समीकरण v = u + at: HSC भौतिकी में नियत त्वरण

एक कार \(12\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से चल रही है। तीन सेकंड बाद, वह \(21\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से चल रही है। आप इन्हें वेग के दो असंबंधित माप मान सकते हैं। लेकिन यदि इनके बीच त्वरण नियत रहा, तो आप एक छोटे से समीकरण की मदद से बीच के हर वेग का अनुमान लगा सकते हैं:

\[
v = u + at
\]

अक्षरों की चिंता करने से पहले एक अनुमान लगाइए। यदि कार हर सेकंड अपने वेग में \(3\ \text{m s}^{-1}\) की वृद्धि करती है, तो 3 सेकंड बाद क्या होना चाहिए?

उसके वेग में \(9\ \text{m s}^{-1}\) की वृद्धि होनी चाहिए। \(12\ \text{m s}^{-1}\) से शुरू करने पर हमें \(21\ \text{m s}^{-1}\) मिलता है।

\(v = u + at\) बस यही करता है। यह समीकरण प्रारंभिक वेग का हिसाब रखता है और फिर नियत त्वरण के कारण हुए वेग परिवर्तन को उसमें जोड़ता है।

01वेग परिवर्तन से शुरुआत करें

त्वरण बताता है कि वेग कितनी तेजी से बदलता है।

यदि किसी वस्तु का त्वरण \(2\ \text{m s}^{-2}\) है, तो उसका वेग हर सेकंड \(2\ \text{m s}^{-1}\) बदलता है।

इसलिए यदि वह \(5\ \text{m s}^{-1}\) से शुरू करती है:

पैटर्न है:

\[
\text{नया वेग} = \text{प्रारंभिक वेग} + \text{वेग परिवर्तन}
\]

नियत त्वरण के लिए, वेग परिवर्तन है:

\[
\Delta v = at
\]

जहाँ:

• \(\Delta v\) वेग में परिवर्तन है, जिसे \(\text{m s}^{-1}\) में मापा जाता है
• \(a\) नियत त्वरण है, जिसे \(\text{m s}^{-2}\) में मापा जाता है
• \(t\) बीता हुआ समय है, जिसे सेकंड में मापा जाता है

यदि प्रारंभिक वेग \(u\) और अंतिम वेग \(v\) है, तो:

\[
v = u + at
\]

यहाँ:

• \(u\) प्रारंभिक वेग है, \(\text{m s}^{-1}\) में
• \(v\) अंतिम वेग है, \(\text{m s}^{-1}\) में
• \(a\) नियत त्वरण है, \(\text{m s}^{-2}\) में
• \(t\) बीता हुआ समय है, सेकंड में

अक्षरों से अधिक महत्वपूर्ण इसकी संरचना है:

\[
\boxed{\text{अंतिम वेग} = \text{प्रारंभिक वेग} + \text{वेग में परिवर्तन}}
\]

02\(at\) वेग परिवर्तन क्यों देता है?

इकाइयाँ इसका उत्तर देती हैं।

त्वरण की इकाई \(\text{m s}^{-2}\) होती है। इसे समय से गुणा करने पर मिलता है:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए \(at\) की इकाई वेग की इकाई के समान है।

उदाहरण के लिए, \(4\ \text{m s}^{-2}\) का त्वरण यदि \(2.5\ \text{s}\) तक कार्य करे, तो वह उत्पन्न करता है:

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

इसका यह अर्थ नहीं है कि अंतिम वेग अपने-आप \(10\ \text{m s}^{-1}\) है। इसका अर्थ है कि वेग में \(10\ \text{m s}^{-1}\) का परिवर्तन हुआ है।

यदि वस्तु \(6\ \text{m s}^{-1}\) से शुरू हुई थी, तो वह \(16\ \text{m s}^{-1}\) पर समाप्त होगी।

यदि वह \(-8\ \text{m s}^{-1}\) से शुरू हुई थी, तो वह \(2\ \text{m s}^{-1}\) पर समाप्त होगी।

