果速度發生改變，同樣的概念仍然適用。你可以把區域分成方便計算的幾何形狀；或者在之後的數學和物理學習中，把面積理解成許多微小貢獻 $v\Delta t$ 的累積。

04「有向」兩個字很重要

想像一個物體先以 $+3\ \text{m s}^{-1}$ 運動 $2\ \text{s}$，然後再以 $-3\ \text{m s}^{-1}$ 運動 $2\ \text{s}$。

第一段產生

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

第二段產生

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

因此，

\[
\Delta x_{\text{總}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

物體確實移動過，但最後回到起點。

在圖上，時間軸上方的面積是 $+6\ \text{m}$，而時間軸下方的面積是 $-6\ \text{m}$。兩者互相抵消。

這就是為甚麼在求位移時，你不能把每一個幾何面積都當作正數相加。

這與路程和位移之間的差異直接相關。

一個有點傻氣的比喻

把位移想像成你正在記錄自己和朋友之間的欠款。

$+\$20$ 表示朋友欠你錢。$-\$20$ 表示你欠朋友錢。如果你因為「二十就是二十」而完全忽略正負號，你的帳目很快就會變得毫無意義。

速度-時間圖中的面積也是一樣。座標軸上方和下方的面積代表相反方向的位移。

這個比喻並不完全相同，因為金錢可以透過很多方式在人與人之間轉移，而圖表描述的是沿某一條選定座標軸的運動。不過，處理正負號的方法是相似的。

05穿過時間軸代表改變方向

當速度-時間圖穿過 $v=0$ 時，會發生甚麼？

在那一瞬間，速度為零。

如果圖線由正速度繼續穿越到負速度，物體就會反轉運動方向。

例如：

在穿越之前，$v>0$，所以物體沿正方向運動
在穿越時，$v=0$，所以物體在該瞬間靜止
在穿越之後，$v<0$，所以物體沿負方向運動

一個常見錯誤是假設 $v=0$ 就代表 $a=0$。

並不是如此。

圖線的高度告訴你速度。圖線的斜率告訴你加速度。圖線可以以很大的斜率穿過 $v=0$，因此物體可以在同一瞬間具有零速度和非零加速度。

垂直向上拋出的球就是一個熟悉的例子。在路徑最高點，它的瞬時速度為零，但由重力造成的加速度仍然向下。

06加速還是減速：比較正負號

這裡有一個實用的判斷方法。

當速度和加速度具有相同正負號時，物體正在加速。

當速度和加速度具有相反正負號時，物體正在減速。

為甚麼？

速率是速度的大小。如果一個物體有 $v=+5\ \text{m s}^{-1}$ 和 $a=+2\ \text{m s}^{-2}$，它的速度會變得更正，因此速率增加。

但如果

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

且

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

那麼它的速度會變得更負，例如 $-5,-7,-9,\ldots$。速度的大小正在增加，所以它同樣是在加速。

第二種情況經常讓學生出錯，因為圖線是向下傾斜的。

快速判斷表

速度	加速度	速率如何改變？
正	正	增加
正	負	減少
負	正	減少
負	負	增加

只要在你所考慮的時間區間內，兩者的正負號都沒有改變，這個規則就適用。

07範例：加速度、位移與方向

一個物體在 $t=0$ 時的速度為 $6.0\ \text{m s}^{-1}$，並在 $t=4.0\ \text{s}$ 時均勻改變為 $-2.0\ \text{m s}^{-1}$。

求：

它的加速度
它何時改變方向
它在 $4.0\ \text{s}$ 內的位移

步驟 1：由圖線斜率計算加速度。

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{-2.0-6.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

負加速度表示速度每秒減少 $2.0\ \text{m s}^{-1}$。

步驟 2：求速度何時降至零。

由 $6.0\ \text{m s}^{-1}$ 開始，每秒減少 $2.0\ \text{m s}^{-1}$，

\[
0=6.0+(-2.0)t
\]

