Sử dụng s = ut + 1/2 at² trong Vật lý HSC

Một chiếc ô tô đang chuyển động về hướng đông với vận tốc \(12\text{ m s}^{-1}\). Người lái xe phanh đều trong \(3.0\text{ s}\). Bạn biết vận tốc ban đầu, gia tốc và thời gian, nhưng chưa biết chiếc xe đi được độ dời bao nhiêu.

Bạn có thể muốn tính \(12 \times 3 = 36\text{ m}\). Nhưng cách đó giả định rằng chiếc xe tiếp tục chuyển động với vận tốc \(12\text{ m s}^{-1}\) trong suốt ba giây. Thực tế không phải vậy. Xe đang chậm dần.

Phương trình

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

giải quyết chính xác vấn đề này, với điều kiện gia tốc không đổi.

Phần khó hơn trong các câu hỏi HSC thường không phải là thay số vào phương trình. Đó là quyết định xem phương trình có áp dụng được hay không, đồng thời chọn đúng dấu của \(u\), \(a\) và \(s\).

01Phương trình này giải quyết vấn đề gì?

Giả sử một vật bắt đầu với vận tốc \(u\), sau đó chuyển động với gia tốc không đổi \(a\).

Ta có thể hình dung chuyển động của vật gồm hai phần.

Trước hết, hãy tưởng tượng vật tiếp tục chuyển động với vận tốc ban đầu trong thời gian \(t\). Khi đó, độ dời của vật sẽ là

\[
ut.
\]

Nhưng gia tốc làm thay đổi vận tốc của vật trong khi vật chuyển động. Sự thay đổi đó tạo thêm độ dời, hoặc làm giảm độ dời nếu gia tốc hướng ngược với chuyển động ban đầu.

Phần độ dời do gia tốc tạo ra là

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

Vì vậy, tổng độ dời là

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

Trong đó:

• \(s\) là độ dời, đo bằng mét (\(\text{m}\))
• \(u\) là vận tốc ban đầu, đo bằng mét trên giây (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(a\) là gia tốc không đổi, đo bằng mét trên giây bình phương (\(\text{m s}^{-2}\))
• \(t\) là thời gian đã trôi qua, đo bằng giây (\(\text{s}\))

Lưu ý rằng \(s\) là độ dời, không phải quãng đường. Sự khác biệt này trở nên quan trọng bất cứ khi nào một vật đổi hướng. Nếu bạn vẫn chưa thật sự nắm chắc sự khác biệt đó, hãy ôn lại quãng đường và độ dời trong Vật lý HSC trước khi học tiếp.

02Tại sao lại có \(\frac{1}{2}\)?

Hệ số \(\frac{1}{2}\) có thể trông giống như một thứ bạn chỉ cần học thuộc. Nhưng nó không hề tùy ý.

Hãy tưởng tượng một vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên và chuyển động với gia tốc không đổi \(2\text{ m s}^{-2}\) trong \(4\text{ s}\).

Vận tốc của vật tăng như sau:

• tại \(0\text{ s}\): \(0\text{ m s}^{-1}\)
• tại \(1\text{ s}\): \(2\text{ m s}^{-1}\)
• tại \(2\text{ s}\): \(4\text{ m s}^{-1}\)
• tại \(3\text{ s}\): \(6\text{ m s}^{-1}\)
• tại \(4\text{ s}\): \(8\text{ m s}^{-1}\)

Hãy dự đoán độ dời. Liệu có phải là \(8 \times 4 = 32\text{ m}\) không?

Không. Vật chỉ đạt \(8\text{ m s}^{-1}\) ở thời điểm cuối. Trong phần lớn bốn giây đó, vật chuyển động chậm hơn.

Vì vận tốc tăng đều từ \(0\) đến \(8\text{ m s}^{-1}\), vận tốc trung bình là

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

Do đó, độ dời là

\[
s = v_{\text{tb}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

Sử dụng \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) cho cùng một kết quả:

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Hệ số \(\frac{1}{2}\) xuất hiện vì khi gia tốc không đổi, vận tốc thay đổi đều theo thời gian chứ không nhảy ngay lập tức đến giá trị cuối cùng.

Một cách khác để thấy điều này là dùng đồ thị vận tốc-thời gian. Hạng tử \(ut\) là diện tích hình chữ nhật do vận tốc ban đầu tạo ra. Hạng tử \(\frac{1}{2}at^2\) là diện tích tam giác do vận tốc thay đổi tạo ra.

Cách hình dung này rất hữu ích, nhưng có một giới hạn: tam giác gọn gàng đó chỉ xuất hiện khi gia tốc không đổi. Nếu gia tốc thay đổi theo thời gian, đồ thị vận tốc-thời gian nhìn chung không phải là một đường thẳng, và phương trình này không thể đơn giản được áp dụng cho toàn bộ khoảng thời gian.