वेग और वेग परिवर्तन के बीच यह अंतर उन मुख्य जगहों में से एक है जहाँ विद्यार्थी यह समझने में चूक जाते हैं कि समीकरण वास्तव में क्या कह रहा है।

03समीकरण कहाँ से आता है

किसी समयांतराल में औसत त्वरण की परिभाषा है:

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

यदि त्वरण नियत है, तो \(a\) का यही मान पूरे समयांतराल में लागू होता है।

दोनों पक्षों को \(t\) से गुणा करें:

\[
at = v-u
\]

फिर दोनों पक्षों में \(u\) जोड़ें:

\[
v = u+at
\]

इसलिए \(v=u+at\) कोई अलग नियम नहीं है जिसे बिना अर्थ समझे याद करना पड़े। यह नियत त्वरण की परिभाषा का पुनर्व्यवस्थित रूप है।

यह इसकी सीमा भी बताता है: आप इसका सीधे उपयोग केवल तब कर सकते हैं जब जिस समयांतराल पर आप विचार कर रहे हैं, उसमें त्वरण नियत हो।

यदि त्वरण समय के साथ बदलता है, तो साधारण गुणनफल \(at\) आवश्यक नहीं कि वेग परिवर्तन दे। ऐसी स्थिति में आपको त्वरण-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल पर विचार करना होगा। इसे tutorgum की त्वरण-समय ग्राफ संबंधी मार्गदर्शिका में आगे समझाया गया है।

04सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक निर्णय: धनात्मक दिशा चुनें

मान लीजिए एक साइकिल चालक पूर्व की ओर जा रहा है और धीमा हो रहा है।

एक सामान्य गलती यह कहना है:

“वह धीमा हो रहा है, इसलिए उसका वेग ऋणात्मक होना चाहिए।”

यह आवश्यक नहीं है।

वेग का चिह्न आपको दिशा बताता है। यह नहीं बताता कि वस्तु की चाल बढ़ रही है या घट रही है।

गणना करने से पहले आप तय करते हैं कि कौन-सी दिशा धनात्मक होगी।

उदाहरण के लिए, पूर्व को धनात्मक चुनें। तब पूर्व की ओर जा रहे साइकिल चालक का वेग धनात्मक होगा। यदि वह पूर्व की ओर चलते हुए धीमा हो रहा है, तो त्वरण पश्चिम की ओर होगा, इसलिए त्वरण ऋणात्मक होगा।

आपके पास हो सकता है:

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

\(3.0\ \text{s}\) बाद:

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

धनात्मक अंतिम वेग बताता है कि साइकिल चालक अभी भी पूर्व की ओर चल रहा है। कम परिमाण बताता है कि उसकी चाल कम हुई है।

यदि आप अभी तक चिह्नयुक्त वेगों के साथ सहज नहीं हैं, तो पहले चाल और वेग के बीच का अंतर अच्छी तरह समझ लेना उपयोगी होगा। देखें चाल और वेग: HSC भौतिकी की स्पष्ट व्याख्या।

05एक विश्वसनीय समाधान-विधि

जब आपको नियत त्वरण का ऐसा प्रश्न मिले जिसमें प्रारंभिक वेग, अंतिम वेग, त्वरण और समय शामिल हों, तो इस क्रम का उपयोग करें।

1. धनात्मक दिशा चुनें।
2. ज्ञात राशियों को उनके चिह्नों और इकाइयों सहित लिखें।
3. अज्ञात राशि पहचानें।
4. \(v=u+at\) का उपयोग करें, या आवश्यकता हो तो इसे पुनर्व्यवस्थित करें।
5. मान तभी रखें जब समीकरण सही रूप में व्यवस्थित हो जाए।
6. उत्तर के चिह्न का भौतिक अर्थ समझें।

अंतिम चरण केवल औपचारिकता नहीं है। वेग से जुड़े प्रश्नों में चिह्न बता सकता है कि वस्तु ने अपनी दिशा उलट दी है या नहीं।