所以

\[
t=3.0\ \text{s}
\]

物體在 $t=3.0\ \text{s}$ 時改變方向。

步驟 3：求 $0$ 到 $3.0\ \text{s}$ 的有向面積。

這個區域是位於座標軸上方的三角形：

\[
A_1=\frac12(3.0)(6.0)=9.0\ \text{m}
\]

因此第一段位移是 $+9.0\ \text{m}$。

步驟 4：求 $3.0$ 到 $4.0\ \text{s}$ 的有向面積。

這是一個位於座標軸下方的三角形，其幾何面積為

\[
\frac12(1.0)(2.0)=1.0\ \text{m}
\]

因為它位於時間軸下方，

\[
A_2=-1.0\ \text{m}
\]

步驟 5：把有向面積相加。

\[
\Delta x=9.0+(-1.0)=8.0\ \text{m}
\]

物體的總位移為 $+8.0\ \text{m}$。

注意，物體實際上走了 $9.0+1.0=10.0\ \text{m}$。位移較小，是因為部分運動是在負方向上返回。

08如果圖線是曲線呢？

速度-時間圖上的直線段具有恆定斜率，因此代表恆定加速度。

曲線則表示斜率正在改變。因此，加速度也在改變。

在某一特定瞬間，加速度由該點速度-時間曲線的切線斜率給出。

這和位移-時間圖上的瞬時速度是相同的概念。在位移-時間圖中，切線的斜率給出速度。在這裡，再微分一次，切線的斜率就給出加速度。

對 HSC 物理而言，重要的物理概念是：

\[
\text{速度-時間圖的斜率}=\text{加速度}
\]

切線越陡，表示加速度的大小越大。

曲線下方的位移又如何？

面積法則仍然適用。

對簡單的直線部分，你可以使用長方形、三角形和梯形。對不規則的實驗曲線，可能需要利用圖表或數據以數值方法估算面積。

物理概念並沒有改變。你仍然是在整個時間區間內累積許多形如

\[
v\Delta t
\]

的小量。

09梯形其實就是換了形式的平均速度

假設速度在一段時間 $\Delta t$ 內由 $v_i$ 均勻改變至 $v_f$。

速度-時間直線下方的面積是一個梯形：

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

其中

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

就是恆定加速度情況下的平均速度。因此，也可以寫成

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

這很有用，因為它把圖表和恆加速度方程聯繫起來，而不是讓圖表題看起來像一個完全獨立的主題。

如想進一步了解這種聯繫，可以參閱平均速度與瞬時速度。

範例：使用梯形

一列火車在 $6.0\ \text{s}$ 內，速度均勻地從 $8.0\ \text{m s}^{-1}$ 增加至 $20.0\ \text{m s}^{-1}$。求它在這段時間內的位移。

步驟 1：辨認圖線下方的形狀。

速度呈線性改變，因此該區域是一個梯形。

步驟 2：使用梯形面積公式。

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

代入數值，

\[
\Delta x
=\frac{8.0+20.0}{2}(6.0)
=(14.0)(6.0)
=84\ \text{m}
\]

火車的位移為正方向上的 $84\ \text{m}$。

這還有一個實用的物理解釋：在這段均勻加速的時間內，它的平均速度是 $14.0\ \text{m s}^{-1}$，所以如果以這個平均速度運動 $6.0\ \text{s}$，會得到相同的位移。