03Điều kiện học sinh thường quên: gia tốc phải không đổi

Phương trình này thuộc nhóm các phương trình chuyển động với gia tốc không đổi.

Điều đó có nghĩa là \(a\) phải giữ nguyên trong suốt khoảng thời gian mà bạn đang phân tích.

Ví dụ, các tình huống sau có thể được mô hình hóa hợp lý bằng gia tốc không đổi nếu đề bài yêu cầu bạn làm như vậy:

• một vật rơi tự do gần bề mặt Trái Đất, bỏ qua lực cản không khí
• một ô tô tăng tốc đều trên một con đường thẳng
• một đoàn tàu phanh với tốc độ thay đổi vận tốc không đổi
• một xe đẩy chịu gia tốc không đổi dọc theo đường ray

Nhưng giả sử một chiếc ô tô có gia tốc \(2\text{ m s}^{-2}\) trong hai giây, sau đó có gia tốc \(5\text{ m s}^{-2}\) trong hai giây tiếp theo.

Bạn có thể đặt \(t = 4\text{ s}\) vào

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

và dùng một giá trị \(a\) duy nhất nào đó cho tiện hay không?

Không, trừ khi giá trị đó thực sự biểu diễn một gia tốc không đổi trong toàn bộ khoảng thời gian. Trong ví dụ này, điều đó không đúng.

Thay vào đó, hãy chia chuyển động thành các khoảng. Tính độ dời trong khoảng đầu tiên có gia tốc không đổi, xác định vận tốc mới, rồi phân tích khoảng thứ hai.

Một đồ thị gia tốc-thời gian có thể giúp bạn nhận ra khi nào gia tốc không đổi và khi nào chuyển động cần được chia thành nhiều đoạn.

04Chọn dấu: trước tiên hãy chọn chiều dương

Đây là chỗ khiến nhiều lời giải vốn gần như đúng bị sai.

Vận tốc và gia tốc là các đại lượng vectơ. Trong chuyển động một chiều, dấu của chúng cho biết chúng hướng theo chiều nào.

Trước khi thay bất kỳ giá trị nào, hãy chọn một chiều dương.

Đối với chuyển động theo phương ngang, bạn có thể chọn:

\[
\text{hướng đông} = +
\]

khi đó tự động có

\[
\text{hướng tây} = -.
\]

Đối với chuyển động theo phương thẳng đứng, bạn có thể chọn:

\[
\text{hướng lên} = +
\]

khi đó

\[
\text{hướng xuống} = -.
\]

Bạn cũng có thể chọn quy ước ngược lại mà vẫn thu được kết quả vật lý đúng. Điều quan trọng là phải nhất quán.

Hãy hình dung việc chọn chiều dương giống như quyết định đầu nào của một hành lang sẽ mang số phòng dương. Vật lý không quan tâm bạn chọn đầu nào. Điều quan trọng là bạn không được đổi ý khi đang đi giữa hành lang.

Dấu không có nghĩa là “tốt”, “xấu”, “nhanh dần” hay “chậm dần”

Gia tốc âm không tự động có nghĩa là vật đang chậm dần.

Nó có nghĩa là gia tốc hướng theo chiều âm.

Giả sử hướng đông là chiều dương.

Nếu một chiếc ô tô đang chuyển động về hướng đông, thì \(u > 0\).

Nếu gia tốc của nó hướng về phía tây, thì \(a < 0\). Gia tốc ngược chiều với vận tốc, nên xe chậm dần.

Nhưng giả sử chiếc xe đang chuyển động về phía tây. Khi đó \(u < 0\). Nếu gia tốc của nó cũng hướng về phía tây, thì \(a < 0\), và chiếc xe nhanh dần.

Vì vậy, quy tắc hữu ích là:

Trước hết, các dấu cho bạn biết phương chiều. Việc tốc độ tăng hay giảm được xác định bằng cách so sánh hướng của vận tốc và gia tốc.

05Một phương pháp đặt dấu đáng tin cậy

Trước khi sử dụng phương trình, hãy viết rõ chiều dương mà bạn chọn.

Sau đó chuyển mọi đại lượng vectơ sang quy ước đó.

Giả sử một quả bóng được ném lên trên với vận tốc \(15\text{ m s}^{-1}\), và bạn chọn hướng lên là chiều dương.

Khi đó:

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

và gia tốc trọng trường hướng xuống, nên

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Nếu độ dời tính được là \(s = +6.0\text{ m}\), quả bóng kết thúc ở vị trí cao hơn vị trí ban đầu \(6.0\text{ m}\).

Nếu \(s = -6.0\text{ m}\), nó kết thúc ở vị trí thấp hơn vị trí ban đầu \(6.0\text{ m}\).

Đừng gán dấu âm cho gia tốc chỉ vì vật đang “chậm dần”. Hãy gán dấu dựa trên phương chiều.