06ऋणात्मक त्वरण का अर्थ हमेशा धीमा होना नहीं है

कल्पना कीजिए कि एक गलियारे में दो लोग एक-दूसरे की ओर चल रहे हैं। आप दाईं दिशा को धनात्मक मानते हैं।

एक व्यक्ति दाईं ओर चल रहा है, इसलिए उसका वेग धनात्मक है। दूसरा बाईं ओर चल रहा है, इसलिए उसका वेग ऋणात्मक है। इन चिह्नों से यह नहीं पता चलता कि किसकी चाल बढ़ रही है।

त्वरण भी इसी तरह काम करता है।

जब किसी वस्तु का त्वरण उसके वेग की उसी दिशा में होता है, तो उसकी चाल बढ़ती है।

जब त्वरण उसके वेग की विपरीत दिशा में होता है, तो उसकी चाल घटती है।

इसलिए चारों संयोजन संभव हैं:

तीसरी पंक्ति अक्सर अजीब लगती है। यदि वेग और त्वरण दोनों ऋणात्मक हैं, तो वस्तु ऋणात्मक दिशा में चल रही है और उसी दिशा में और अधिक त्वरित हो रही है। उसका वेग \(-3\ \text{m s}^{-1}\) से \(-7\ \text{m s}^{-1}\) हो सकता है। संख्या “और अधिक ऋणात्मक” हो गई, लेकिन चाल \(3\ \text{m s}^{-1}\) से बढ़कर \(7\ \text{m s}^{-1}\) हो गई।

ऋण चिह्न दिशा के बारे में है, किसी नकारात्मक भावना के बारे में नहीं।

07\(v=u+at\) को पुनर्व्यवस्थित करना

आपसे हमेशा \(v\) ज्ञात करने के लिए नहीं कहा जाएगा।

यदि अन्य तीन राशियाँ ज्ञात हों, तो इसी समीकरण से इसकी चारों राशियों में से किसी एक को ज्ञात किया जा सकता है।

इससे शुरू करें:

\[
v=u+at
\]

आप प्राप्त कर सकते हैं:

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

और:

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

चार अलग-अलग समीकरण याद करने की कोशिश न करें। \(v=u+at\) से शुरू करें और उसे पुनर्व्यवस्थित करें।

अंतिम रूप में एक उपयोगी भौतिक जाँच भी छिपी हुई है:

\[
t=\frac{\text{वेग परिवर्तन}}{\text{प्रति सेकंड वेग परिवर्तन}}
\]

समय का अर्थ भी यही होना चाहिए, जैसा आप अपेक्षा करेंगे।

08“रुक जाता है” में छिपा भ्रम

मान लीजिए किसी प्रश्न में कहा गया है कि कोई वस्तु “रुक जाती है”।

इससे आपको मिलता है:

\[
v=0
\]

इसका अपने-आप यह अर्थ नहीं है:

\[
a=0
\]

किसी वस्तु का किसी एक क्षण पर वेग शून्य हो सकता है, जबकि वह फिर भी त्वरित हो रही हो।

लंबवत ऊपर फेंकी गई गेंद इसका सामान्य उदाहरण है। अपनी उड़ान के शीर्ष पर उसका ऊर्ध्वाधर वेग क्षण भर के लिए शून्य होता है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के कारण उसका त्वरण अब भी नीचे की ओर होता है।

इसी प्रकार, पहले वाले उदाहरण में ट्रॉली का \(v=0\) \(2.5\ \text{s}\) बाद था, लेकिन उसका त्वरण तब भी \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\) था।

वेग किसी क्षण की गति का वर्णन करता है। त्वरण बताता है कि उसी क्षण वेग किस प्रकार बदल रहा है। ये अलग-अलग राशियाँ हैं।

09\(v=u+at\) का उपयोग कब नहीं करना चाहिए

यह समीकरण नियत त्वरण मानता है।

एक ऐसी कार पर विचार करें जिसका त्वरण है:

• पहले सेकंड के दौरान \(1\ \text{m s}^{-2}\),
• दूसरे सेकंड के दौरान \(4\ \text{m s}^{-2}\),
• तीसरे सेकंड के दौरान \(0\ \text{m s}^{-2}\)।