10最容易犯的圖表錯誤

錯誤 1：把圖線高度當成加速度

在速度-時間圖中，縱座標表示速度。

某一點位於座標軸上方很高的位置，代表很大的正速度，而不是很大的加速度。

位於 $20\ \text{m s}^{-1}$ 的水平線表示加速度為零，因為它的斜率為零。

錯誤 2：認為向下斜的線一定代表減速

想像一條位於時間軸下方的圖線，從 $-2\ \text{m s}^{-1}$ 下降至 $-8\ \text{m s}^{-1}$。

它向下傾斜，因此加速度為負。

但速率已由 $2\ \text{m s}^{-1}$ 增加至 $8\ \text{m s}^{-1}$。

物體正在負方向上加速。

錯誤 3：用不帶正負號的面積求位移

座標軸下方的面積對位移有負的貢獻。

如果你把所有面積都當成正數，那麼你求出的其實是總路程。

錯誤 4：認為回到 $v=0$ 就代表回到起始位置

速度 $v=0$ 告訴你物體在那一瞬間靜止。

單憑這一點，完全無法得知物體的位置。

要知道物體是否回到起點，必須檢查從起始時刻開始的淨有向面積。只有在總位移為零時，物體才回到原來的位置。

錯誤 5：混淆速度-時間圖與位移-時間圖

值得明確分辨兩種圖：

圖表	斜率告訴你	面積告訴你
位移-時間圖	速度	通常沒有標準的運動學意義
速度-時間圖	加速度	位移

如果你開始把這兩種圖表混淆，複習位移-時間圖會有所幫助。

11讀取任何速度-時間圖的可靠方法

當你遇到一張不熟悉的圖時，可以依照以下順序處理：

**讀取垂直方向的數值。**這些數值是速度。
**檢查正負號。**正速度和負速度代表相反的運動方向。
**觀察斜率。**斜率給出加速度的正負號和大小。
**留意是否穿過 $v=0$。**速度的正負號改變，代表運動方向改變。
**使用有向面積求位移。**座標軸上方的面積為正，座標軸下方的面積為負。
使用面積的絕對值求總路程。
如果你需要判斷物體是在加速還是減速，比較 $v$ 和 $a$ 的正負號。

這個順序可以避免大多數常見的圖表解讀錯誤。

12問題與解答

問題 1

一輛小車以恆定速度 $3.5\ \text{m s}^{-1}$ 運動 $8.0\ \text{s}$。

它的加速度是多少？在這段時間內的位移又是多少？

解答 1

加速度為 $0\ \text{m s}^{-2}$，位移為正方向上的 $28\ \text{m}$。

因為速度恆定，所以速度-時間圖是一條水平線。因此它的斜率為零：

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

位移就是圖線下方長方形的面積：

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

因此，即使加速度為零，小車仍然持續運動。零加速度並不代表零速度。

問題 2

一名滑板手正沿正方向運動。他們的速度在 $4.0\ \text{s}$ 內均勻地從 $12\ \text{m s}^{-1}$ 減少至 $4.0\ \text{m s}^{-1}$。

計算這段時間內的加速度和位移。並指出滑板手是在加速還是減速。

解答 2

加速度為 $-2.0\ \text{m s}^{-2}$，位移為 $32\ \text{m}$，滑板手正在減速。

先計算加速度：

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

速度一直保持為正，而加速度為負。因為速度與加速度的正負號相反，所以滑板手的速率減少。

位移就是梯形的面積：

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

正位移表示滑板手的最終位置，比起始位置沿正方向遠了 $32\ \text{m}$。

問題 3

一個機械人在一條直線軌道上運動。在 $t=0$ 時，它的速度為 $-3.0\ \text{m s}^{-1}$。到 $t=2.0\ \text{s}$ 時，它的速度均勻改變為 $-9.0\ \text{m s}^{-1}$。

一名學生說：「機械人正在減速，因為它的速度變小了。」

求機械人的加速度、位移和速率變化。解釋這名學生的推理有甚麼問題。

解答 3

機械人的加速度為 $-3.0\ \text{m s}^{-2}$，位移為 $-12\ \text{m}$，而它的速率增加了 $6.0\ \text{m s}^{-1}$。機械人正在加速，而不是減速。