08Tại sao \(t^2\) lại quan trọng

Học sinh đôi khi nhớ cấu trúc phương trình là “chuyển động ban đầu cộng với phần do gia tốc” nhưng quên bình phương thời gian.

Hãy kiểm tra đơn vị.

Hạng tử thứ nhất có đơn vị

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

Hạng tử thứ hai có đơn vị

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

Vì vậy, cả hai hạng tử đều có đơn vị của độ dời.

Nếu bạn vô tình dùng \(\frac{1}{2}at\), đơn vị của nó sẽ là

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

đây là đơn vị của vận tốc, không phải độ dời.

Kiểm tra đơn vị sẽ không phát hiện được mọi lỗi vật lý, nhưng nó giúp phát hiện khá nhiều lỗi đại số một cách nhanh chóng.

09Tại sao độ dời tăng theo \(t^2\)

Giả sử một vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên với gia tốc không đổi.

Khi đó \(u = 0\), nên

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

Nếu bạn tăng thời gian lên gấp đôi, điều gì xảy ra với độ dời?

Một dự đoán dễ mắc phải là độ dời cũng tăng gấp đôi. Nhưng

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

nên độ dời trở thành lớn gấp bốn lần.

Ví dụ, một vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên với gia tốc \(3.0\text{ m s}^{-2}\) đi được

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

trong \(2.0\text{ s}\).

Sau \(4.0\text{ s}\),

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

Thời gian gấp đôi cho độ dời gấp bốn lần.

Tại sao? Vì vật vừa có nhiều thời gian hơn để chuyển động, vừa chuyển động nhanh hơn trong phần sau của khoảng thời gian dài hơn đó.

10Ngộ nhận dễ mắc nhất: độ dời âm có nghĩa là đang chuyển động lùi

Không nhất thiết.

Giả sử hướng đông là chiều dương. Nếu một vật có

\[
s = -5\text{ m},
\]

điều đó chỉ cho bạn biết rằng vị trí cuối của vật nằm về phía tây điểm xuất phát \(5\text{ m}\).

Vật có thể đang chuyển động về phía tây.

Vật cũng có thể đã đi về phía tây, quay đầu, và hiện đang chuyển động về phía đông nhưng vẫn còn nằm cách điểm xuất phát \(5\text{ m}\) về phía tây.

Độ dời mô tả sự thay đổi vị trí. Vận tốc mô tả tốc độ và hướng mà vị trí đang thay đổi tại thời điểm đó.

Hai ý tưởng này có liên quan với nhau, nhưng không thể dùng thay thế cho nhau.

11Một quy tắc quyết định ngắn gọn cho các câu hỏi HSC

Trước khi sử dụng

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

hãy kiểm tra bốn điều.

1. Chuyển động có phải là một chiều trong khoảng thời gian bạn đang phân tích không?
   Hãy chọn một trục và xác định chiều dương của nó.

2. Gia tốc có không đổi không?
   Nếu không, phương trình này không thể được áp dụng cho toàn bộ khoảng có gia tốc thay đổi.

3. Bạn có biết \(u\), \(a\) và \(t\), hoặc có thể tìm được chúng không?
   Phương trình này đặc biệt hữu ích vì vận tốc cuối không xuất hiện.

4. Bạn đã gán dấu theo phương chiều chưa?
   Hãy làm điều này trước khi thay số, không phải sau đó.

Một thói quen hữu ích là viết một dòng như

\[
\text{hướng lên là chiều dương}
\]

trước bất kỳ phép tính chuyển động thẳng đứng nào. Việc này chỉ mất vài giây nhưng ngăn được một phần lớn các lỗi về dấu.

12Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một người trượt ván chuyển động về hướng bắc với vận tốc \(3.0\text{ m s}^{-1}\) và tăng tốc đều về hướng bắc với gia tốc \(0.80\text{ m s}^{-2}\) trong \(5.0\text{ s}\). Tính độ dời của người trượt ván trong khoảng thời gian này.

Lời giải 1

Người trượt ván có độ dời \(\boxed{25\text{ m về hướng bắc}}\).

Chọn hướng bắc là chiều dương. Khi đó

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

Sử dụng

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

ta được

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Kết quả dương có nghĩa là độ dời hướng về phía bắc. Cả \(u\) và \(a\) đều dương vì chúng hướng theo chiều dương đã chọn.

Câu hỏi 2

Một thang máy đang chuyển động lên trên với vận tốc \(2.4\text{ m s}^{-1}\). Nó có gia tốc đều hướng xuống với độ lớn \(0.60\text{ m s}^{-2}\) trong \(3.0\text{ s}\).

Tính độ dời của thang máy trong khoảng \(3.0\text{ s}\).