पूरे तीन सेकंड के समयांतराल का वर्णन करने वाला \(a\) का कोई एक नियत मान नहीं है।

इसलिए इनमें से किसी एक त्वरण को चुनकर पूरे समयांतराल के लिए यह लिखना गलत होगा:

\[
v=u+at
\]

क्या आप प्रत्येक ऐसे समयांतराल में अलग-अलग इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं जहाँ त्वरण नियत है? हाँ। आप प्रत्येक खंड में वेग परिवर्तन की अलग-अलग गणना कर सकते हैं।

वैकल्पिक रूप से, कुल वेग परिवर्तन त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल होता है।

यह \(v=u+at\) के बारे में एक गहरी बात दिखाता है। नियत त्वरण वाले त्वरण-समय ग्राफ पर रेखा क्षैतिज होती है। उसके नीचे का क्षेत्रफल एक आयत होता है:

\[
\text{क्षेत्रफल}=a\times t
\]

और यह क्षेत्रफल है:

\[
\Delta v=at
\]

इसलिए यह समीकरण वास्तव में संचय के एक अधिक व्यापक विचार का विशेष मामला है।

10प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक स्केटबोर्डर पूर्व की ओर \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चल रही है। वह \(6.0\ \text{s}\) तक पूर्व की ओर \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) के समान त्वरण से त्वरित होती है। उसका अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

स्केटबोर्डर का अंतिम वेग \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ पूर्व की ओर}}\) है।

पूर्व को धनात्मक चुनें:

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

इसका उपयोग करते हुए:

\[
v=u+at
\]

मिलता है:

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

धनात्मक चिह्न का अर्थ है कि स्केटबोर्डर पूर्व की ओर चल रही है। छह सेकंड के दौरान उसके वेग में \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) की वृद्धि हुई।

प्रश्न 2

एक रोबोट सीधी पटरी पर दाईं ओर \(11\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चलता है। उस पर बाईं ओर \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) का नियत त्वरण लगता है।

रोबोट को क्षण भर के लिए रुकने में कितना समय लगता है?

समाधान 2

रोबोट \(\boxed{4.4\ \text{s}}\) बाद रुकता है।

दाईं ओर को धनात्मक चुनें। तब:

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“रुक जाता है” का अर्थ है कि उस क्षण अंतिम वेग है:

\[
v=0
\]

इसका उपयोग करते हुए:

\[
v=u+at
\]

हमें मिलता है:

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

महत्वपूर्ण बात यह है कि रोबोट के रुकने पर उसका त्वरण शून्य नहीं होता। उसका वेग एक क्षण के लिए शून्य होता है, लेकिन बाईं ओर का त्वरण बना रहता है, इसलिए यदि त्वरण जारी रहा तो वह इसके बाद बाईं ओर चलना शुरू कर देगा।

प्रश्न 3

किसी वस्तु का प्रारंभिक वेग \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) और नियत त्वरण \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\) है।

एक विद्यार्थी कहता है, “ऋणात्मक त्वरण का अर्थ है कि वस्तु की चाल अवश्य घट रही होगी।”

\(2.0\ \text{s}\) बाद वस्तु का वेग ज्ञात कीजिए और विद्यार्थी के दावे का आकलन कीजिए।

समाधान 3

अंतिम वेग \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\) है, और विद्यार्थी गलत है क्योंकि वस्तु की चाल बढ़ रही है।

इसका उपयोग करते हुए:

\[
v=u+at
\]

मिलता है:

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

प्रारंभिक चाल \(7.0\ \text{m s}^{-1}\) थी। अंतिम चाल \(13\ \text{m s}^{-1}\) है।

वेग और त्वरण दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए वे एक ही दिशा में हैं। अतः त्वरण वेग के परिमाण को बढ़ाता है।

भ्रामक धारणा यह है कि ऋणात्मक त्वरण को “मंदन” मान लिया जाए। ऋणात्मक चिह्न केवल चुनी गई निर्देशांक प्रणाली के सापेक्ष दिशा बताता है।