加速度為

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

位移是帶正負號的梯形面積：

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

初速率為

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

末速率為

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

所以

\[
\Delta(\text{速率})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

這名學生的錯誤，是把「更負」當成「更慢」。速度的數值確實由 $-3.0$ 減少至 $-9.0\ \text{m s}^{-1}$，但速率取決於速度的大小，而速度的大小其實增加了。

速度和加速度都是負的，因此它們具有相同正負號。機械人正在負方向上加速。

問題 4

一個物體的速度由 $t=0$ 時的 $+8.0\ \text{m s}^{-1}$，線性改變至 $t=6.0\ \text{s}$ 時的 $-4.0\ \text{m s}^{-1}$。

求：

加速度
物體改變方向的時間
總位移
總路程

解答 4

加速度為 $-2.0\ \text{m s}^{-2}$，物體在 $4.0\ \text{s}$ 時改變方向，位移為 $12\ \text{m}$，總路程為 $20\ \text{m}$。

首先計算加速度：

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

物體在 $v=0$ 時改變方向。使用

\[
v=v_i+at,
\]

得到

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

所以

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

從 $0$ 到 $4.0\ \text{s}$，圖線在座標軸上方形成一個三角形：

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

從 $4.0$ 到 $6.0\ \text{s}$，圖線在座標軸下方形成一個三角形：

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

因此位移為

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

計算路程時，兩部分都視為正值：

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

之所以會有 $12\ \text{m}$ 與 $20\ \text{m}$ 的差異，是因為物體反向之後沿負方向返回了 $4.0\ \text{m}$。

問題 5

兩個物體 A 和 B 在 $t=0$ 時由同一位置出發。

物體 A 在 $6.0\ \text{s}$ 內一直以恆定速度 $4.0\ \text{m s}^{-1}$ 運動。

物體 B 的速度由 $t=0$ 時的 $-2.0\ \text{m s}^{-1}$，線性增加至 $t=6.0\ \text{s}$ 時的 $10.0\ \text{m s}^{-1}$。

一名學生認為 B 最後一定會在 A 前方，因為 B 的最終速度大得多。

判斷兩個物體最後是否處於相同位置，還是其中一個在前方。並解釋為甚麼只比較最終速度不能回答這個問題。

解答 5

兩個物體最後位於相同位置，距離起點 $24\ \text{m}$。

對物體 A 而言，速度是恆定的：

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

對物體 B 而言，速度均勻改變，因此它的位移是梯形面積：

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

因此，

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

所以它們最後位於相同位置。

這名學生的推理有問題，因為最終速度只描述某一瞬間的運動。位置的改變取決於整段時間內速度的累積，而這由速度-時間圖下方的面積表示。

物體 B 一開始短暫沿負方向運動，之後加速穿過零速度，最後達到大得多的正速度。這些不同階段產生的淨面積，仍然和 A 以恆定 $4.0\ \text{m s}^{-1}$ 運動時的面積相同。

問題 6

一輛車的速度-時間圖由兩段直線組成。

從 $t=0$ 到 $t=5.0\ \text{s}$，速度由 $0$ 均勻增加至 $10.0\ \text{m s}^{-1}$。

從 $t=5.0$ 到 $t=9.0\ \text{s}$，速度由 $10.0\ \text{m s}^{-1}$ 均勻下降至 $2.0\ \text{m s}^{-1}$。

第二輛車在整個 $9.0\ \text{s}$ 內以恆定速度運動，而且它的位移與第一輛車完全相同。

求第二輛車的恆定速度。然後解釋為甚麼這個數值並不能表示兩輛車曾具有相同的加速度。

解答 6

第二輛車的恆定速度約為 $5.89\ \text{m s}^{-1}$，而相同位移並不代表相同加速度。

在前 $5.0\ \text{s}$ 內，第一輛車的位移是三角形的面積：

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

在接下來的 $4.0\ \text{s}$ 內，它的位移是梯形的面積：

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

所以它的總位移為

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

如果第二輛車的恆定速度為 $v$，