方程式 v = u + at：HSC 物理中的等加速度運動

一輛汽車正以 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 的速度行駛。三秒後，它的速度變成 \(21\ \text{m s}^{-1}\)。你可以把這兩個數值視為彼此無關的兩次速度測量。但如果在這段時間內加速度保持不變，你就可以用一條簡短的方程式預測中間任何時刻的速度：

\[
v = u + at
\]

在擔心這些字母代表甚麼之前，先作一個預測。如果汽車每秒增加 \(3\ \text{m s}^{-1}\) 的速度，那麼 3 秒後應該會怎樣？

它應該增加 \(9\ \text{m s}^{-1}\)。由 \(12\ \text{m s}^{-1}\) 開始，便得到 \(21\ \text{m s}^{-1}\)。

這就是 \(v = u + at\) 所做的全部事情。這條方程式記錄初始速度，然後加上由等加速度所造成的速度變化。

01從速度變化開始

加速度告訴你速度改變得有多快。

如果一個物體的加速度為 \(2\ \text{m s}^{-2}\)，它的速度每秒會改變 \(2\ \text{m s}^{-1}\)。

因此，如果它一開始的速度是 \(5\ \text{m s}^{-1}\)：

其規律是：

\[
\text{新速度} = \text{初始速度} + \text{速度變化}
\]

對於等加速度，速度變化為：

\[
\Delta v = at
\]

其中：

• \(\Delta v\) 是速度變化，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恆定加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是經過時間，單位為秒

如果初始速度是 \(u\)，末速度是 \(v\)，那麼：

\[
v = u + at
\]

這裡：

• \(u\) 是初速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) 是末速度，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) 是恆定加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) 是經過時間，單位為秒

這些字母本身不如方程式的結構重要：

\[
\boxed{\text{末速度} = \text{初速度} + \text{速度變化}}
\]

02為甚麼 \(at\) 會給出速度變化？

從單位就可以看出來。

加速度的單位是 \(\text{m s}^{-2}\)。乘以時間後：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

所以 \(at\) 的單位就是速度的單位。

例如，一個 \(4\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度作用 \(2.5\ \text{s}\)，會產生：

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

這不代表末速度一定是 \(10\ \text{m s}^{-1}\)。它表示速度改變了 \(10\ \text{m s}^{-1}\)。

如果物體一開始是 \(6\ \text{m s}^{-1}\)，最後便是 \(16\ \text{m s}^{-1}\)。

如果它一開始是 \(-8\ \text{m s}^{-1}\)，最後便是 \(2\ \text{m s}^{-1}\)。

速度與速度變化之間的這個區別，是學生最容易誤解方程式意思的地方之一。

03這條方程式從哪裡來

一段時間內的平均加速度定義為：

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

如果加速度是恆定的，那麼在整段時間內，\(a\) 都具有相同的數值。

兩邊同乘 \(t\)：

\[
at = v-u
\]

然後兩邊都加上 \(u\)：

\[
v = u+at
\]

因此，\(v=u+at\) 並不是一條需要在不了解其意義的情況下硬背的獨立規則。它只是把等加速度的定義重新整理而成。

這也告訴你它的限制：只有在你所考慮的時間區間內加速度保持恆定時，才可以直接使用它。

如果加速度隨時間改變，簡單的乘積 \(at\) 就不一定再等於速度變化。在這種情況下，你需要考慮加速度-時間圖下方的面積。tutorgum 的加速度-時間圖指南會進一步說明這一點。

04最重要的設定決定：選擇正方向

假設一名騎單車的人正向東行駛並減速。

一個常見錯誤是說：

「他正在減速，所以他的速度一定是負的。」

不一定。

速度的正負號告訴你的是方向。它並不告訴你物體正在加速還是減速。

在進行計算之前，你要先決定哪個方向為正方向。

例如，把東方定為正方向。那麼向東移動的騎單車者具有正速度。如果他仍向東移動但正在減速，加速度便指向西方，因此加速度為負。

你可能會有：

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

經過 \(3.0\ \text{s}\)：

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

正的末速度表示騎單車者仍然向東移動。數值大小變小，表示他已經減速。

如果你還不熟悉帶正負號的速度，最好先弄清楚速率與速度之間的區別。可參閱 Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly。