प्रश्न 4

एक ट्रॉली दाईं ओर \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चलती है। बाईं ओर एक नियत त्वरण कार्य करता है। \(3.0\ \text{s}\) बाद, ट्रॉली बाईं ओर \(1.0\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चल रही है।

ट्रॉली का त्वरण ज्ञात कीजिए। फिर निर्धारित कीजिए कि \(3.0\ \text{s}\) के समयांतराल के दौरान उसने दिशा कब बदली।

समाधान 4

ट्रॉली का त्वरण \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\) है, और वह लगभग \(\boxed{2.7\ \text{s}}\) बाद दिशा बदलती है।

दाईं ओर को धनात्मक चुनें:

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

पहले त्वरण ज्ञात करें:

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि त्वरण बाईं ओर है।

यह पता लगाने के लिए कि ट्रॉली ने दिशा कब बदली, ध्यान दें कि उसे पहले शून्य वेग से गुजरना होगा। \(v=0\) रखें:

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

इसलिए ट्रॉली लगभग इस समय क्षण भर के लिए रुकती है:

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

इसके बाद वह शेष \(0.33\ \text{s}\) तक बाईं ओर चलती है।

छिपा हुआ महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि ऋणात्मक अंतिम वेग केवल यह नहीं बताता कि “वस्तु धीमी हुई”। यदि वेग सतत रूप से बदला है, तो यह सिद्ध करता है कि वस्तु \(v=0\) से गुजरी और उसने अपनी दिशा उलट दी।

प्रश्न 5

दो समान ट्रॉलियाँ दाईं ओर \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) के समान प्रारंभिक वेग से चलना शुरू करती हैं।

ट्रॉली A का त्वरण \(4.0\ \text{s}\) तक नियत \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) है।

ट्रॉली B का त्वरण पहले \(2.0\ \text{s}\) तक \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) है, इसके बाद अगले \(2.0\ \text{s}\) तक \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) है।

एक विद्यार्थी \(t=4.0\ \text{s}\) का उपयोग करके दोनों ट्रॉलियों पर \(v=u+at\) लागू करता है। समझाइए कि यह तरीका ट्रॉली A के लिए सीधे क्यों काम करता है, लेकिन ट्रॉली B के लिए क्यों नहीं। फिर प्रत्येक ट्रॉली का अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 5

ट्रॉली A का अंतिम वेग \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\) है, जबकि ट्रॉली B का अंतिम वेग \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\) है। \(v=u+at\) का एक बार सीधे उपयोग ट्रॉली A के लिए काम करता है क्योंकि पूरे \(4.0\ \text{s}\) के दौरान उसका त्वरण नियत है, लेकिन ट्रॉली B का त्वरण बदलता है।

ट्रॉली A के लिए:

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

इसलिए:

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

ट्रॉली B के लिए, प्रत्येक नियत-त्वरण समयांतराल की अलग-अलग गणना करें।

पहले \(2.0\ \text{s}\) के दौरान:

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

यही दूसरे समयांतराल का प्रारंभिक वेग बन जाता है।

अगले \(2.0\ \text{s}\) के दौरान:

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

अतः:

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

भ्रम यह है कि जब किसी समीकरण में \(a\) प्रतीक दिखाई दे, तो त्वरण को एक ही स्थिर संख्या मान लिया जाए। समीकरण \(v=u+at\) यह मानता है कि चुना गया \(a\) पूरे समयांतराल में नियत रहता है।

ट्रॉली B के लिए, त्वरण के दो चरण निम्न वेग परिवर्तन उत्पन्न करते हैं:

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

और:

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

जिससे कुल वेग परिवर्तन मिलता है:

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

यही तर्क स्वाभाविक रूप से त्वरण-समय ग्राफ तक ले जाता है, जहाँ वेग परिवर्तन किसी एक आयत \(at\) से नहीं, बल्कि ग्राफ के नीचे के कुल चिह्नयुक्त क्षेत्रफल से ज्ञात किया जाता है।