Lời giải 2

Độ dời của thang máy là \(\boxed{+4.5\text{ m}}\), vì vậy nó kết thúc ở vị trí cao hơn vị trí ban đầu \(4.5\text{ m}\).

Chọn hướng lên là chiều dương. Khi đó

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Gia tốc âm vì nó hướng xuống, chứ không đơn giản chỉ vì thang máy đang chậm lại.

Trong ba giây này, vận tốc hướng lên và gia tốc hướng xuống ngược chiều nhau, nên tốc độ của thang máy giảm.

Câu hỏi 3

Một quả bóng nhỏ được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc \(14.0\text{ m s}^{-1}\). Bỏ qua lực cản không khí và dùng \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).

Một học sinh tính độ dời của quả bóng sau \(3.00\text{ s}\) là

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

và thu được \(86.1\text{ m}\).

Hãy xác định lỗi sai, tính độ dời đúng và nêu ý nghĩa của dấu trong kết quả.

Lời giải 3

Lỗi của học sinh là dùng sai dấu của gia tốc trọng trường. Độ dời đúng là \(\boxed{-2.1\text{ m}}\), nghĩa là quả bóng sẽ ở thấp hơn mức thả \(2.1\text{ m}\) sau \(3.00\text{ s}\) nếu chuyển động của nó được phép tiếp tục mà không bị cản trở.

Nếu hướng lên là chiều dương, thì

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

nhưng trọng lực hướng xuống, nên

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Ngoài ra còn có một giả định vật lý quan trọng ẩn trong phép tính. Đề bài nói rằng quả bóng được phóng từ mặt đất. Một quả bóng thật sẽ chạm đất trước khi đạt đến vị trí thấp hơn mặt đất \(2.1\text{ m}\), trừ khi bên dưới điểm phóng có một cái hố hoặc một khoảng tụt xuống.

Vì vậy, phương trình mô tả đúng quỹ đạo toán học với gia tốc không đổi, nhưng tình huống vật lý có thể kết thúc khi quả bóng chạm đất. Các phương trình không tự động biết có vật cản.

Câu hỏi 4

Một xe thử nghiệm bắt đầu với vận tốc \(+6.0\text{ m s}^{-1}\), trong đó hướng đông là chiều dương.

Trong \(2.0\text{ s}\) đầu tiên, xe có gia tốc không đổi \(-2.0\text{ m s}^{-2}\). Trong \(3.0\text{ s}\) tiếp theo, gia tốc của xe không đổi ở mức \(+1.0\text{ m s}^{-2}\).

Một học sinh đề xuất sử dụng

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

một lần cho toàn bộ \(5.0\text{ s}\), với \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) và một giá trị gia tốc thu được bằng cách lấy trung bình của \(-2.0\) và \(+1.0\).

Hãy giải thích tại sao phương pháp này không hợp lệ, sau đó tính tổng độ dời của xe.

Lời giải 4

Phương pháp dùng một phương trình duy nhất không hợp lệ vì gia tốc không không đổi trong toàn bộ \(5.0\text{ s}\). Tổng độ dời đúng là \(\boxed{19.5\text{ m về hướng đông}}\).

Chuyển động phải được chia thành hai khoảng mà trong mỗi khoảng gia tốc là không đổi.

Đối với khoảng thứ nhất,

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

Độ dời là

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Ta cũng cần vận tốc ở cuối khoảng này vì nó trở thành vận tốc ban đầu cho khoảng thứ hai.

Sử dụng

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Đối với khoảng thứ hai,

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

Vì vậy,

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Tổng độ dời là

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Do đó,

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m về hướng đông}}.
\]

Ý quan trọng là việc lấy trung bình hai giá trị gia tốc không tái tạo được chuyển động thực tế. Thời điểm và khoảng thời gian tác dụng của từng gia tốc đều quan trọng vì khoảng thứ nhất làm thay đổi vận tốc mà xe mang vào khoảng thứ hai.

13Phương trình này chuẩn bị cho bạn điều gì

Phương trình

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

không chỉ là một công thức để thay số. Nó liên kết ba ý tưởng: chuyển động ban đầu của một vật, cách gia tốc không đổi làm thay đổi chuyển động đó và độ dời tích lũy theo thời gian.

Khi bạn đã hiểu cách dùng dấu, các phương trình chuyển động với gia tốc không đổi khác sẽ dễ sắp xếp hơn. Cùng một quy ước vẫn được áp dụng: chọn một chiều dương, xem vận tốc và gia tốc là các đại lượng có dấu, và tự hỏi kết quả có ý nghĩa vật lý gì.

Bước hữu ích tiếp theo là học cách chuyển đổi giữa các phương trình này và đồ thị chuyển động. Một đồ thị có thể cho thấy ngay khi nào gia tốc không đổi, khi nào một vật đổi hướng và khi nào một phương trình duy nhất dành cho gia tốc không đổi không còn áp dụng được.