05一套可靠的解題流程

當你看到一道涉及初速度、末速度、加速度和時間的等加速度題目時，可以依照以下步驟。

1. 選擇正方向。
2. 寫出已知量，並標示正負號和單位。
3. 找出未知量。
4. 使用 \(v=u+at\)，必要時先把它重新整理。
5. 先整理好方程式，再代入數值。
6. 從物理意義上解釋答案的正負號。

最後一步並不是多餘的。在速度題中，正負號可能會告訴你物體是否已改變運動方向。

06負加速度並不一定代表減速

想像兩個人在走廊裡迎面走向彼此。你決定向右為正方向。

其中一人向右移動，所以他的速度為正。另一人向左移動，所以他的速度為負。單從這些正負號，你無法知道誰正在加速。

加速度也是一樣。

當物體的加速度與速度指向相同方向時，物體會加速。

當加速度與速度指向相反方向時，物體會減速。

所以，以下四種組合都有可能：

第三行通常會讓人感到不直觀。如果速度和加速度都是負的，物體正在負方向移動，而且加速度也進一步指向同一個方向。它的速度可能從 \(-3\ \text{m s}^{-1}\) 變成 \(-7\ \text{m s}^{-1}\)。這個數值變得「更負」，但速率卻從 \(3\ \text{m s}^{-1}\) 增加到 \(7\ \text{m s}^{-1}\)。

負號表示的是方向，不是甚麼「負面感覺」。

07重新整理 \(v=u+at\)

題目不一定每次都要求你求 \(v\)。

如果四個物理量中已知其中三個，同一條方程式就可以求出剩下的一個。

從：

\[
v=u+at
\]

可以得到：

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

以及：

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

不要嘗試背四條不同的方程式。從 \(v=u+at\) 開始，再按需要重新整理即可。

最後一種形式還包含一個有用的物理檢查：

\[
t=\frac{\text{速度變化}}{\text{每秒的速度變化}}
\]

這正是你會預期「時間」所代表的意思。

08「停下來」中的陷阱

假設一道題目說某物體「停下來」。

這表示：

\[
v=0
\]

但這不會自動表示：

\[
a=0
\]

物體可以在某一瞬間速度為零，但仍然具有加速度。

垂直向上拋出的球就是標準例子。在飛行軌跡的最高點，它的垂直速度瞬間為零，但由重力造成的加速度仍然指向下方。

同樣地，前面例子中的小車在 \(2.5\ \text{s}\) 後有 \(v=0\)，但其加速度仍然是 \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\)。

速度描述物體在某一瞬間的運動。加速度描述該瞬間速度如何改變。兩者是不同的物理量。

09甚麼時候不應該使用 \(v=u+at\)

這條方程式假設加速度恆定。

考慮一輛汽車，其加速度為：

• 第一秒期間為 \(1\ \text{m s}^{-2}\)
• 第二秒期間為 \(4\ \text{m s}^{-2}\)
• 第三秒期間為 \(0\ \text{m s}^{-2}\)

沒有一個單一的恆定 \(a\) 值可以描述整個三秒區間。

因此，如果從這些加速度中隨便選一個，然後對整段時間寫成：

\[
v=u+at
\]

就是錯誤的。

那麼，在每一段加速度保持恆定的時間內，能否分別使用這條方程式？可以。你可以逐段計算速度變化。

另一種方法是，總速度變化等於加速度-時間圖下方的面積。

這揭示了 \(v=u+at\) 更深一層的意義。在加速度恆定的加速度-時間圖中，圖線是一條水平線。其下方的面積是一個長方形：

\[
\text{面積}=a\times t
\]

而這個面積就是：

\[
\Delta v=at
\]

因此，這條方程式其實是一個更廣泛的「累積」概念的特殊情況。

10問題與解答

問題 1

一名滑板者以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 向東移動。她以 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) 的恆定加速度向東加速 \(6.0\ \text{s}\)。求她的末速度。

解答 1

滑板者的末速度為 \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ 向東}}\)。

選擇東方為正方向：

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

使用：

\[
v=u+at
\]

可得：

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

正號表示滑板者正向東移動。在這六秒內，她的速度增加了 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)。

問題 2

一部機械人在一條直線軌道上以 \(11\ \text{m s}^{-1}\) 向右移動。它受到一個大小為 \(2.5\ \text{m s}^{-2}\)、方向向左的恆定加速度。

機械人需要多久才會瞬間停下？

解答 2

機械人在 \(\boxed{4.4\ \text{s}}\) 後停下。

選擇向右為正方向。那麼：

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

「停下」表示該瞬間的末速度為：

\[
v=0
\]

使用：

\[
v=u+at
\]

得到：

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

重點是，機械人停下時，加速度並不是零。它的速度有一瞬間為零，但向左的加速度仍然存在，所以如果加速度持續，它之後便會開始向左移動。

問題 3

一個物體的初速度為 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\)，恆定加速度為 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)。

一名學生說：「負加速度表示物體一定正在減速。」

求物體在 \(2.0\ \text{s}\) 後的速度，並評估這名學生的說法。

解答 3

末速度為 \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\)，而這名學生的說法不正確，因為物體正在加速。

使用：

\[
v=u+at
\]

得到：

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

初速率為 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)。末速率為 \(13\ \text{m s}^{-1}\)。

速度和加速度都是負的，所以它們指向相同方向。因此，加速度會增加速度的大小。

容易產生的誤解，是把負加速度直接理解為「減速」。負號只表示相對於所選座標系的方向。

問題 4

一輛小車以 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) 向右移動。一個恆定加速度向左作用。經過 \(3.0\ \text{s}\) 後，小車正以 \(1.0\ \text{m s}^{-1}\) 向左移動。

求小車的加速度。然後判斷在這 \(3.0\ \text{s}\) 的時間區間內，它在甚麼時候改變方向。

解答 4

小車的加速度為 \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\)，而它約在 \(\boxed{2.7\ \text{s}}\) 後改變方向。

選擇向右為正方向：

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

先求加速度：

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

負號表示加速度指向左方。

要找出小車何時改變方向，注意它必須先經過速度為零的狀態。令 \(v=0\)：

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

所以小車約在：

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

時瞬間停下。

然後它在剩餘的 \(0.33\ \text{s}\) 內向左移動。

這裡隱藏的重點是，負的末速度所告訴你的，不只是「物體減速了」。只要速度是連續改變的，它就證明物體曾經通過 \(v=0\)，並反轉了運動方向。

問題 5

兩輛相同的小車都以相同的 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 初速度向右移動。

小車 A 在 \(4.0\ \text{s}\) 內具有 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) 的恆定加速度。

小車 B 在最初的 \(2.0\ \text{s}\) 內具有 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度，接著在之後的 \(2.0\ \text{s}\) 內具有 \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) 的加速度。

一名學生把 \(t=4.0\ \text{s}\) 代入 \(v=u+at\)，並對兩輛小車都使用一次這條方程式。解釋為甚麼這種方法可以直接用於小車 A，卻不能直接用於小車 B。然後計算兩輛小車的末速度。

解答 5

小車 A 最後的速度為 \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\)，而小車 B 最後的速度為 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)。對小車 A 直接使用一次 \(v=u+at\) 是可行的，因為在整個 \(4.0\ \text{s}\) 內它的加速度都保持恆定；但小車 B 的加速度會改變。

對小車 A：

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

所以：

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

對小車 B，要分別計算每一段等加速度區間。

在最初的 \(2.0\ \text{s}\) 內：

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

這個速度會成為第二個時間區間的初速度。

在接下來的 \(2.0\ \text{s}\) 內：

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

因此：

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

這裡的陷阱，是只要方程式中出現符號 \(a\)，就把加速度當成一個固定不變的數值。方程式 \(v=u+at\) 假設所選用的 \(a\) 在整段時間內保持恆定。

對小車 B，兩個加速度階段分別產生以下速度變化：

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

以及：

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

因此總速度變化為：

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

同樣的思路會自然延伸到加速度-時間圖：在那裡，速度變化是由圖線下方的總有向面積求得，而不是只用一個長方形 \(at\)。